Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор моделей инициации и распространения трещин гид роразрыва пласта 16
1.1 Одномерные модели 19
1.1.1 Христиановича - Гиртсма - де Клерка (KGВ) модель 21
1.1.2 Перкинса - Керна - Нордгрена (РKN) модель 26
1.1.3 Гибридная PKN - КОВ модель с фильтрационными утечками жидкости в породу 30
1.1.4 Гибридная PKN - КОВ модель с фильтрационными утечками жидкости гидроразрыва и наличием примеси пропанта 33
1.1.5 Гибридная PKN - КОВ модель с фильтрационными утечками жидкости гидроразрыва, расширенная уравнением пьезопроводности в области вне трещины и уравнением переноса пропанта в трещине 35
1.1.6 Модель радиальной трещины 37
1.2 Двумерные модели 39
1.3 Псевдотрехмерные модели 41
1.4 Трехмерные модели 42
1.5 Модели инициации трещины гидроразрыва 44
2 Моделирование напряженно-деформированного состояния 48
2.1 Внешняя задача упругости и метод ее решения 49
2.1.1 Классический МГЭ 51
2.1.2 Классический МГЭ и условие иа бесконечности
2.2 МГЭ для задач с частично вырожденной границей 55
2.3 Дуальный МГЭ для задач с частично вырожденной границей 59
2.4 Обзор способов вычисления коэффициентов интенсивности напряжений (КИНов) 61
2.5 Метод вычисления значения КИНов на основе 7-интеграла 63
2.6 Многозонный МГЭ 2.6.1 Постановка задачи упругости для нескольких подобластей 66
2.6.2 Построепие результирующей системы линейных уравнений 67
2.7 Вычисление тензора напряжений на поверхности задачи 69
3 Моделирование распространения трещины гидроразрыва в двумерной постановке 72
3.1 Двумерная модель гидроразрыва 72
3.1.1 Подзадача упругости 75
3.1.2 Подзадача течения и утечки жидкости в породу 76
3.1.3 Критерии распространения и выбора направления распространения трещины 78
3.1.4 Начальная конфигурация гидроразрыва 79
3.2 Пошаговое распространение трещины гидроразрыва 79
3.2.1 Численный метод решения нелинейной задачи распространения трещины 81
3.2.2 Численный метод решения связанной задачи «гидродинамика-упругость»
3.3 Валидация вычислительной методики путем сравнения с КОВ моделью 85
3.4 Результаты расчетов
3.4.1 Влияние угла перфорирования 87
3.4.2 Влияние длины перфорации 90 3.4.3 Влияние неравномерности напряжений залегания 91
3.4.4 Влияние трещиностойкости породы 92
3.4.5 Влияние скорости закачки жидкости 92
3.4.6 Влияние реологии жидкости гидроразрыва 94
4 Моделирование инициации трещины гидроразрыва в трех мерной постановке 96
4.1 Постановка задачи моделирования инициации 96
4.1.1 Пеобсаженная скважина 100
4.1.2 Обсаженная скважина 100
4.2 Валидация методики путем моделирования эксперимента 101
4.2.1 Моделирование эксперимента 1 103
4.2.2 Моделирование эксперимента 2 106
4.3 Инициация трещины из нерфорированной как необсаженной так и обсаженной скважины 108
4.4 Влияние формы перфорации и вертикального сжимающего напряжения на процесс инициации 112
Заключение 115
Литература
- Гибридная PKN - КОВ модель с фильтрационными утечками жидкости в породу
- МГЭ для задач с частично вырожденной границей
- Подзадача течения и утечки жидкости в породу
- Валидация методики путем моделирования эксперимента
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Технологии разработки и добычи полезных ископаемых включены в перечень критических технологий Российской Федерации1. Среди них — технологии интенсификации добычи углеводородов, главной из которых является гидравлический разрыв продуктового пласта2. Он производится при помощи закачивания под высоким давлением в перфорированную скважину жидкости гидроразрыва, которая в области перфорации инициирует зародышевую трещину. Затем жидкость, надавливая на берега зародышевой трещины, заставляет ее распространяться вглубь массива породы. Для поддержания трещины в открытом состоянии через определенное время от начала подачи в жидкость гидроразрыва добавляются твердые частицы. После утечки жидкости в породу берега трещины ложатся на упаковку из попавших в трещину частиц. Образуется высокопроницаемый канал для фильтрации углеводородов из пласта в скважину, что увеличивает выкачиваемый объем углеводородов из скважины.
Проницаемость закрепленной трещины существенно зависит от ее положения, формы и распределения вдоль нее твердых частиц. Поэтому моделирование процесса гидроразрыва пласта, позволяющее определять давление жидкости, необходимое для инициации трещины, размер, расположение и ширину образовавшейся трещины — является актуальной задачей поскольку позволяет проектировать и создавать трещины, максимизирующие добычу углеводородов.
