Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Аналитические методы задания геометрии искривлённых слоев постоянной и переменной толщины 21
1.1. Общий подход к построению ортогональных систем координат для описания течений в искривлённых слоях конечной переменной толщины 21
1.2. Общий метод построения ортогональных координат в искривленных цилиндрических слоях постоянной толщины 25
1.3. Примеры построения ортогональных координат для конкретных искривлённых цилиндрических слоев постоянной толщины 30
1.3.1. Эллиптический слой постоянной толщины 30
1.3.2. Параболический слой постоянной толщины 32
1.3.3. Гиперболический слой постоянной толщины 33
1.3.4. Гипертангенсалъный слой постоянной толщины 34
1.3.5. Горбообразный слой постоянной толщины 34
1.4. Общий метод построения ортогональных координат в искривлен ных осесимметричных слоях постоянной толщины 35
ГЛАВА II. Уравнения трёхмерных течений жидкости в искривлённых слоях с конечной толщиной 40
2.1. Уравнения потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях с конечной толщиной 40
2.2. Уравнения линейной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых изотропных неоднородных пластах с конечной толщиной 41
ГЛАВА III. Двумерные математические модели гидродинамических и фильтрационных течений в искрив лённых слоях конечной толщины 44
3.1. Двумерные модели течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях О.В. Голубевой (схема 1) и В.А. Толпаева (схема 2) 44
3.2. Новая двумерная модель течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях конечной толщины (схема 3) 50
3.3. Вывод уравнения неразрывности для течений жидкости в искривлённых слоях по предложенной кинематической схеме 39
3.4. Двумерная математическая модель (схема 3) фильтрации жидкости в изотропных неоднородных искривлённых пластах постоянной и переменной конечной толщины 54
3.5. Двумерная математическая модель (схема 3) потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины 59
3.6. Двумерная математическая модель (схема 3) течений несжимаемой жидкости в цилиндрических слоях постоянной толщины 61
3.7. Комплексные потенциалы двумерных течений в однородном изотропном круговом цилиндрическом слое постоянной толщины 64
3.8. Двумерная математическая модель (схема 3) течений несжимаемой жидкости в осесимметричных слоях постоянной толщины 70
3.9. Комплексные потенциалы двумерных течений в однородном изотропном сферическом слое постоянной толщины 73
3.10. Комплексные потенциалы двумерных течений в однородном изотропном круговом коническом слое постоянной толщины 78
3.11. Уравнения двумерных течений в плоскопараллельном и в клиновидном слоях 88
ГЛАВА IV. Исследования точности аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых слоях конечной толщины их двумерными моделями 96
4.1. Точность аппроксимации схемами 1, 2 и 3 поступательных потоков, направленных вдоль образующих в криволинейных цилиндрических слоях 96
4.2. Погрешность расчёта потоков при аппроксимации фильтрационных течений, перпендикулярных к образующим слоев, по схемам
1,2 и 3 100
4.2.1. Общая постановка задачи 100
4.2.2. Точность аппроксимации схемами 1, 2 и 3 поступательного потока в круговом цилиндрическом слое 103
4.3. Погрешность расчёта поля давления в поступательных потоках, перпендикулярных к образующим цилиндрических слоев, при аппроксимации течений по схеме 3 107
4.4. Расчёт по схемам 1, 2 и 3 дебита скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта 118
4.4.1. Вывод формул для дебита скважины в куполообразном пласте общего вида 119
4.4.2. Расчёт дебита скважины, расположенной в куполе сферического пласта 124
4.4.3. Расчёт дебита скважины, расположенной в куполе кругового конического пласта 126
4.5. Исследования точности расчётов дебита скважины, расположенной в куполе а) сферического и б) кругового конического пластов по двумерным моделям течений 126
4.5.1. Исследования точности расчётов дебита скважины в сферическом пласте 127
4.5.2. Исследования точности расчётов дебита скважины в круговом коническом пласте 134
4.6. Сеточное решение задачи о течении к скважине в куполе сферического пласта и его приложения 140
4.6.1. Постановка задачи и выбор безразмерных переменных 141
4.6.2. Построение сеточной области 143
4.6.3. Дискретизация дифференциального уравнения и граничных условий 146
4.6.4. Организация и блок-схемы вычислительного процесса 150
4.6.5. Результаты вычислительного эксперимента 153
4.7. Математические модели нелинейной фильтрации жидкости к скважине, расположенной в куполе осесимметричного пласта 163
Заключение 170
Литература
- Общий метод построения ортогональных координат в искривленных цилиндрических слоях постоянной толщины
- Эллиптический слой постоянной толщины
- Уравнения линейной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых изотропных неоднородных пластах с конечной толщиной
- Двумерная математическая модель (схема 3) потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины
Введение к работе
1. Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена широким кругом важных с теоретической и практической точек зрения проблем, для решения которых в работе предложены новые эффективные методы математического моделирования.
Проблемы развития авиационной, космической и корабельной техники І А . постоянно выдвигают требования разработки новых, более адекватных к реальным условиям, математических моделей движения жидкости [34, 92]. Например, требования более точного и полного решения задач обтекания жидкостью реальных тел заставляют результаты классических моделей плоскопараллельных и осесимметричных течений уточнять на математических моделях определённых классов пространственных течений. В частности, сложное пространственное течение можно с определённой точностью рассматривать как сумму течений, ограниченных воображаемыми твёрдыми криволи- нейными поверхностями. При этом движение между двумя соседними зафиксированными ограничивающими поверхностями тока изучать как течение в заданном недеформируемом искривлённом слое переменной толщины.
В нефтегазовой гидромеханике практика разработки неоднородных продуктивных пластов сложной геологической структуры [9, 24, 39] также требует прогностические расчёты по классическим моделям плоскопараллельных движений уточнять на математических моделях фильтрации жидкости в \щ искривлённых неоднородных слоях переменной толщины [66].
