Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановка задачи тепло- и массопереноса при фильтрации жидкости с радиоактивным . загрязнителем в глубоко залегающих пластах 15
1.1. Некоторые аспекты развития методов расчётов температурных и концентрационных полей в пластах 15
1.2. Основные физические процессы при фильтрации жидкости в глубоко залегающих-пластах 17
1.3. Уравнение конвективной диффузии с учетом радиоактивного распада и обмена жидкости со скелетом 18
1.4. Задача теплопереноса 21
1.4.1. Математическая постановка задачи теплопереноса и её обезразмеривание 21
1.4.1. Разложение задачи теплопереноса по асимптотическому параметру . 27
1.4.3. Математическая постановка задачи теплопереноса в нулевом приближении 29
1.4.4. Постановка задачи теплопереноса в первом приближении 32
1.5. Задача массопереноса 33
1.5.1. Математическая постановка задачи массопереноса и её обезразмеривание 33
1.5.2. Разложение задачи массопереноса
по асимптотическому параметру 37
1.5.3. Математическая постановка задачи массопереноса в нулевом приближении 39
1.5.4. Математическая постановка задачи массообмена в первом приближении 42
1.5.5. Дополнительное интегральное условие для первого приближения... 46
1.6. Выводы 49
ГЛАВА II. Решение задачи массопереноса в нулевом и первом приближениях, стационарное решение 51
2.1 Решение задачи массопереноса в нулевом приближении 51
2.2. Анализ результатов расчетов в нулевом приближении 64
2.3. Бездиффузионное приближение в задаче массообмена 67
2.4. Решение задачи массообмена в первом приближении 71
2.5. Анализ результатов расчетов в первом приближении 78
2.6. Стационарное решение задачи массопереноса в нулевом и первом приближении 88
2.7. Анализ результатов расчёта стационарной задачи 97
2.8. Выводы 101
ГЛАВА III. Решение задачи теплопереноса в нулевом и первом приближениях 104
3.1. Нулевое приближение 104
3.2. Переход в пространство оригиналов для нулевого представления плотности загрязнителя 113
3.3. Анализ результатов расчетов по нулевому приближению 116
3.4. Решение задачи теплообмена в пространстве изображений
в первом приближении 119
3.5. Сопоставление радиусов зон химического и теплового возмущений 125
3.6. Выводы 132
Заключение 133
Литература
- Основные физические процессы при фильтрации жидкости в глубоко залегающих-пластах
- Разложение задачи теплопереноса по асимптотическому параметру
- Бездиффузионное приближение в задаче массообмена
- Переход в пространство оригиналов для нулевого представления плотности загрязнителя
Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время наиболее распространённым видом утилизации радиоактивных отходов предприятий атомной промышленности и химических производств является закачка их в виде жидких растворов в глубокозалегающие подземные пласты. Поэтому чрезвычайно важной экологической задачей является прогнозирование и контроль поведения зон, охваченных воздействием вредных примесей, особенно с учётом того, что глубокозалегающие пласты обычно имеют выходы на поверхность. Указанный прогноз осуществляется, в основном, расчётным путём, так как возможности экспериментального определения размеров глубоко залегающих зон загрязнения весьма ограничены.
При закачке вредных примесей нарушается естественное температурное поле, что определяется как отличием температуры закачиваемой жидкости от пластовой, так и выделением тепла за счет радиоактивного распада и химических реакций. При этом поля концентраций примесей и температуры являются взаимосвязанными, поэтому на основе измерений температуры в контрольных скважинах, проведённых в зоне влияния закачки отходов, можно создать методы контроля за зоной заражения.
Вопросы захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этом экологические проблемы подробно рассматривались многими исследователями, среди которых можно выделить Белицкого А.С., Орлову Е.И. [5], Рыбальченко, А.И., Пименова М.К. [64]. Исследованию полей концентрации радиоактивного загрязнителя в пористых пластах посвящено большое число работ Ф.М. Бочевера, Н.Н. Веригина, В.М. Гольдберга.
Результаты исследования температурных полей представлены в статьях и монографиях научных школ Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов, научно-исследовательских и проектных институтов нефтегазовой промышленности, а также зарубежных ученых. В подавляющем большинстве в
этих работах в основу исследований положена "схема сосредоточенной ёмкости", которая предполагает, что поле температуры в интервале пласта не зависит от вертикальной координаты. Однако в последние годы, в связи с повышением разрешающей способности термометрической аппаратуры, встал вопрос о методах расчётов температуры с учётом зависимости от вертикальной координаты.
