Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ чувствительности численных моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере 10
1.1 Теоретические основы фильтрации и массопереноса в пористых средах 10
1.2 Численные методы решения задач фильтрации и переноса 17
1.3 Цели анализа чувствительности 19
1.4 Локальный анализ чувствительности 22
1.5 Глобальный анализ чувствительности 24
1.6 Распространение погрешности 26
1.7 Статистические показатели чувствительности 27
1.8 Поверхности отклика и метод boosting 33
1.9 Калибровка численных моделей 37
Глава 2. Анализ данных площадки вхрао на территории рнц «курчатовский институт» 38
2.1 Описание площадки 38
2.1.1 Геологическое и гидрогеологическое описание гогощадгаг. 39
2.1.2 История загрязнения площадки 42
2.2Моделирование и анализ параметров модели 44
2.2.1 Построение численной модели II 44
2.2.2 Построение численной модели I 61
2.3 Локальный анализ чувствительности 63
2.3.1 Расчет чувствительностей для итерации 1 65
2.3.2 Расчет чувствительностей для итерации 2 67
2.3.3 Рекомендации по оптимизации сети наблюдательных скважин 72
2.3.4 Выводы из локального анализа чувствительности модели 1 73
2.4Глобальный анализ чувствительности модели II 76
2.4.1 Выбор параметров для анализа чувствительности 76
2.4.2 Вероятностное моделирование значений входных параметров 81
2.4.3 Распространение погрешности 83
2.4.4 Линейный и монотонный анализ чувствительности 89
2.4.5 Построение поверхностей отклика и вычисление индексов Соболя 92
2.4.6 Замечания 101
2.5 Глобальный анализ чувствительности модели 1 102
2.5.1 Входные параметры 103
2.5.2 Вероятностное моделирование значений входных параметров 110
2.5.3 Распространение погрешности 112
2.5.4 Корреляционный анализ 113
2.6 Выводы 116
Глава 3. Анализ чувствительности и определение параметров численной модели фильтрации подземных вод на территории г.Казани 118
3.1 Описание площадки и численных моделей фильтрации 118
3.2 Анализ чувствительности модели 120
3.2 Анализ чувствительности модели 121
3.3 Результаты 124
Заключение 135
Список литературы 137
- Численные методы решения задач фильтрации и переноса
- Локальный анализ чувствительности
- Построение поверхностей отклика и вычисление индексов Соболя
- Вероятностное моделирование значений входных параметров
Введение к работе
Актуальность работы
Анализ чувствительности численных моделей получил в последние годы большое распространение, что связано с развитием вычислительной техники и компьютерного моделирования.
С развитием современной науки математические модели, используемые для решения прикладных задач в самых разных сферах научной деятельности, становятся все более сложными. Большая часть моделей настолько сложна и требует таких серьезных трудовых и временных затрат, что оценить тип зависимости между входными и выходными параметрами прямыми методами не представляется возможным. Тем не менее, такая оценка очень важна для понимания модели, степени ее соответствия моделируемым процессам и т.п., что необходимо для корректного моделирования.
Кроме того, математическая модель всегда характеризуется неким набором параметров, которые могут измеряться с определсшюй погрешностью, связанной с неточностью измерений, отсутствием или невозможностью замеров, неполным пониманием исследуемых механизмов и многим другим. Все это ведет к наличию погрешности в решении задач, которые ставятся перед моделью. Таким образом, оценка погрешности модели должна являться неотъемлемой частью процесса математического моделирования.
Практика «статистического анализа компьютерных экспериментов» применительно к численным моделям физических явлений активно развивается с 80-х годов ХХ-го века. Среди современных обзоров можно выделить работы Ш. Закс [100], Дж. Клайджнен [80], А. Салыелли [101,102], С. Тарашола [106] и др. В последнее время проводшея большое количество исследований, посвященных анализу чувствительности численных моделей процессов в окружающей среде - в частности, моделей переноса загрязнения в подземных водах и радиоактивных загрязнений. Среди авторов можно выделить Дж. Хелтона [66, 67], Ф. Камполонго [61], Р. Маддалены [84], X. Ма [83], Б. Иоосса [75] и других.