Широкое распространение в практике нефте- и газодобычи строительства горизонтальных, многоствольных и наклонных скважин [1, 2, 7,39], в при-забойных зонах которых фильтрационные течения носят ярко выраженный пространственный характер, тоже требует разработки новых методов математического моделирования специфических классов пространственных фильтрационных течений.
Проблемы охраны окружающей среды выдвигают в качестве важнейшей задачу исследования миграции загрязнённой (засоленной) воды. Так как водоносные пласты, как правило, искривлены, неоднородны, имеют переменную толщину, то и в этом классе задач требуется разработка новых методов математического моделирования пространственных фильтрационных течений жидкости.
Все указанные проблемы выдвигают как актуальную задачу разработки IA, новых методов математического моделирования гидродинамических и фильтрационных течений в искривлённых (однородных и неоднородных) слоях постоянной и переменной толщины. Именно этому классу задач и посвящена тема диссертации.
2. Обзор литературы. Потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости в весьма тонких искривлённых слоях стали изучаться приблизительно с 80-х годов XIX века в работах Бельтрами Е. [97], Аллена А. [96], Умова Н.А. [87], Хилла М. [100] и др. Подошва и кровля таких слоев счита- лись непроницаемыми.
Примерно через 70 лет (конец 1940-х - 1950-е годы) к теории течений в искривлённых весьма тонких пластах переменной толщины обратились другие механики - это Голубева О.В. [16, 17], Полубаринова-Кочина П.Я. [50], Крылов А.П. [32]. Они теорию течений в искривлённых весьма тонких слоях стали применять к решению задач разработки нефтепромыслов. Однако в задачах нефтепромысловой гидромеханики пласты имеют не весьма тонкую, а ;Л конечную толщину. Поэтому появилась необходимость в оценках точности тех расчётов, которые выполнялись на базе теории (в диссертации называемой схемой 1 или, по наибольшему количеству работ школы О.В. Голубевой, схемой О.В. Голубевой), созданной для течений в весьма тонких слоях.
Тем не менее оценкам точности фильтрационых расчётов по схеме 1 внимания практически не уделялось. Впервые на эту проблему обратил внимание В.А. Толпаев [66], следуя которому в диссертации продолжены иссле-ґ# дования точности расчётов дебитов скважин с позиций схемы 1.
•ф Оригинальной модификацией схемы 1 служит математическая модель фильтрации жидкости в криволинейных слоях переменной толщины, предложенная Амираслановым И.А. и Черепановым Г.П. [4]. Их модель тоже предназначена для весьма тонких пластов. Отличие же в том, что вместо р -гармонического уравнения [48, 49], применяемого в схеме 1 [16, 17,45, 46, 57, 58, 69, 91, 104], в [4] задача сводится к решению уравнения Пуассона. Однако и в [4] проблема точности фильтрационных расчётов по схеме 1 и по ф её модификации [4] не рассматривалась.
На важность развития теории пространственных течений указывали известные математики М.А. Лаврентьев и Б.В. Шабат [34]. Они отмечают теорию пространственных гидро- и аэродинамических течений как наименее развитый на сегодняшний день раздел гидромеханики. Причиной этого в [34] называется отсутствие пространственного аналога метода годографа, пространственного аналога теории аналитических функций комплексного переменного, аналога теории конформных отображений. В связи с этим в [34]
lv - выделяются определённые классы пространственных течений, для которых разрабатываются конкретные математические модели. В частности, в [34] рассматривались течения в узких трубах, в узких слоях и течения, близкие к плоским, переходящие на бесконечности в поступательные потоки. Эвристическая ценность идей [34] в том, что здесь наглядно показано, как, предвидя кинематику реального пространственного течения, можно построить его достаточно точную математическую модель. ;ц
Следуя общей методологии [34] в [66, 67, 68] была предложена новая математическая модель течений жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины - схема 2, или, по-другому, схема В.А. Толпаева. В основе математической модели течений в схеме 2 лежит достаточно близкая к реальности специальная аппроксимация кинематики действительных течений в искривлённых слоях конечной толщины.
Достоинством схемы 2 является её повышенная по сравнению со схемой точность фильтрационных расчётов, в частности, дебитов добывающих -ф скважин. Недостатком схемы 2 является то, что вместо достаточно полно изученного в работах учеников О.В. Голубевой [10, 13, 14, 45, 46, 55, 56, 57, 58, 89, 91, 104] -гармонического уравнения и гидродинамических свойств его решений в новой схеме [66, 67, 68] для расчёта течений требуется решать краевые задачи для двухкоординатного уравнения эллиптического типа с гораздо более сложными по сравнению со схемой 1 коэффициентами. К тому же схема 1 опирается на достаточно развитый математический аппарат 1± 2 -моногенных функций Л. Берса и А. Гельбарта [98, 99], операции
Е -дифференцирования и Е-интегрирования этого класса обобщённых аналитических функций. Кроме того, в схеме 1 могут широко применяться р-аналитические функции Г.Н. Положего [48, 49], для которых найдены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, сделана классификация особых точек, построена теория вычетов, найдены интегральные представления р-аналитических функций с характеристиками р = хк через аналитические функции.
В схеме В.А. Толпаева (схеме 2) коэффициенты эллиптического уравнения таковы, что применение разработанного математического аппарата Л. Берса, А. Гельбарта и р -аналитических функций Г.Н. Положего затруднено, и поэтому приходится опираться лишь на общие идеи Е. Пикара о возможности построения теории функций, подобно теории аналитических функций, удовлетворяющих системе уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Поэтому схема 2 позволяет применять лишь самые об-щие результаты теории обобщённых аналитических функций, изложенные в монографии И.Н. Векуа [12], и общие идеи теории квазиконформных отображений, разработанной трудами М.А. Лаврентьева, Б.В. Шабата, З.Я. Шапиро, Л.И. Волковыского, Б.В. Боярского [33,34].
Кроме названных авторов в теорию пространственных течений идеальной жидкости внёс большой вклад известный механик Ф.И. Франкль [39, 88]. Им развита теория течений достаточно тонких плёнок идеальной несжимае-мой жидкости по криволинейным поверхностям. В отличие от схем 1 и 2 в рассматриваемых Ф.И. Франклем течениях жидкость имела свободную поверхность.
