Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы повышенный интерес привлекают к себе задачи, связанные с математическим моделированием процессов в тонких каналах, толщина которых сравнима со средней длиной свободного пробега молекул газа. Наиболее подробно к настоящему времени данная проблема изучена с использованием численных методов. Так, в [1]-[8] с использованием численных методов задачи построения математических моделей течений газа в каналах рассматривалась как для линеаризованного уравнения Больцмана, так и различных его моделей, с использованием различных моделей граничных условий, как для простых газов, так и для бинарных смесей. В то же время, как показывает анализ литературных источников, к моменту начала работы над данным диссертационным исследованием в открытой печати было опубликовано всего две работы [9] и [10], авторы которых с использованием БГК и ЭС моделей кинетического уравнения Больцмана для почти зеркальных граничных условий на стенках канала получили аналитические (в замкнутой форме) решения задач о течении Пуазейля и Куэтта. Эти решения приведены также в монографии [11]. Отсутствие систематического изучения данного вопроса с использованием точных аналитических методов и определяет актуальность проведенного диссертационного исследования.
Использованная в [9]—[11] модель граничного условия мало реализуема на практике, особенно для необработанных специальным образом технических поверхностей. Однако ее использование позволило авторам [9]-[Ц] существенно упростить уровень сложности используемого математического аппарата, получив ряд выражений для макропараметров газа, таких как потоки массы газа и тепла в канале, величины сил вязкого трения, действующих на его стенки, через однократные интегралы. Использование более реалистичной модели граничных условий - модели диффузного отражения существенно усложняет используемый математический аппарат и приводит к тому, что решение задачи записывается в виде рядов Неймана.
Качественный анализ картины течения газа в канале с использованием модели диффузного отражения, полученной на основе аналитических методов для БГК модели приведен в [12]. Там же приведены ссылки на сходимость при любой толщине канала решений интегрального уравнения Фредгольма второго рода, к которому сводится задача нахождения коэффициентов в разложении решения задачи по собственным векторам непрерывного спектра. Однако в силу труднопреодолимых на тот момент
времени сложностей аналитические решения так и не были получены.
Цель диссертационного исследования заключается в разработке методов построения в рамках кинетического подхода математических моделей процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках и дальнейшем исследовании построенных моделей.
В качестве основных уравнений, описывающих кинетику процессов, используются линеаризванные БГК и ЭС модели кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия - модель диффузного отражения молекул газа стенками канала.
Научная новизна заключается в:
установлении связей между функцией распределения молекул газа по координатам и скоростям и макропараметрами газа в канале, позволяющих определять условия перехода от кинетического описания течения газа к гидродинамическому;
установлении зависимостей между значениями макропараметров газа в канале и его толщиной;
разработке алгоритма построения математических моделей процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках;
разработке с использованием предложенного алгоритма математических моделей течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры;
разработке эффективных алгоритмов, численных методов и комплексов программ для расчета макропараметров газа в канале;
доказательстве справедливости линейных соотношений Онзагера с учетом потоков массы газа и тепла, локализованных в слое Кнудсена.
Обоснованность и достоверность основных научных результатов обусловлена тем, что в основу построенных моделей положены фундаментальные уравнения теории переноса. Адекватность разработанных моделей и алгоритмов подтверждается сравнением полученных на их основе результатов с аналогичными результатами, полученными другими авторами с использованием методов прямого численного моделирования, а также тем, что при переходе к гидродинамическому пределу полученные на основе предложенных моделей результаты переходят в соответствующие результаты классической гидродинамики.
Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потоков массы и тепла в сверхтонких каналах при наличии градиентов давления и температуры (например, для учета потерь тепла и массы газа в уплотнителях установок низкого давления, вакуумных камер и т.д.), а также при подготовке студентов, магистрантов и аспирантов по направлению подготовки 231300 "Прикладная математика".
Апробация работы. Основные результаты дисертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно - технических конференциях и семинарах: на XII научной конференции МГТУ " СТАНКИН" и " Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "СТАНКИН" - HMM РАН" по математическому моделированию и информатике, 14-15 мая 2009 г., г. Москва; на международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2009", 5-17 октября 2009 г., г. Одесса; на международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2010", 4-15 октября 2010 г, г. Одесса; на международной научно-практической конференции " Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика", 1-5 февраля 2010 г., г. Архангельск; на IX конференции с участием зарубежных ученых "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании", 1-3 июля 2010 года, Мордовский госуниверситет имени Н. П. Огарева, НИИ Математики при МГУ имени Н. П. Огарева, г. Саранск; Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Актуальные проблемы механики, математики, информатики", посвященной 50-летнему юбилею механико-математического факультета Пермского государственного университета. 12-14 октября 2010 г., г. Пермь; Второй международной конференции " Моделирование нелинейных процессов и систем". 6-10 июня 2011 г., г. Москва; научных семинарах кафедры математики С (А) ФУ.
На защиту выносятся:
-
-
Процедура построения математических моделей течений газа в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках.
-
Математические модели течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры.
-
Значения потоков массы газа и тепла, приходящихся на единицу ширины канала, отличных от нуля компонент тензора вязких напряжений
-
Зависимости макропараметров газа от толщины канала.
По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 в изданиях из списка ВАК РФ, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Список работ по теме диссертации приведен в конце автореферата.
Диссертация состоит из Введения, трех глав, заключения и списка литературы из 63 наименования, содержит 3 рисунка и 20 таблиц. Полный объем работы составляет 139 страниц машинописного текста.
Соискатель благодарит А.А. Юшканова за помощь в постановке задач, выводе основных уравнений, обсуждении методов решения и полученных результатов.
Похожие диссертации на Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках
-