Расчёт пространственно-временных распределений концентрации вредных примесей в глубоко залегающих пластах сводится к решению краевых задач конвективной диффузии в пористых средах. Соответствующие задачи обладают большим разнообразием, и решение их зачастую сопряжено со значительными трудностями. В настоящее время новые перспективы в исследовании динамики полей температур открывает использование модификации асимптотических методов, ориентированной на задачи скважиннои термодинамики (А.И. Филиппов). Она была использована для создания теории температурных и массообменных процессов при закачке жидкости в пласты (ОМ. Коркешко) и баротермического эффекта (Н.П. Миколайчук), при моделировании фильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости (Е.М Девяткин, Г.Я. Хусаино-ва), движения жидкости по скважине (П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова), термического воздействия на пласт на основе фильтрационно-волновых процессов (М.Р. Минлибаев, Г.Ф. Ефимова).
Целью диссертационной работы является разработка методов расчёта полей температур и концентраций радиоактивных примесей при закачке растворов, содержащих радиоактивный загрязнитель, в глубоко залегающие проницаемые пласты на основе асимптотических разложений. Основные задачи исследования: - анализ вклада основных физических процессов, обуславливающих динамику распространения радиоактивных примесей и температурных полей, постановка соответствующих математических задач;
применение асимптотического метода к многослойным задачам, построение задач для коэффициентов разложения искомого решения в виде ряда по параметру;
получение аналитических решений задач для коэффициентов разложения нулевого и первого порядков;
проведение расчетов пространственно-временных распределений полей концентраций загрязнителя и температуры и изучение влияния различных физических параметров на эти распределения;
сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и результатами других исследователей.
Научная новизна:
С помощью модификации асимптотического метода получены новые приближённые решения задач, описывающих динамику температурных полей и распространения радиоактивных примесей в проницаемых пластах с учетом их распада и осаждения на скелет.
Найдено стационарное решение задачи о распространении плотности радиоактивного загрязнителя, установлена область применимости задачи в бездиффузионном приближении для расчетов полей в реальных условиях.
Получено соотношение между размерами зон очищенной воды, загрязненной радиоактивными примесями и температурных возмущений. Установлено, что при больших коэффициентах Генри размеры последней во много раз превосходят размеры зоны загрязнения и поэтому регистрация температурных полей может быть использована для прогнозирования положения зоны радиоактивного заражения.
Практическая значимость. На основе полученных решений созданы новые способы расчётов экологической безопасности природных глубоко залегающих объектов, используемых для захоронения радиоактивных отходов АЭС и промышленных предприятий. Определена зависимость величины и положения максимума температурного поля от параметров закачки, энергетической
активности загрязнителя и теплофизических свойств пластов, что очень важно для предотвращения неблагоприятных последствий, в частности, «теплового взрыва».
Достоверность полученных результатов обоснована тем, что в основу исследований положены уравнения, выведенные из фундаментальных законов сохранения. Полученные решения в частных случаях сопоставлены с результатами других исследователей, а также удовлетворительно согласуются с результатами экспериментальных исследований, опубликованными в печати.
Основные положения, выносимые на защиту:
Построенная с использованием модификации асимптотического метода математическая модель температурного поля жидкости с радиоактивным загрязнителем, текущей по проводящему пласту, окружённому «кровлей» и «подошвой», в нулевом и первом приближениях. Обоснование утверждения, заключающегося в том, что дополнительное нелокальное интегральное условие приводит к построению в «среднем точного» асимптотического решения.
Аналитические выражения для расчётов полей температуры и концентрации вредных примесей при их закачке в подземные пласты, представленные в виде разложения по параметру асимптотического разложения для задач массо-и теплопроводности, содержащие слагаемые нулевого и первого порядков.
Результаты расчётов пространственно-временных распределений плотности и температуры загрязнителя (в частности, с помощью стационарного решения), которые показывают, что при отсутствии в пористом пласте естественной миграции жидкости имеются предельные размеры зоны загрязнения, определяемые периодом полураспада нуклида и темпами закачки; аналитические зависимости для размеров зон радиоактивного заражения, термического влияния и очищенной воды.
Краткая характеристика содержания работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.
Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, обоснованы научная новизна и практическая значимость результатов исследования.
