Введение к работе
Диссертация посвящена математическому моделированию нелинейных магнитных свойств жестких сверхпроводников II рода, в частности, высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП). Для этого, для вышеуказанных сверхпроводников, были выполнены расчеты петель гистерезиса намагниченности и гармоник намагниченности с помощью разработанных в настоящей работе программ на основе модифицированных для данных целей численных методов. Расчеты производились для сверхпроводников цилиндрической формы конечной длины для плотности критического тока, не зависящего от магнитного поля (модель Бина) и для зависимостей в рамках моделей Кима и Кима-Андерсена. Получен ряд физических параметров, характеризующих сверхпроводящее состояние YBa2Cu3O7-х.
Актуальность темы. Магнитные свойства высокотемпературных сверхпроводников важны для применений в электротехнике и радиоизмерительной технике. Разработаны различные устройства на основе высокотемпературных сверхпроводников. Характерной особенностью амплитуд гармоник намагниченности ВТСП, например, на основе YBa2Cu3O7-x, является их высокая чувствительность к внешнему воздействию (магнитному полю, току и температуре). В связи с этим, как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения, интересным представляется детальное выяснение причин некоторых нелинейных свойств высокотемпературных сверхпроводников, наблюдаемых в магнитных полях. Поэтому важно знать отклик различной геометрической формы сверхпроводников на переменное и постоянное магнитные поля. Для указанных и других прикладных задач необходимо иметь карту распределения экранирующего сверхпроводящего тока (сверхтока), намагниченность образца и гармоники намагниченности. Точно решены задачи, относящиеся к сверхпроводникам II рода, которые имеют простые формы, например, неограниченные пластины и цилиндры, бесконечно тонкие диски, эллипсоиды и др. Для ограниченных образцов вышеуказанные задачи решены лишь в некоторых случаях. Работы по вышеотмеченной тематике ведутся давно как в отечественной, так и зарубежной литературе [1 - 5].
Во многом ВТСП подобны сверхпроводникам второго рода даже для малых магнитных полей. Поэтому при описании магнитных свойств их сверхпроводящего состояния часто используются модифицированные модели свойств классических сверхпроводников второго рода.
Таким образом, проведенные исследования, как с фундаментальной, так и с практической точки зрения, являются актуальными.
Цель работы – Математическое моделирование процесса проникновения внешнего постоянного и гармонически модулированного магнитного поля в жесткие сверхпроводники II рода, имеющие форму ограниченных цилиндров и находящиеся в критическом состоянии. Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:
1) Построить математическую модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом экранировки поля в центре в случае зависимости плотности критического тока в приближении Кима.
2) Разработать численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности в соответствии с моделью критического состояния Кима и учетом экранировки поля в центре образца.
3) На основе построенной модели выполнить численный расчет фронта проникающего в цилиндрический образец магнитного поля, гистерезисных петель и гармоник намагниченности в зависимости от значений постоянной и переменной компонент внешнего магнитного поля.
4) Построить математическую модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.
5) Разработать численный метод расчета напряженности магнитного поля и петель гистерезиса в соответствии с моделью критического состояния Бина и учетом искривления силовых линий магнитного поля.
6) На основе построенной модели найти карту распределения плотности экранирующего сверхтока, выполнить численный расчет распределения проникающего в цилиндрический образец магнитного поля и гистерезисных петель намагниченности в зависимости от значений постоянной и переменной компонент внешнего магнитного поля.
7) Разработать программный комплекс на базе численных методов, позволяющий рассчитывать распределение плотности экранирующего сверхтока, магнитного поля, а также петель гистерезиса и гармоник намагниченности и исследовать поведение сверхпроводящего образца в форме короткого цилиндра и диска в соответствии с перечисленными моделями критического состояния (Кима, Кима-Андерсена и Бина).