Методики анализа чувствительности численных моделей к входным параметрам являются эффективным инструментом для характеристики погрешности модели. Если анализ погрешности позволяет указать численную оценку погрешности модели, то анализ чувсівиїельносіи даеі массу дополни і ельной информации о модели, кошрая можеі использоваться для ее эффективной калибровки. Анализ чувствительности особенно важен при анализе моделей с большим количеством параметров. Ведущие российские и зарубежные организации, занимающиеся исследованиями по оценке воздействия, такие как
5 Европейская Комиссия по Окружающей Среде, Геологическая служба США (USGS), Агентство по окружающей среде США (ЕРА) и др., включают этап анализа чувсівиїельносш в свои рекомендации при проведении численною моделирования.
Многие страны сегодня столкнулись с проблемой радиоактивного загрязнения подземных вод, образованного в результате использования или захоронения радиоактивных материалов и отходов. Численное моделирование миграции радиоактивного загрязнения является эффективным инструментом прогнозирования распространения этого загрязнения и оценки опасности для окружающей среды. Как правило, модели переноса загрязнений в подземной гидросфере имеют сложный характер и описываются большим количеством параметров, которые часто определяются со значительной погрешностью.
Несмотря на большое количество исследований в этой области в последние годы, исследования таких моделей оставались в значительной степени теоретическими. С началом проведения в России работ по реабилитации радиоактивно загрязненных территорий стал возможным анализ численных моделей миграции для условий реальных площадок.
В настоящей работе методики анализа чувствительности были применены для исследования погрешности численных геофильтрационных моделей миграции загрязнения в условиях реальных площадок реабилитации.
Цели и задачи работы
Настоящая работа представляет собой исследование по разработке и анализу чувствительности численной модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки временных хранилищ радиоактивных отходов (площадка ВХРАО) РНЦ «Курчатовский институт», анализу чувствительности геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани и внесению рекомендаций по их калибровке и верификации. В работе были поставлены и решены следующие задачи: (1) изучение теоретической базы статистического анализа и выбор наиболее эффективных методик анализа численных моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере, (2) разработка численной модели миграции радиоактивного загрязнения для условий площадки ВХРАО и геофильтрациооной модели работы системы инженерной зашиты от подтопления г. Казани; (3) применение выбранных методик анализа чувствительности и погрешности для указанных численных моделей.
Первая численная модель была создана с целью оценки и прогнозирования распространения радиоактивного загрязнения в подземных водах с площадки ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт». Эта модель была реализована в двух вариантах,
отличающихся подробностью дискретизации и программной реализацией. Анализ чувствительности этих вариантов численных моделей включал:
- выявление наиболее и наименее влиятельных параметров моделей. Такая информация
позволяет повысить эффективность дальнейшей калибровки параметров модели, она
включает выявление тех параметров, которые нужно уточнить, тех параметров, которые
можно исключить из дальнейшей калибровки; - построение карт чувствительности прогноза
к входным параметрам с целью указания участков исследуемой плошадки лля создания
новых наблюдательных скважин;
оценка «адекватности» модели - проверка соответствия типов соотношений между входными и выходными параметрами модели моделируемым процессам;
сравнение двух вариантов модели переноса радиоактивного загрязнения;
оценка погрешности площади прогнозируемого ореола распространения радиоактивного загрязнения как в верхнем, так и в нижнем водоносных горизонтах, имеющих распространение на территории площадки ВХРАО.
Вторая численная модель была разработана с целью корректировки регламента работы системы инженерной защиты от подтопления Заречной части г. Казани. Анализ чувствительности геофильтрационной модели включал разработку рекомендаций по эффективной калибровке этой модели, а именно - определение параметров калибровки и сужение интервалов их возможного изменения для эффективного решения обратной задачи.
Результаты, выносимые на защипу
Разработка методики анализа чувствительности численной модели переноса радиоактивного загрязнения для условий площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт», результаты анализа чувствительности модели и полученные рекомендации по эффективной калибровке ее входных параметров, а также рекомендации по оптимизации сети наблюдательных скважин.
Разработка методики анализа чувствительности численной геофшїьтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани, результаты анализа чувствительности модели и полученные рекомендации по эффективной калибровке входных параметров модели.