Несмотря на то, что моделирование гидроразрыва ведется более 60-ти лет, остается ряд недостаточно изученных вопросов. Не выяснено влияние на кривизну траектории трещины в окрестности скважины всей совокупности ключевых параметров гидроразрыва: угла перфорации по отношению к направлениям действия главных напряжений, реологии жидкости гидроразрыва, скорости ее закачки и других факторов. В связи с этим актуальна как в научном, так и в практическом плане разработка более полных моделей, в которых одновременно решались бы по крайней мере три сопряженные задачи, в которых: отыскивалось течение неньютоновской жидкости в трещине, рассчитывалась упругая деформация породы и определялась возможность распространения трещины с выбором направления.
При численной реализации модели гидроразрыва актуально наличие совершенных методик решения каждой из выше перечисленных задач. Особенно следует выделить метод расчета напряженно-деформированного
хОб утверждении приоритетных направлений развития науки, технологий и техники в Российской Федерации и перечня критических технологий Российской Федерации: Указ Президента Рос. Федерации от 7 июля 2011 г. № 899 // Собр. законодательства Рос. Федерации. — 2011. — № 28. — Ст. 4168.
2Ибрагимов Л. X., Мищенко И. Т., Челоянц Д. К., Интенсификация добычи нефти — М.: Наука, 2000. — 414 с.
состояния породы ввиду того, что рассматриваемая задача упругости является внешней с частично вырожденной границей, которая в свою очередь изменяется с течением времени. Также актуальна задача совершенствования методики совместного решения указанных подзадач, образующих связанную задачу моделирования распространения трещины гидроразрыва.
Цель исследования — создание численных моделей процессов инициации трещины гидроразрыва пласта и ее распространения, а также исследование особенностей и закономерностей этих процессов.
Объектом исследований выступают инициация трещины гидроразрыва, течение жидкости в ней, напряженно-деформированное состояние в ее окрестности и распространение трещины.
Предметом исследований являются закономерности возникновения и особенности поведения трещины при разрыве пласта в зависимости от геофизических условий.
В качестве метода исследования используется методы математического моделирования, включающие в себя: математическую формулировку задачи, построение эффективного численного алгоритма решения, программную реализацию алгоритма, проведение расчетов и анализ полученных результатов.
Основные задачи, решенные в ходе достижения поставленной цели.
1. Предложена и обоснована новая двумерная постановка связанной за
дачи моделирования процесса гидроразрыва, в которой одновременно
определяются:
напряженно-деформированное состояние породы,
течение и утечка неньютоновской жидкости в трещине,
скорость и направление распространения трещины.
Предложена трехмерная постановка задачи моделирования инициации трещины из перфорированной как необсаженной, так и обсаженной скважины.
На основе метода граничных элементов предложен модифицированный метод определения напряженно-деформированного состояния породы около скважины и трещины.
Создан метод решения системы объединенных нелинейных подсистем уравнений, возникающих при решении связанных задач.
Разработано программное обеспечение для численного моделирования инициации и нестационарного распространения трещин.
Проведены исследования процессов распространения трещин гидроразрыва при реальных геофизических условиях и различных условиях закачки неньютоновской жидкости и ее реологии.
Проведены исследования инициации трещины из перфорированной как необсаженной, так и обсаженной скважины гидроразрыва при реальных геофизических условиях.
На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие четырем пунктам паспорта специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.
Пункт 1: Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.
1. Новый математический метод моделирования инициации трещин и
новый метод распространения трещин гидроразрыва, объединяющий
подмодели: напряженно-деформированного состояния породы около
скважины и трещины, течения и утечки неньютоновской жидкости в
трещине и скорости и направления распространения трещины.
Пункт 3: Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.
2. Численный методы решения внешней задачи упругости с частично
вырожденной границей, разработанный на основе метода граничных
элементов и численный метод совместного решения задач течения
неньютоновской жидкости, упругости и хрупкого разрушения.
Пункт А: Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
3. Программный комплекс CADBEM/2011, предназначенный для рас
чета напряженно-деформированного состояния произвольного упру
гого тела, созданный на основе предложенных методов и исполь
зуемый для проведения вычислительных экспериментов в филиале
ООО «Технологическая Компания Шлюмберже» в г. Новосибирске и
в ОАО «Силовые машины» «ЛМЗ» в г. Санкт-Петербурге.
Пункт 5: Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
4. Результаты моделирования процессов инициации трещины в трехмер
ной постановке и распространения трещины гидроразрыва в двумер
ной постановке и анализа влияния геофизических условий, условий
закачки неньютоновской жидкости и ее реологии на эти процессы.
