Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные представления о гидравлическом разрыве пласта 4
Глава 2. Гидродинамическое моделирование системы «пласт-трещина гидравлического разрыва".
2.1. Способы учета трещин ГРП при моделировании 14
2.2. Описание математической модели 19
2.3. Формулировка уравнений фильтрации 22
2.4. Построение гидродинамической модели элемента системы разработки со скважиной, пересеченной трещиной гидроразрыва 30
Глава 3. Исследование влияния параметров трещины ГРП на динамику обводнения скважины 34
Глава 4. Применение теории планирования эксперимента для оптимизации параметров трещины гидравлического разрыва пласта.
4.1. Методы теории планирования эксперимента 43
4.2. Статистические тесты для проверки качества построенной поверхности отклика. Критерий значимости регрессии 54
4.3. Оптимизация параметров трещины.
4.3.1. О необходимости оптимизации забойного давления в скважине, вскрывающей залежь легкой насыщенной нефти 58
4.3.2. Постановка задачи 61
4.3.3. Описание расчетных элементов 63
4.3.4. Построение поверхности отклика 65
Заключение 74
Список литературы
- Описание математической модели
- Построение гидродинамической модели элемента системы разработки со скважиной, пересеченной трещиной гидроразрыва
- Статистические тесты для проверки качества построенной поверхности отклика. Критерий значимости регрессии
- О необходимости оптимизации забойного давления в скважине, вскрывающей залежь легкой насыщенной нефти
Введение к работе
На современном этапе в нефтяной промышленности широкое распространение получило компьютерное моделирование процессов многофазной фильтрации, позволяющее осуществлять проектирование разработки на принципиально новом уровне. Разработка запасов углеводородов в настоящее время немыслима без создания геологической и гидродинамической модели месторождения, которые развиваются и усложняются по мере получения новых знаний и сведений о строении залежей, свойствах флюидов, геолого-физических характеристиках нефтеносных пластов. На основе этих моделей осуществляются многовариантные расчеты, целью которых является оптимизация технологических и экономических показателей разработки. В связи с ухудшением качества вводимых в разработку запасов приходится проектировать и моделировать методы увеличения нефтеотдачи, как например гидравлический разрыв пласта (ГРП), позволяющий увеличивать продуктивность скважин, вскрывающих низкопроницаемые пласты. Скважина, пересеченная трещиной ГРП, и нефтяной пласт представляют собой единую систему, в которой происходят сложные фильтрационные процессы, моделированию которых необходимо уделять повышенное внимание.
Целью данной работы является оптимизация параметров трещины гидравлического разрыва пласта в системе разработки на основе математического моделирования многофазной фильтрации.
Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:
построение детальной модели скважины, пересеченной трещиной гидроразрыва пласта;
исследование влияние параметров трещины гидроразрыва пласта на технологические показатели разработки;
оптимизация параметров трещины ГРП с применением теории планирования эксперимента и математического моделирования.
Объектом исследования являются процессы многофазной фильтрации вблизи скважин, пересеченных трещинами гидравлического разрыва пласта.
Метод исследования. Для решения поставленных задач используются основные представления подземной гидромеханики, теории фильтрации, теории разработки нефтяных и нефтегазовых месторождений, вычислительной математики, теории планирования эксперимента.
Научная новизна работы состоит в следующем:
На основе детального моделирования исследован эффект ориентации и полудлины трещины гидроразрыва на показатели разработки в рядных системах заводнения.
На основе детального моделирования обосновано существование оптимального забойного давления на добывающей скважине с трещиной ГРП, эксплуатирующей залежь легкой насыщенной нефти.
Разработана вычислительная процедура для оптимизации параметров трещины гидроразрыва в условиях трехфазной фильтрации нефти, газа и воды.
Практическая значимость данной работы заключается в следующем:
Получены количественные оценки эффекта ориентации и полудлины трещины гидроразрыва на технологические показатели разработки.
Даны рекомендации по обоснованию полудлины трещины ГРП и забойного давления при эксплуатации низкопроницаемого пласта.
Дано обоснование величины забойного давления в добывающей скважине с трещиной гидроразрыва, эксплуатирующей низкопроницаемую залежь легкой насыщенной нефти.
