Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические модели нелинейной фильтрации жидкости к скважине с гравийным фильтром 11
1.1. Скважинные фильтры, их предназначение и конструкции "
1.2. Уравнения для точного расчета нелинейной фильтрации в призабойной зоне скважины 38
1.3. Основные режимы фильтрации к скважине с гравийным фильтром 41
3.1. Вывод основных дифференциальных уравнений для приближенного расчета нелинейной фильтрации жидкости в призабойной зоне скважины (ПЗС) с гравийным фильтром 42
1.1. Общие решения дифференциальных уравнений движения в приближенной теории 48
1.2. О возможности гидродинамических расчетов скважинных фильтров методом их эквивалентирования с фиктивным гравийным фильтром 51
ГЛАВА 2. Математические модели линейной фильтрации жидкости к скважине с гравийным фильтром 53
2.1. Исследования решений для однородного гравийного фильтра 53
2.2. Сопоставительный анализ точного и приближенного решения осесимметричной краевой задачи для однородного гравийного фильтра .
2.3. Постановка задачи и решение уравнений фильтрации для скважины с гравийным фильтром переменной проницаемости ''
2.4. Исследование влияния глинисто-песчаной пробки на производительность скважин 1Н
ГЛАВА 3. Математические модели фильтрации жидкости к горизонтальной скважине с гравийным фильтром
3.1. Постановка задачи и основные уравнения фильтрации жидкости к длинной вертикальной скважине 78
3.2. Вычислительные эксперименты по исследованию фильтрации жидкости к длинной горизонтальной скважине 81
3.3. Оценка экономически обоснованной длины горизонтальной скважины 87
ГЛАВА 4. Вычислительные эксперименты по исследованию фильтрации в многопластовой системе 92
4.1. Вывод системы дифференциальных уравнений, описывающих фильтрацию к многосекционному фильтру и ее решение 92
4.2. Вычислительные эксперименты по исследованию фильтрации в многопластовой системе 95
ГЛАВА 5. Математические модели влияния литологических окон на течения к скважинам 98
5.1. Понятие литологического окна и общая постановка задачи 98
5.2. Потенциал скорости фильтрации и функция тока течения к скважине, расположенной вблизи литологического окна 101
5.3. Вычислительный эксперимент по влиянию литологического окна на дебит скважины 104
Заключение 108
Литература
- Уравнения для точного расчета нелинейной фильтрации в призабойной зоне скважины
- Сопоставительный анализ точного и приближенного решения осесимметричной краевой задачи для однородного гравийного фильтра
- Вычислительные эксперименты по исследованию фильтрации жидкости к длинной горизонтальной скважине
- Вычислительные эксперименты по исследованию фильтрации в многопластовой системе
Введение к работе
Актуальность темы диссертационного исследования. Наиболее сложной и важной конструктивной частью водо-, нефте- и газодобывающих скважин является их окончание [10, 14, 17, 21, 41], т.е. та часть скважины, которая находится в продуктивном пласте. Эта часть скважины должна, с одной стороны, обладать достаточно высокими пропускными по отношению к извлекаемой жидкости свойствами, а с другой стороны, должна надежно предотвращать скважину от поступления в нее продуктов разрушения пласта (песка) [14, 18,41,45,46].
Поступление песка в ствол скважины ведет к накоплению песчаной пробки на забое, что снижает продуктивность скважины и требует больших затрат на капитальный ремонт [22, 28, 30, 31, 42, 49, 50]. Методы борьбы с пескопроявлениями при эксплуатации нефтяных скважин представляют важную самостоятельную техническую задачу [7, 14, 18,22,30,31,46,49,50, 67].
Для задержания продуктов разрушения пласта применяются скважинные фильтры различных конструкций. В частности, для борьбы с пескованием скважины часто устанавливают гравийные фильтры [14, 18, 41, 45, 46, 55-57, 62, 69, 97], которые весьма успешно работают в добывающих скважинах. Поэтому исследование фильтрации жидкости к скважинам с гравийными фильтрами является актуальной проблемой.