Таким образом, в соответствии с формулой специальности 05.13.18 в диссертации представлены оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ.
Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем.
Впервые рассмотрена двумерная модель гидроразрыва одновременно учитывающая напряженно-деформированное состояние породы, течение и
утечку неньютоновской жидкости в трещине, скорость и направление распространения трещины. До последнего времени имелись работы, в которых рассматривались двумерные модели гидроразрыва с учетом только напряженно-деформированного состояния, скорости и направления распространения трещины3'4. Также впервые рассмотрена трехмерная постановка задачи инициации при наличии обсадной колонны. До этого имелись только работы, в которых рассматривался процесс инициации трещины гидроразрыва без обсадной колонны5'6, наличие которой является неотъемлемой частью технологического процесса гидроразрыва7.
Предложен новый численный метод совместного решения нелинейных систем уравнений возникающих при решении объединенных задач из новой модели гидроразрыва.
Создан программный комплекс на основе разработанных эффективных численных методов для решения внутренних и внешних задач упругости, в том числе и с вырожденной границей.
В рамках новой модели построены траектории распространения и раскрытия трещины гидроразрыва в зависимости от геофизических параметров и условий закачки жидкости и ее реологии. Указаны условия, при которых трещина гидроразрыва пережимается в окрестности скважины. В новой постановке рассчитаны давление жидкости, необходимое для инициации, а также положение и форма зародышевой трещины. Указано, что наличие обсадной колонны, как правило, увеличивает давление жидкости, необходимое для инициации.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается использованием в качестве основы моделирования фундаментальных законов механики твердого тела, механики жидкости, механики разрушения и выбором теоретически обоснованных численных методов, а также подтверждается хорошим согласованием результатов проведенных расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других исследователей.
Практическая ценность результатов исследования заключается в возможности использования полученных результатов в ряде прикладных областей нефтегазовой промышленности и горного дела, а также для моделирования напряженно-деформированного состояния тел, деталей и кон-
3Зубков В. В., Кошелев В. Ф., Линьков А. М. Численное моделирование инициирования и роста трещин гидроразрыва // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2007. — № 1. — С. 45—63.
4Мартынюк П. А. Особенности развития трещин гидроразрыва в поле сжатия // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2008. — №6. — С. 19-29.
6Hossain М.М., Rahman М.К., Rahman S. S. Hydraulic fracture initiation and propagation: roles of wellbore trajectory, perforation and stress regimes // J. Petroleum Sci. and Eng. — 2000. — Vol. 27, Iss. 3-4 — P. 129-149.
6Yuan Y., Abousleiman Y., Weng X., Roegiers J.-C. Three-dimensional elastic analysis on fracture initiation from a perforated borehole // Paper SPE — 1995. — No. 29601.
7Howard G. C, Fast C. R. Hydraulic fracturing. — Dallas: SPE — 1970. — 261 p.
струкций (программный комплекс CADBEM/2011, зарегистрированный в Роспатенте 27 мая 2011 г., per. Na 2011614189). Результаты диссертационной работы используются в исследованиях в филиале ООО «Технологическая Компания Шлюмберже» в г. Новосибирске и в ОАО «Силовые машины» «ЛМЗ» в г. Санкт-Петербурге, что подтверждают приложенные в конце диссертации акты об использовании научных результатов в практической деятельности.
Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика РАН Шокина Ю.И. и профессора Ковени В. М., на научном семинаре в ИГД СО РАН, а также на семи всероссийских и международных конференциях: Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» посвященная памяти академика А. А. Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения (Москва, июнь 2009); Всероссийская конференция, приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова «Математика в приложениях» (Новосибирск, июль 2009); Казахстанско - Российская международная научно-практическая конференция «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности» (Алма-Ата, сент. 2010); XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, (Красноярск, окт. 2010); X Всероссийская конференция «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, нояб. 2010); Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» посвященная 90-летию Н. Н. Яненко (Новосибирск, июнь 2011); Международная конференция «Математические и информационные технологии, МИТ-2011» (IX конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании»; Врнячка-Баня - Будва, сент. 2011).
Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах [1—15], в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций в печатных листах, в знаменателе — объем принадлежащий лично автору) 3 статьи в периодических изданиях рекомендованных ВАК [1-3] для представления основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора или кандидата наук (5.0/2.7), 1 статья в периодическом рецензируемом издании [4] (0.5/0.5), 1 — в сборнике научных статей [5] (1.1/0.8), 2 — в трудах международных конференций [6-7] (1.6/0.8), 1 свидетельство государственной регистрации программ для ЭВМ (в Роспатенте), 7 публикаций в тезисах международных и всероссийских конференций [9-15] (0.5/0.2).
Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Во всех совместных работах [1-10,12-15] автор участвовал в формулировках постановок за-
дач, создал и реализовал в виде комплекса программ численный метод для моделирования напряженно-деформированного состояния породы, провел расчеты и анализ их результатов. Также в совместных работах [2,7,9,10,12,14,15] автор участвовал в создании численного метода совместного решения задач.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Диссертация изложена на 142 страницах машинописного текста, включая 70 иллюстраций и 2 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 114 наименований.
Гибридная PKN - КОВ модель с фильтрационными утечками жидкости в породу
Обобщенная КGD модель без отставания фронта жидкости от кончика трещины описывается интегральным соотношением (2), условием (4) или (5), уравнениями (8) и (9), двух из трех краевых условий (12), (13) и (14) и начальных данных (18). Обобщенная КGD модель с отставанием фронта жидкости от кончика трещины описывается интегральным соотношением (2), условием (4) или (5), уравнениями (8) и (9), трех краевых условий (12), (16) и (17) и начальных данных (18). В отсутствии трещиностойкости породы условие (4) или (5) в модели заменяется на (6).
При некоторых упрощениях в [37] впервые были получены кривые раскрытия трещины вдоль по ее длине в зависимости от расхода жидкости в скважину. Установлено, что давление в скважине резко с течением времени уменьшается до некоторого асимптотического значения. В [54] установлено, что в отсутствии утечки (10) весь процесс гидроразрыва оказывается равновесным, т. е. в каждый момент времени он определен параметрами состояния независимо от предыстории.
КОВ модель включает в себя механику трещиностойкости породы (4). В [55] показано, что при больших временах трещиностойкость влияет исключительно на профиль раскрытия крыла трещины около кончика.
Концепция отставания жидкости от кончика трещины является важным элементом механики кончика трещины (15). В работах [56-58] отдель но рассмотрено это явление и установлено, что наличие отставания фронта жидкости от кончика трещины влияет исключительно на профиль раскрытия крыла трещины около его кончика.
Также в [55] получено, что при больших временах развития трещины ее поведение в основном определяется величиной утечек жидкости гидроразрыва в породу.
Отметим, что в работе [48] было предложено более реалистичное представление жидкости гидроразрыва как неньютоновской со степенной реологией (псевдопластическая жидкость). В таком случае уравнение количества движения (8) принимает вид dpnet= 2-+1(2П+1)- f, где п — показатель степени закона связи напряжений со скоростями деформации. В такой постановке без запаздывания фронта жидкости в [49] были найдены автомодельные решения и получено, что увеличение показателя п приводит к увеличению скорости расиространения трещины гидроразрыва.
Перкинс и Керп [41] предложили иную концепцию гидроразрыва, отличающуюся от предложенной в KGD модели. У них трещина гидроразрыва имеет постоянную высоту Я, которая значительно меньше длины трещины 2L, как показано на рис. 5. При таком допущении деформацию породы можно рассматривать в каждом вертикальном сечении х = const изолированно, как плоское напряженно-деформированное состояние. Тогда предполагая постоянство избыточного давления pnet внутри каждого вертикального сечения х = const трещины, получим эллиптический профиль раскрытия трещины в этом сечении [38]
В силу указанных предиоложений для каждого сечепия выполняется соотношение (20), из которого следует следующая связь между максималь A-A_
Геометрическая концепция PKN модели: в вертикальных плоскостях х = const, перпендикулярных к плоскости трещины, в условиях плоской деформации сечения трещины принимают эллиптическую формуным раскрытием трещины Wmax и избыточным давлением pnet в сечении х = const
Таким образом в модели Перкинса и Керна форма профиля раскрытия трещины пе зависит от времени и весь процесс гидроразрыва является равновесным.
Недостатками модели Перкинса и Керна [41] являются отсутствие в ней утечек жидкости в породу через стенки трещины, невозможность описывать изменение объема трещины и определять ее длшну. Они были исключены Нордгреном [42], который добавил к уравнениям Перкинса и Керна нестационарное уравнение неразрывности течения несжимаемой жидкости
Таким образом в нестационарную PKN модель входят уравнения неразрывности (28) и количества движения (31) для жидкости, а также упругое соотношение между максимальной шириной трещины Wmax в сечении х = const и избыточным давлением в этом же сечении pnet (21)- Подстановка выражения для p„et из (21) в уравнение (31) дает связь между локальным расходом Q и максимальной шириной W„
Благодаря усовершенствованию Пордгрена PKN модель дала зависимости длины трещины Х, ширины трещины Wmax и давления pnet на скважине от времени развития трещины. В общем случае эти зависимости могут быть получены численно. Если же рассматривать предельные случаи, то можно найти указанные зависимости в явном виде. Для случая больших утечек или больших времен развития гидроразрыва в [42] выведены формулы
В PKN модели трещиностойкость породы не учитывается. Всегда считается, что жидкость гидроразрыва заполняет всю трещину вплоть до кончика. В кончике трещины не возникает сингулярных напряжений. Таким образом в модели PKN механика кончика трещины не рассматриваются.