С использованием разработанной процедуры рассчитаны параметры и режим эксплуатации скважин с трещинами ГРП (полудлина и забойное давление) в Ачимовской толще для Технологической схемы разработки Ярайнерского месторождения Западной Сибири.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях: «Молодежная наука - нефтегазовому комплексу» (Москва, РГУ НГ им. И.М.Губкина, март 2004 г.), 9-ой Европейской конференции по применению математики в нефтедобыче ECMOR (Канн, 30 августа-2 сентября 2004 г.), а также на семинарах Научно-технического центра ОАО «Русснефть», Департамента планирования разработки месторождений ОАО «Сибнефть» и на.научном семинаре кафедры Прикладной математики и компьютерного моделирования РГУ НГ им. И.М.Губкина.
Публикации. По теме работы опубликовано 5 печатных работ, из них 2 в материалах научных конференций, 2 статьи и 1 учебное пособие.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объем работы составляет 95 страниц и включает в себя 17 рисунков и 8 таблиц. Список литературы содержит 87 наименований.
Описание математической модели
Гидродинамическая модель элемента системы разработки, содержащего скважину, пересеченную трещиной ГРП была построена в программном комплексе Eclipse, который представляет собой программу для моделирования трехфазной трехмерной фильтрации, так называемая модель «black oil», с возможностью моделирования газоконденсатов. Программа может использоваться для моделирования одно-, двух- и трехфазных систем. Двухфазная фильтрация (в системе нефть-вода, нефть-газ или газ-вода) рассчитывается как двухкомпонентная система, что позволяет сохранять и компьютерную память и время. Вдобавок к растворению газа в нефти, которое моделируется при помощи различного давления насыщения или растворимости газа в нефти, в программе можно учитывать испарение нефти в газ, задавая различные значения точки росы или растворимости нефти в газе.
Что касается геометрии сетки, в программе можно использовать как геометрию угловой точки, так и традиционную блочно-центрированную схему. Использование геометрии угловой сетки позволяет создавать очень сложные сетки для реалистичного представления геологического строения пласта. Эта возможность особенно важна при моделировании пластов с многочисленными разломами. Сетка может быть искривлена по площади вдоль линии разлома и смещена по вертикали в случае сложных сбросов. Получающиеся в результате несоседние соединения между ячейками обрабатываются автоматически.
Система уравнений решается полностью неявным методом для обеспечения сходимости уравнений на долгих временных шагах. Особое внимание уделяется проверке точности решения нелинейных, полностью неявных уравнений путем доведения всех невязок до очень маленьких величин. Ошибки уравнения материального баланса (суммы невязок) чрезвычайно малы. Для решения нелинейных уравнений используется метод Ньютона. Якобиан системы уравнений полностью расширяется для всех переменных для того, чтобы обеспечить квадратичную (то есть быструю) сходимость. Для ускорения сходимости в случае очень нелинейных задач используются различные специальные методы. Линейные уравнения, возникающие на каждой ньютоновской итерации, решаются одновременно с использованием алгоритма гнездовой факторизации, ускоренного процедурой Orthomin. Гнездовая факторизация - это быстрый итеративный метод, предназначенный для решения больших разреженных систем линейных уравнений. Этот метод сохраняет материальный баланс на каждой итерации, поэтому ошибки могут возникнуть только лишь в случае нелинейности. Внедиагональные элементы, возникающие в случае несоседних соединений, включаются в процедуру факторизации и вследствие этого обрабатываются крайне эффективно. Вычислительные издержки увеличиваются лишь немного быстрее, чем число активных ячеек (N ) по сравнению с прямыми методами (N ). Учитывая все вышеизложенное, метод гнездовой факторизации особенно хорошо подходит для решения задач большой размерности.
На каждой итерации метод выбирает новое «направление поиска» (приближенное решение). Процедура Orthomin, минимизирующая сумму »квадратов невязок, обеспечивает ортогональность каждого нового направления поиска предыдущим направлениям. Таким образом, возникает необходимость хранения этих предыдущих направлений. К счастью, обычно необходимо сохранять лишь несколько последних направлений. Кроме того, количеством сохраняемых направлений пользователь может управлять, задавая требуемое значение.
Обычно полностью неявные методы используются для исследования подтягивания конуса воды, при котором через небольшую ячейку вблизи забоя скважины могут проходить большие объемы жидкости за один временной шаг. Такие методы, как IMPES и частично-неявные методы, не могут использоваться для подобных задач без уменьшения временного шага до очень маленьких значений. При использовании полностью неявных методов возникающие линейные уравнения сильно связаны между собой, и эффективно решать их могут только одновременные методы, а не простые последовательные методы. Некоторые прямые методы могут успешно справляться с аналогичными задачами небольшой размерности, в то время как итеративные методы, решающие задачи большой размерности, обычно имеют проблемы со сходимостью. Поэтому многие пакеты гидродинамического моделирования не могут применять полностью неявные схемы для решения задач большой размерности. В Eclipse эти ограничения сняты благодаря использованию алгоритма гнездовой факторизации, эффективно и надежно решающего задачи большой размерности.