В связи с этим в диссертации ставились следующие задачи:
Разработать математические модели течений жидкости к гравийному фильтру при нелинейном и линейном режимах фильтрации
Разработать математические модели течений жидкости к горизонтальной скважине с гравийным фильтром
Исследовать влияние глинисто-песчаной пробки на производительность скважины
Исследовать фильтрацию в многопластовой системе
5. Разработать программные средства для реализации расчётов гидротехнических характеристик гравийного фильтров Литературная справка. В последнее время интерес к теории скважинных фильтров снова повысился по нескольким причинам. Во-первых, всё большее применение горизонтальных и кустовых скважин заставляет исследовать картину течения вблизи фильтров скважин более детально. Во-вторых, разработка многопластовых месторождений одним стволом, вскрывающим сразу все продуктивные слои, тоже требует детального знания свойств фильтров. В-третьих, для увеличения сроков работы скважин без ремонта надо знать свойства фильтров произвольных конструкций, чтобы суметь выбрать оптимальный из них.
Подчеркнем, что все исследования фильтрации к скважинным фильтрам относятся, главным образом, к фильтрам перфорационной, кольчатой или вертикально-щелевой конструкций. Исследованиям фильтрации жидкости к центральной гидродинамически несовершенной скважине, оснащенной фильтрами с перечисленными конструкциями, посвящена обширная литература [20, 21, 29, 41, 45, 51, 70, 71, 79, 84, 90, 94, 104, 105, 106, 107]. Исследования же фильтрации к гравийным фильтрам, типовая конструкция которых из [69] приведена на стр. 22 (рис. 2), весьма малочисленны. В технической литературе приводятся лишь подробные описания конструкций гравийных фильтров [1, 2, 6, 22, 30, 31, 35, 42, 44, 55, 57, 62, 69, 88] и способов их набивки [5, 7, 15, 62, 91, 97, 103]. Однако, повторим, отсутствуют исследования гидродинамических особенностей течений жидкости к скважинам с гравийным фильтром. Последнее определило цель и задачи диссертационной работы.
Целью диссертации является разработка математических моделей фильтрации жидкости к центральной скважине, оборудованной гравийным фильтром.
Для достижения поставленной цели в работе, во-первых, разрабатывается математическая модель фильтрации жидкости в призабойной зоне скважины с гравийным фильтром, во-вторых, создаётся
программный комплекс для расчёта фильтрационных течений и, в-третьих, проводятся вычислительные эксперименты, позволяющие сделать выводы практического характера.
Методы исследования. Для исследования течений жидкости к центральной скважине с гравийным фильтром в диссертационной работе используются методы математической физики, теории функций комплексного переменного, вычислительной математики и специализированная программная среда Maple 6 [4]. Числовые характеристики работы скважин с гравийным фильтром в работе получаются путём проведения многочисленных вычислительных экспериментов.
Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается корректным использованием апробированных методов общей и подземной гидравлики, применением методов вычислительной математики и соответствием теоретических выводов данным промысловых исследований.
Научная новизна и теоретическое значение работы заключается в следующем:
Разработаны новые математические модели течений жидкости в призабойной зоне скважины с гравийным фильтром
Исследовано влияние размеров глинисто-песчаной пробки на дебит скважины
Создана качественная теория влияния литологического окна на дебит скважины
Исследована фильтрация в многопластовой системе
Созданы программные пакеты, основанные на среде разработки математических программ Maple, позволяющие проводить всесторонние исследования зависимости дебита скважины от конструктивных параметров её фильтра.
Практическая значимость. Разработанные методы математического моделирования течений жидкости к буровым скважинам, оборудованным гравийным фильтром, могут быть использованы для проектирования
окончания скважин работающих в пластах с известными фильтрационными и прочностными свойствами. Применение методов инженерной математики в сочетании с наглядностью и физической ясностью предложенных математических моделей позволяет их рекомендовать к внедрению в учебный процесс для подготовки специалистов в области нефтяной и газовой промышленности.
