Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы построения математических моделей течений жидкости к скважинным фильтрам различных конструкций 20
1.1. Описание типичных конструкций скважинных водо- и нефтедобывающих фильтров 20
1.2. Математическая постановка задачи о расчёте фильтрации жидкости к скважинным фильтрам и основные проблемы, связанные с её решением 25
1.3. Расчёт пространственных течений жидкости к скважинным фильтрам модифицированным методом граничных элементов (ММГЭ) 30
1.4. Применение ММГЭ к расчёту осесимметричных течений жидкости к скважинным фильтрам 36
1.5. Применение ММГЭ к расчёту плоскопараллельных течений жидкости к скважинным фильтрам 45
1.6. Применение методов теории функций комплексного переменного к моделированию плоскопараллельных течений к скважинным фильтрам 51
Глава 2. Математическое моделирование течения жидкости к фильтрам различных конструкций методом средневзвешенного потенциала 54
2.1. Математическое моделирование течения к вертикально-щелевому фильтру 54
2.1.1. Вывод формулы для расчёта дебита скважины с вертикально-щелевым фильтром 54
2.1.2 Программа расчёта дебита скважины с вертикально- щелевым фильтром 62
2.13. Вычислительные эксперименты исследования зависимости дебита от скважности фильтра 67
2.1.4. Выводы 69
2.2. Математическое моделирование течения к кольчатому фильтру 70
2.2.1. Вывод формулы для расчёта дебита скважины с кольчатым фильтром 70
2.2.2. Программа расчёта дебита скважины с кольчатым фильтром 77
2.2.3. Вычислительные эксперименты исследования зависимости дебита от скважности фильтра 81
2.2.4. Выводы 82
2.3. Математическое моделирование течения к скважине с перфорационным фильтром 82
2.3.1. Вывод формулы для расчёта дебита скважины с перфорационным фильтром 82
2.3.2. Программа расчёта дебита скважины с перфорационным фильтром 91
2.3.3. Вычислительные эксперименты исследования зависимости дебита от скважности 96
2.3.4. Выводы 97
Глава 3. STRONG Математическое моделирование течений жидкости к вертикально-щелевому фильтру малой скважности и каркасно-стержневому фильтру методами теории функций комплексного
переменного STRONG .100
3.1. Математическое моделирование течения к вертикально-щелевому фильтру малой скважности методом равномерно распределённых точечных стоков 100
3.1.1. Вывод формулы для расчёта дебита скважины с вертикально-щелевым фильтром малой скважности 100
3.1.2. Программы расчёта дебита и построения гидродинамических сеток 108
3.1.3. Вычислительные эксперименты по исследованию зависимости дебита от скважности 119
3.1.4. Выводы 122
3.2. Математическое моделирование течения к каркасно-стержневому фильтру методом особых точек (методом С.А. Чаплыгина) 123
3.2.1. Вывод формулы для расчёта дебита скважины с каркасно-стерлсневым фильтром 123
3.2.2. Программа расчёта дебита и построения гидродинамических сеток 129
3.2.3. Вычислительные эксперименты исследования зависимости дебита от скважности 139
3.2.4. Выводы 141
Заключение 143
Литература
- Расчёт пространственных течений жидкости к скважинным фильтрам модифицированным методом граничных элементов (ММГЭ)
- Вывод формулы для расчёта дебита скважины с вертикально-щелевым фильтром
- Вывод формулы для расчёта дебита скважины с вертикально-щелевым фильтром малой скважности
- Вывод формулы для расчёта дебита скважины с каркасно-стерлсневым фильтром
Введение к работе
Актуальность темы диссертационного исследования. В практике водо-, нефте- и газодобычи применяются скважины, наиболее сложная в конструктивном отношении часть которых относится к располагающемуся в продуктивном пласте окончанию их ствола. Окончание скважины, принимающее из пласта продукт, называемое активной частью ствола скважины, всегда снабжается фильтром той или иной конструкции [8, 12, 14, 20, 22, 34, 38, 48, 58, 74, 79, 84]. Главное назначение фильтра, во-первых, в том, чтобы предупредить так называемое «запескование» ствола скважины, снижающее её эксплуатационные качества и приводящее в дальнейшем к необходимости проведения длительных и дорогостоящих ремонтных работ [5, 11, 15, 22, 23, 24, 35, 37, 39, 42, 50, 57]. Во-вторых, в том, чтобы обеспечить активную часть ствола скважины достаточно высокими «пропускными» для извлекаемого из пласта продукта свойствами.
Для того, чтобы фильтр обладал высокими пропускными свойствами, его скважность [8, 20] - отношение суммарной площади отверстий фильтра к общей площади активной части ствола скважины - должна быть достаточно высокой (около 8%-15%). А для того, чтобы он мог надёжно предупреждать запескование, отверстия фильтра должны иметь маленькие размеры, сопоставимые с диаметрами выносимых потоком флюида фракций из разрушаемой со временем призабойной зоны пласта. Поэтому для предупреждения запескования фильтр должен иметь достаточно малую скважность, определяемую в конечном итоге фильтрационными и прочностными качествами призабойной зоны пласта. Таким образом, два основных свойства, которым должен удовлетворять скважинный фильтр, заставляют при заданных фильтрационных и прочностных качествах породы призабойной зоны пласта искать такие его конструкции, чтобы обеспечить достаточно высокий дебит скважины с фильтром, обладающим, по-возможности, наименьшей скважностью.