В первой главе приведен краткий обзор литературы. Произведено описание основных физических процессов, происходящих при фильтрации жидкостей в глубокозалегающих пластах, проведена оценка вкладов этих физических процессов, и на этой основе осуществлена постановка задачи о фильтрации жидкости с радиоактивными примесями в глубоко залегающих пластах.
Выписаны уравнения, определяющие изменение температурного поля. Произведено обезразмеривание задачи о распространении поля температур. Произведена оценка вклада радиальной температуропроводности в процессы теплопереноса, и сделан вывод о возможности пренебрежения соответствующими составляющими в уравнении теплопереноса. Введён параметр асимптотического разложения, определена математическая постановка задачи для нулевого и первого приближений. Сделан вывод о необходимости первоначального решения задачи, определяющей зависимость плотности загрязнителя от времени и координат.
Выписаны уравнения массопереноса для радиоактивного загрязнителя. Произведено их обезразмеривание. Обоснована возможность пренебрежения слагаемыми, определяющими радиальную диффузию (в сравнении с конвективным переносом загрязнителя). Произведено асимптотическое разложение массопереносной задачи. Записана математическая постановка задачи в нулевом и первом приближениях.
Во второй главе решена задача массопереноса в нулевом и первом приближениях. Обоснована возможность пренебрежения радиоактивным распадом в «кровле» и «подошве». Рассмотрено бездиффузионное приближение, оценены границы его применимости. Найдено стационарное решение, определены мак-
симальные размеры зоны заражения. Обосновано введение среднеинтегрально-го условия для первого коэффициента разложения.
Третья глава посвящена решению задачи теплообмена в нулевом и первом приближении. При этом, как и во второй главе, использован метод интегральных преобразований Лапласа-Карсона. Построено решение в нулевом приближении, показано, что оно определяется только нулевым приближением поля загрязнителя. Проанализированы полученные решения. Для первого коэффициента разложения получено решение в пространстве изображений. Рассмотрены и сопоставлены радиусы зон химического и теплового влияния, найдены соотношения, определяющие относительные размеры этих зон. Построен алгоритм получения решения любого требуемого приближения.
В заключении подводены итоги проведенного исследования.
В процессе выполнения работы широко использованы асимптотические методы, методы интегральных преобразований Лапласа - Карсона. Численные расчеты тепловых полей осуществлены с помощью программного пакета MathCAD. Графические иллюстрации выполнены с использованием программы CorelDraw.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 научных работах. Постановка задачи в работах принадлежит профессору Филиппову А.И. В остальном вклад авторов равный. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.
Михайличенко, И.Н. и др. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (16 -18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак). - Уфа: Гилем, 2004. С. 89 - 97.
Михайличенко, И.Н. и др. Температурные поля при закачке водных растворов радиоактивных примесей в подземные горизонты / Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. // Обозрение прикладной и
промышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. - М., 2004. - Т. 11,-В.З.- С. 596-597.
Михайличенко, И.Н. и др. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. - М., 2004. - Т. 11, -В.З.-С.595-596.
Михайличенко, И.Н. и др. Оценка погрешности бездиффузионного приближения в задачах тепломассопереноса / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. - СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАЛ ВШ, 2005.-С. 101 - 105.
Михайличенко, И.Н. Способ расчёта концентрации загрязнителя при захо-ї ронений растворённых веществ / И.Н. Михайличенко // ЭВТ в обучении и моделировании. Труды IV Региональной научно - методической конференции. (16 - 17 декабря 2005 г., г. Бирск). - Бирск: изд-во БГСПА, 2005. -С. 294-303.
Михайличенко, И.Н. и др. Определение зоны заражения при подземном захоронении растворённых радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(25). - Херсон: ХНТУ, 2006. - С. 508 -512.
Михайличенко, И.Н. и др. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, А.Г. Крупинов, И.Н. Михайличенко // Экологические системы и приборы. - 2006. - №5. - С. 27 - 35.
Михайличенко, И.Н. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / Д.А. Гюнтер, И.Н. Михайличенко // Региональная школа - конференция молодых учёных: тезисы докладов. - Уфа: Гилем, 2006. - С. 44 - 45.
Михайличенко, И.Н, Погранслойное решение в задаче о закачке радиоактивных примесей в пористый пласт/ Е.М Девяткин, И.Н. Михайличенко // VI Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных по математике, физике и химии. Тезисы докладов. - Уфа: РИО БашГУ, 2006.-С. 141-142.