В Северо-Кавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь) научные результаты проведённых исследований использовались в учебном процессе при подготовке студентов специальностей 010200 «Прикладная математика и информатика» и 073000 «Прикладная математика» при чтении курсов «Вычислительный эксперимент в задачах механики» и «Прикладные задачи теории фильтрации». Кроме того, результаты диссертации в СевКавГТУ использовались в постановках задач дипломных работ. Применение в учебном процессе результатов диссертационной работы в СевКавГТУ подтверждается актом о внедрении.
Апробация работы. По мере получения основных результатов, а также в завершённом виде диссертация докладывалась на научных семинарах в Северо-Кавказском государственном техническом университете на кафедре «Прикладная математика» (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор Толпаев В.А.).
Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на:
третьей региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках» (Георгиевск, 2003 г.)
четвёртой региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии» (Георгиевск, 2004 г.)
четвёртой международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004 г.)
второй международной научно-технической конференции «Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и
образовании» (Ставрополь, 2006 г.) - третьей Всероссийской научной конференции молодых учёных и
студентов «Современное состояние и приоритеты развития
фундаментальных наук в регионах» (Краснодар, 2-5 октября, 2006 г.)
(доклад занял первое место в конкурсе докладов секции «Математика,
механика и информатика»)
Публикации. По теме диссертации всего опубликовано в соавторстве 14 научных работ [73, 74, 76 - 87], среди которых 6 статей [76, 80 - 82, 84, 85] напечатаны в журналах «Нефтепромысловое дело», «Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки», «Известия ВУЗов. Нефть и газ», «Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета», входящих в перечень ВАК РФ. В изданных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчётных формул и разработка программных средств для выполнения вычислительных экспериментов.
Основные положения, выносимые на защиту:
Математические модели нелинейной фильтрации жидкости и газа к скважине с гравийным фильтром
Математические модели линейной фильтрации жидкости и газа к скважине с гравийным фильтром
Математические модели влияния литологических окон на течения к скважинам
Результаты вычислительных экспериментов по исследованию гидротехнических характеристик гравийного фильтра
Личный вклад автора. Диссертационную работу автор выполнял под общим научным руководством доктора физико-математических наук, профессора ТолпаеваВ.А. Основные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. Соискатель выражает Толпаеву Владимиру Александровичу искреннюю благодарность за ценные указания и помощь в работе над диссертацией.
Структура и объём работы. Общий объем диссертации - 142 стр., из них 119 стр. основной части. Основная часть состоит из введения, пяти глав,
содержащих 18 параграфов, заключения и списка литературы из 107 названий, из которых 7 на иностранных языках и 2 Интернет-ресурсы. Диссертация содержит 5 таблиц, 43 рисунка и три приложения объёмом 23 стр. Каждая глава диссертации начинается с краткого вступления, в котором перечисляются её основные цели и задачи.
Формулы в текущем пункте имеют одинарную нумерацию. При ссылке на формулу из другого пункта применяется тройная нумерация: номер главы, номер пункта и номер формулы в пункте. Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели и задачи исследований, приведены основные результаты и научные положения, выносимые на защиту, а также приводится анализ состояния изученности проблемы.
В первой главе диссертационной работы по результатам анализа литературных исследований приводятся типичные конструкции скважинных водо- и нефтедобывающих фильтров. Особое внимание уделено гравийным фильтрам. Выполнен вывод формул для расчета гидротехнических характеристик гравийного фильтра при нелинейном режиме фильтрации. Рассмотрены основные режимы фильтрации. В конце главы предложен единый подход для расчета фильтров различных конструкций методом их эквивалентирования с гравийным фильтром.