Построение гидродинамической модели элемента системы разработки со скважиной, пересеченной трещиной гидроразрыва
Рассматривается вытеснение нефти водой от нагнетательной к добывающей скважине в тонком однородном пласте для элемента пятиточечной системы расположения скважин. Моделируемый элемент представляет собой квадрат со сторонами длиной 600 м, соответственно расстояние между скважинами - 850 м. Размерность сеточной области в плоскости XY составляет 173 х 138 ячеек, рис. 2.1.
Гидроразрыв в добывающей и нагнетательной скважине моделируется явно. По мере удаления от скважины размер ячеек увеличивается по логарифмическому закону, от 0,005 м до 5 метров. Разностная сетка измельчалась в тех районах, где фильтрация происходит с наиболее высокими скоростями, наблюдаются самые искривленные линии тока и требуется быстрый пересчет значений насыщенности: вблизи ствола скважины и вблизи конца трещины. Особенного внимания заслуживает тот факт, что скважины размещаются в угловых ячейках, имеющих линейные размеры 0,005 м, и вследствие этого имеют радиус 0,001 м. Это значение, конечно же, отличается от фактической величины, которая обычно изменяется в диапазоне 0,1 - 0,2 м, поэтому возможность подобного допущения необходимо будет обосновать. Пористость и проницаемость заданы постоянными, пористость равна 20%, проницаемость пласта равна 0,005 Дарси, мощность пласта - 9 метров. Рассматриваемая трещина ГРП характеризуется следующими параметрами - раскрытие 0,01 м, полудлина 100 и 200 метров, проницаемость - 200 Дарси. Для пласта и трещины заданы разные относительные фазовые проницаемости, рис. 2.2. Кривые относительных фазовых проницаемостей в трещине имеют диагональный вид и те же концевые точки, что и кривые для пласта.
Прежде всего, полученные результаты необходимо было протестировать, чтобы убедиться в возможности их использования. В качестве эталона принималась оценка дебита жидкости после ГРП при установившейся фильтрации по аналитической формуле, полученной в работе [16]. Во-первых, как уже упоминалось выше, необходимо было сравнить дебиты жидкости для скважин, радиусом 0,1 и 0,001 м. Во-вторых, требовалось сравнить аналитические и численные результаты. В таблице 2.2 приводятся все эти значения, рассчитанные для трещин различной полудлины в режиме установившейся фильтрации. При расчете по формуле принималось, что проницаемость пласта равна 0.001 Д, трещины - 200 Д, вязкость нефти составляет 2.2 сП, об ъемный коэффициент - 1.2. Как мы видим, дебит жидкости, вычисленный для скважин радиусом 0.1 и 0.001 м, практически совпадает, а различие между аналитическими и численными результатами не превышает 6%, что позволяет нам использовать в дальнейшем исследовании численное моделирование, размещая при этом скважину в ячейке размером 0.005 х 0.005 м.
Итак, в предыдущей главе было дано описание моделируемых элементов системы разработки и обоснована их применимость. Теперь на основе этих моделей можно исследовать влияние параметров трещины ГРП на динамику обводнения и обводненность скважины в зависимости от ориентации трещин ГРП.
В настоящее время гидравлический разрыв все чаще используется в качестве способа заканчивания скважины, вскрывающей низкопроницаемый пласт. В связи с этим важно помнить о том, что при рядной системе размещения скважин и неблагоприятной ориентации трещин, в нагнетательной и добывающей скважине они могут быть направлены одна навстречу другой.
Чтобы продемонстрировать, насколько важным параметром при планировании массированного гидроразрыва пласта может оказаться направление трещин, в данной работе рассматривались два взаимоисключающих случая. В первом трещины были направлены вдоль рядов скважин, расстояние между концами трещин было равно 721 м для трещин с полудлиной 100 м и 632 м для трещин с полудлиной 200 м, рис. 3.1.
Статистические тесты для проверки качества построенной поверхности отклика. Критерий значимости регрессии
Целью этого теста является определение наличия линейной зависимости между откликом у и набором переменных xj, Х2, ... Хк. Проверяются следующие гипотезы: Но: Ъх=Ъг =... = Ьк=0 Hi: bj О по крайней мере для одного/ Отвергая гипотезу Н0, мы тем самым принимаем, что по крайней мере одна из переменных объясняет изменчивость отклика у, и поэтому модель адекватна.