Автор выражает сердечную признательность своим научным руководителям -Филиппову Александру Ивановичу и Михайлову Павлу Никоновичу за ценные научные обсуждения и дружескую поддержку в работе.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
а - коэффициент температуропроводности, м2/с;
- удельные теплоёмкости пластов, Дж/(кг-К);
Dz, Dlz, D2z - коэффициенты диффузии в вертикальном и радиальном
Д., Dh, D2v, направлениях, м2/с;
h - полувысота пористого пласта, м;
к - коэффициент проницаемости, м2;
L - удельная теплота радиоактивного распада, Дж/кг;
т - пористость;
г0 - радиус скважины закачки, м;
Rp - положение фронта загрязнения, м;
Rw - положение фронта закачиваемой жидкости, м;
Rt - положение фронта термического влияния, м;
ТА, Tdl, Td2 - температура носителя (загрязнителя) в различных пластах, К;
сО'Ро ~ удельная теплоёмкость и плотность пористого пласта,
Дж/(кг-К), кг/м ;
v - скорость конвективного переноса примесей, м/с;
скорость фильтрации жидкости, м/с;
истинная скорость движения жидкости, м/с;
постоянная радиоактивного распада, с" ;.
вязкость несущей жидкости, Па с;
химические потенциалы примесей в скелете и жидкости
плотность загрязнителя в скважине;
плотность загрязнителя в скелете и жидкости, кг/м ;
Pid > P2d ~ плотность пластов, кг/м ;
Pd> Ры> P2d~ плотность загрязнителя в пластах, кг/м ;
г - время, с;
XnXrl,Xr2- коэффициенты теплопроводности в радиальном направлении, Вт/(м-К);
Xz,Xzl,Xz2- коэффициенты теплопроводности в вертикальном направлении, Вт/(м-К).
Основные физические процессы при фильтрации жидкости в глубоко залегающих-пластах
Построение механики смесей осуществлено на основе физических законов сохранения массы, импульса и энергии. Вместе с истинной скоростью движения жидкости w в пористой среде вводится скорость фильтрации v v = mw. (1.2.1)
Здесь т - коэффициент пористости (точнее эффективной пористости), который обуславливает фильтрацию в породе жидкости или газа и зависит от объёма пор Vn ф, через которые осуществляется фильтрация по отношению ко всему объему Vo5p образца ти = 2Х.ф/Г0бр
Скорость фильтрации безынерционного движения жидких фаз определяется законом Дарси v = --gradP. (1.2.3)
В большинстве встречающихся (и, что важно, "рассчитываемых") фильтрационных процессов деформация пористого скелета, сжимаемость и связанные с этим изменения температур жидкостей являются малыми. Основными эффектами, определяющими движение системы, являются неравновесное совместное движение нескольких жидких фаз, молекулярная и конвективная диффузия растворённых в фазах компонент, поглощение твёрдой фазой или сорбция компонент, массообмен между фазами и т.д.
Ограничимся рассмотрением задачи для одного загрязнителя, который является радиоактивным или химически активным. Стоит отметить, что концентрации загрязнителя в скелете пористой среды и в насыщающем её несжимаемом растворе быстро выравниваются в силу большой поверхности соприкосновения. Как было показано в работе О.И. Коркешко [30], время протекания массообмена между жидкостью и скелетом оказывается порядка 0.1 с.
Растворы, рассматриваемые в работе, считаются идеальными, что соответствует случаю одинакового взаимодействия молекул между собой независимо от того, одинаковы они или различны.
При рассмотрении температурной задачи считается, что нагнетание теплоносителя не сопровождается никакими процессами изменения фазового состояния пластовых жидкостей; теплофизические характеристики жидкости, насыщавшей пласт до начала нагнетания, совпадают с характеристиками нагнетаемой жидкости; начальная температура пласта и окружающих его пород стационарна. Полагаем, что температуры скелета пористой среды и насыщающей её несжимаемой жидкости одинаковы, так как теплообмен (наряду с массооб-меном) между скелетом и жидкостью осуществляется сравнительно быстро. Это допущение выполняется вследствие большой удельной поверхности порис 5 2/3 тыхсред глубоко залегающих пластов (-10 м /м ).
Жидкость считается несжимаемой, капиллярными силами, силой тяжести, а также температурными изменениями объёмов и тепловых свойств рассматриваемой системы пренебрегаем.