В смежных областях естествознания - в электрофизике, исследования трёхмерных электро- и магнитостатических полей проводили Ю.Я. Иоссель [23], А.И. Князь [29] и др. Для расчёта плотности постоянного тока в искривлённой электропроводящей пластинке Ю.Я. Иоссель [23] применял метод, аналогичный схеме О.В. Голубевой - схеме 1. А.И. Князь [29] для частного класса трёхмерных электростатических полей нашёл такую подстановку в трёхмерном уравнении эллиптического типа, в результате которой задача сводилась к интегрированию двухкоординатного эллиптического уравнения в частных производных. Теоретический интерес метода [29] в том, что указанный частный класс трёхмерных задач электростатики методом двухкоор-динатных потенциалов решается точно. Однако при переходе к гидродинамическим аналогиям класса задач [29] видно, что одна (или обе) поверхности, ограничивающие искривлённый слой, не являются жёсткими поверхностями тока. Последнее снижает практический интерес задач [29] с точки зрения теории фильтрации.
Весьма оригинальным методом точного расчёта частных классов трёхмерных электростатических полей является метод Ламе [43]. Эвристическая привлекательность метода Ламе в том, что для специального частного класса пространственных электростатических полей в [43] указан способ сведения краевых задач для трёхмерного уравнения Лапласа к решению краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Идея метода Ламе, позволившая перейти от трёхмерного уравнения Лапласа к обыкновенному дифференциальному уравнению основана на предвидении общей картины распределения в пространстве семейства эквипотенциальных поверхностей в исследуемых электростатических полях. Заметим, что идея метода Ламе сродни идее методов [34, 66, 61, 68]. Только в работах [34, 66, 67, 68] авторы опирались на моделирование траекторий движения жидких частиц, приближенное к реальному течению, а в методе Ламе основой служит аппроксимация семейства эквипотенциалей исследуемого поля.
Серьёзные математические трудности построение аналитических решений пространственных задач аэрогидродинамики, теории фильтрации, элек-стро- и магнистостатики и др., способствовали развитию численных методов решения такого класса задач. В аэрогидродинамике появилось специальное направление - вычислительная аэрогидродинамика [92]. В теории фильтрации конечно-разностные методы решения для плоскопараллельных задач стали применять Старшинова Л.В. [63, 64], Вахитов Г.Г. [11] и др. Численные методы решения трёхмерных уравнений упругого режима теории фильтрации развиваются Каневской Р.Д. [27], Кадетом В.В. [26] и другими авторами [35, 36]. Буйкисом А.А. [9] разработан численный метод консервативного осреднения для моделирования процессов фильтрации в слоистых средах. В смежных научных областях - в вычислительной геометрии и физике численные методы решения уравнений в частных производных продолжают развиваться многими известными специалистами [25,26,28,30,31, 60].
Методы построения приближённых аналитических решений пространственных задач теории фильтрации на основе вариационного принципа наименьшей скорости рассеяния энергии разработаны в трудах В.Л. Данилова [18]. В [66] предложены вариационные методы решения двумерных задач напорной фильтрации жидкости в анизотропных средах.
Однако, как показали литературные исследования, во всех перечисленных работах разработке численных методов решения задач теории фильтрации в искривлённых слоях конечной толщины специального внимания не уделялось. Поэтому это направление в нефтегазовой гидромеханике пока остаётся молисследованным.
В целом анализ исследований показывает, что теория фильтрационных течений в искривлённых слоях конечной толщины далека от своего завершения. Схема 1 хотя и имеет большую законченность, но вместе с этим зачастую приводит лишь к грубым оценочным результатам. Схема 2 обладает по іщ вышенной точностью фильтрационных расчётов в пластах с толщиной промыслового значения. Однако математический аппарат для решения рассматриваемых задач гидродинамики и теории фильтрации с позиций схемы 2 оказывается громоздким и сложным. Именно поэтому возникает необходимость в такой модификации схемы 2, чтобы, не особенно снижая её точность, получить более приближённый к схеме 1 математический аппарат исследования течений в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины.
± 3. Целью работы является создание и исследование новых математиче ских моделей гидродинамических и фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины и исследование точности расчётов как по известным, так и по предлагаемой схемам.
4. Методы исследования. Для решения рассматриваемых в диссертации задач фильтрации жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины в качестве основного метода исследования систематиче Л ски применяется новая разработанная математическая модель, опирающаяся на теорию двухкоординатных уравнений эллиптического типа в частных производных с переменными коэффициентами. Указываются классы задач, допускающие применение в качестве основных методов исследования теории аналитических функций. Проводится анализ аналитических и численных, с использованием ЭВМ, решений для конкретных классов течений и делаются выводы практического характера.
7 5. Достоверность и обоснованность научных положений и результатов диссертации подтверждается следующим:
5.1. Корректностью применения апробированного математического аппарата (векторный анализ, уравнения математической физики, теория аналитических функций, дифференциальная геометрия, численные методы);
5.2. Корректностью использования апробированных специализированных программных сред (Maple 7 [19], MathCAD 8 [20], Visual C++ 2005 [21], т Matlab 5 [37, 52]);
«її 5.3. Результаты исследований других авторов (О.В. Голубевой [16, 17], А.П. Крылова [32], Ю.Я. Иосселя [23], В.П. Пилатовского [47]) вытекают из результатов защищаемой работы как предельные частные случаи, когда толщина искривлённого слоя стремится к нулю;
5.4. Результаты классической модели плоскопараллельных течений из предложенной математической модели вытекают как частный случай для слоя с плоскими параллельными друг другу подошвой и кровлей, эксплуати- руемого прямолинейными скважинами, перпендикулярными к слою.
6. Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:
6.1. Построена новая математическая модель потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины - схема 3;
6.2. Построена новая математическая модель фильтрационных течений несжимаемой жидкости в искривлённых неоднородных слоях постоянной и Л переменной конечной толщины - схема 3;
6.3. Развит метод построения специализированных ортогональных криволинейных координат, приспособленных для исследования течений в искривлённых слоях переменной толщины;
6.4. Предложены с позиций новой схемы 3 двумерные математические модели течений жидкости в искривлённых слоях конкретных типов (в цилиндрических, осесимметричных, клиновидных и сферических слоях);
,ц 6.5. Указаны классы криволинейных слоев постоянной конечной толщи ны, течения в которых в приближении схемы 3 можно описывать комплексными потенциалами, представляющими собой аналитические функции;
6.6. С позиций предложенной схемы 3 указана гидродинамическая интерпретация теории р -аналитических функций Г.Н. Положего, открывающая для них новый широкий круг приложений.
Развитый аппарат можно применить не только к задачам гидродинамики Ш, идеальной жидкости и линейной теории фильтрации, но и для исследования процессов и явлений различной физической природы, описываемых уравнениями вида v = к(х, у, г) • grad q \ divv = 0.
7. Практическая значимость. Построенные математические модели применены к решению актуальных граничных задач, возникающих при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта с осесимметричной структурой. Найдены формулы для вычисления дебита совершенной скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта, как для линейного, так и для нелинейного законов фильтрации.
Исследована точность аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых слоях конечной толщины как по известным схемам (схемам 1 и 2), так и по новой предложенной схеме 3. Сделаны практические рекомендации.
Для конкретных криволинейных слоев постоянной толщины (эллиптический слой, параболический, гиперболический, гипертангенсальный, горбооб-разный, осесимметричные слои, цилиндрические слои) построены ортогональные криволинейные координаты, приспособленные для исследования в этих слоях потенциальных векторных полей различной физической природы.
8. Апробация работы. По мере получения основных результатов и в завершённом виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики СевКавГТУ (рук. д.ф.-м.н. Толпаев В.А.).
Отдельные результаты диссертации докладывались на:
- Междисциплинарном научном семинаре вузов Северо-Кавказского региона «Циклы» (СевКавГТУ, 2002г.);
- Научно-технической конференции «Естественные и точные науки» (СевКавГТУ, 2003г.);
- Седьмой всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2003 г.);
- Девятой всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, 2003г.);
іц - Третьей и четвёртой региональной научной конференцях «Математи ческое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках» (Георгиевск, 2003,2004гг.);
- Четвёртой международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004г.);
- Пятом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной ма- тематике (Кисловодск, 2004г.);
- Первой и второй международной научно-технической конференциях «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (СевКавГТУ, 2004г., 2006г.);
- Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005г.).
9. Публикации. По теме диссертации всего опубликовано в соавторстве 16 работ [70-85]. Из них в реферируемой центральной научной печати 7 ра бот [71, 72, 75, 80, 81, 83-85]. В опубликованных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчётных формул и разработка программ для выполнения вычислительных экспериментов. Руководителю - постановка проблемных задач, общее руководство, проверка выводов расчётных формул и независимые сопоставительные расчёты.
10. Основные положения, выносимые на защиту:
10.1. Методы построения специализированных ортогональных криволи- /ф нейных систем координат для описания течений в искривлённых цилиндрических и осесимметрических слоях постоянной конечной толщины;
10.2. Новые методы (схема 3) математического моделирования потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях конечной толщины;
10.3. Новые методы (схема 3) математического моделирования линейной фильтрации жидкости в однородных и неоднородных изотропных покривів ленных пластах конечной толщины;
ф 10.4. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию точ ности аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых пластах конечной толщины их двумерными математическими моделями.
11. Личный вклад автора. Диссертационное исследование соискатель выполнял под общим научным руководством доктора физико- математических наук В.А. Толпаева. Основные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. Достоверности и логичности вы I» водов в немалой степени способствовали многочисленные обсуждения мате риалов работы с научным руководителем, за что автор выражает Толпаеву Владимиру Александровичу искреннюю благодарность.
12. Структура и объём работы. Общий объём диссертации 291 стр., из них 169 стр. основной части. Основная часть состоит из введения, четырёх глав, содержащих 24 пункта, заключения и списка литературы из 105 названий, из которых 10 на иностранных языках. Диссертация содержит 23 таблицы, 46 графиков и рисунков и четыре приложения объёмом 122 стр. Каждая глава диссертации начинается с краткого вступления, в котором перечисляются её основные цели и задачи и заканчивается формулировкой основных результатов главы.
Формулы в текущем пункте имеют одинарную нумерацию. При ссылке на формулу из другого пункта применяется традиционная тройная нумерация: номер главы, номер пункта и номер формулы в пункте.
13. Краткое содержание работы
В 1-ой главе диссертации предложены общие методы построения спе циализированных ортогональных криволинейных систем координат (%,TJX), предназначенных для описания течений жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины. Системы координат (, г], Q выбираются так, чтобы в семейство С, -координатных поверхностей входили непроницаемые поверхности = = const подошвы и = 2 = const кровли криволинейного слоя, -координатные линии, определяемые пересечением ко ординатных поверхностей В, = const и г/ = const, моделируют оси эксплуатаци онных и нагнетательных скважин. В п. 1.3 приведены конкретные примеры ортогональных систем координат, предназначенных для описания течений в эллиптическом, параболическом, гиперболическом, гипертангенсальном, горбоорбразном, цилиндрических и осесимметрических криволинейных слоях.
Во 2-ой главе делается постановка основной краевой задачи для трёхмерного уравнения эллиптического типа которому удовлетворяет трёхкоординатный потенциал р = ,г],С), точно описывающий течения жидкости в искривлённом слое переменной толщины с непроницаемыми подошвой ( = (,и кровлей = 2. В уравнении (1) через #,,#2,#3 обозначены параметры Ламе системы координат {%,rj,Q, а через k(%,Tj,Q - безразмерный коэффициент, описывающий проницаемость пористой среды, заполняющей слой. Если Щ,т],) = 1, то уравнение (1) описывает как потенциальные течения идеальной жидкости, так и линейную фильтрацию в изотропной однородной среде.