Учет псевдопластической реологии в модели PKN (аналогично как и в модели КОВ (19)) оказался весьма сложен [59] и не получил расиространения.
В [60, 61] рассмотрена одномерная модель гидроразрыва, геометрическая концепция которой взята из КСВ модели, а связь избыточного давления в трещине с её шириной в виде простейшего алгебраического соотношения позаимствована из PKN модели (21). Для этого авторы проинтегрировали соотношение (20) но z от —Я/2 до Я/2 и получили равенство между нлощадью поперечного эллиптического сечения А и избыточным давлением в сечепии pnet
Затем считая вертикальное поперечное сечение трещины прямоугольным с шириной W и высотой Я, авторы воспользовались уравнениями движения жидкости, иолученными для KGD модели: уравнением неразрывности (9) и уравнением количества движения (8), характерными для течений между параллельными разнесенными на расстояние W иоверхностями.
Здесь мы не касаясь вопроса о физической обоснованности такой гибридной модели обратим внимание на усложнения, используемые в ней.
Тогда для использования уравнений из модели KGD используется не максимальное раскрытие Wmax трещипы, а осредпенпое по высоте раскрытие W W = Wmax J (40)
Геометрия KGD модели обусловила в гибридной модели вид уравнений неразрывности (9) и количества движения (8) для жидкости, характерный для течений между параллельными поверхностями.
Закон Картера утечки жидкости (10) в этой модели заменен поршневым механизмом проникновения жидкости гидроразрыва в породу. Таким образом считается, что порода в окрестности трещины иронитывается жидкостью гидроразрыва на глубину
МГЭ для задач с частично вырожденной границей
Для бесконечных оГэластей, таких, как упругое нространсгво. имеется точное аналитическое решение (так называемая функция влияния) от действия единичного разрывного смещення, Применяя принцип суперпозиции и функцию влияНИЯ, В МГЭ находят такие разрывные смещения, прикладываемые в бесконечной области на воображаемой границе тела, которые обеспечивают удовлетворение 1раничных условий заданного ограниченного тела. Следовательно мс10д разрывных смещений является непрямым, так как СЛАУ строится относительно не существушщих в действительности разрывов смсщений. Однако их лишейные комбинации определяют реальные смещения па границе поставленной задачи. Следует отметить, что конструирование фундаментальных решений для криволшнейных разрезов затруднительно, и в качестве основного рассматривается плоский разрез [93]. Следовательно, порядок и качество аипроксимадии границы задач]і являются низкими.
Таким образом, напболее 1Кдходящнм для задачи раснространення трещины является ДМГЭ. свободный от перечисленных выше недостатков. Основная его идея заключается в построении дополнительного уравнения для напряжении на вырожденном участке границы. Остановимся па его построении подробноСуть дуального МГЭ заключается в конструировании к интегральному уравнению дли смещении дополнительного интегрального граничного уравнения на вырожденной части границы 5і [94]. Дополнительное уравнение получается из фундаментального решения для напряжений в предположении симметричности напряжений на противоположных берегах трещины.
Введем обозначения па вырожденной границе S± Au;(x) = m{x+)-U,{x), :?(x) = ti(x+)+t;(x-) = 0. Здесь Ащ - разрыв смещений на разрезе. Таким образом, величина ширины трещины W совпадает с Ащ{ х)щ{х). Е Де х - координата границы 5і. Заметим, что имеющиеся ограничения в дуатыюм МГЭ не является достаточно существенными, так как задача упругости при распространении трещины гидроразрыва будет рассматривается в отсутствии касательных напряжении на 8±.
Выпишем интегральное уравнение для смещений на S : е,;(х )«,(х ) = I Uu(X\x)Lj(x)dS(x) / .;(х х) (х) 5(х) S S (98) - / Tl:i( .x)Au:i(x)dS(x). # S\ s Это уравнение связывает величину смещении на границе S со значениями смещений и напряжений на регулярной границе и значениями разрыва смещений па вырожденной границе. Выпишем аналогично уравнение для смещений на S+:
Это уравнение связывает величину смещений па границе S4" со значениями смещении и напряжений па регулярной границе и значениями разрыва смещений па вырожденной границе. Затем добавим дополнительное интегральное уравнение для напряжений, которое можно получить из фундаментального интегрального соотношения для напряжений:
Уравнение (100) связывает велипину напряжений на границе Ш со значениями смещений и напряжений па регулярной границе и значениями разрыва смещений па вырожденной границе.