Постановка задачи о распределении концентрации вредных примесей при закачке растворов в глубоко залегающие пористые пласты основана на законе сохранения массы входящих в состав примесей. Для загрязнителя, находящегося в скелете пласта, справедливо уравнение неразрывности —[(l-w)ps] + V7s-g( s,Hw)-aps(l-w), (1-3.1) где ys = -DsV[(l-m)ps] - диффузионный поток вещества в скелете, р , Ц, - соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества в скелете, т - пористость скелета, g(is, iw) - функция массообмена между скелетом и жидкостью, показывающая изменение плотности вещества в скелете за счёт диффузии молекул примеси из жидкости в скелет, aps(l-w) - функция источников концентрации, определяющая потери загрязнителя за счёт радиоактивного распада.
Для загрязнителя, находящегося в жидкости, уравнение неразрывности принимает вид — (wpw)+V/w +V(pwv ) = -g(is,u.w)-ampw, (1.3.2) ОТ где 7W =-Z)wV(mpw) - диффузионный поток радиоактивного вещества в жидкости, текущей в пласте, pw,Dw - соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества в жидкости. Будем считать, что процесс перехода молекул примеси из жидкости в скелет и её переход из скелета в жидкость определяется соотношением химических потенциалов p,s, p,w. При этом, из закона сохранения следует, что потоки вещества из жидкости в скелет и обратно равны, но противоположны по знаку. Это приводит к появлению в правых частях уравнений одной и той же функции g(is,M-w), но с противоположным знаком.
Разложение задачи теплопереноса по асимптотическому параметру
Последнее слагаемое в правой части уравнения (1.4.44) устанавливает изменение температуры за счёт энергии, выделяющейся при радиоактивном распаде. Отметим, что температурное поле в нулевом приближении определяется не значениями плотностей радиоактивного загрязнителя в точках, а усреднёнными значениями по вертикальной координате в интервале пласта. Как будет показано ниже, усреднённое таким образом значение плотности совпадает с нулевым приближением соответствующей задачи массопереноса (см. пункт 1.5.3).
Для определения в нулевом приближении поля температур в среде, как следует из (1.4.44) - (1.4.50), необходимо задание функции плотности радиоактивного загрязнителя. Постановка этой задачи осуществлена в пункте 1.5, а её решению посвящена глава П.
Вновь, как и в задаче теплопереноса, последнее слагаемое в левой части уравнения (1.5.10) содержит сомножитель Pd который при существующих объ-ёмах закачки имеет порядок 10 , так что конвективная составляющая (вдоль координаты г) для поля концентраций оказывается много значимей, чем диффузионная составляющая. Поэтому в уравнениях (1.5.9) - (1.5.11) пренебрежём молекулярной диффузией вдоль оси г.
Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра є путём формальной замены коэффициента диффузии Д. на частное Dz/&. В соответствии с принятыми обозначениями это отвечает следующим заменам: D\ - sDlQ, DQ = D Dl - SDQ Задача (1.5.14)-(1.5.16) становится, таким образом, частным случаем (при є =1) более общей задачи, содержащей параметр асимптотического разложения как в уравнении для пласта, так и в условиях сопряжения:
Будем искать решение задачи (1.5.22) - (1.5.29), разлагая значение плотности р каждой из областей в ряд по параметру є . При этом для данных разложений асимптотические формулы с остаточным членом имеют вид Р = р(0) + 8Р(1)+... + Гр(й) + р , Pl=pi0) + 8 +...+ 8 + , (1-5.30)
Решение исходной задачи получается из решения параметризованной задачи при є=1. Подставив выражения (1.5.30) в (1.5.22) - (1.5.29) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения є , получим следующую постановку параметризованной задачи
Анализ постановки задачи показывает, что условия сопряжения (1.5.34) позволяют связать между собой решения разных приближений в пласте проводимости, "подошве" и "кровле". Это и определяет возможность "расцепления" получающихся уравнений, содержащих коэффициенты разложения соседних порядков.