Этот тест предлагает разделить общую сумму квадратов, которая, как предполагается, представляет собой общую изменчивость отклика, на два слагаемых: сумму квадратов модели, отвечающую за изменчивость, описываемую моделью, и сумму квадратов ошибок, которая представляет изменчивость, не описываемую моделью. В результате получается: s„=ssK+sss = ±(уі-у)г=±(уІ-уІ+уІ-у)г=±(уІ-у)г+±(уі-уІ)\ (4.10) (=1 1=1 ;=1 1-1 " где у = — "Y y, - оценка математического ожидания отклика. И,=1 _SSR/(p-\)_MSR
Согласно гипотезе Но, статистика F0 = —+--—т = —- (4.11) SSE/(n-p) MSE имеет распределение Фишера ср-1 и п-р степенями свободы.
Вероятность а выбрать гипотезу Hi, когда верна гипотеза Но, фиксируется экспериментатором (обычно выбирается равной 5%), и сравнивается с вероятностью, соответствующей Fo с заданными степенями свободы в таблицах распределения Фишера. Если эта вероятность меньше, чем а, тогда гипотеза Н0 отвергается и регрессионное уравнение считается значимым. Эта процедура называется вариационным анализом.
Оценка качества воспроизведения модели описывается коэффициентом множественного определения: R = JL = 1-E_ (412) S S УУ УУ
К несчастью, R2 сильно зависит от модели и не подходит для сравнения двух моделей, особенно если количество членов в уравнениях различно. Например, использование R2 автоматически увеличивается при добавлении количества коэффициентов уравнения, даже если эти члены незначительны. Чтобы избежать этих проблем, можно использовать приведенную оценку: , SSj(n-p) - - м лг (4ЛЗ) R2 и Rod/ позволяют оценить качество модели, то есть насколько хорошо регрессионная модель аппроксимирует значения в экспериментальных точках. Однако нам необходимо также корректно прогнозировать отклик во всей области определения функции. При этом не всегда уравнение, полностью воспроизводящее значения в точках проведения эксперимента, будет давать хорошие прогнозы. Например, насыщенные модели, у которых количество членов в уравнении совпадает с количеством проведенных экспериментов, превосходно воспроизводят результаты экспериментов (R2 = 1), но в целом дают плохие прогнозы по всей области. В силу этого для оценки предсказательных свойств модели необходимо построить другую статистику.
Принцип построения этой статистики таков: выбираем эксперимент і, затем строим регрессионную модель для остающихся п-1 экспериментов, используя построенное уравнение, получаем значение уі для эксперимента і и вычисляем погрешность Є(І). Эта процедура проводится для каждого эксперимента и в результате получается статистика PRESS: PRESS = ±eli)=±\yi-y{j)], (4.14) /=i /=i где у - предсказанное значение функции отклика для і-го эксперимента. Затем эта статистика используется для вычисления приближенного значения R2 для прогноза, которое часто обозначается как Q2: дг=х_ШШ (415) УУ
Таким образом, общая оценка качества модели должна осуществляться на основе совместного рассмотрения показателей R2, R2adj и Q2. Улучшение качества модели.
Построение хорошей регрессионной модели является одной из главных сложностей в предлагаемой методологии. Заметим, что характеристика «хорошая» или «плохая» сильно зависит от целей исследования: ранжирование переменных или построение прогноза. В первом случае исследователь нуждается в модели, способной выявить наиболее значимые коэффициенты уравнения. Во втором случае исследователю нужна модель, хорошо воспроизводящая результаты экспериментов и более того, дающая хорошие прогнозы.
Описанные ранее статистики предоставляли информацию для оценки качества текущей модели. Если все показатели говорят о том, что модель плохая, то ее надо улучшать, удаляя незначащие члены. Обычно эту процедуру необходимо проводить для предварительной модели, которая редко бывает хорошей. Для оценки значимости каждого коэффициента модели проводится статистический тест.
Выдвигаются гипотезы для проверки коэффициента Ь/. Н0:6,=0 Hr.bj 0.
Если гипотеза Но отвергается, то член уравнения Xj значителен и остается в уравнении. В противоположном случае он удаляется из уравнения. Согласно гипотезе Но, статистика имеет распределение Стьюдента с п-р-1 степенями свободы. В уравнении (4.16) CJJ является j-ым диагональным элементом матрицы QCX) 1.
Проверка гипотезы заключается в вычислении вероятности, соответствующей t0, по таблицам распределения Стьюдента. Если эта вероятность меньше, чем квантиль распределения а/2, тогда гипотеза Но отвергается и х, остается в уравнении.