Методы исследования. Работа носит теоретический характер. Для решения поставленных задач использовались уравнения электродинамики, описывающие магнитные свойства жестких сверхпроводников II рода, на основе которых смоделирован процесс проникновения внешнего магнитного поля в вышеуказанные сверхпроводники. Разработанный в рамках данного исследования программный комплекс на основе объектно-ориентированного языка программирования C# использует алгоритмы различных численных методов и процедуры параметрической оптимизации.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) Предложена математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом экранировки поля в центре в случае зависимости плотности критического тока в приближении Кима.
2) Предложена математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.
3) Разработан численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода, отправным пунктом которого является дифференциальное уравнение критического состояния для модели Кима в приближении экранировки магнитного поля в центре цилиндра.
4) Разработан численный метод расчета карт распределения критической плотности сверхтока, магнитного поля и петель гистерезиса намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода, отправным пунктом которого является интегральные уравнения I рода, описывающее критическое состояние вышеуказанных цилиндров в приближении Бина.
5) Создан программный комплекс, способный моделировать поведение сверхпроводящего образца в магнитном поле на основе указанных моделей, основой которого стали приведенные выше численные методы.
Научная и практическая ценность работы:
1) Результаты моделирования намагниченности и распределения магнитного поля в жестком сверхпроводнике II рода, выполненные в настоящей работе, могут быть использованы для проверки концепций используемых теоретических моделей при описании особенностей магнитных свойств ВТСП, а также для нахождения их критических параметров и решения вопроса о механизме магнитных свойств высокотемпературных сверхпроводников.
2) Результаты работы могут быть использованы при разработке трансформаторов, электродвигателей, магнитов, а также магнитометра слабых магнитных полей и других электро- и радиоизмерительных устройств на основе высокотемпературных сверхпроводников.
3) Полученное решение интегрального уравнения, описывающего распределение экранирующего сверхтока в модели Бина, может быть использовано при разработке несверхпроводящих соленоидов с высокой однородностью магнитного поля в больших объемах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается согласием полученных в результате моделирования петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров сверхпроводников II рода с экспериментальными данными других работ, а также с результатами теоретических работ, полученных рядом авторов иными методами.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
1. IV международной конференции «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (г. Звенигород, октябрь 2011 г.);
2. V Фестивале Науки (г. Москва, октябрь 2010 г.);
3. I Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математика и математическое моделирование» (г. Саранск, октябрь 2011 г.);
4. IX Всероссийской научно-практической конференции «Машиностроение: Наука, техника, образование» (г. Рузаевка, ноябрь 2011 г.);
5. На ежегодных научных Огаревских чтениях в Мордовском госуниверситете им. Н. П. Огарева.
Основные положения, выносимые на защиту:
1) Математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра с учетом экранировки поля в центре образца в приближении Кима и Кима-Андерсена на основе дифференциальных уравнений критического состояния.
2) Численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода для модели Кима в приближении экранировки магнитного поля в центре цилиндра.
3) Математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.
4) Численный метод расчета карт распределения критической плотности сверхтока, магнитного поля и петель гистерезиса намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода в приближении Бина с учетом искривления силовых линий магнитного поля.
5) Карты распределения критической плотности экранирующего сверхтока, распределение магнитного поля и гистерезисные петли намагниченности в приближении Бина; гистерезисные петли и гармоники намагниченности в приближении Кима в гармонически модулированном внешнем магнитном поле.
6) Программный комплекс расчета распределения критической плотности экранирующего сверхтока, магнитного поля, а также петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров сверхпроводников II рода согласно различным моделям критического состояния, разработанный на языке C#.
Публикации: По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 3 из перечня ВАК. Из них: 5 статей в журналах, 4 статьи в сборниках научных трудов, 4 материалов и тезисов докладов конференций. Также получены 2 свидетельства о государственной регистрации программ.
Личный вклад заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, решении поставленных задач и анализе полученных результатов. Программный комплекс моделирования поведения сверхпроводников был разработан автором самостоятельно.
Объем и структура диссертации: Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 169 страницах, включая 74 рисунка, список литературы из 236 пунктов и одного приложения.
Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю Н.Д. Кузьмичеву за неоценимую помощь при подготовке диссертации.