Научная новизна работы заключается в применении методов статистического анализа к прогнозной модели переноса радиоактивного загрязнения с реальной площадки захоронения отходов и к геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани, что привело к лучшему понимаю моделируемых процессов и механизмов и уточнению результатов моделирования.
Для численной модели радиоактивного переноса применительно площадки ВХРАО задача анализа чувствительности модели решена путем построения «поверхности отклика», т е репрезентативной математической модели изучаемого кода («метамодели»), заменяющей исходную модель в статистических расчетах с малым временем вычислений и сохраняющей статистические свойства начальной модели. Построение поверхности отклика является отдельной задачей в каждом индивидуальном случае применения статистических методов анализа к моделям с большим временем вычислений.
Достоверность
Представленные в диссертации результаты обоснованы адекватностью применяемых методик, большим объемом расчетных исследований, которые согласуются с практикой геофильтрационного и геомиграционного моделирования, а также большим объемом данных полевых измерений, выполненных непосредственно на исследуемых площадках
Практическая значимость
Разработанные методики анализа чувствительности моделей фильтрации и конвективно-дисперсионного переноса в подземной гидросфере были применены для калибровки входных параметров и верификации следующих моделей:
- численной модели переноса радиоактивного загрязнения, разработанной при
реабилитации площадки ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт» и
ликвидации на ней старых хранилищ радиоактивных отходов;
- численной гео фильтрационной модели системы инженерной защиты от подтопления
г. Казани, разработанной для обоснования режима работы и оптимизации дренажа;
- численной модели миграции загрязнения тяжелыми металлами и биоочистки,
разработанной для площадки Hanford 100Н (штат Вашингтон, США).
Разработанные методики анализа чувствительности и погрешности в дальнейшем могут быть использованы для анализа других численных моделей радиоактивного загрязнения в подземных водах, также как и для анализа других численных моделей. Полученные рекомендации могут быть учтены при калибровке параметров и верификации численных моделей переноса и создании эффективных сетей наблюдательных скважин на площадках с радиоактивным загрязнением.
Апробация работы
Разработанные методики анализа чувствительности и погрешности численных моделей были апробированы при проведении реабилитационных работ на:
площадке ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт»;
территории действия системы инженерной защиты г. Казани от подтопления;
8 - площадке Hanford 100Н (штат Вашингтон, США).
Основные результаты работы докладывались на международной конференции «FEM-MODFLOW» (Чехия, г. Карловы Вары, 2004). семинаре СЕТАМА «Отбор проб и характеризация «От отбора проб до анализа» (Франция, г. Монпелье, 2005),' XI всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (г. Новороссийск, 2005), Третьей Курчатовской молодежной школе (Москва, РНЦ «Курчатовский институт», 2005), международной конференции «Моделирование процессов миграции радионуклидов в окружающей среде и вопросы развития метабаз данных для объектов Советского ядерного комплекса (РАДЛЕГ-РАДИНФО-2005)» (Москва, 2005), Второй всероссийской конференции «Современные проблемы изучения и использования питьевых подземных вод» (г. Звенигород, 2006).
Личный вклад автора
Автор участвовал в постановке и решении основных задач диссертации. С участием автора были разработаны численные модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт» на основе программных модулей MODLOW и MT3DMS и численная геофильтрационная модель работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани. Личный вклад автора состоит в изучении и практическом использовании современных методов анализа чувствительности численных моделей, решении ряда задач по статистическому моделированию и анализу данных, разработке численной модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО на основе программного пакета MARTHE и предложению нового подхода к анализу и верификации численных моделей фильтрации и массопереноса.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 8 - в соавторстве. Из них: 3 - в материалах и сборниках трудов международных конференций, 4 - в виде тезисов докладов на Всероссийских конференциях, 2 - в реферируемых журналах, 2 - в иностранных журналах и 2 - в трудах научно-исследовательских институтов.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 145 страниц, в том числе 38 рисунков и 34 таблицы. Список литературы включает 109 наименований.
В первой главе диссертации приведены теоретические основы методов анализа чувствительности, описан локальный и глобальный анализ чувствительности, методы распространения погрешности, приведены различные показатели чувствительности, описаны
9 цели и способы применения анализа чувствительности при калибровке численных моделей со ссылками на соответствующие источники. Вторая глава описывает практическое исследование по численному моделированию переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский Институт» и применению методов анализа чувствительности к построенным моделям для оценки погрешности и сравнения моделей. Третья глава посвящена другому практическому исследованию - анализу чувствительности геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани и внесению рекомендаций по калибровке модели на основе результатов анализа.