При использовании этого теста необходимо соблюдать осторожность, поскольку результат для каждого коэффициента, безусловно, зависит от модели, то есть от присутствия в модели других членов. Фактически, удаление одного из членов может изменить результат для некоторых других членов уравнения. Поэтому этот тест надо проводить последовательно, начиная с удаления тех членов, которые очевидно незначительны.
О необходимости оптимизации забойного давления в скважине, вскрывающей залежь легкой насыщенной нефти
Проверим адекватность моделей: Fl = 1.949, Fl = 1.995, табличное значение критерия Фишера при 5% уровне значимости равно 2.996, при 10 % уровне значимости - 2.33. Сравнивая полученные значения, мы видим, что добавление трех точек значительно улучшило качество приближения поверхностей. Решая задачу оптимизации, получаем немного скорректированную величину накопленной добычи нефти за 20 лет - 59040 м3, которая достигается при тех же значениях параметров. Максимум NPV, который равен 2900 тыс. долларов, достигается при тех же значениях параметров.
После того, как были получены оптимальные значения полудлины трещины ГРП и забойного давления, были проведены дополнительные расчеты на элементе. Цель этих расчетов заключалась в проверке полученных по поверхности отклика значений функции отклика. При полудлине трещины ГРП 140 м и забойном давлении 160 атм значение NPV для расчета на элементе равно 2881 тыс. долларов, что практически совпадает со значением, полученным по поверхности Y2 (2898 тыс.долларов). Расчетная накопленная добыча нефти за 20 лет при полудлине трещины 140 м и забойном давлении 250 атм равна 60133 т, расхождение с оптимальным значением, полученным по поверхности, составляет не более 2%. Эти результаты подтверждают возможность использования методов теории планирования эксперимента для Таблица N опыта X Z Y1 Y2
Полудлина трещины, м Забойное давление, атм Накопленная добыча нефтиза 20 лет, м NPV, тыс. долл.
Кодированные значения факторов Натуральные значения факторов Кодированные значения факторов Натуральные значения факторов 123456789101112 -1-1-1-100001111 0000100 100 100 100 200 200 200 200 -1 00.5 1-1 00.5 1-1 00.5 1 50 150 200 25050 150 200 25050 150 200 250 38 800 37 844 36 258 31 794 52 896 56 653 28 594 59 998 46 54549 35250 90552 188 1 390132012299852 5622 7452 7592 5892 4412 6302 6742 575 сокращения количества расчетов при определении оптимальных характеристик трещины гидроразрыва и забойного давления на добывающей скважине. Следует отметить, что для элемента однорядной системы заводнения величина накопленной добычи нефти за 20 лет возрастает с уменьшением депрессии на пласт и очень слабо меняется при изменении забойного давления в диапазоне от 200 до 250 атм и полудлины в диапазоне от 100 до 140 м. Очевидно, что несмотря на адекватность полученной поверхности отклика результатам экспериментов, двумерная поверхность не может отразить эти колебания. Полученное по поверхности оптимальное значение (59040 м) при забойном давлении 250 атм и полудлине трещины 135 м наиболее близко к экспериментальному значению при забойном давлении 200 атм (59463 м3) и полудлине трещины 100 м, таблица 4.5.
Таким образом, в соответствии с предложенным алгоритмом были построены поверхности отклика (накопленная добыча нефти за 20 лет и накопленный дисконтированный поток наличности за 20 лет) для двух факторов (забойного давления и полудлины трещины гидроразрыва). Проверка полученных поверхностей по критерию Фишера показала, что их можно использовать для прогнозов и оптимизации. После решения оптимизационной задачи были найдены значения указанных факторов, при которых достигаются максимальные значения накопленной добычи нефти за 20 лет - 59040 м3 и накопленного дисконтированного потока наличности - 2900 тыс. долл. Добавление трех точек к исходному плану эксперимента позволило улучшить качество приближения поверхностей. Следует отметить, что максимальное значение накопленной добычи нефти за 20 лет достигается при более высоком забойном давлении (250 атм), чем максимальное значение NPV, которое достигается при забойном давлении 164 атм. Известно, что на величину NPV наибольшее влияние оказывает добыча нефти в первые годы разработки, поэтому была построена поверхность отклика для накопленной добычи нефти за 5 лет Y3. Максимальное значение накопленной добычи нефти по этой поверхности было получено при забойном давлении 150 атм, что близко к величине, определенной при оптимизации NPV.