Во второй главе исследована линейная фильтрация жидкости и газа к скважине с гравийным фильтром. Получено точное решение осесимметричной задачи для однородного гравийного фильтра. Выведены формулы для расчета дебита скважины с неоднородным гравийным фильтром. По полученным графикам выполнено исследование влияния глинисто-песчаной пробки на производительность скважин.
Третья глава работы посвящена исследованию течений к горизонтальной скважине с гравийным фильтром. Получены основные зависимости и предложена оценка экономически обоснованной длины горизонтальной скважины.
В четвертой главе исследована фильтрация в многопластовой системе.
Пятая глава посвящена исследованию влияния литологического окна на дебит скважины. Рассчитаны потенциал скорости фильтрации и функция тока течения к скважине, расположенной вблизи литологического окна. Проведен вычислительный эксперимент по исследованию влияния окна на дебит скважины.
В заключении кратко перечисляются результаты диссертационного исследования.
В приложении представлены листинги программ, с помощью которых проводились вычислительные эксперименты.
Уравнения для точного расчета нелинейной фильтрации в призабойной зоне скважины
Система уравнений (13) связывает функцию давления и функцию тока в осесимметричном течении. Исключая из системы (13) функцию Р получим уравнение для y/(r, z): д + — dz f(v) d r-v dz (14) = 0. dr _ г v dr Уравнение (14) является искомым. Оно описывает нелинейную осесимметричную фильтрацию в ПЗС.
Оба выведенных уравнения (9) и (14) являются квазилинейными уравнениями второго порядка. Их интегрирование целесообразно осуществлять численно итерационными методами. Аналитические решения краевых задач фильтрации для уравнений (9) и (14) автору построить не удалось. Поэтому в следующих параграфах будут рассматриваться приближенные аналитические методы решения задач фильтрации к гравийным фильтрам.
Как известно [23, 68, 85], в зависимости от величины депрессии Рп - PCi соотношения проницаемостей к//к2 и вязкости флюида р в призабойной зоне скважины и в гравийном фильтре могут существовать различные режимы фильтрации: 1) линейный - линейный; 2) линейный - переходный; 3) переходный - переходный; 4) переходный - нелинейный; 5) нелинейный -нелинейный. Например, 1 случай (линейный - линейный соответственно в ПЗС и в гравийном фильтре) будет реализован, если проницаемость / l,5D (дарси); 1 д 6 кs/k2 1; вязкость /й40 спз и Рп - Рс 10 МПа. 2 случай (линейный в ПЗС и переход от линейного к нелинейному в фильтре) может наблюдаться, если /=l,0D; Шь к,/к2 Шг; вязкость/йЮ спз H5Mna /V/V 10Mna. 3 случай может быть, например, если k;=3,0D; \0 г кі/к2 1; вязкость //=2 спз и Рп - Рс 5 МПа. 4 случай может быть при ;=3,0D; к2=№3 к,; JJF2 СПЗ И РП - Рс 5 МПа. 5 случай может наблюдаться при A;=3,0D; к2 \04 к]\ /І=2 СПЗ И Р,і - Рс 5 МПа.
Из пяти перечисленных случаев чаще всего встречаются первый (линейный-линейный) и второй (линейный-переходный) случаи. В связи с этим вывод приближенных уравнений фильтрации к скважинам с гравийным фильтром дадим в предположении, что в ПЗС режим фильтрации линейный, а в теле фильтра - либо нелинейный (глава 1), либо линейный (глава 2).
В нефтепромысловой практике применяются скважинные фильтры различных конструкций [79]. Гравийный скважинный фильтр представляет из себя наиболее простую и дешёвую конструкцию. Для его создания в открытую в продуктивном пласте часть ствола скважины засыпают крупнозернистый материал (например, гравий) и, для предотвращения выноса засыпки током нефти, в верхней части ствола у кровли пласта устанавливают пакер сетчатого типа. Принципиальная схема устройства гравийного скважинного фильтра представлена на рис. 8.