Приравнивая коэффициенты при сомножителях є (нулевое приближение) в уравнении (1.5.33), получим 6- D зУ) о, (1.5.39) а, следовательно, после интегрирования - = A(r,t). (1.5.40) dz
Таким образом, в нулевом приближении плотность загрязнителя является функцией только от г и t. Далее, из условий сопряжения (1.5.34) получаем A{r,t) = 0. Следовательно, в нулевом приближении плотность загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта р = р - \r,t). Приравнивая к нулю коэффициенты при є в (1.5.33), получим +«1 + рМ-.. М. (,,41) ot г дг dz Левую часть этого уравнения, в силу вышеизложенного не зависящую от z, обозначим через E(r,t): MA + Atp 0), (1-5.42) dt г дг тогда 2.(1) 8- - = D{0E(r,t). (1.5.43) dz2 Интегрируя это уравнение по z, получим b- — = zDlE{r,t) + F{r,t). (1.5.44) dz
Повторное интегрирование позволяет представить первый коэффициент разложения в виде квадратного трехчлена относительно z, коэффициенты которого являются функциями от радиальной переменной и времени, но не зависят от z г)1 2 5. р0) = ±W-E(r,t) + zF(rtt) + Q(r,t). (1 -5.45) Задача сводится к поиску функций E(r,t), F(r,t) и Q(r,t), не зависящих от z, значения которых определяются через следы производных из внешних областей с помощью процедуры расцепления, описанной ниже. Подставляя выражения (1.5.44) при z = 1
Бездиффузионное приближение в задаче массообмена
В силу того, что отношение коэффициентов диффузии (Dz]) и температуропроводности (a = A,zl/Cjp[) является малой величиной порядка 1(Г3- 1(Г (см. (1.5.12)), появляется возможность упростить взаимосвязанную задачу теп-ломассопереноса, рассмотрев бездиффузионное приближение, суть которого заключается в пренебрежении диффузионными слагаемыми в соответствующей задаче массопереноса.
Преимущество такого подхода в значительном упрощении процедуры построения решения тепломассообменной задачи. Однако, при использовании бездиффузионного приближения необходимо разрешение вопросов, связанных с оценкой его применимости.
Рассматривая найденное нами выражение для р (2.1.52) как функцию от 5, разложим его в ряд Маклорена по малому параметру 5, причём ограничимся первыми двумя членами разложения
Относительная погрешность, возникающая при пренебрежении вторым слагаемым в квадратных скобках в выражении (2.3.4), и определяет погрешность бездиффузионного приближения p(0)(8)4(0)L jsk+Ml и,д. = 8PdJf 2Pd (2.3.8)
Анализ рис.2.9, на котором показана зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, показывает, что за время т 30 лет погрешность данного приближения на расстояниях до 0,9і?р не превышает нескольких процентов и лишь для значительных времён т 300 лет, на расстояниях больших 0,7i?p становится существенной. Причём данные результаты не зависят от среднего времени жизни нуклида.
Если при расчётах полагать, что 8 = Ю-4, то на расстояниях до 0,9RP для т 300 лет погрешность бездиффузионного приближения не превышает 5%. Это позволяет во многих практических задачах использовать данное приближение.
Кривые, приведённые на рис. 2.11 рассчитаны для значения безразмерного времени t= 10. При отсутствии диффузии уменьшение концентрации загрязнителя происходит только в результате радиоактивного распада. Поэтому в случае At = 0 плотность р постоянна па всём участке вплоть до фронта загрязнителя (положение которого задаётся функцией Хевисайда), где скачком падает до нуля (кривая 1). Вид кривых 2-4 определяется радиоактивным распадом.
Решения уравнений (2.4.2) и (2.4.3) почти ничем не отличаются от решений соответствующих уравнений в нулевом приближении, поэтому в пространстве изображений справедливы соотношения
Анализ рис. 2.12 позволяет сделать вывод о возможности пренебрежения вторым слагаемым в фигурных скобках (2.4.40) по сравнению с первым для всех практически значимых времён на расстояниях до 0.95i?d. Графики на рис. 2.12 построены для z = 0, но аналогичные результаты получаются и при других z, за исключением точек г = ±л/з/з, в которых (2.4.42) обращается в бесконечность.
Однако из рис. 2.18 следует, что для нерадиоактивных примесей р имеет большое значение и на больших расстояниях от скважины. Следовательно, наблюдавшееся на рис. 2.17 различие в быстроте уменьшения р определяется не столько диффузионными характеристиками, сколько радиоактивным распадом.