Дополнительное уравнение (100) имеет большую степень сингулярности нежели интегральное уравнение для смещений (98) и (99). В нем приходится иметь дело с интегралами с сильными особенностями и рассматривать их в смысле Коши (сингулярность вида - г"1) и Адамара (сингулярность вида fv. г"2). Второй интеграл в (98) и третий интеграл (99) вычисляются в смысле главного значения Коши, а последний интеграл в (100) вычисляется в смысле главного значения Адамара.
Заметим. что уравнения (98) и (100) образуют замкнутую систему интегральных уравнений относительно ІХЩ на 5" и Щ на 5 . Поэтому предлагается следующая упрощающая модификация дуального МГЭ. В расчетах используются только два уравиепия (98) и (100), откуда уже можно найти ширину трещины Ж для модели распространения трещины 1идроразрыва. Такая модификация, очевидно, значительно сокращает объем потребных вычислений, ввиду того, пго количество интегральных уравнений для аппроксимации сокращается. Заметим, что тогда не требуется аппроксимации функций на S+. В случае же необходимости по иайденным значениям Ли,; па S и щ на 5 используя (99) можно найти щ на
Таким образом, наиболее оптимальным с точки зрения вычислительных затрат и удобства Сго применения к задаче распространения трещины является дуальный МГЭ.
Для описания распространенпя трещины согласно теории хрупкого разрушения требуется вычислить значения коэффициентов интенсивности напряжений (КМНов) в копчике трещины. Существует множество способов вычисления КИНов. Условно все эти способы можно разделить на три группы: интерполяцпя по значениям разрывов смещений на трещине в окрестности кончика, ипгерполяция но значениям папряженип внутри расчетной области в окрестности кончика и интегральные способы.
Первая группа вычисления КИНов основывается на представлении компонент смещений в окрестности кончика плоскоп трещины. В двумерном случае смещения в локальной системе координат связанной с кончиком 6]
Очевидно, что при применении формулы (ЮЗ) непосродственпо в кончике Нли близкo к нему не даст значения КИНов. Поэтому предлагается рассматривать несколько точек вдали от кончика па трещине и интерполировать значения КИНов из них н кончик. На сегодняшний день предложено большое количество таких методик [96-981- Однако такой подход обладает существенными недостатками, гак как требует максимально верного воснроизведения иоведеиня компонент смещени1 %і у кончика трещины. Поэтому такая техника требует применения специального граничного элемента у кончика трещины. Как показывает пракгика, особенно на сильно изогнутых трещинах. получается высокая погрешность oпределения Кц. Вторая группа вычисления КИНов основываеття на представлении компонент тензора ианряженпй в окрсстностн копчика плоскоп трещины 99,100]. В двумерном случае смещения в локальной системе координат
Подзадача течения и утечки жидкости в породу
Такие значения напряжений соответствуют геофизическим условиям характерным для Приобского нефтянного месторождения (Ханты-Мансийский АО, РФ). Данное состояние породы считается исходным и ему сопоставляются в модели нулевые смещения. Потом производится бурение скважины вдоль оси z. После окончания бурения в скважину плотно вставляется обсадная колонна в случае ее наличия. При этом стенки скважины и стенки обсадной колонны нагружены давлением бурения Pd = 67 МПа. Затем создается (образуется полость) перфорация в горизонтальной плоскости ху. Далее производится закачка жидкости гидроразрыва в скважину до тех нор пока не произойдет инициация трещины. Требуется найти давление инициации Piniti т. е. давление при котором образуется зародышевая трещина, а также место возникновения зародышевой трещины.
Считается, что порода и материал обсадной колонны (сталь) являются линейными упругими средами. Тогда свойства породы характеризуются модулем Юнга Е = 20.7 ГПа и коэффициентом Пуассона v = 0.27, что соответствует породам Приобского нефтянного месторождения (Ханты-Мансийский АО, РФ). Сталь характеризуется модулем Юнга Е = 200 ГПа и коэффициентом Пуассона v = 0.3. Рассматривалась статическая задача упругости. Следовательно поведение породы и обсадной колонны описывается уравнениями упругого равновесия (77).