Долгое время для определения оптимальных характеристик фильтров применялись методы электролитического моделирования. В частности, методы электролитического моделирования для исследования гидротехнических свойств фильтров применялись в [82] Щуровым В.И. Однако
электролитические модели позволяют исследовать только зависимость дебита скважины с заданными конструктивными особенностями фильтра от его скважности и не дают ответа о влиянии конструктивных особенностей фильтра на его способности разрушать породу пласта в призабойной зоне. Для ответа на последний вопрос нужно знать, во-первых, распределение давления около щелей и отверстий фильтра и, во-вторых, предельные градиенты давлений, при превышении которых начинает разрушаться образец пласта призабойной зоны. Именно поэтому изучением распределения давления около щелей фильтра и занимался Миллер Ф.Г. (Miller F.G.) в [93]
В то время, как экспериментальные поиски наилучшей конструкции фильтра требуют большого времени и больших материальных затрат, методы математического моделирования течений жидкости к фильтрам буровых скважин, чему и посвящена данная диссертационная работа, позволят сократить и время проектирования фильтра, и материальные затраты.
Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется несколькими основными факторами:
необходимостью создания унифицированных аналитических методов, позволяющих определять оптимальные конструктивные параметры фильтров для продуктивных пластов с заданными фильтрационными и прочностными качествами породы в призабойной зоне;
сужением круга поисков оптимальных параметров фильтров путём разработки математических моделей течений жидкости к некоторым их базовым конструкциям;
необходимостью иметь математические модели, позволяющие опровергать или подтверждать эмпирические методы расчёта конструктивных параметров фильтров;
разработкой новых и усовершенствованием известных аналитических методов моделирования течений жидкости к базовым конструкциям фильтров буровых скважин.
Обзор литературы. История исследования фильтрации жидкости к гидродинамически несовершенной скважине в круговой призабойной зоне, по-видимому, начинается с работы [94] Маскета М. (Muskat М.), опубликованной в 1943 г. В этой работе МаскетМ. опубликовал приближённое решение задачи
для цилиндрической скважины в неограниченном по толщине пласте. В приведённом решении МаскетМ. неявно открыл основной закон работы скважины с перфорационным фильтром: существует оптимальное число отверстий на единицу длины скважины, выше которого увеличивать число отверстий не имеет практического смысла.
В 1953 г. Хейн А.Л. [77, 78] приводит решение задачи о фильтрации к несовершенной цилиндрической скважине. Задачу о перфорационном фильтре Хейн А.Л. решает для прямоугольных отверстий, строго расположенных друг против друга по всей длине ствола скважины.
В 1964 г. Тихов М.Н. привёл другие решения задачи [59-61] о фильтрации жидкости к цилиндрической несовершенной скважине. Решения ТиховаМ.Н. отличаются от предложенных МаскетомМ. и ХейномА.Л. более точными и более общими постановками задач. Однако более точные решения Тихова М.Н. представлены громоздкими аналитическими формулами, мало приспособленными для программной реализации.
Монография ТиховаМ.Н. [61] по интерференции s-малых отверстий остаётся до сих пор наиболее важной в теории фильтров буровых скважин. С помощью этой теории ТиховуМ.Н. удалось объяснить все специфические особенности фильтрации жидкости к гидродинамически несовершенной скважине. А именно, во-первых, эффект существования оптимального числа отверстий на единицу длины ствола скважины. Во-вторых, он доказал, что форма Е-малых отверстий не оказывает влияния на дебит несовершенной скважины. В-третьих, указал ограничительные условия, при соблюдении которых математические решения соответствуют гидродинамическому условию существования фильтрации с линейным законом Дарси (DarcyH.) [10, 88].
Из других работ по теории фильтров скважин следует отметить работы Шульгина Д.Ф. [83] и Толмачёва B.C. [63], исследовавших вопрос о влиянии неравномерной перфорации на гидротехнические характеристики скважинных фильтров. Закономерности фильтрации к перфорированным фильтрам изучали также Додсон и Кордуэлл (DodsonC.R., CardwellW.T.) [89]. Основные результаты работ Толмачёва B.C., Шульгина Д.Ф. и Додсона, Кордуэлла лишь подтверждают и конкретизируют исследования ТиховаМ.Н., ХейнаА.Л. и
МаскетаМ. [59-61, 77, 78, 82, 94].
К теории фильтров примыкает и работа Петерсона, Рочвера и Альбертсона (Peterson J.S., RochwerC, AlbertsonL.) [95], в которой авторы исследовали изменение давления внутри скважинного фильтра по его длине.
И всё-таки несмотря на большое количество работ по теории скважинных фильтров осталась практически не исследованной проблема, на которую в августе 2002 года обратил внимание моего научного руководителя директор центра новых технологий добычи нефти во Всероссийском нефтегазовом научно-исследовательском институте им. академика А.П. Крылова профессор
Горбунов Андрей Тимофеевич). Профессор Горбунов А.Т. поставил следующую
задачу: «Определить, у какой из двух скважин, оснащенных однотипными фильтрами одинаковой скважности, дебит больше - у которой меньше перфорационных отверстий, но они у неё более крупные по размерам, или у которой перфорационных отверстий больше, но их размеры меньше? Насколько существенно отличие дебитов таких скважин?».
Целью диссертации является разработка математических моделей фильтрации жидкости к центральной несовершенной скважине, каковой и является скважина, оборудованная фильтром.
Для достижения поставленной цели в работе, во-первых, выводятся уравнения течений жидкости к различным базовым конструкциям скважинных фильтров, во-вторых, создаётся программный комплекс для расчёта течений и, в-третьих, проводятся вычислительные эксперименты, позволяющие сделать выводы практического характера по конструкциям тех или иных фильтров.
Методы данной работы имеют некоторую аналогию с теорией ТиховаМ.Н. [61]. Однако в данной работе вместо применявшейся Тиховым М.Н. группы интегральных граничных условий применяется процедура осреднения потенциала по площади каждого отверстия, которая привела к методу, названному в диссертации модифицированным методом граничных элементов (ММГЭ). Положительной стороной метода ММГЭ, в отличие от теории ТиховаМ.Н., является его большая приспособленность к программной реализации.