На рис. 2.19 представлена зависимость- р /р от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу загрязнения. Различные кривые соответствуют разным расстояниям вдоль вертикальной координаты в пласте. Графики построены для безразмерного времени t-З. При этом данное отношение не зависит от параметра At радиоактивного распада. Видно, что для столь незначительного времени на расстояниях г 0.8i?d вклад первого коэффициента приближения является весьма существенным.
Анализ рис. 2.20, определяющего зависимость ёр 1,0 = р /Р от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу загрязнения, в сравнении с рис. 2.19, позволяет сделать вывод об уменьшении роли р с ростом времени закачки. Графики построены для безразмерного времени ґ = 30, что соответствует размерному времени 60 лет. При этом на расстояниях до ,М Л) 0.9R вклад pv по сравнению с ру для горизонтов -0.6 z 0.6 весьма мал и составляет 3 - 5%.
Переход в пространство оригиналов для нулевого представления плотности загрязнителя
Во второй главе нами найдены решения задачи массопереноса в нулевом и первом приближениях. Анализ результатов расчётов пространственно-временных зависимостей полей концентраций вредных примесей и температур в глубоко залегающих пластах позволяет установить следующее: нулевое приближение может быть успешно использовано для расчёта средних значений концентраций вредных веществ и температуры в проницаемых пластах и с достаточной точностью описывает поля концентраций и температур в окружающих породах и зону возмущений концентрации и температуры в среде; первое приближение удовлетворительно описывает поля концентраций как в пласте, так и в окружающих породах и позволяет устранить главный недостаток нулевого приближения, то есть учесть зависимость OTZB интервале пласта.
Построенные решения для полей концентрации загрязнителя в нулевом и первом приближениях свидетельствуют о наличии погранслоев на малых расстояниях от оси скважины и малых времен, откуда возникает задача построения соответствующих погранслойных функций. Решение стационарной задачи позволило установить соотношения для предельных размеров зоны заражения.
Введённое среднеинтегральное граничное условие для первого коэффициента разложения позволило получить точное в среднем асимптотическое решение задачи, для которого в пористом пласте значение остаточного члена усреднённой задачи равно нулю.
На основании расчетов показано, что в большинстве практических случаев влиянием радиоактивного распада в окружающих пластах на плотность радиоактивных примесей в пласте и инициируемым этим распадом тепловым эффектом можно пренебречь. В то же время вклад диффузионных процессов обмена с окружающими пластами является преобладающим на диффузионном фронте, что объясняется большими градиентами концентрации и значительными временами закачки.
Показано, что для относительно малых времен при практических расчетах с высокой точностью может быть использовано так называемое «бездиффузионное» приближение, при построении которого вклад конвекции предполагается преобладающим. Произведена оценка погрешности бездиффузионного приближения, позволяющего значительно упростить выполняемые расчёты.
Сопоставление теории и эксперимента позволило подтвердить удовлетворительную точность при применении расчётных формул, полученных по методу пространственного усреднения на основе формального параметра, для практических расчётов.
Построено стационарное решение для массопереносной задачи, позволяющее установить предельные размеры зоны заражения при закачке радиоактивных отходов в глубокозалегающие горизонты.
На рис.3.1 показаны расчёты зависимости в нулевом приближении температуры в несущем пласте от времени для безразмерного расстояния г=20 (что соответствует размерному расстоянию 200 м) от оси скважины. Период полураспада изотопа полагается 30 лет. При расчётах считается, что объёмы закачки составляют 100 м3/сут. Графики построены для загрязнителя с различной активностью: 1 -0 Ки/л, 2 -0.01 Ки/л, 3 -0.05 Ки/л, 4 -0.1 Ки/л. С увеличением времени температура возрастает. Величина температуры в данной точке в каждый фиксированный момент времени тем выше, чем больше активность препарата, причём уже для среднеактивных загрязнителей рост температуры в основном определяется энергией, выделяющейся при радиоактивном распаде.
На рис.3.2 показаны расчёты зависимости в нулевом приближении температуры в несущем пласте от расстояния до оси скважины для момента времени t = 5, что соответствует размерному времени 10 лет. Период полураспада Г]/2 30 лет. Из анализа кривых следует, что при различных значениях активности загрязнителя 2 0.1 Ки/л, 3 0.3 Ки/л, 4 0.5 Ки/л на некотором расстоянии от скважины наблюдается значительный рост температуры пласта по сравнению температурой, определяемой теплофизическими свойствами закачиваемой жидкости без загрязнителя - 1 . Причём этот рост тем более значим, чем больше активность нуклида.