В качестве критерия разрушения иредложено было использовать силовой критерий, т.е. превышение максимальным растягивающим напряжением в породе прочности на разрыв ас = 3.5 МПа. Случай разрушения стальной колонны не рассматривался ввиду, того что прочность стали на разрыв очень велика ас 60 МПа. В силу принципа максимума критерий проверялся исключительно на поверхности 5 решаемой задачи. На поверхности задачи вычислялся тензор напряжений &ij, затем вычислялись его главные значения а і О-Ї щ Напряжение а3 сравниваюсь с ас породы. Тонки поверхности В, в которых максимальное растягивающие напряжение 7;з превосходило напряжение разрушения ас, образовывали зоны разрушения. Критическое давление жидкости при котором возникают зоны разрушения считалось давлением инициации Ріпц. Ясно, что как правило, силовой критерий выполняется только в одной точке поверхности S. Поэтому месторасположение и форма зоны разрушения исследовалось ніш
Давлении жидкости несколько большем ЧЄМ Давление ИНШЩаТіИИ Pinit Предлагается следующая методика построения зародышевой трещины. Для ее построения выделяются зоны разрушения при давлении нагруже-ния большем, чем давление инициации Рш. Используя информацию о па-правлении действия растягивающих напряжений вдоль по зоне разрушения строится срединная .линия, которая образует основание зародышевой трещины. Затем строя перпендикуляр к поверхности с зоной разрушения определяется фронт зародышевой трещины. Длина перпендикуляра в каждой точке основания трещины пропоріцтональна превышению растягивающим напряжением $$ критического ас. как показано на рис 43.
Таким образом., для точної -о описания зародышевой трещины выделяется два коэффициента: коэффициент превышения давления инициации Р+ и коэффициент максимального удлинения трещины L{]. Регулируя величину Р+ можно варьировать размеры основания зародышевой трещины. а изменяя величину L{) можно варьировать величину приращения зароды шевой трещины. Такая методика представляется более совершенной при практическом применении, чем методика построения зародышевой трещины в форме диска заданного радиуса LQ.
Рассматривалась следующая геометрическая концепция, схематично изображенная слева, на рис. 44. Скважина моделируется полостью в форме цилиндра диаметра D = 10 см достаточно большой высоты В = 10 м. Перфорация моделируется полостью в форме цилиндра длины L = 10 см и диаметра d = 2 ем затупленного на сферу. Перфорация ориентирована в горизонтальной плоскости ху под углом $ к оси х. и ось перфорации пересекает ось скважины. Перфорация расположена строго по центру скважины.
В постановке задачи при наличии обсадной колонны считается, что в полость скважины плотно вставлена стальная труба высоты Щ = 9.5 м толщиной h — 5 шт. Труба расположена симметрично по высоте в скважине и имеет отверстие диаметра d в месте расположения перфорации.
Так как постановка задачи упругости в случае псобсажеппой и обсаженной скважины значительно различаются опишем их отдельно. 4.1.1 Необсаженная скважина
Для определения напряженно-деформированного состояния породы необходимо решить задачу, изображенную в центре (подзадача 1) на рис. 44, где на всей поверхности скважины и перфорации задаются следующие напряжения
Для определения напряженно-деформированного состояния породы после бурения скважины необходимо решить задачу о предварительном на-гружении, изображенную в центре (подзадача 1) на рис. 44. В этой задаче на всей новерхности скважины и перфорации задаются следующие напряжения td = -Pdn + сгп. (150)
Решение этой подзадачи рассматривается отпосительно исходного иред-сжатого состояния породы напряжениями залегания (147).
Рассмотрим момент после установки обсадной колонны, пока давление в скважине равно давлению бурения. Поскольку жидкость между обсадной колонной и скважиной действует на обе стороны с одинаковым давлением, то ее воздействие можно заменить условием полной сцепки (11З) между стенками скважины и обсадной колонны. В этот момент они будут действовать друг на друга с тем же давлением Р . Для определения изменения напряженно-деформированного состояния породы и обсадной колонны при увеличении давления жидкости необходимо решить задачу о нагружении, изображенную справа (подзадача 2) на рис. 44. В этой задаче на всей поверхности стальной колонны и перфорации задаются следующие папряжения tA = -(PРPd)n, (151) которые соответствуют изменению давления в скважине. Все остальные поверхности свободны от напряжений, так как после установки обсадной колонны напряженно-деформированное состояние не изменилось. Тогда реальный тензор напряжений в породе определяется как где о\ — тензор напряжений вычисленный при решении подзадачи 1 и а\5 — тензор папряжений вычисленный при решении подзадачи 2.