На непроницаемых подошве и кровле слоя решения уравнения (1) должны удовлетворять граничным условиям Кроме условий (2) решения уравнения (1) должны удовлетворять дополнительным краевым условиям (ДКУ), своим для каждой конкретной задачи. Например, ДКУ могут иметь вид Не = (Рс= const и И/ = Фі const (3)
где С и П - заданные поверхности, моделирующие поверхности ствола скважины и области питания [6,16,35,26,27,42,44].
Задача (1), (2) + ДКУ и названа в работе основной краевой задачей для трёхмерного уравнения (1). Сложность этой задачи в том, что, как правило, коэффициенты уравнения (1) не позволяют применить для её решения метод , Фурье. Кроме того, поверхности в ДКУ могут не совпадать с координатными поверхностями ff = const или т/ = const и, к тому же, эти поверхности могут быть построенными не из -координатных линий. Всё это делает основную краевую задачу (1), (2) + ДКУ очень сложной и для аналитического, и для численного решения. Именно поэтому возникает необходимость в разработке специальных методов математического моделирования течений в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины, ід В 3-ей главе диссертации приводится сопоставительный обзор двумер ных математических моделей течений жидкости в искривлённых слоях - модель О.В. Голубевой (схема 1) и модель В.А. Толпаева (схема 2). Поставлена задача о разработке новой двумерной модели течений жидкости в искривлённых слоях, которая, не сильно уступая в точности расчётов схеме 2, была бы не намного сложнее простейшей схемы 1. Эта новая двумерная математическая модель в диссертации названа схемой 3. Для разработки математической модели по схеме 3 предварительно в п.3.3 даётся вывод уравнения не-разрывности в осреднённой по толщине слоя форме. Затем с помощью ос-реднённого уравнения неразрывности и закона Дарси [26,27,42,44,101, 102, 103,105] выводится уравнение эллиптического типа для двухкоординатного потенциала р = р( ,т]), описывающего с некоторой степенью точности течения жидкости в криволинейном ф слое, ограниченном непроницаемыми подошвой = & и кровлей = 2- В уравнении (4) геометрические параметры слоя 5,, , , и h2 вычисляются по указанным в п.3.3 правилам через параметры Ламе #,,#2,Я3 ортогональной криволинейной системы координат ,,г}. В пп. 3.5-3.11 рассмотрены криволинейные слои с конкретными геометрическими свойствами (цилиндрические и осесимметрические слои постоянной толщины) и указаны те частные случаи криволинейных слоев, течения жидкости в которых можно с позиций , Щ схемы 3 описывать при помощи аналитических функций комплексного переменного.
В 4-ой главе диссертации проводятся исследования точности аппроксимации трёхмерных фильтрационных течений в искривлённых слоях конечной толщины их двумерными математическими моделями по схемам 1, 2 и 3. Для этого проводятся сопоставительные расчёты конкретных типов течений в точной постановке основной трёхмерной краевой задачи и в постановках двумерных математических моделей. Конкретно, с этих позиций рассматри вались поступательные потоки, направленные 1) вдоль образующих в криволинейных цилиндрических слоях и 2) перпендикулярно к образующим в этих же слоях.
Специальное внимание уделено важному для нефтепромысловой практики вопросу о точности расчёта дебита скважины, работающей в искривлённом пласте. С этой целью впервые был сделан вывод формул для расчёта дебита скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта как в постановке схемы В.А. Толпаева (схемы 2), так и в постановке новой предложенной схемы 3. Причём в постановке схемы 3 вывод формул для дебита такой скважины сделан не только для линейного, но и для нелинейных режимов фильтрации. Для проведения сопоставлений расчётов дебита скважины по двумерным математическим моделям с расчётами по основной трёхмерной краевой задаче последняя для сферического пласта в п.4.6 решалась численно методом конечных разностей. Кроме того, ввиду больших матема (щ, тических трудностей решения основной трёхмерной краевой задачи, для получения нижней и верхней оценки точного значения дебита скважины в куполе осесимметричного пласта применялся метод мажорантных областей [15, 48, 49]. С помощью этого метода рассчитаны нижние и верхние оценки точного значения дебита скважины, работающей в куполе 1) сферического и 2) кругового конического пластов.
По результатам всех вычислительных экспериментов в конце 4-ой главы fr сделаны практические выводы.
В заключении кратко перечисляются результаты научного исследования по теме диссертации.
В приложении, содержащем четыре пункта, приводятся необходимые сведения о свойствах эллиптических систем двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Приводится обзорная (по результатам главы 3) справка по двумерным математическим моделям течений в конкретных криволинейных слоях. Приводится программа численного решения основной краевой задачи для исследования течения к совершенной скважине, расположенной в куполе сферического пласта. И, наконец, приводятся в табличном виде результаты расчётов по названной программе.
Общий метод построения ортогональных координат в искривленных цилиндрических слоях постоянной толщины
В этом параграфе предлагается общий метод построения ортогональных систем координат, пригодных для исследования течений в искривлённых цилиндрических слоях постоянной конечной толщины.
Определение. Криволинейный слой будем называть слоем постоянной толщины, если его подошва F, и кровля F2 представляют геометрические места концов отрезков постоянной длины, отложенных на нормалях к серединной поверхности FQ по разные стороны от неё (рис. 3).
Криволинейный слой постоянной толщины Fx - подошва криволинейного слоя постоянной толщины; F0 - серединная поверхность криволинейного слоя; F2 - кровля криволинейного слоя; М,М2 = А/3Л/4= [ 5 61 = Н -толщина криволинейного слоя. В дифференциальной геометрии такие поверхности FQ,FX и F2 называют параллельными криволинейными поверхностями [22,30].