Точное решение задачи о фильтрации к гравийному фильтру на рис.8 сводится к решению краевых задач для нелинейного уравнения (1.2.14). Это весьма сложный путь. Целью данного параграфа является вывод уравнений для приближенного расчета гидротехнических характеристик нефтедобывающей скважины с гравийным фильтром. Подчеркнем, что в отличие от фильтров перфорационной конструкции [20,70], гидротехнические свойства гравийных фильтров в известной автору литературе не исследовались.
Вывод интегро-дифференциального уравнения для давления в фильтре скважины
Будем рассматривать фильтрацию несжимаемой жидкости (нефти) к вертикальной центральной скважине, эксплуатирующей горизонтальный пласт с мощностью b (рис.8). Поток жидкости внутри ствола скважины примем за одномерный, направленный вдоль оси z, т.е. радиальной составляющей течения внутри ствола скважины и неравномерностью потока по её сечению пренебрегаем. Поэтому вертикальную составляющую u(z) скорости течения будем считать зависящей только от одной координаты z. Приведенное давление [4] P=P+pgz, (1) (где p - гидродинамическое давление, р - плотность флюида, g - ускорение свободного падения, z - координата, направленная вертикально вверх по оси скважины, начало отсчета на которой совмещено с подошвой пласта (рис. 8)) внутри скважины в первом приближении тоже считаем функцией только лишь координаты z. Связь между скоростью u(z) и давлением Р определяется из закона фильтрации для фильтра скважины
Сопоставительный анализ точного и приближенного решения осесимметричной краевой задачи для однородного гравийного фильтра
Так как напор Н = — и потенциал скорости фильтрации q - (где Рё М к - проницаемость пористой среды, ц - коэффициент динамической вязкости флюида) лишь постоянными множителями отличаются от приведенного давления Р, то поверхность ствола скважины в фильтрационных расчетах в то же время принимается и за поверхность с постоянным напором Я и за эквипотенциальную [26, 27, 61 и др.]. Между тем для скважин, эксплуатирующих пласты большой мощности и обладающих большим дебитом, предположение об эквипотенциальной поверхности ее ствола может приводить к заметным ошибкам в фильтрационных расчетах.
Впервые задача об учете градиента потенциала вдоль ствола скважины при расчете ее дебита ставилась в [105] и наиболее широко для совершенной скважины рассматривалась в [20]. Однако в [20,105] вывод расчетного уравнения (схема вывода которого приведена также в [61]) для переменного вдоль ствола скважины расхода был основан на том, что напор на внешней стенке фильтра, т.е. на стволе скважины, считался постоянным.
Такое допущение о постоянстве напора на поверхности ствола скважины не совместимо с неравномерным распределением скорости фильтрации по её высоте. В данном параграфе по материалам совместной работы [85] приводятся решения уравнений напорной фильтрации в осесимметричной постановке и затем применяются для точного расчёта дебита нефтедобывающей скважины.
Фильтрация флюида в областях 1 и 2 (рис. 8) считается линейной, следующей закону Дарси [13]: — к Р v grad px ; щ =—1— (1) — к Р v2=grad p2 ; р2=—г— (2) Поскольку для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности для областей 1 и 2 имеет вид flv(v)=0 (3) то после подстановки (1) и (2) в (3) для р, и ф2 в цилиндрических координатах получаем одно и то же уравнение — уравнение Лапласа \Ъ{ дд А Ъ\ г дг г дг = 0, / = 1,2. (4) dz В классической постановке задачи о дебите скважины круговая цилиндрическая поверхность ААХВХВ (рис. 8) принимается за эквипотенциальную поверхность Ф]г=к =Фп = const. В такой постановке для давления внутри ствола скважины по всей мощности пласта считается возможным принять гидростатический закон. В результате для дебита скважины получается следующая хорошо известная формула Дюпюи [13]: _2xktb(Pu-Pc)
На самом же деле цилиндрическую поверхность АА1В1В ствола скважины считать эквипотенциальной нельзя. В самом деле, движение флюида вдоль вертикальной оси z внутри фильтра (область 2 с проницаемостью к2) обеспечивается за счет градиента потенциала и, следовательно, (рх и р2 на цилиндрической поверхности AAtBtB постоянными не являются. Целью данного параграфа и является вывод точной формулы для объемного дебита скважины в уточненной постановке (когда граница раздела &, и к2 не считается эквипотенциальной) и последующая оценка погрешности приближенной формулы (5).