Валидация методики путем моделирования эксперимента
Треугольный квадратичный граничный элемент строится по шести базовым точкам (М = 6), как показано на рис. 61. Геометрия элемента представляется поверхностью криволинейного треугольника. Функции на элементе аппроксимируются квадратичным образом. В таком случае интер полирующие функции фт равны:
Четырехугольный билинейный граничный элемент строится но четырем базовым точкам (М = 4), как показано на рис. 62. Геометрия элемента представляется поверхностью криволинейного четырехугольника. Функции на элементе аппроксимируются линейным образом вдоль каждой из локальных координат 6 и 6- В таком случае Интерполирующие функции фт равны: 0і(ь&) = 4&-Щ2-1),
Четырехугольный биквадратичный граничный элемент строится но девяти базовым точкам (М = 9), как показано на рис. 63. Геометрия элемента представляется поверхностью криволинейного четырехугольника. Функции на элементе аппроксимируются квадратичным образом вдоль каждой из локальных координат i и ь В таком случае интерполирующие функции фт равны:
Программный комплекс САDBEM предназначен для расчета напряженно-деформированного состояния тел (как внутренней задачи упругости, так и внешней) под действием внешней нагрузки, объемных гравитационной и центробежной нагрузок.
Расчет нанряженно-деформированного состояния проводится методом граничных элементов (МГЭ) с различной аппроксимацией геометрии тела или полости, а также с различной аппроксимацией функций на поверхности тела или полости. Аппроксимация как геометрии, так и функций на иоверхности определяется типом граничного элемента. Используются изо-параметрические граничные элементы описанные в приложении А.
Исполняемый файл bemSd используется для проведения расчетов с исиользованием входных файлов .bpi, .bpo, .bpe. Для встраивания программы CADBEM в сторонний программный комплекс используется библиотека libbemol.a, которая содержит все необходимые процедуры и функции, с файлом заголовков libbemol.mod. В папке /test содержатся примеры выполненных расчетов, в том числе расчет изолированной лопасти рабочего колеса.
Программный комплекс CADBEM написан на языке fortran2003 и для его компиляции требуется установлепный компилятор фортрана поддерживающий синтаксис fortran2003 с использованием библиотеки ОрепМР. Отметим, что комплекс является кроссплатформенным, т. е. может использоваться в разных операционных системах. В построенном МГЭ выделяется две основных фазы решения задачи упругости — построение коэффициентов в СЛАУ путем интегрирования и собственно решения СЛАУ. Процесс интегрирования рассиараллелен по разным потокам при помощи библиотеки ОрепМР [Н0]. В качестве методов решения СЛАУ используется методы обобщенных минимальных невязок [111] и метод быстрого раснараллеле-ного Ш-разложения [112].
Отметим, что также создана программа графического интерфейса, для использования совместно с программным комплексом CADBEM/2011, написанная на языке программирования С++ с использованием библиотеки функций Qt. Отметим, что программа графического интерфейса также является кроссилатформенной. Скриншот графического интерфейса этой программы приведен на рис. 64.
В качестве примеров расчетов выбраны две серии расчетов консольной балки и типовый расчет изолированной лопасти рабочего колеса.
Погрешность в этих расчетах получается близкоА к машинноп погрешпости, т.е. закон Гука удовлетворяется гочно. Задача о консольной балке
В пайке /text егть две папки /beaml и /Ьеam2. В папке /beaml содержатся пять постановок задачи о консо ьпоП банке с использованием трсугольных и четырехугольных граничных элементов первого порядка, а в нанке /beam2 - второго порядка. Для каждого тина элементов по пять постановок отличающихся измельчением сетки. В каждой из папок содержится пакетный файл для запуска, расчета beaml. sh и beam2. sh соответственно. Для выполнения расчета можно их запустить ./test/beaml/beaml.sh ./test/beaml/beam2.sh Пакетные файлы скопируют исполняемый файл из директории /bin и поеледовательно запустят па расчет все файлы постановок задач .bpi.
Математическая посгаповка задачи заключается в снедующем. Рассматривается батка квадратного сечения, нагруженная сверху давлением Р = 1 МПа. Геометрические параметры балки: длина L = 640 мм. сторона квадрата п — 64 мм. Материал, из которого сделана балка, имеет следующие характеристики: модуль Юн!а Ш = 200 ГПа, коэффициент Пуассона и = 0.3, что соответствует стали. Левый торой, стержня защемлен. Остальные поверхности счержня свободны от напряжений, как показано на рис. 67.
В первой последовательности сетки состоят из 42, 168, 672. 2688 четырехугольных билинейных элементов (левый ряд на рис. 68 стева: обозначим такие элементы Q). Во второй последовательности сетки состоят из 84, 336, 1344, 5376 треугольных линейных ЭЛементоВ (правый ряд на рис. 68 слева: обозначим такие алементы Т). Проведя расчет как было описано выше получим следующую картину распределения вертикатьиых смещений, изображенную на рис. 68 справа.
Математическая постановка задачи за7 :лючается в следующем. Верхний торец изолированной лопасти жестко защемлеп. нижний торец лопасти свободен от напряжений. На рабочую и тыльную стороны лопасти действует гидравлическая нагрузка, как показано на рис. 69. Также лопасть подвержена действию гравитационной и центробежной объемных нагрузок.