Методы исследования. Для исследования течений жидкости к центральной несовершенной скважине в её призабойной зоне в
диссертационной работе используются методы математической физики, теории функций комплексного переменного, методы конформного отображения, вычислительной математики и специализированные программные среды Maple 6 [3], MathCad [25], C++ [27] и Matlab [40]. Числовые значения дебитов скважин с типовыми базовыми конструкциями фильтров в работе получаются путём проведения многочисленных вычислительных экспериментов.
Достоверность и обоснованность полученных теоретических результатов и формулируемых на их основе практических выводов обеспечивается корректностью производимых математических выкладок, базирующихся на апробированном математическом аппарате (методах математической физики, математического анализа, теории функций комплексного переменного) и корректным применением апробированных специализированных программных сред. Справедливость выводов, вытекающих из разработанных математических моделей, подтверждается также результатами многочисленных сравнительных расчётов.
Научная новизна и теоретическое значение работы заключается в следующем:
Представлены новые методы (ММГЭ) математического моделирования течений жидкости к центральным несовершенным скважинам.
С помощью ММГЭ разработаны новые математические модели течений жидкости к скважинным фильтрам всех основных базовых конструкций (к вертикально-щелевому, каркасно-стержневому, кольчатому и перфорационному фильтрам).
На примере фильтров с базовыми конструкциями исследована проблема, поставленная профессором Горбуновым А.Т., о значимости влияния плотности и размеров щелей фильтра с зафиксированной скважностью на дебит скважины.
Созданы программные пакеты, основанные на среде разработки математических программ Maple, позволяющие проводить всесторонние исследования зависимости дебита скважины от конструктивных параметров её фильтра.
Практическая значимость. Разработанные методы математического моделирования течений жидкости к буровым скважинам с базовыми
конструкциями фильтров могут быть использованы для проектирования окончания скважин работающих в пластах с известными фильтрационными и прочностными свойствами. Применение методов инженерной математики в сочетании с наглядностью и физической ясностью предложенных математических моделей позволяет их рекомендовать к внедрению в учебный процесс для подготовки специалистов в области нефтяной и газовой промышленности.
В Северо-Кавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь) научные результаты проведённых исследований использовались в учебном процессе при подготовке студентов специальностей 010200 «Прикладная математика и информатика» и 073000 «Прикладная математика» при чтении курсов «Теория функций комплексного переменного», «Вычислительный эксперимент в задачах механики» и «Прикладные задачи теории фильтрации». Кроме того, результаты диссертации в СевКавГТУ использовались в постановках задач дипломных работ. Применение в учебном процессе результатов диссертационной работы в СевКавГТУ подтверждается актом о внедрении.
Апробация работы. По мере получения основных результатов, а также в завершённом виде диссертация докладывалась на научных семинарах в Северо-Кавказском государственном техническом университете на кафедре прикладной математики (рук. д.ф.-м.н. Толпаев В.А.).
Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на:
четвёртой региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии» (Георгиевск, 2004 г.)
четвёртой международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004 г.)
пятой межрегиональной научной конференции «Студенческая наука -экономике России» (Ставрополь, 2005 г.)
второй международной научно-технической конференции «Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2006 г.)
третьей Всероссийской научной конференции молодых учёных и
студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Краснодар, 2-5 октября, 2006 г.) Публикации. По теме диссертации всего опубликовано в соавторстве 10 научных работ [45, 65 - 73], среди которых 6 статей [65, 68 - 71, 73] напечатаны в журналах «Нефтепромысловое дело», «Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки», «Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета», входящих в перечень ВАК РФ. В изданных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчётных формул и разработка программ для выполнения вычислительных экспериментов. Основные положения, выносимые на защиту:
Новый метод математического моделирования течений жидкости к фильтрам различных конструкций, базирующийся на применении модифицированного метода граничных элементов, и его частный случай -метод средневзвешенного потенциала.
Математические модели течений жидкости к скважинам, оборудованным базовыми конструкциями фильтров (вертикально-щелевым, каркасно-стержневым, кольчатым и перфорационным фильтрами).
Результаты исследования задачи Горбунова А.Т. для вертикально-щелевого фильтра с малой скважностью.
Результаты вычислительных экспериментов по зависимости пропускной способности фильтров от их скважности и конструкционных параметров.
Личный вклад автора. Основные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. Разработка и обоснование вычислительных экспериментов по исследованию течений жидкости к скважинным фильтрам выполнены автором, при обсуждении материалов диссертации с научным руководителем, за что соискатель выражает Толпаеву Владимиру Александровичу искреннюю благодарность. Программное обеспечение для проведения многочисленных вычислительных экспериментов диссертантом создано самостоятельно.
Структура и объём работы. Общий объём диссертации - 157 стр., из них 140 стр. основной части. Основная часть состоит из введения, трёх глав, содержащих 11 параграфов, заключения и списка литературы из 104 названий,
из которых 11 на иностранных языках и 7 Интернет-ресурсы. Диссертация содержит 8 таблиц, 10 графиков, 26 рисунков и одного приложения объёмом 4 стр. Каждая глава диссертации начинается с краткого вступления, в котором перечисляются её основные цели и задачи, и заканчивается формулировкой основных результатов главы.
Формулы в текущем пункте имеют одинарную нумерацию. При ссылке на формулу из другого пункта применяется традиционная тройная нумерация: номер главы, номер пункта и номер формулы в пункте.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации; приводится обзор литературы по теме исследования; указывается новизна и практическая значимость; формулируются цели и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту; даётся краткое изложение диссертации.