Численные методы решения задач фильтрации и переноса
В разработку теоретических основ и численных методов решения задач фильтрации и массопереноса внесли серьезный вклад Я. Бэр [57,58], П.Я. Полубаринова-Кочина [34], Г.деМарсильи [86], В.М. Шестаков [53], Ж.-П. Нужье [89], В. Кинзельбах [79], Н.Н.Веригин [10-12], Б.С. Шержуков [52], Н.П. Куранов [12], В.И.Лебедев [24], Г.И. Марчук [27,28], Н.С. Бахвалов [5], В.И. Агошков [1,2], Р.П. Федоренко [51], А.В. Лапин [23], Г.М. Кобельков [5], А. А. Самарский [43,44] и другие авторы.
Для различных упрощенных случаев существуют аналитические решения уравнений (1.3) и (1.7). Они основываются на различных комбинациях начальных и граничных условий и различных гипотезах относительно вида параметров уравнения. При решении каждой конкретной задачи в первую очередь рассматривается возможность отыскания аналитического решения. Это позволяет понять соотношения между различными условиями и параметрами модели.
К сожалению, аналитические решения существуют лишь для очень упрощенных и ограниченных случаев (например, однослойные или одномерные системы), и часто уравнения и условия задачи приходится сильно упростить, чтобы найти аналитическое решение. Упрощения, которые приходится делать, в значительной степени снижают ценность теории. Альтернативным способом является замена аналитического решения численным, вьшолняемым, как правило, при помощи компьютера. В этом случае выполняются лишь аппроксимации, обусловленные самим численным методом, выбранным для решения уравнений.
Для того чтобы решить задачу численно, следует в первую очередь выбрать метод дискретизации модельной области - например, метод конечных разностей, конечных объемов или конечных элементов. Описания этих методов могут быть найдены в многочисленной литературе по гидрогеологическому моделированию или численным методам (например, [5,27,891).
На базе выбранной пространственной и временной дискретизации и используемой системы координат (декартовой, цилиндрической, криволинейной ортогональной или неортогональной, лагранжевой и др.) конструируется численная схема вычислений. Значения параметров, начальных и краевых условий адаптируются к дискретной сетке. В зависимости от используемой численной схемы различают явные и неявные методы, методы разной степени точности и др. Дискретизация моделируемой области и замена параметров задачи дискретными аналогами позволяет заменить уравнения в частных производных на системы алгебраических уравнений, которые решаются на компьютере матричными методами [87].
Как правило, конечно-разностные методы применяются для расчета относительно простых моделей на прямоугольных сетках. Конечно-элементные методы часто требуют использования более сложных математических конструкций и могут давать более точные результаты, особенно для криволинейных областей со сложными границами. На практике для генерации конечно-элементных сеток используются специальные программы-препроцессоры.
Уравнение переноса (1.7), как правило, более сложно для численного решения, потому что его математические свойства меняются в зависимости от того, какой из членов уравнения доминирует. Если адвективный перенос преобладает, то уравнение близко к гиперболическому типу. Если же преобладает дисперсивная составляющая, то уравнение принимает параболический характер. Таким образом, выбор численных методов для решения уравнения переноса (1.7) зависит от типа решаемой задачи.
Помимо указанных численных методов, существуют и другие методы, такие как метод характеристик, Random Walk, эйлерово-лагранжевы методы и др.
В данном исследовании для разработки численных моделей фильтрации и массопереноса были использованы следующие программные продукты: MODFLOW (США), MT3DMS (США) и MARTHE (Франция), в которых реализовано несколько различных численных методов решения уравнений фильтрации и переноса.
Процедура численного моделирования физико-химических процессов, как, например, в случае переноса растворенных химических веществ с подземными водами, сопряжена с различными ошибками определения параметров и описания физических процессов, которые влияют на достоверность результатов вычислений. Как правило, точное описание реального явления невозможно и существует разница между реальным феноменом и его физической моделью, между физической и математической моделями, между математической и численной моделями и т.д. Наряду с этим существуют погрешности в значениях входных параметров, ошибки измерений при наблюдениях и т.п.