Пусть серединная поверхность F0 криволинейного слоя толщины Я задана параметрическими уравнениями вида =/.(6 7); у = МЄ.пї, z=m,n), (1) где и г] - ортогональные координаты точек поверхности F0. Для этого, как известно, должно выполняться условие
Для того, чтобы получить уравнение кровли F2, предварительно находим координаты вектора единичной нормали Я к серединной поверхности F0 по формуле Рис. 4. К выводу уравнений связи декартовых и криволинейных координат внутренних точек криволинейного слоя. Радиус-вектор внутренней точки М криволинейного слоя, как видно из рис. 4, найдётся по формуле щ,п,0 = и$,гі)+\с-н-п (4) где -\ \. Уравнение (4) при С, = 0 даст уравнение серединной поверхности F0, при С, = 1 - кровли F2 слоя и при С, = -1 - подошвы Fl слоя.
Из формул (1), (3) и (4) устанавливаем следующую связь между декартовыми (x,y,z) и криволинейными (Е„г],0 координатами точек искривлённого слоя постоянной толщины: 2 = №,П)+\$Н-пг, (5) где щ,п2 и п3 - проекции вектора Я, определённого формулой (3), на оси x,y,z, т.е. Я = и,/ + n2j + пгк. (6) (7) (8)
С помощью формул (5) далее можно вычислить векторы, направленные по касательным к координатным линиям %,т], соответственно: з ( 1 д t\dt; 2h дї)к 8R дїіу V , і ек R2= — = Y ZL + ±H 2 Br] іґХдт) 2h дт] л, = — =—Н-п, 3 дС, 2 где є, = і, е2 = ], е3 = к. Из формул (6), (7) и (8) легко видеть, что (ЛД)=(ЛД)=0. (9) Если окажется, что и (д,,Л2)=0, то криволинейные координаты (%,?],) будут ортогональными.
Важно заметить, что для криволинейных поверхностей F0, относящихся либо к поверхностям вращения, либо к цилиндрическим поверхностям, формулы (3) и (4) приводят к ортогональным криволинейным координатам Введём теперь в рассмотрение новый класс ортогональных криволинейных систем координат, которые можно отнести к таким же важнейшим, как цилиндрические и сферические координаты. Этот новый класс координат вводится для исследования течений в криволинейных цилиндрических слоях постоянной толщины. Сечение ААХВХВ такого слоя вертикальной плоскостью zOy (ось z направлена вверх) показано на рис. 5. Сам же криволинейный цилиндрический слой постоянной толщины Н получается в результате параллельного переноса криволинейной полосы ААХВХВ вдоль оси Ох на рис. 5.
Сечение цилиндрического пласта вертикальной плоскостью zOy.
Координату, изменяющуюся по толщине криволинейного слоя, будем обозначать как . На границе АВ (рис. 5), которую примем за подошву слоя, положим значение = -1, на серединной поверхности /0 положим = 0, а на границе АХВХ, принимаемой за кровлю слоя, положим " = +1. Таким образом, вдоль толщины слоя безразмерная координата С, будет меняться от -1 до +1. Рассчитаем параметры Ламе в криволинейных цилиндрических слоях постоянной толщины. Пусть серединная поверхность С, = 0 на рис. 5 задана кривой /0 параметрическими уравнениями y = f(a),z = g(a). (10) где а - параметр, изменяющийся вдоль /0. Координаты единичного касатель ного к /0 вектора т находятся, как известно, по формуле (Штрих означает дифференцирование по параметру а). Вектор М0Мна рис. 5 может принимать значения М0М =-%-Н-п при -1 С, 1. Тогда радиус - вектор произвольной точки М в полосе ААХЪХВ будет, согласно рис. 5, равен 2Ь (13) Радиус-вектор R произвольной точки рассматриваемого цилиндрического пласта постоянной толщины Я будет равен R = r+x-l. (14) Из уравнений (12), (13) и (14) получаем связь декартовых координат (x,y,z) с криволинейными цилиндрическими координатами (х,а,) При помощи равенств (15) можно убедиться, что криволинейные координаты {x,a,Q ортогональные.
Эллиптический слой постоянной толщины
В естественных условиях пласты нефтяных и газовых месторождений всегда имеют искривлённую форму и переменную толщину. Поэтому теория фильтрации жидкости в искривлённых пластах конечной толщины имеет важное практическое значение. Ранее исследования фильтрации в искривлённых весьма тонких пластах проводили О.В. Голубева и её ученики [10, 13, 14, 16, 17, 45, 46, 55, 56, 89, 104], В.П. Пилатовский [47], П.Я. Полубари-нова-Кочина [50] и другие авторы [4, 91].
Качественный вид линий тока и эпюры скоростей фильтрации реального течения жидкости в искривлённом слое переменной толщины представлен на рис. 13.
В теории двумерных течений важную роль играет уравнение неразрывности, которое выводится для выбранной кинематической схемы, аппроксимирующей реальные течения жидкости. В той кинематической схеме течения, которая использовалась в работах О.В. Голубевой и её учеников, при выводе уравнения неразрывности рассматривался элементарный объём (ячейка со) в виде прямого параллелепипеда с высотой, равной локальной толщине слоя, боковые грани которого перпендикулярны подошве слоя. В пределах со скорость фильтрации по высоте принималась постоянной, равной вектору скорости на подошве слоя (рис. 14). В реальных течениях, как это видно из сопоставления рис. 13 и 14, поле скоростей далеко от этой схематизации. Данную кинематическую схему назовём схемой 1. Уравнения движений жидкости в искривлённых весьма тонких изотропных слоях постоянной и переменной толщины в рамках схемы 1 получим из общего уравнения (2.2.7) трёхмерных течений в этих слоях. В общем уравнении (2.2.7) будем пренебрегать изменениями параметров Ламе по толщине слоя (по координате (") и примем их равными своим значениям на подошве С = С\ Яз=Я3( ) = . (1)
Значение третьего параметра Ламе Hj(#,ifri) в формуле (1) выражено через длину H(%,ri) \н ,т]Х\Щ дуги -координатной линии, заключённой между кровлей и подошвой слоя. Поэтому величину #(,17) в первом приближении можно рассматривать как толщину криволинейного слоях в точке (,TJ). Для выполнения условий (1) толщина пласта #(,?/) в любой его точке должна быть намного меньше главных радиусов кривизны Д, и Л2 подошвы и кровли слоя. О таких пластах, следуя О.В. Голубевой [16, 17, 69], будем говорить как о бесконечно тонких. Подставляя теперь параметры Ламе из (1) в общее уравнение (2.2.7) и считая, что р не меняется вдоль толщины, т.е. считая (р = р{,,ц), получаем уравнение двумерных течений в бесконечно тонких искривлённых пластах ±\ .Щ4,ф.кЫМ+±\ .тШ.Щ, и (2)
В теории фильтрации к двумерной модели (2) трёхмерных течений в искривлённых слоях фактически одновременно пришли несколько авторов -О.В. Голубева [17], А.П. Крылов [32], П.Я. Полубаринова-Кочина [50]. Однако наибольшее количество исследований по двумерным краевым задачам теории фильтрации в рамках модели (2) было проведено О.В. Голубевой и её учениками [10, 13, 14, 45, 46, 55, 57, 56, 89, 91, 104]. Кроме того, исследова ния течений в весьма тонких искривлённых слоях постоянной толщины в рамках схемы 1 проводил В.П. Пилатовский [47], а аналогичные расчёты потенциальных полей в энергетике - Ю.Я. Иоссель [23].
В историческом плане уравнение (2) впервые встречается в работах по теории потенциальных движений идеальной несжимаемой жидкости, происходящих параллельно некоторой криволинейной поверхности. Такие течения стали изучаться с 1878-1881гг. в работах А. Алена [96], Е. Бельтрами [97], М. Хилла [100], Н.А. Умова [87] и др.
Все процитированные работы объединяет то, что толщина искривлённого пласта в них считается бесконечно малой, а сам пласт - изотропным. Применяя к уравнению (2) преобразование независимых переменных h ,rj) д? дц ад,;/) дП д{ его, согласно следствию 1 из приложения 1, удаётся привести к каноническому виду _д_ = 0, (4) Эт7, д + Ът]х коэффициент Р в котором в старых переменных вычисляется по формуле W,4) = H{fa).W,r,). (5)
Уравнения (4) и (5) показывают, что во всех весьма тонких искривлённых однородных {Щ,ф = \) пластах с постоянной толщиной (H(%,rj) = const) течения будут описываться гармоническими функциями ср{%х,гіх) и, следовательно, для их исследования могут быть применены методы теории аналитических функций. Поле скоростей фильтрации по решению р = р(%,гі) уравнения (2) в схеме 1 вычисляется по формуле v = k(%,T])-grad p с параметрами Ламе (t).
Уравнения линейной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых изотропных неоднородных пластах с конечной толщиной
Поле скоростей фильтрации в схеме 3 будем аппроксимировать в виде: 4t,n Q=Viti!,ri)-ei +у2(%,ф-ё2,ще ёХ2 =е12(,77,о, (1) где ёх,ё2 - орты (3.2.1) расчётной системы координат (%,rj,)- В качестве V!(,г]), V2(,TJ) в схеме 3 выбираем проекции скорости течения в серединной поверхности С = Со- Из формулы (1) вытекает, что эпюра скоростей фильтрации вдоль линий С, = const является равномерной, так как v = Vv,2+v22=v(77).
Теперь перейдём к выводу уравнения неразрывности. Подсчитаем массу жидкости, которая протекает через боковые грани элемента со за время At. Напомним, что подошва и кровля считаются непроницаемыми. Единичный вектор нормали Я к боковой поверхности со направим изнутри со наружу. Вычислим потоки Пхо и Я,, через грани AXDXD2A2 и ВХСХС2В2 на рис. 17 соответственно.
Пренебрегая изменением скорости фильтрации vx{E„rf) в пределах боковой грани AXDXD2A2 и учитывая, что для этой грани Я = -ех, для потока массы жидкости через грань AXDXD2A2 за время At получим в соответствии с формулой (3.2.5) значение nxo=-At-p ,Tj,t)-vx ,7])-s2 ,7j)dr], (2) где p(%,rj,t) - плотность жидкости. Совершенно аналогично, для потока массы жидкости через противоположную грань ВХСХС2В2 объёма со нарис. 17 получим значение !u=At p($ + dt,T1,t)-Vl(t + dt,7l) S2($ + dt,71)dT]. (3)
Подсчитаем, какая масса двигающейся жидкости останется в элементе а за время At за счёт разницы потоков на грани и грани % + d%. Л=Лі+Ло = = At-\p( d t],t)-v +d -Sl + d -p ,r1,t)-v ,n)-s2{ \d71= (4) = At-dtj-—\p-v1-s2]i .
Аналогично получаем, что за счёт разницы потоков через грани tj и rj+drj в объёме со за время At остаётся масса жидкости ї 2=ї 20+!21=At-d%-— \p-v2-sx\dr]. (5) ОТ] Подсчитаем теперь массу жидкости, остающуюся в # за счёт потока через все боковые грани: П = ПХ +П2 =At-dt-dr]l—(p.vl -s2) + y{p-v2 -sx)\. (6)
Поступившая вовнутрь а дополнительная масса сжимаемой жидкости приводит к изменению её плотности в о.В самом деле, масса жидкости в момент времени t + At равна произведению объёма Va -m{l;,ri,t + At) всех пор в со на плотность жидкости, т.е.