В первой главе диссертационной работы по результатам анализа
литературных исследований приводятся типичные конструкции скважинных
водо- и нефтедобывающих фильтров и даётся математическая постановка
задачи о расчёте фильтрации жидкости к ним, которая в общем случае сводится
кР
к решению уравнения Лапласа для потенциала течения <р = в области
М V={rc
д2(р д2(р д2(р
со следующими граничными условиями. На круговой цилиндрической поверхности питания r = R с осью, совпадающей с осью скважины, должно выполняться условие
<Р\г-о =<РП= = COtlSt (2)
r~K JU
На непроницаемых подошве z = 0 и кровле z = H пласта выполняются условия
~dz~
z=0 dz
= 0. (3)
z=H
На контактной с пластом круговой цилиндрической поверхности г = гс ствола перфорированной скважины задаются смешанные граничные условия
MeS,
= (Pci=-
= const
(4)
/ = 1,2,..., JV
M'eSn
= 0.
(5)
В формулах (1)-(5) x,y,z- декартовые координаты, вертикально направленная вверх ось z которых совмещена с осью скважины, г ив- полярные координаты, Si - перфорационные отверстия на стволе скважины, a Sq - непроницаемая часть её ствола. Остальные обозначения соответствуют общепринятым: к -проницаемость однородной изотропной призабойной зоны скважины (ПЗС), /л -коэффициент динамической вязкости флюида, Р - приведённое давление, Рп и Pci - заданные постоянные значения приведённого давления на поверхности питания и поверхностях перфорационных отверстий, iV - общее число перфорационных отверстий.
Математическая сложность решения краевой задачи (1)-(5), во-первых, в том, что в общем случае перфорационные отверстия на стволе скважины распределены произвольно, во-вторых, в том, что на каждом отверстии постоянные значения
qi = const, для / = 1,2,...,N;
д(р дп
qm = const, для i = m = N +1, если точка Р
=ДР)=\
принадлежит поверхности г = R; (6)
0, для точек Р принадлежащих S0,
а также подшве и кровле пласта.
Для существования решения вспомогательной внутренне-краевой задачи Неймана (1), (6) неопределённые постоянные qt должны удовлетворять условию
jf(P)dSP=YJgrsi=o, (7)
8V '=1
где Si для і = 1, 2, ..., ТУ- площадь /-го перфорационного отверстия, а для і = т Sm = InRH- площадь поверхности питания.
Решение вспомогательной задачи Неймана строится с помощью функции Грина [56] G(M, Р) этой задачи и приводит к представлению потенциала (р в следующем виде:
В формуле (8) через М обозначена внутренняя точка расчётной области (точка внутри ПЗС), Pj для /=1,2,..., N- точка на поверхности /-го перфорационного отверстия, а для i = m - точка на поверхности питания. q{ и С - (т+1) неопределённые постоянные. Эти постоянные я,- и С в диссертации предлагается выбирать так, чтобы граничные условия (2) и (4) выполнялись в среднем по площади каждого Sh т.е. чтобы
<(p{M)>\s =1- \(P{Pi)-dSPi=(Pi,i=\,2^.,m. (9)
' Л' ()
В развёрнутом виде равенства (9) выглядят следующим образом:
— (flir0i+fli2-02+^13-03 + ... +a{m-qm) + С = <рх
—-(fl2r01+fl22-02+fl23-03+ - +flf2m-0m) + С = %
< Л2 . (10)
— '(«ИГ 01 +««2-02 +««3-03+ - +Я|«я-0И) + С = <Рт=<Рп
В системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (10) через a,i обозначены коэффициенты
\G{PitPk)dSt
№)
% - J ^
; /= 1, 2,..., w; /:= 1,2,..., т. (11)
Таким образом, для (т+1) неизвестных постоянных д, и С получена система из т линейных уравнений (10) и одного уравнения (7). Решая эту систему, найдём все неопределённые постоянные, а значит по формуле (8) и потенциал <р
исследуемого течения, с помощью которого затем можно проводить всесторонние исследования характеристик фильтрационных потоков, например, градиентов давлений возле отверстий (щелей). Дебит Q скважины после решения СЛАУ (10) найдётся по формуле Q = 2nRH-qm.
Предложенный метод решения внутренне-краевой смешанной задачи (1)-(5) позволяет повышать точность расчётов до требуемых пределов путём дополнительного разбиения участков S\, S2, ..., Sm на более мелкие части. От этого лишь увеличится количество слагаемых в формуле (8) и увеличится размерность СЛАУ (10) без принципиального усложнения самой задачи.
Для фильтров, перфорационные отверстия (щели) которых распределены по поверхности ствола в правильном геометрическом порядке, исходная краевая задача (1)-(5) может быть сформулирована в силу симметрии течения лишь для отдельного перфорационного отверстия. Именно подобные частные задачи и рассматривались ХейномА.Л. В диссертации для фильтров с геометрически правильным распределением перфорационных отверстий (щелей) из общего решения (6)-(10) для частных случаев, подобных задачам Хейна А.Л., вытекает следующее решение:
(р{М) =
(
S2- JG(M,Pi)dSPi-Si- JG(M,P2)dSf
fa) ' ()
> +
(12)
+ ^2.,
-a
(
a2\ ~ a21
'2;
-an-a2l+a22
ГДЄ (pi = (pc И (p2 = (pn
Я\
5, D U S,
Приток qo флюида к отдельному перфорационному отверстию (щели) оказывается равным q0 =Sxqx =——LjLL—-^- и, следовательно, дебит Q всей
скважины, на поверхности которой N отверстий (щелей) будет равен
NS{S2 , .
Q =
Описанный частный случай (12) применяется во второй главе диссертации для расчёта течений жидкости к фильтрам вертикально-щелевой, кольчатой и перфорационной конструкций. Подчеркнём, что для этих частных
случаев идею модифицированного метода граничных элементов удаётся реализовать в сочетании с решением рассматриваемых задач классическим методом Фурье. Такой вариант ММГЭ, не требующий построения функции Грина, в работе называется методом средневзвешенного потенциала.