Основными источниками погрешности численной модели, как правило, являются: 1 - аппроксимация физического явления математической моделью; 2 - аппроксимации, связанные с параметризацией модели; 3 - ошибки в данных наблюдений и других входных параметрах модели.
Анализ чувствительности рассматривает, как правило, лишь третий из указанных источников погрешности. Анализ чувствительности численных моделей позволяет оценить зависимость между входными и выходными параметрами модели, оценить погрешность результатов модельных вычислений и ответить на другие вопросы при калибровке входных параметров и верификации численных моделей.
Анализ чувствительности численных моделей является одним из активно развивающихся направлений в области решения задач усвоения данных при ретроспективном анализе процессов, описываемых имитационными моделями, и при исследовании самих моделей, реализуемых с помощью современных вычислительных технологий. Результаты решения прикладных задач анализа чувствительности (в технике, экологии, медицине, финансах и др.) регулярно докладываются на конференции SAMO (Sensitivity Analysis of Model Output) [92-96].
Локальный анализ чувствительности
Аппарат локального детерминистического анализа чувствительности, кратко описанный в главе 1.2, бьш применен к трехмерной численной модели I распространения радиоактивного загрязнения площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский Институт» [38].
Были проведены следующие этапы анализа: определение полей чувствительности для выбранного момента времени для выбранного набора параметров модели I; сортировка анализируемых параметров модели I по степени влияния на прогнозируемые концентрации; вычисление ковариационной матрицы и корреляций между анализируемыми входными параметрами модели .
Анализ модели бьш проведен в две итерации. На первой итерации рассматривалась чувствительность модели для момента времени, близкого к текущему (декабрь 2005 года). Целью такого анализа бьшо изучить, какие из параметров в наибольшей степени влияют на значения концентраций, рассчитываемые моделью для текущего момента. Т.е. определить, таким образом, для уточнения каких из параметров текущие наблюдения дают наилучшую информацию. Вторая итерация анализа была выполнена для другого набора входных параметров модели I. Список параметров для анализа бьш изменен с учетом выводов из первой итерации. Кроме того, в качестве выходного момента времени рассматривался 2010 год.
Параметры модели I, выбранные для локального анализа чувствительности на обеих итерациях, обозначения, начальные и измененные значения, использованные в расчетах, приведены в таблице 2.3.
Примерные положения источников, заданных на модели, приведены на рисунке 2:4. Все выбранные параметры первой итерации анализа (помимо длительностей стресс-периодов) относятся к третьему слою модели. Это связано с тем, что этот слой представляет гравелистые и грубозернистые пески, обладающие наилучшими проводящими свойствами по отношению к радионуклиду Sr-90; Загрязнение распространяется в этом слое быстрее, чем в других слоях верхнего водоносного горизонта, представленных в модели, и поэтому представляет наибольший интерес для анализа.
Для выбранного момента времени (5000 суток после начала модельного периода) были вычислены поля чувствительности. При этом для каждого из анализируемых параметров модель I запускалась по одному разу с измененным на 1% значением параметра.
Из начальной карты концентраций (вычисленной для начального набора значений параметров) и новой измененной карты по формуле (1.9) вычислялось поле масштабированных чувствительностей (с единичной весовой матрицей со). Примеры карт локальных чувствительностей к входным параметрам анализа приведены на рисунке 2.16. Сплошной черной линией отмечено положение нулевой чувствительности. Красный цвет на рисунках обозначает положительные значения чувствительности, синий - отрицательные. Более насыщенным цветом представлены большие по модулю значения чувствительности.
Были рассчитаны элементарные статистические характеристики полученных полей. Было показано, что все входные параметры, кроме Kd, влияют на прогнозируемое распределение концентрации только «положительным» образом - увеличение значений параметров приводит к локальному увеличению значений концентрации.
На рисунке 2.16 можно видеть примеры зоны влияния модельных параметров. В основном, они расположены вниз по течению от модельных источников загрязнения -хранилища 3 (источник 2), хранилища 4 (источник 1) и зоны сильных утечек из городского коллектора вверх по течению от наблюдательных скважин 4а и 4Ь (источник 3). Это означает, что данные по концентрациям в этих зонах содержат информацию, значимую для калибровки указанных параметров. Данные из зон нулевой чувствительности (представлены белым цветом на рисунке 2.16) не представляют интереса с точки зрения уточнения указанных параметров и калибровки модели.