Сформулируем теперь граничные условия для уравнений (4) в точной постановке задачи о дебите скважины. На круговой цилиндрической поверхности питания с радиусом R скорость фильтрации параллельна подошве и кровле пласта и не зависит от координаты z.
Вычислительные эксперименты по исследованию фильтрации жидкости к длинной горизонтальной скважине
С конца XX века в нефтегазовой промышленности нашли широкое применение горизонтальные и направленные скважины различных конструкций [52]. В связи с этим теоретические исследования особенностей фильтрации жидкости и газа к горизонтальным скважинам приобретают важное практическое значение. Целый ряд простых и достаточно точных приближённых аналитических решений для исследования фильтрации газа к горизонтальной скважине приведён в монографии [52]. Особенность их в том, что в способах схематизации притока флюида авторы пренебрегали градиентом давления вдоль ствола скважины. Для учёта же влияния последнего предложенные в [52] дифференциальные уравнения для фильтрации газа решаются только численными методами.
В данном параграфе приводится приближённое аналитическое решение, учитывающее наличие градиента давления вдоль ствола горизонтальной скважины, для задачи линейной фильтрации несжимаемой жидкости. С помощью предложенного решения выполнены вычислительные эксперименты и дана оценка для экономически оправданной длины горизонтальной скважины.
Расчётные уравнения. Основную часть продукта длинная горизонтальная скважина АВ на рис. 27 получает от той части пласта, которая заключена между перпендикулярными к стволу АВ плоскостями А и В. Другая часть продукта, поступающая в скважину на рис. 27 из торцевых частей AiA и ВВ] пласта, значительно меньше по сравнению с основной. Это позволяет при моделировании фильтрации к длинной горизонтальной скважине в первом приближении движением жидкости в торцевых участках пласта AiA и ВВ пренебречь, а движение между А и В рассматривать как плоскопараллельное, с плоскостями течения перпендикулярными к стволу АВ. Поэтому в первом приближении расчёт 1) скорости v(z) фильтрации жидкости вдоль ствола скважины, 2) приведённого давления P(z) и 3) дебита Q можно выполнить по формулам [76, 81], описывающим фильтрацию в призабойной зоне и в стволе скважины с гравийным фильтром.
В формулах (4) и (5) через ? обозначена базисная величина, равная дебиту идеальной скважины, движение жидкости в стволе которой не встречает сопротивления и, вследствие чего, давление вдоль ее ствола остаётся постоянным. Через д0 обозначен дебит произвольного участка идеальной скважины с длиной, равной радиусу гС) а через v0 - скорость фильтрации к поверхности ее ствола. Через Рс обозначено давление в торце А горизонтальной скважины, а через Рц - осреднённое пластовое давление на подошве и кровле пласта в той его части, которая расположена между секущими плоскостями А и В (рис. 27).
Дебит q(z) участка [0, z] горизонтальной скважины вычисляется через скорость фильтрации v(z) на поверхности её ствола по формуле
Отношение q(z) к дебиту Q=q(b) всего ствола [О, Ь] определяет долю г\ участка [0, z] горизонтальной скважины в общем объёме извлечённого продукта. Подставляя в (6) v(z) из формулы (2) и учитывая формулы (3), (4) и (5) для доли 7] участка [0, z] получаем значение
Функция обратная к (7) определяет длину [0, z] участка скважины, дающего заданный вклад ц в общий объем продукции. Рассматривая (7) как уравнение относительно - и решая его, для обратной функции находим Ь следующее выражение:
Вычислительный эксперимент и основные выводы. С помощью зависимостей (1)-(8) в интегрированной математической среде Maple 6 [4] был выполнен вычислительный эксперимент, целью которого являлась оценка экономически оправданной длины активной части ствола горизонтальной скважины. Во всех вычислительных экспериментах задавались исходные данные / // =0,60 и к/кf=O,0Q00Ql.
Вычислительные эксперименты по исследованию фильтрации в многопластовой системе
Целью данного параграфа является построение элементарной качественной математической модели, которая в главных чертах отражает влияние литологического окна АА2В2В на поток флюида к скважине.
В области литологического окна АзАА ВВз поток флюида трёхмерен, но для приближённого расчёта течения будем считать, что область AAJBJB представляет собой каверну, которая способна: 1) поглощать в себя часть потока флюида в 1-м пласте, или 2) выделять из своего объёма дополнительную часть флюида в основной поток в 1-ом пласте, или 3) не приводить к массообмену через окно между 1 и 2 пластами. Какой из этих трёх возможных случаев будет реализован на самом деле, зависит от соотношения пластового давления Р2 во втором пласте и давления Ртр в области АА,В[В. Если 1) Ртр Р2, то реализуется 1 случай, если 2) Р2 Р , то реализуется 2-й случай, и, если 3) Р2=Р1р, то реализуется 3-й случай. Для математического моделирования влияния литологического окна АА2В2В на основный поток флюида в 1-м пласте, в первоначальном приближении примем область АА,В,В за круговую каверну с некоторым эффективным радиусом гк(рис. 41).
Радиус каверны можно оценить, например, из равенства площадей тг-r = S где S - площадь «просвета» литологического окна. Сам поток в 1-м продуктивном пласте примем за плоскопараллельный. Тогда при сделанных упрощающих предположениях поток флюида к скважине будет описываться в изотропном однородном грунте комплексным потенциалом [26]: w(z) = p(x,y) + iy/{x,y) (1) представляющем собой аналитическую функцию комплексного переменного z = x + iy.B формуле (1) р(х,у) = (2) М - потенциал скорости фильтрации v = grad(p, P = p + pgh - приведенное гидродинамическое давление, /Y - динамическая вязкость флюида и I -проницаемость пласта. Мнимая часть в (1) - функция тока if/{x,y). Граница каверны АА,В,В должна быть эквипотенциалью р = const, значение которой определяется по величине пластового давления Р2 во втором пласте. Величину давления Р2 будем считать известной постоянной. Комплексные потенциалы фильтрационных течений при наличии круговой каверны можно построить с помощью теоремы О.В. Голубевой об окружности [26]. Такие потенциалы, согласно [26] будут иметь вид: w{z) = f(z)-f frl (3) \z J где f(z) - комплексный потенциал неискаженного присутствием каверны внешнего фильтрационного потока. В нашем случае f(z) - это комплексный потенциал течения к одиночной скважине С (либо группы скважин) на рис. 41. Для одиночной скважины С /(z) = ---ln(z + )+D (4) 2-Я" где Q и D - пока неизвестные постоянные.
Однако комплексный потенциал (3) с функцией f(z) в виде (4) пока ещё не моделирует действия литологического окна. Для того, чтобы учесть в главных чертах действие литологического окна, добавим к (3) потенциал дополнительного точечного стока (источника), помещенного в начало координат, совмещенного с центром кругового литологического окна. Тогда получим следующее выражение для комплексного потенциала w(z):
Комплексный потенциал (5) с функцией f(z) из (4) и позволяет смоделировать в главных чертах (в зависимости от значения q) все три возможных случая влияния литологического окна на основной поток флюида в 1-м пласте.
Похожие диссертации на Математическое моделирование фильтрации в призабойной зоне скважины с гравийным фильтром