Доказано, что для всех перечисленных типов фильтров удельный дебит q может быть вычислен по общей формуле
-=-tV> (13)
гс 2 где #0 - дебит соответствующей совершенной скважины, вычисляемый по формуле Дюпюи (DupuitJ.) [10, 90]. Однако для каждой названной конструкции фильтра формулы, выведенные в совместной работе [68] для расчёта в (13) дополнительного фильтрационного сопротивления А, свои. По этим формулам соискатель в математической среде Maple 6 разработал программы для расчёта дебитов q I q0 с построением соответствующих графиков.
По результатам вычислительных экспериментов по задаче профессора Горбунова А.Т. сделаны следующие выводы:
1)Из двух однотипных фильтров с одинаковой скважностью дебит больше у того, у которого больше количество перфорационных отверстий (щелей).
При зафиксированном значении скважности фильтра его пропускную способность можно заметно менять путём изменения количества перфорационных отверстий (щелей).
Из трёх представленных базовых конструкций фильтров, наделённых одинаковой скважностью, фильтр перфорационного типа имеет наибольшую пропускную способность.
В третьей главе работы продолжены исследования методами теории функций комплексного переменного течений, во-первых, к вертикально-щелевому фильтру с весьма малой скважностью и, во-вторых, к каркасно-стержневому фильтру.
Для течений жидкости к вертикально-щелевому фильтру с малой
скважностью предложена новая математическая модель, основанная на использовании равномерно распределённых по окружности особенностей типа точечных стоков. В результате применения этого метода построен комплексный потенциал течения, гидродинамическая сетка течения к вертикально-щелевому фильтру с малой скважностью и выведена формула для расчёта удельного дебита скважины с этим фильтром
9 _ %п
sh(^)
(14)
q In
МЧскв).
где q0 - удельный дебит соответствующей совершенной скважины,
0^
XT NS U
ь" 2
, N - число щелей, т]скв = - скважность фильтра,
\rcJ
7Г-ГС
S - полуширина щели, R - радиус контура питания и гс - радиус скважины. Ранее решение этой же задачи совершенно другим и гораздо более сложным методом привёл Пилатовский В.П. [46]. Поэтому были проведены сопоставительные расчёты удельного дебита вертикально-щелевого фильтра с малой скважностью по формуле (14) и по соответствующей формуле Пилатовского В.П. Результаты этих расчётов приводят практически к одинаковым результатам. Однако достоинство формулы (14) в том, что значительно более простой по сравнению с Пилатовским В.П. метод её вывода позволяет её применять в учебном процессе при подготовке специалистов нефтегазовых специальностей на доказательном, а не на описательном уровне.
С помощью формулы (14) были продолжены исследования по задаче Горбунова А.Т. о зависимости пропускной способности вертикально-щелевого фильтра малой скважности не только от скважности (что делали многие авторы), но и от количества щелей на единице площади фильтра. Результаты этих исследований показали, что для повышения производительности вертикально-щелевого фильтра-хвостовика с малой скважностью целесообразнее увеличивать число прорезей с одновременным уменьшением их ширины, нежели увеличивать ширину щелей при их зафиксированном числе. В вычислительных экспериментах показано, что фильтр с 20 прорезями при скважности цскв = 0,02 обеспечивает производительность в 77% от дебита
совершенной скважины. А фильтр с такой же скважностью, но со 100 прорезями обеспечит производительность в 94% от аналогичной совершенной скважины. Кроме того, вычислительные эксперименты позволили сделать важный для практики вывод, что оптимальное число щелей, обеспечивающих при 2ЗI гс ~ (0,001 -^- 0,010) производительность q I q0~ (0,84 - 0,95) равно 60-80.
Для течений жидкости к каркасно-стержневому фильтру предложена новая математическая модель, основанная на использовании равномерно распределённых по окружности точечных особенностей типа диполей, внесенных в поток к стоку в центре этой окружности. В результате суперпозиции течений от указанных особых точек найден комплексный потенциал
.N
(15)
\nz + Я
+ С
.N
w(z) = --^-
zN-rn
исследуемого потока. С его помощью построена гидродинамическая сетка течения к каркасно-стержневому фильтру и выведена формула для расчёта удельного дебита скважины
Я 1
(16)
#о 1 + С
в которой 4=—j—г-, Л= ^ м , 6B = J1 + —, N - число стержней,
\rcJ
d - диаметр стержней, а остальные обозначения прежние.
С помощью формулы (16) и формулы Пилатовского В.П. для дебита вертикально-щелевого фильтра был проведён вычислительный эксперимент, результаты которого привели к следующим выводам. 1) Согласно формулам Пилатовского В.П. и (16) при одинаковых скважностях удельный дебит скважины с вертикально-щелевым фильтром больше удельного дебита скважины с каркасно-стержневым фильтром. 2) Удивительным и пока что не объяснённым остаётся общий для формул (14) и Пилатовского В.П. феномен, заключающийся в том, что при весьма малой скважности цскв = 0,005 дебит вертикально-щелевого фильтра оказывается неожиданно большим по
сравнению с дебитом фильтра родственной каркасно-стержневой конструкции. Можно предположить, что этот феномен вызван принятой гипотезой о справедливости линейного закона Дарси в непосредственной близости к фильтру-хвостовику. Для объяснения этого феномена, по-видимому, нужны дополнительные исследования течений к вертикально-щелевому и каркасно-стержневому фильтрам-хвостовикам с нелинейными (в частности, с двучленным) законами Дарси.
В заключении кратко перечисляются результаты диссертационного исследования.
В приложении приведено доказательство сходимости
тригонометрических рядов, через которые выражаются решения задач о фильтрации к центральной несовершенной скважине с фильтрами базовых конструкций.