На рисунке 2.17 представлена карта суммарной чувствительности ко всем семи анализируемым параметрам модели I. Темному цвету соответствуют зоны с наибольшей суммарной чувствительностью. Можно видеть, что наиболее «чувствительной» зоной является участок, расположенный вниз по течению грунтовых вод от хранилища номер 3. Эта зона наиболее «информативна» при ведении регулярного мониторинга для калибровки анализируемых модельных параметров.
В соответствие со значениями локальных чувствительностей анализируемые входные параметры были отсортированы по среднему значению модуля чувствительности, по максимальному значению модуля чувствительности и по специальной характеристике -«площади влияния» входного параметра, которая рассчитывалась как процентное отношение точек модельной области с ненулевой чувствительностью к данному параметру к общему количеству точек модели. Все способы сортировки показали, что наибольшую чувствительность модель проявляет к интенсивности модельного источника номер 2 в течение третьего модельного стресс-периода, к длине третьего стресс-периода и модельному коэффициенту распределения.
На основе полученных данных для семи исследуемых входных параметров модели в соответствии с формулой (1.10) была вычислена ковариационная матрица (со значением а2 = 1 и единичной матрицей о). На ее основе, в свою очередь, были вычислены корреляции между анализируемыми параметрами. Значения корреляций приведены в таблице 2.4.
Построение поверхностей отклика и вычисление индексов Соболя
С целью построения поверхностей отклика для каждого из выходных параметров модели к полученным данным была применена программа SSURFER [73]. Были опробованы различные методики построения поверхности отклика, однако наилучшие результаты дал метод бустинга.
В алгоритме бустинга использовалось 10000 регрессионных деревьев и глубина взаимодействий, равная 3. Качество приближения для каждой из построенных поверхностей отклика проверялось методом перекрестной проверки (cross-validation) с 10-кратным повторением. Средние значения І22 для прогнозной базы точек приведены в таблице 2.16.
Выходные параметры р107 и рПО при построении поверхностей отклика не рассматривались, так как средние значения этих параметров малы (меньше точности измерения концентрации Sr-90 в подземных водах), и их можно исключить из дальнейшего анализа в целях экономии времени расчетов.
Это связано с тем, что вычисление индексов Соболя для одного выходного параметра занимает порядка 3 часов машинного времени. Можно видеть, что для нескольких параметров полученные поверхности отклика достаточно хорошо аппроксимируют прогнозную базу точек: это выходные параметры р102К, р104, р23, р29К, р37К и р4-76. В то же время, при рассмотрении относительных статистических характеристик поверхностей отклика можно видеть, что качество аппроксимации распределено неравномерно.
Параметр RRM в таблице 2.16 представляет среднюю относительную ошибку: среднее относительных ошибок поверхности отклика. «Плохие» значения параметра RRM выделены красным цветом. На рисунках 2.23 и 2.24 показано соответствие между реальными значениями и результатом аппроксимации с помощью поверхности отклика для выходных параметров с «плохими» значениями параметра RRM.
Можно видеть, что для большей части параметров большое значение RRM объясняется плохой аппроксимацией значений, близких к нулю, которые дают большие относительные ошибки.
Построение поверхностей отклика методом бустинга позволило улучшить аппроксимацию, по сравнению с монотонной моделью, лишь для параметров pl-76 и р2-76. В то же время для остальных выходных параметров построение поверхностей отклика позволило вычислить значения индексов Соболя, которые дают более полную информацию, чем простые коэффициенты корреляции и регрессии.
С учетом качества аппроксимации, представляемого значением R2, вычисление каждого выходного параметра в численной модели II было заменено соответствующей поверхностью отклика и, с использованием метода Монте-Карло, были вычислены индексы Соболя. Вычисление индексов Соболя с помощью программы SSURFER было повторено 10 раз с целью получения среднего значения и интервала вариации для каждого индекса. Индексы чувствительности первого порядка S, и тотальные индексы ST наиболее влиятельных параметров для каждой выходной переменной приведены в таблицах 2.17 и 2.18.