M(t+At) = w( ,rj)-d -dT]-m( ,ri,t + At)-p( ,7j,t + At), где т - коэффициент пористости [1, 5, 6, 58] искривлённого пласта. В момент же времени t в объёме со имелась масса жидкости, равная M(t) = w(%,ri)-d% dt] m ,Tj,t) p(,T],t). Поэтому разность M(t)-M(t+At) и даёт величину потока Ї . Таким образом, / =MWdt dtj. .At. (7) at Приравнивая значения потоков в (6) и (7), получим уравнение неразрывности для двумерного фильтрационного потока сжимаемой жидкости: Ц , дП (8) dt В частности, для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности (8) запишется в виде
Линейная фильтрация несжимаемой жидкости описывается двумя основными уравнениями: уравнением неразрывности и законом Дарси. Будем считать, что проницаемость пласта изменяется вдоль его простирания и не меняется по толщине. Функцию проницаемости зададим в виде К = к0-Щ,т1), (1) где к0 - постоянный множитель, который имеет размерность проницаемости, а функция Щ,ц) - безразмерна. Для того, чтобы записать закон Дарси [1,5, 6], введём в рассмотрение функцию у: м где Р - приведенное давление, а ц - динамическая вязкость фильтрующейся жидкости. Тогда скорость фильтрации на основании закона Дарси [1, 5, 6] запишется в виде v = k(,i])-gradp. (2) В соответствии с формулами (2) и (1.1.7) проекции скорости фильтрации в точках серединной поверхности искривлённого слоя будут равны
Двумерная математическая модель (схема 3) потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости в искривлённых слоях постоянной и переменной конечной толщины
Уравнения линии сечения /0 круговой серединной конической поверхности этого слоя с плоскостью zOx в соответствии с рис. 20 запишутся в виде R где tga =-.
В дополнение к формулам (1) вычислим ещё для дальнейшего с помощью чертежа на рис. 20 и теоремы Менье [30, 59] наименьший главный радиус кривизны Rm в точке М подошвы рассматриваемого кругового конического слоя: РМ I-since , /m cosa cosа Формула (Г) показывает, что главная кривизна к= VR подошвы кругового Ar конического слоя монотонно убывает от наибольшего значения в вершине пласта до нуля при / - о. Поэтому можно ожидать, что в окрестности вершины конического слоя постоянной толщины течения жидкости будут трёхмерными, а в удалённых от вершины областях - двумерными, соответствующими схемам 2 и 3.
Найдём теперь связь декартовых (x,y,z) и ортогональных криволинейных координат (/,//,0 точек кругового конического слоя постоянной толщины. Подставляя (1) в формулы (1.4.2) и (1.4.3) получим х = М1,)-созщ j = /,(/,0-sin77; z = f2(l,C), (2) где /,(/,) = /-sin а +—-——-cosa, (3) f2(l, Z) = T-l-cosa + H( l + -since. (4) С помощью формул (2), (3), (4) находим следующие выражения для параметров Ламе: Я,=1; Я2=у;(/,0; H3=j = const. (5)
Далее по формулам (5), (3.8.2), (3.8.3) и (3.8.4) вычисляем геометрические параметры 5,(/,77) и s2(l,rj): j,(/,77) = Я; s2(l,rj) = H- /sina +—cosa . (6) Наконец, с помощью формул (5) найдём значения параметров Ламе \ и h2 в серединной круговой конической поверхности = 0: hi(l,Tj) = \; h2{l,rj) = hm.a +—cosa. (7) Заметим, что в ходе вычисления параметров Ламе (5) и геометрических параметров s{(l,rf) и s2(l,rj) для вспомогательных геометрических характеристик (/), А2{1), В{1), F,(/) и F2{1) кругового конического слоя постоянной толщины получаются следующие значения: (/) = 1; A\l) = B(l) = 0; F,(/) = 2; F2(/) = 2-[/sina+—-cosal Теперь по формулам (3.8.9), (3.8.10), (8) и (3.8.11) запишем канонические уравнения двумерных течений в однородном (к(1,т]) = 1) изотропном круговом коническом слое постоянной толщины Я: дер 1 ду/ 5/, Я дц дер 1 ду/ дт] Я д1х (9) В уравнениях (9) новая безразмерная переменная /, со старой / согласно (3.8.11), (1) и (8) связана формулой /I=J-.In(2.r+l)l гдег = - « а = %. (10) sin а Н Н Поскольку толщина слоя Я есть величина постоянная, то уравнения (9) представляют собой условия Коши-Римана [33, 34, 57, 61] для аналитической функции п)+г Ш=у Т) (її) п. комплексного переменного Z = ll+itj. (12)
Таким образом, в схеме 3 двумерные течения в однородных изотропных круговых конических слоях постоянной толщины описываются комплексными потенциалами (11), представляющими собой аналитические функции комплексного переменного (12). Если с помощью комплексного потенциала течения w(Z) функции (p(lvrj) и y/(Ji,r]) будут найдены, то тогда поле скоростей фильтрации определиться в соответствии с (3.8.12), (1) и (8) по формулам д(р _ 1 ду/ Vi=V,= ді „ (. . н \ дп (13) v2=v„ = H-\lsma +—cosa 1 дер _ 1 ду/ Isma + -cosa аЧ Н Ы 2
Дифференциальное уравнение траекторий движения (3.8.13) жидких частиц в серединной поверхности С, = О кругового конического слоя запишет ся в виде —dl+—d?j = 0, т.е. dy/(l,7]) = 0. Таким образом, в серединной Kdl drj ) поверхности кругового конического слоя траектории движения жидких частиц найдутся из уравнения \j/{l,rj) = const. (14)
Точное описание течений жидкости в круговом коническом слое постоянной толщины даётся решениями трёхмерного уравнения Цср] = 0 (2.2.7). Для кругового однородного конического слоя уравнение (2.2.7) с учётом формул (3) и (5) принимает вид дер К. д_ 31 _4_ _д_ Н2 д 1 дер + М,0 (15) = 0, т,о% drj ЯШ дп. а его решения на подошве и кровле должны удовлетворять граничным условиям = =0. (16)
Заметим, что уравнение (15) не допускает существования решений в виде (p = cp{l,rj), что указывает на существование в круговом коническом слое постоянной толщины только лишь трёхмерных течений (p = (p(l,ri,Q и простейшего одномерного течения (p=(p(rj). Трёхмерные течения ф = ф(1,т],), удовле творяющие граничным условиям (16), моделируются с некоторой степенью точности двумерными математическими моделями в схемах 1,2 и 3.
Похожие диссертации на Математические модели двумерных течений жидкости в задачах гидродинамики и теории фильтрации