Расчёт пространственных течений жидкости к скважинным фильтрам модифицированным методом граничных элементов (ММГЭ)
В уравнении (1) через х, у, z обозначены декартовые координаты точек расчётной области V, а через (р - потенциал скорости фильтрации [10]. Схематическое изображение области Vи её границы dV = S0+S] +S2+... + Sm, состоящей из взаимно непересекающихся поверхностей So, Sj, ..., Sm представлено на рис.9. Через SQ = Sl0+ SQ + S% +... + SQ обозначено объединение всех непроницаемых частей границы dV, на которых задаются граничные условия типа Неймана д(р = 0, (2) So дп а через S], S2, ..., Sm - части границы dV, на которых задаются граничные условия типа Дирихле \ф\„ =Ф; = COnSt ls Гі . (3) [/ = 1,2,...,/и
Трудность решения краевой задачи (1), (2), (3) определяется наличием смешанных граничных условий - условий Дирихле и Неймана.
Один из современных численных методов решения задачи (1), (2), (3) заключается в её редукции к соответствующему граничному интегральному уравнению с последующим решением последнего методом граничных элементов [53]. Подчеркнём, что переход от (1), (2), (3) к интегральному граничному уравнению представляет сложную самостоятельную задачу. В этой работе предлагается новый вариант метода граничных элементов, не требующий построения интегрального граничного уравнения. 1.3.1. Общее описание модифицированного метода граничных элементов
Основная идея решения задачи (1), (2), (3) заключается в замене граничных условий (3) на соответствующие им, но заранее неизвестные, граничные условия Неймана из её точного решения. В самом деле, если бы на участках St границы добыло известно распределение нормальной производной — в точном решении задачи (1), (2), (3), т.е. было бы известно, что дп S"S, М , (4) i = 1,2,..., m то тогда от исходной задачи можно было бы перейти к эквивалентной ей внутренне-краевой задаче Неймана (1), (2), (4). Точное решение последней найдётся с помощью функции Грина G(M, Р) по формуле [56] р{М) = jf(P) G(M, P)dSP + С, (5) dV в которой точка Р є dV, точка М є V, функцияДР) на границе дV определяется равенством ГО, если PGS0 lfi(P), если РЕ St
С - постоянная. Конечно, для построения функции Грина в общем случае потребуется решить вспомогательную внутренне-краевую задачу Неймана, но в отличие от задачи (1), (2), (4), с известными граничными условиями на всей границе 3V. А именно, функцию Грина G(M, Р) в формуле (5) определим, как известно, по условиям [56, 62]: G(M,P) = + V, где RMp - расстояние An-RMP между точками М и Р, V - гармоническая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа AV= 0 и , где mes(dV) - площадь всей dv mes(dF) дп границы 3V. Подчеркнём ещё, что для существования решения задачи (1), (2), (4) должно, как известно, выполняться условие [56, 62] jf(P)dSP=0. (7) dV
В данной работе решение задачи (1), (2), (3) предлагается строить с помощью её редукции к задаче (1), (2), (4). Так как для канонических областей функции Грина всех основных краевых задач для уравнения Лапласа известны, то редукция исходной краевой задачи к задаче (1), (2), (4) в большинстве случаев осуществляется значительно проще, нежели редукция (1), (2), (3) к эквивалентному граничному интегральному уравнению.
Чтобы воспользоваться формулой (5) остаётся каким-то способом определить неизвестные в (4) функции fi{P). Здесь на помощь приходит следующая особенность фильтрационных течений несжимаемой жидкости в призабойных зонах скважин и, в частности, на поверхностях перфорационных отверстий, на поверхностях вертикальных и горизонтальных щелей скважинных фильтров. На всех названных поверхностях, соответствующих на схематическом рис. 9 участкам Si, S2, ..., Sm, скорость фильтрации нормальна к этим участкам и почти постоянна в пределах каждого из них.
Вывод формулы для расчёта дебита скважины с вертикально-щелевым фильтром
Предлагается единообразный подход к выводу формулы для расчёта дебита скважины оборудованной фильтрами основных базовых конструкций: вертикально-щелевой, кольчатой, перфорационной. Вывод формул для расчёта дебита основан на модифицированном методе граничных элементов. Подчеркнём, что для рассматриваемых во второй главе конструкций скважинных фильтров идею ММГЭ удаётся реализовать в сочетании с классическим методом Фурье. Такой вариант ММГЭ, не требующий построения функции Грина, в диссертации назван методом средневзвешенного потенциала (метод СВП).
Одной из распространенных конструкций фильтров является вертикально-щелевая конструкция, схема которой представлена на рис. 18. Количество, ширина вертикальных щелей и расстояния между ними определяются исходя из характеристик скважины.
Гидродинамические особенности течения жидкости к вертикально-щелевому фильтру изучаются в предположении, что грунт изотропный и однородный, а течение плоскопараллельное. Плоскость течения XOY перпендикулярна оси симметрии фильтра.
Изучением таких течений к скважине с вертикально-щелевым фильтром ранее занимался Пилатовский В.П. В своих исследованиях он получил следующую формулу для расчёта удельного дебита скважины с вертикально-щелевым фильтром [20,46]: где д0 =2л" — - - дебит совершенной скважины, гс - радиус скважины, 1п Гс Р J 2т N0O Q К -радиус контура питания, л = In cos—-, v0 - половина угла раствора N 2 непроницаемой дуги, N- количество стержней, Рп и Рс - приведённые давления на контурах питания и скважины соответственно, к - проницаемость пласта, ft коэффициент динамической вязкости жидкости (нефти). Рассмотрим вертикально-щелевой фильтр, такой состоит из чередующихся вертикальных щелей и непроницаемых стенок (рис. 18, б). Каждая вертикальная щель, фильтра показанного на рис. 18, имеет ось симметрии. Данная симметрия приводит к симметрии притока флюида к поверхности фильтра, поэтому можно выделить элементарную область ABCD (рис. 18, б) притока жидкости. В силу симметрии поверхности AD и ВС будут поверхностями тока. Круговая цилиндрическая поверхность CD, является эквипотенциальной поверхностью, на которой потенциал скорости фильтрации кР (р = (где к - коэффициент проницаемости пласта в призабойной зоне
И скважины, Р - приведенное давление, /л - коэффициент динамической вязкости жидкости) равен заданной постоянной. Как известно [46] потенциал р плоскопараллельной линейной фильтрации в изотропной однородной среде с проницаемостью к удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в полярных координатах (г, в) выглядит следующим образом: + д ( дср\ д (\ д р дг[ дг дв{гдв. = 0. (2) Данное утверждение имеет место, т.к. поле скорости фильтрации жидкости заданное через потенциал р вычисляется по формуле - V = grad((p), -» кроме этого поле скоростей V должно удовлетворять уравнению неразрывности div? = 0, из которого мы и получаем уравнение Лапласа divgrad p = A(p = 0. (3) (4) (5) (6)
Теперь выпишем граничные условия для уравнения Лапласа (2). Применительно к схеме фильтра на рис. 18, б они имеют вид: — = const, кР, И (P\r=R=(pn гДе (Рп дер дв = 0, где а = в0+р, = 0, 80 Є=а дер дг = 0, о вщ = const, kR м (Р\г=Гс =(Рс ГДе Рс=-вЛв а
Точное решение данной задачи можно получить методом конформного отображения. Однако мы применим метод средневзвешенного потенциала (СВП) [44], который в технической электродинамике известен как метод Хоу [75]. Достоинством метода СВП является простота применения и достаточная для приложений точность, что объясняет его широкое применение в инженерной практике.
Вывод формулы для расчёта дебита скважины с вертикально-щелевым фильтром малой скважности
В этом параграфе рассматривается вертикально-щелевой фильтр, особенностью которого является его очень малая скважность (от долей процента до 1,5-2%). Вертикально-щелевой фильтр [20], представляет собой круглую цилиндрическую трубу, вдоль которой сделаны прямолинейные щели (прорези) с шириной, многократно меньшей как радиуса трубы, так и их длины. Исследуем линейную фильтрацию несжимаемой однородной жидкости к вертикально-щелевому фильтру с длиной, равной толщине горизонтального пласта. Сечение такого фильтра горизонтальной плоскостью представлено на рис. 26.
Промышленные фильтры нефте- и вододобывающих скважин характеризуются специальным техническим параметром цскв - скважностью [8, 20, 34]. Скважностью фильтра цскв называется отношение суммарной площади всех щелей фильтра к его общей площади. Поскольку ширина отдельной прорези вертикально-щелевого фильтра равна 28, то его скважность Пске= (1) ж-гс
В параграфе рассматриваются течения жидкости к фильтрам с малой скважностью, когда rjCKe 0,005 + 0,040. Такие вертикально-щелевые фильтры предназначены для оснащения скважин, работающих в легко разрушаемых слабосцементированных коллекторах [8]. При работе скважин в этих коллекторах вместе с добываемой продукцией происходит ещё и вынос механических примесей, способствующих образованию глинисто-песчаных пробок. Для снижения возможности образования последних ширина щелей вертикально-щелевого фильтра для слабосцементированного коллектора определяется по размеру частиц примесей и может составлять 0,1 + 1,0мм. Рассматриваемые фильтры могут характеризоваться, например, следующими параметрами: 1)гс = 40см, 28 = 0,5мм, расстояние между центрами соседних щелей с1=5см, количество щелей N=50 - тогда скважность г\скв= 0,010; 2)гс= 10см, 28= 1мм, расстояние между центрами соседних щелей d = 2,5см, количество щелей N=25 - тогда скважность цскв = 0,040. Другие примеры вертикально-щелевых фильтров с малой скважностью для распространённых в промышленной практике размеров скважин приведены в таблице 5.
Применительно к вертикально-щелевому фильтру скважность цскв имеет ещё одну геометрическую интерпретацию - она показывает отношение ширины 2д отдельной щели к расстоянию d=2-arc между центрами двух соседних щелей, т.е. Т]скв = —. Заметим, что для приведённых примеров вертикально 102 щелевых фильтров отношения — = г/скв имеют такой же порядок малости, как d и отношения — радиусов гс скважин к расстоянию L между ними. Поэтому расчёт фильтрации к вертикально-щелевому фильтру с малой скважностью можно выполнить методами расчёта течений к группе совершенных скважин. Для этого каждую вертикальную щель будем рассматривать как точечный сток, расположенный на круговой непроницаемой границе с радиусом гс (рис. 26). В связи со сказанным перейдём к исследованию течения к N точечным стокам, размещённым на непроницаемой окружности.
Как известно, линейная плоскопараллельная фильтрация несжимаемой жидкости описывается комплексным потенциалом [10, 46] (p{x,y) + iy/(x,y) = w(z), (2) представляющим собой аналитическую функцию комплексного переменного z = x + іу. В формуле (2) р обычным образом выражается через приведённое кР давление: q = , а у/ функция тока течения. (Все обозначения общепринятые). В силу симметрии рассматриваемого на рис. 26 течения достаточно его изучить лишь в области ABCDA. Для изучения течения в этой области введём в рассмотрение вспомогательную комплексную безразмерную переменную "= f + Щ связанную с z формулой 2а \rcJ (3) Так как согласно (3), # = - -14 2а ГГЛ \rcJ И 77 = 2а (4) где г и в - полярные координаты текущей точки z, то угловой сектор АОА на плоскости z отображаются конформно на горизонтальную полосу на плоскости С(рис. 27).
Из рис. 27 видно, что фильтрация жидкости к вертикальной прорези на рис. 26 будет моделироваться течением к точечному стоку в полосе на рис. 27. Комплексный потенциал такого течения известен и имеет вид (5) w(0 = --ln[sh(rt]+5, in где q и В - некоторые пока произвольные действительные постоянные. Гидродинамический смысл постоянной q в потенциале (5) в том, что она определяет величину полного фильтрационного притока к точечному стоку С на рис. 27. Заметим, что указанный на рис. 27 фрагмент течения в области { f О, 0 7/ 7г/2}в величину q вносит лишь четвертую часть.
После выделения в (5) действительной и мнимой частей, для (р и ці получаем выражения ,7/) = - -- lnVsh2( )cos2( ) + ch2( )sin2(77) +В = 2п (6) 1ж V 2 I цу{%, rj) = --?- arctg[cth() tg(77)] 2к Формулы (6) позволяют строить гидродинамические сетки исследуемого течения. Например, уравнение эквипотенциали (р = const, проходящей через зафиксированную точку (0, т/о) будет, согласно (6), иметь вид ch(2) - cos(2/7) = ch(20) - cos(2/70). = 4.
Гидродинамическая сетка исследуемого течения к вертикальной щели, построенная с помощью двух последних уравнений средствами Maple 7 [3], приведена на рис. 28. Анализ гидродинамических сеток, одна из которых приведена на последнем рисунке, показывает, что, во-первых на расстоянии равном (2,5 + 3,0) гс и более эквипотенциали р = const течения к вертикально-щелевому фильтру практически совпадают с окружностями г = const. Во-вторых, в непосредственной близости к вертикальной прорези эквипотенциали (р = const практически тоже представляют собой окружности с центром в середине щели. Эти особенности гидродинамических сеток ниже применятся к расчёту неизвестных постоянных q и В из граничных условий рассматриваемой задачи.
Вывод формулы для расчёта дебита скважины с каркасно-стерлсневым фильтром
Для создания потока к центру фильтра, в начале координат поместим точечный сток с комплексным потенциалом
Для моделирования препятствий в виде N круглых стержней, в центрах каждого стержня расположим точечные диполи с моментами, направленными строго навстречу радиальному потоку (1). Поскольку комплексный потенциал точечного диполя имеет вид ——, то потенциал от суммы диполей будет z-zk равным ——. При этом точки z должны располагаться в соответствии с k=Oz zk рис. 33 равномерно по окружности г = г0. Учитывая, что такое расположение точек Zk соответствует распределению простых корней уравнения z" - г0" = 0, суммарный потенциал от всех п диполей можно будет представить в виде: z -г0 где А - некоторая, пока неопределённая действительная постоянная.
Накладывая на течение к стоку (1) течение от N диполей (2) придём к комплексному потенциалу, моделирующему в главных чертах течение к каркасно-стержневому фильтру .N z -г0 2/Г + С. (3) (При записи формулы (3) неопределённую постоянную А обозначили как А = ——-X-VQ, где Я - новая неопределённая безразмерная постоянная). 2п
Неопределённые постоянные q, X и С в комплексном потенциале (3) будем находить исходя из граничных условий, характеризующих течение.
Во-первых, на окружности радиуса R (рис. 33) потенциал (р = Re[w(z)] скорости фильтрации должен принимать некоторое заданное постоянное значение р„. Поэтому потребуем, чтобы (Р \г=и=(Рп- (4) Во-вторых, окружность с радиусом гс является внутренней границей 124 скважины, на которой потенциал р должен принимать другое постоянное значение рс, поэтому Р \Г-Г = Рс (5) Для расчёта средних значений потенциала скорости фильтрации ср на окружности C:\z- z0\=r будем применять формулу Пилатовского В.П. [46] -А 1 rw(z)dz (6) 1л І І Z — Zr, (p = Re В соответствии с (3) и (6) среднее значение р на окружности Со с радиусом г = гс будет вычисляться по формуле (7) (р \ =——lnr„+ — + С = ог. ]r=rc 2п с 2л Среднее значение р на окружности С\ с радиусом R Го в соответствии с (3) и (6) будет вычисляться по формуле Р \ »=——\nR + C = (pn (8)
Из системы уравнений (7), (8) теперь можно вычислить удельный дебит q скважины с каркасно-стержневым фильтром: 2л((рс-(рп) Я (9) ІП- + Я Величину X в формуле (9) называют дополнительным фильтрационным сопротивлением.
Дополнительное фильтрационное сопротивление X связано как с количеством, так и с диаметром стержней. Найдём эту связь. Для этого вычислим координаты критических точек, в которых линии тока разветвляются и комплексная скорость течения равна нулю. Уравнение для координат критических точек имеет вид: dw dz 2л I -Л NzN lr0N 0. (10)
Для отыскания корней уравнения (10) применим подстановку z = r0 -т, где г -комплексный безразмерный параметр. Тогда для т из (10) получим уравнение Подставляя далее из (16) в формулу 2 + 2 ./V = 2ch, для дополнительного фильтрационного сопротивления X получаем выражение _го Я = (zN-D2 где х = (17) Для того чтобы вычислить размер / стержней фильтра, подставим — из (16) в N (15). В результате найдём, что го гс (18) Если размер d стержней фильтра задан, то (18) будет уравнением для определения радиуса г0. Решая (18) получим, что (19) г- =х= 1+-. гс V Гс
Таким образом, для расчёта дополнительного фильтрационного сопротивления X, вначале, по заданным техническим параметрам d и гс нужно найти х по формуле (19), а затем при найденном х и заданном количестве стержней N найти X по формуле (17). Левое равенство в формуле (19) позволяет вычислить значение радиуса r0=jrc, который нужен для построения гидродинамической сетки течения в призабойной зоне скважины с каркасно-стержневым фильтром и для оценки длины J 2r0 tg 0 диаметра стержня А[А 2 (рис. 34).
Похожие диссертации на Математические модели течений жидкости к фильтрам буровых скважин