Сравнивая тотальные индексы чувствительности Соболя и индексы, рассчитанные для монотонной модели (таблицы 2.18 и 2.15), можно видеть, что значения согласуются. Для всех выходных параметров множества наиболее влиятельных входных параметров в рамках монотонной модели и в соответствии с индексами Соболя практически совпадают.
Сравнение множеств влиятельных параметров приведено в таблице 2.19. Следует отметить, что приведенные значения индексов чувствительности имеют силу для модели лишь в рамках качества аппроксимации соответствующей монотонной моделью или моделью бустинга, которое выражается значением коэффициента R2 (чем ближе к 1 значение R2, тем «качественнее» аппроксимация и точнее значения чувствительности).
Было отмечено, что наиболее влиятельными являются те же три параметра, которые были выявлены в ходе линейного анализа чувствительности: коэффициент распределения второго слоя модели (kd2), коэффициент распределения первого слоя модели и некоторых зон второго слоя (kdl) и интенсивность инфильтрационного питания в зонах сильных утечек из трубопровода.
Для каждого выходного параметра наиболее влиятельным является один из этих трех входных параметров. И только эти три параметра являются важными для тех наблюдательных скважин, выходные параметры для которых имеют наилучшую аппроксимацию поверхностью отклика.
Следует также отметить, что полученные значения индексов чувствительности первого порядка и тотальных индексов Соболя достаточно близки. Это означает, что модель значительно более чувствительна к значениям самих параметров, нежели к взаимодействиям между ними.
Согласно сказанному выше, все выходные параметры можно разделить на 3 группы: выходные параметры, которые, в первую очередь, зависят от kdl; параметры, которые в наибольшей степени зависят от kd2, и параметры, которые, в первую очередь, зависит от ІЗ.
Группа Г. параметры рЮЗ, р104, р106, р109, рЗбК и р38 соответствуют всем скважинам, расположенным в зонах отсутствия гравелистых песков во втором слое модели или находящимся непосредственно вниз по течению подземных вод относительно этих зон.
Зависимость этих параметров от коэффициента kdl вполне закономерна, так как это коэффициент распределения первого слоя, заданный в модели для этих зон второго слоя.
Группа 2: параметры pl-76, рЮ2К, р2-76, р23, р27К, р29К, р31К, р35К, р4-76 и р4Ь соответствуют всем остальным наблюдательным сквансинам верхнего водоносного горизонта, кроме двух скважин, параметры которых попали в третью группу.
Вероятностное моделирование значений входных параметров
На основе выбранных интервалов возможного изменения и распределений вероятности при помощи статистической программной оболочки R методом Монте-Карло было сгенерировано 230 вариантов наборов значений входных параметров. Такое число экспериментов обусловлено двумя соображениями: с одной стороны, оно достаточно для представления статистических свойств выбранных функций распределения вероятности, с другой - время вычислений достаточно мало. Статистический пакет R обладает функциями генерирования значений с различным распределением вероятности: равномерным, нормальным, экспоненциальным и другими широко используемыми распределениями. Однако функция треугольного распределения вероятности не представлена в данном программном обеспечении, поэтому для генерации значений с треугольным распределением вероятности использовалась формула преобразования равномерного распределения на отрезке [0,1] в треугольное с параметрами (бгДс): Некоторые из входных параметров генерировались как зависимые. Это относится к значениям интенсивности инфильтрационного питания (/я/1,/и/2,/и/3,IntA). Для оценки степени полученной зависимости между этими параметрами был проведен анализ корреляций полученных значений. Результаты вычислений приведены в таблице 2.24. Как видно из таблицы 2.24, зависимый способ задания перечисленных параметров не влечет за собой их сильной корреляции.
Поэтому в дальнейшем анализе эти параметры рассматривались как независимые. Следует отметить, что полученные варианты наборов значений входных параметров могут значительно отличаться от начального набора значений, использованного при калибровке модели Т и прогнозных расчетах. Естественно возникает вопрос о «правдоподобии» полученных наборов параметров. Начальному набору значений входных параметров модели I, найденному ранее в результате экспериментов и изучения справочной литературы и уточненному в ходе калибровки модели по наблюдательным данным, соответствуют расчетные кривые напоров и концентраций в наблюдательных скважинах, близкие к наблюдаемым. Кривые, соответствующие новым полученным наборам значений, могут хуже соответствовать реальным наблюдательным данным. Однако при выборе интервалов возможного изменения значений входных параметров целью было не только охватить все возможные варианты, но и выбрать эти интервалы достаточно узкими, чтобы результаты расчетов остались в пределах погрешности наблюдательных данных. Строгий анализ всех вариантов наборов параметров на предмет их «правдоподобия» является предметом отдельного исследования, которое слишком трудоемко и поэтому в рамках данной работы не выполняется.
Следует отметить, что, принимая во внимание все полученные варианты вне зависимости от их «физичности», можно только увеличить оцениваемый интервал погрешности выходных параметров модели, т.е. получить наиболее «пессимистическую» оценку, что вполне приемлемо в рамках данного исследования. Для автоматизации циклических вычислений на языке C++ была написана специальная программа, которая считывала на каждой итерации набор значений входных параметров, создавала соответствующие входные файлы для вычислительных модулей MODFLOW и MT3DMS, запускала расчет и на выходе сохраняла значения прогнозных концентраций и напоров на выбранный момент 8400 суток от начала модельного периода. В общей сложности было выполнено 230 итераций, что заняло около 44 часов машинного времени на персональном компьютере с процессором Pentium 4. В таблице 2.25 приведены элементарные статистики (среднее, стандартное отклонение, асимметрия и эксцесс) для полученных значений выходных параметров. Параметр SUM1 представляет собой интегральную характеристику прогнозируемого ореола загрязнения - число ячеек, прогнозируемая концентрация в которых превышает 1 Бк/л для верхнего водоносного горизонта. Аналогичная характеристика для нижнего горизонта -SUM2 - вычисляется как число ячеек, прогнозируемая концентрация в которых превосходит 0.01 Бк/л. Гистограммы полученных выходных параметров приведены на рисунке 2.30. Как видно из таблицы 2.25 и рисунка 2.30, выходные параметры имеют распределение, близкое к экспоненциальному. Значения SUM1 и SUM2, соответствующие начальным наборам входных параметров, лежат в «хвосте» соответствующих распределений, то есть им соответствуют относительно небольшие вероятности. Такой результат указывает на то, что ореол распространения загрязнения в среднем может быть меньше, чем прогнозируемый ранее.
Для полученных выходных значений параметров SUM1 и SUM2 был вычислен коэффициент корреляции. Его значение составило 0.247, что говорит о низкой корреляции между этими параметрами. Чтобы проверить, являются ли полученные выборки из 230 значений выходных параметров статически репрезентативными, был проведен анализ графиков сходимости эмпирических среднего и стандартного отклонения и их доверительных интервалов (рис. 2.31). Было выявлено, что для обоих выходных параметров количество значений достаточно репрезентативно, так как графики сходятся к соответствующим значениям среднего и стандартного отклонения и их отклонения не значительны, начиная с некоторого значения N. Для полученных выборок значений входных и выходных параметров были вычислены простейшие индексы чувствительности (см. пар. 1.5), которые приведены в таблице 2.26. В таблице приведены значения вычисленных коэффициентов корреляции между входными параметрами анализа и выходными параметрами SUM1 и SUM2. Так как мера линейности модели не вычислялась, то коэффициенты в таблице 2.26 имеют лишь качественный смысл - они позволяют определить список наиболее влиятельных параметров для данного выходного параметра. Как можно видеть из таблицы 2.26, параметрами, дающими наибольший вклад в погрешность при моделировании площади ореола в верхнем водоносном горизонте (SUM1), являются коэффициенты фильтрации и распределения 3-его слоя модели, а также интенсивность инфильтрационного питания в зоне сильных утечек из трубопровода и коэффициенты фильтрации 2-го и 4-го слоев модели. Для погрешности в значении площади ореола загрязнения в нижнем водоносном горизонте (SUM2) наиболее влиятельными параметрами являются коэффициент распределения, заданный в 4-ом, 5-ом и 6-ом слоях модели, а также коэффициент фильтрации 4-го и 5-го слоев модели.
Похожие диссертации на Методы анализа чувствительности для моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере
