Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы оптимизации и анализ чувствительности в задачах оптимизации конструкций 16
1.1. Общая постановка задач оптимизации конструкций 16
1.2. Методы оптимизации в оптимальном проектировании конструкций 26
1.3. Выводы 37
ГЛАВА 2. Полуаналитический метод анализа чувствительности в бесконечномерном пространстве состояний на примере задачи оптимизации вращающегося диска 38
2.1. Постановка задачи 38
2.2. Расчетная модель вращающегося диска 40
2.3. Дискретизация задачи и расчет градиентов целевой функции и ограничений 43
2.4. Анализ чувствительности на основании вариационных соотношений... 52
2.5. Учет пластических деформаций 55
2.6. Алгоритм решения задачи оптимизации 56
2.7. Сравнительный анализ с методом квадратичной аппроксимации и анализом чувствительности на основе численного дифференцирования 59
2.8. Сравнение результатов оптимизации с известными аналитическими соотношениями 65
2.9. Оптимизация дисков с учетом дополнительных ограничений на значения коэффициентов запаса по разрушающей частоте вращения 67
2.10. Исследование влияния различных коэффициентов запаса на характеристики оптимального диска 72
2.11. Оптимизация дисков с учетом ограничения на величину момента инерции 84 Стр.
2.12. Выводы 89
ГЛАВА 3. Топологическая оптимизация вращающихся конструкций 90
3.1. Постановка задачи 91
3.2. Топологическая оптимизация и метод конечных элементов 93
3.3. Вычислительные проблемы топологической оптимизации 95
3.4. Особенности топологической оптимизации осесимметричных конструкций 98
3.5. Выводы 105
ГЛАВА 4. Дискретный метод анализа чувствительности на примере задач оптимизации конструкций, моделируемых набором осесимметричных оболочек и колец на базе метода конечных элементов 106
4.1. Постановка задачи 106
4.2. Анализ чувствительности с введением сопряженной функции 109
4.3. Анализ чувствительности без введения сопряженной функции ПО
4.4. Кольцевой конечный элемент 119
4.5. Исследование работы алгоритма в задачах оптимального проектирования дисков 129
4.6. Исследование влияния поперечных усилий на оптимальную конструкцию.. 135
4.7. Оптимизация ротора турбомашины 140
4.8. Выводы 148
Основные выводы и результаты работы 149
Список литературы
- Методы оптимизации в оптимальном проектировании конструкций
- Расчетная модель вращающегося диска
- Сравнительный анализ с методом квадратичной аппроксимации и анализом чувствительности на основе численного дифференцирования
- Топологическая оптимизация и метод конечных элементов
Введение к работе
Актуальность темы. Инженерная деятельность всегда была направлена на получение наиболее рациональных конструкций и деталей. Поиск удачного инженерного можно рассматривать как некоторое искусство, требующее большого опыта проектировщика. Создание новых конструкций обычно осуществляется постепенным улучшением существующей конструкции. До широкого внедрения вычислительной техники в практику расчетной деятельности оптимизация конструкции реализовывалась на основе проб и ошибок, когда конструктор варьировал форму, материал детали и исследовал влияние внесенных изменений на характеристики конструкции.
В настоящий момент технологическая конкуренция вынуждает искать пути уменьшения времени разработки новых конструкций одновременно с повышением качества и надежности разрабатываемого изделия. Поэтому оптимальное проектирование занимает одну из ключевых позиций при создании современных конкурентоспособных конструкций.
Основным подходом в оптимальном проектировании является формулирование технических требований в виде утверждений теории математического программирования, что позволяет свести задачу оптимизации конструкции к математической задаче поиска экстремума. Для постановки задач оптимизации конструкции применяют параметризованный чертеж, являющийся эскизом разрабатываемой конструкции с рядом размеров, допускающих варьирование в заданных пределах. Свойства конструкции, подлежащие варьированию, называются параметрами проектирования. Для формулирования задачи оптимизации выбирается характеристика, подлежащая минимизации или максимизации и набор ограничений для обеспечения работоспособности конструкции. Решением задачи параметрической оптимизации является набор значений параметров, обеспечивающих заданные критерии и ограничения, наложенные на конструкцию.
Задачи оптимального проектирования характеризуются сложными, неявно заданными функциями и большой размерностью. В силу этих обстоятельств, важное значение имеет применяемый алгоритм поиска оптимального решения. Некорректный выбор алгоритма может привести к получению неверного решения, не являющегося оптимальным.
Самым первым подходом к решению задачи создания рациональных конструкций было варьирование проектировщиком размеров на чертеже разрабатываемой детали для улучшения характеристик разрабатываемого изделия. Выбор изменяемых параметров и величина вариации в этом случае регламентируется только эвристическими соображениями проектировщика. Целесообразность внесенных изменений осуществляется пересчетом модели конструкции. Несмотря на кажущуюся простоту этой методики, успех деятельности существенно зависит в первую очередь от практического опыта и квалификации специалиста. Основной сложность этого подхода является отсутствие формальных правил поиска путей улучшения конструкции и, как следствие, трудоемкость процесса улучшения проекта. При множестве ограничений, наложенных на конструкцию, внесение изменений, не нарушающих условия ее работоспособности, становится непростой операцией. Эти факты приводят к низкой эффективности изложенного подхода. Альтернативным путем является построение математической модели конструкции и формализация задачи улучшения конструкции в виде задачи поиска условного экстремума функции многих переменных либо функционала при наличии ряда ограничений. Для решения подобной задачи аналитическими методами приходится строить простые модели конструкций, допускающие аналитическое исследование, которые не всегда описывают поведение исходной системы с достаточной точностью.
В связи с существенным развитием вычислительной техники и средств автоматизации жизнедеятельности, все больше операций выполняется вычислительными машинами в полностью автоматизированном или диалоговом режиме. Широкое внедрение вычислительных средств в практику расчетной деятельности дало возможность рассчитывать сложные математические модели, описывающие поведение конструкции. Это позволило создать пакеты универсальных программ для моделирования поведения деталей в сложных условиях работы, приближенным к реальным. Отметим, что множество алгоритмов математического программирования реализовано в виде программных библиотек [1]. Эти обстоятельства привели к развитию дисциплины автоматизированного оптимального проектирования [2]. Формализация задачи оптимизации конструкции в виде задачи поиска условного экстремума позволила соединить в один программный комплекс пакеты для расчета модели конструкции и алгоритмы оптимизации. В самом простом случае модуль расчета конструкции рассматривается как черный ящик, принимающий на вход набор параметров и в результате расчета выдающий на выходе характеристики конструкции, такие как масса, напряжения и перемещения. Данный подход применительно к оптимальному проектированию вращающихся дисков рассматривается в книге [3]. Такая методика оправдана, если применяемый алгоритм оптимизации не требует расчета производных целевой функции и ограничений. На основании различных методов формального поиска, базирующихся на сопоставлении значений функций при различных значениях параметров проектирования, было оптимизировано множество конструкций вращающихся дисков турбомашин [3]. Недостатком методов поиска нулевого порядка, основанных на сопоставлении значений функций является очень низкая скорость сходимости и высокая вероятность получить неоптимальный проект [4, 5].
Более совершенные алгоритмы оптимизации требуют расчета не только значений функций, но их производных [4, 5]. Задачу исследования поведения свойств системы при небольшом варьировании значений параметров проектирования в окрестности заданной точки в литературе называют анализом на чувствительность [6]. Анализ чувствительности системы позволяет выявить параметры, оказывающие наибольшее влияние на свойства конструкции. Благодаря этой информации можно вычислить наиболее эффективные изменения параметров проектирования для улучшения свойств системы. Одним из направлений применения анализа системы на чувствительность являются диалоговые системы оптимального проектирования [7, 8, 9, 10]. В этом подходе проектировщик строит параметризованную модель конструкции и далее запускает анализ на чувствительность. В результате исследования математическими методами чувствительности свойств системы к возмущению параметров проектирования разработчик может принять обоснованное решение об изменении ряда параметров и продолжить исследование системы при новых значениях параметров проектирования.
Другим применением анализа чувствительности является автоматизированное оптимальное проектирование. Большинство современных мощных алгоритмов оптимизации требуют расчета градиентов целевой функций и ограничений [1, 11]. В силу того, что градиент функции характеризует степень чувствительности исследуемой характеристики к вариации переменных проектирования, дифференцирование является частным и наиболее популярным средством, применяемым для анализа на чувствительность. Поэтому анализ системы на чувствительность занимает важное место в задачах оптимизации, а разработка математических моделей и реализация эффективных алгоритмов анализа чувствительности для различных механических систем - актуальной задачей в современном оптимальном проектировании. При использовании полностью автоматизированного процесса оптимизации, разработчику достаточно построить параметризованную модель системы и выбрать алгоритм условной оптимизации. Все решения об изменениях параметров проектирования для получения рационального проекта принимает программный комплекс.
Анализ на чувствительность системы тесно связан с теорией оптимального управления [12, 13]. Множество задач оптимального проектирования механических систем можно свести к задаче оптимального управления системой, моделируемой обыкновенными дифференциальными уравнениями или дифференциальными уравнений в частных производных. Аналитическим исследованиям по этой тематике посвящена работа [13], в которой рассмотрен ряд вопросов, связанных с теорией оптимального управления в распределенных системах. Однако аналитические исследования имеют очень ограниченную сферу практического применения в связи с тем, что задачи, встречающиеся на практике, редко допускают решения в явном виде. В работах [12, 14] рассматривается обобщенная методика дифференцирования функционалов, заданных на решениях операторных уравнений. Эта операция имеет большое практическое значение для приближенного расчета градиентов характеристик по параметрам проектирования. Приемы, предложенные в этих работах, наиболее эффективны для задач оптимизации тонкостенных конструкций, когда параметрами проектирования являются толщины. В работе [14] уделяется недостаточно внимания задачам оптимизации формы конструкции и сложным параметризациям деталей. Наибольшее развитие полуаналитический анализ чувствительности получил в многочисленных работах Э. Хога, К. Чой., В. Комкова и их соавторов. [6-Ю]. Различные методики анализа чувствительности рассматриваются в работах [92, 95, 98]. Анализируя общие результаты этих исследований и учитывая, что наиболее универсальным и широко применяемым на практике методом расчета механических систем является метод конечных элементов [15, 16], в полуаналитических методах анализа чувствительности можно выделить два подхода. Первый базируется на формулировке задачи в бесконечномерном пространстве, в котором определено исходное дифференциальное, интегральное или вариационное уравнение, описывающее модель конструкции [6]. Второй подход основывается на аппроксимации задачи в конечномерном пространстве, например в результате привлечения метода конечных элементов [17]. Связь между этими методиками и исследование условий, при которых эти подходы эквивалентны, рассмотрена в [97]. Из этого следует, что в большинстве практически важных приложений обе методики дают близкие результаты.
Исследования по применению полуаналитической методики расчета градиентов функционалов к конкретным задачам механики приводятся в работах [6-10, 17-22, 95, 98, 100, 101]. В [2-9, 21, 22, 100] рассматривается численное дифференцирование функционалов по границе области, что имеет большое значение в оптимальном проектировании механических систем, так как параметризация конструкций обычно основывается на изменении формы. Исследуются различные модельные задачи оптимизации формы механических конструкций как в линейной, так и в нелинейной постановках.
В первой главе диссертационной работы рассмотрены различные подходы к реализации методов анализа чувствительности для механических систем и представлены наиболее эффективные современные алгоритмы оптимизации.
Решению задачи оптимального проектирования дисков турбомашин в достаточно общей постановке с привлечением различных ограничений для обеспечения работоспособности в условиях неравномерного нагрева и полуаналитическим анализом чувствительности посвящена вторая глава диссертационной работы. Вращающиеся диски являются важной составляющей авиационного двигателя и составляют значительный вклад в вес конструкции. В силу этого обстоятельства задача уменьшения веса двигателя тесно связана с уменьшением веса дисков. Задачам оптимального проектирования дисков турбомашин посвящен раздел в работе [3] и статья [23]. Рассматривается проектирование на базе различных методов формального поиска и не уделяется внимания алгоритмам анализа на чувствительность. В работе А.И. Лурье [24] задача профилирования дисков турбомашин решена с применением принципа максимума Понтрягина. Эта методика базируется на введение сопряженной системы дифференциальных уравнений и использует методики дифференцирования функционалов, рассмотренные в [6, 12]. Данный подход расширен на различные задачи механических систем в работе [25]. Недостатком алгоритмов оптимизации на основе принципа максимума в оптимизации конструкций является сложность обобщения на широкий класс механических системы и численные проблемы при решении нелинейной системы уравнений, следующей из условия экстремума в формулировке Понтрягина. В силу этих причин в работах [2, 6, 14] предлагается исходить из методов спуска в пространстве управляющего воздействия, например методом проекции градиента, а не из принципа максимума, привлекая при этом сопряженные функции для полуаналитического расчета градиентов. В книге [26] исследуется ряд задач оптимального проектирования механических конструкций. Авторы рассматривают задачи оптимизации вращающих дисков в упрощенной формулировке. Предлагается проектировать равнопрочные диски, мотивируя это тем, что в большинстве случае оптимальная по массе конструкция является равнопрочной. Однако во множестве практических ситуаций равнопрочный проект невозможен, и, соответственно, не является оптимальным. Ряд задач оптимального проектирования рассмотрен в работе [27], где основной упор сделан на аналитические исследования задач частного вида и мало внимания уделяется задачам оптимизации механических конструкций. Таким образом, развитие высокоэффективных методик оптимизации вращающихся дисков является важным для практики и недостаточно исследованным направлением оптимального проектирования.
В третьей главе диссертационной работы рассмотрено привлечение методики топологической оптимизации на основе распределения материала к оптимальному проектированию вращающихся конструкций. Развитием параметрической оптимизации явилась топологическая оптимизация, позволяющая получить форму оптимальной по заданным критериям детали без конструкторской параметризации. Одними из первых известных работ по этой тематике являются [28, 29], в которых применяется метод усреднения. Метод усреднения активно использовался также для решения задач создания новых материалов с заданными свойствами [30-32]. Другим популярным подходом в топологической оптимизации является поиск оптимального распределения материала по исследуемой области [33-38]. В этом случае для расчета используется метод конечных элементов и каждому конечному элементу приписывается условная плотность, управляющая вкладом конечного элемента в глобальную матрицу жесткости. Решением задачи топологической оптимизации в данной постановке является функция распределения условной плотности по области проектирования. К достоинствам этого подхода относятся: простота реализации, возможность учета сложных граничных условий и универсальность. Недостатком этого алгоритма является необходимость привлечения средств стабилизации счета [39, 40]. Альтернативным и сравнительно новым направлением является метод функции уровня [41, 42]. Алгоритм базируется на рассмотрении скалярной функции <р(х), определенной на всей исследуемой области. Принимается, что тело занимает область положительных значений характеристической функции, контур тела определяется условием <р(х) = 0. Решением задачи топологической оптимизации в данной постановке является характеристическая функция. Метод на основе введения функции уровня удобен тем, что сводит задачу топологической оптимизации к стандартной вариационной задаче поиска условного экстремума некоторого функционала, где в качестве ограничений выступают уравнение равновесия механической системы и условие на максимальный объем материала детали. Это позволяет получить сравнительно гладкие решения и приводит к устойчивости итерационного процесса. К недостаткам этого подхода можно отнести сложность моделирования граничных условий. В результате топологической оптимизации проектировщик получает приблизительную форму конструкции, оптимальной по выбранному критерию. Методика топологической оптимизации позволяет разработчику получить общее представление о форме рациональной конструкции для ее дальнейшей параметризации и моделирования по более совершенным методикам. Топологическая оптимизация существенно использует полуаналитический анализ чувствительности в силу большой размерности получаемой задачи оптимизации [35, 90]. Высокая размерность вынуждает привлекать специализированные алгоритмы оптимизации [1, 43-46]. Основная масса работ в области топологической оптимизации посвящена проектированию различных балочных систем и механизмов. Учет неосесимметричного изгиба конструкций вынуждает использовать трехмерные модели, требующие значительного времени счета, поэтому интересным и малоисследованым является направление разработки приближенных методик учета неосесимметричного нагружения в осесимметричнои модели для испоьзования в топлогической оптимизации.
В четвертой главе диссертации рассматривается методика оптимизации с применением полуаналитического анализа чувствительности всего ротора с учетом конструктивных ограничений, неравномерного нагрева и ряда условий для обеспечения работоспособности конструкции. Большой практический интерес имеет оптимизация сложных оболочечных осесимметричных конструкций. К этой сфере можно отнести оптимальное проектирование роторов, являющихся важной частью турбомашин. Для упрощенной быстрой оценки напряженно - деформированного состояния элементов ротора можно привлекать модель оболочек вращения. Однако оболочечная модель недостаточно точно описывает поведение ротора, поэтому предлагается привлекать кольцевые элементы для моделирования точек стыковки оболочек и сложной формы ободов. Оболочечная модель имеет ряд существенных преимуществ по сравнению с моделью ротора на основе двумерных конечных элементо: время счета на порядок меньше, чем при анализе системы по двумерной модели и модель на основе оболочек вращения значительно проще построить. Отметим также, что оптимизационный процесс обычно более устойчив к различным параметризациям в моделях на основе осесимметричных оболочек, чем в двумерных моделях, качественная оптимизация которых возможна только при тщательно продуманной параметризации. Эти обстоятельства делают оболочные модели перспективными для предварительной оптимизации конструкций. На данный момент известно ограниченное количество работ, развивающих общую методику оптимального проектирования роторов, моделируемых при помощи оболочек вращения и осесимметричных колец с применением полуаналитического анализа чувствительности, поэтому задача разработки алгоритма предварительной оптимизации таких конструкций является актуальной задачей, заслуживающей изучения.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и применение эффективных алгоритмов анализа чувствительности для оптимизации конструкций роторов.
Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, методы математической теории оптимального управления, методы математического программирования, численные методы анализа.
Научная новизна.
Разработана методика оптимизации дисков турбомашин с применением полуаналитического анализа чувствительности, с ограничениями на коэффициенты запаса по пределу прочности, величину разрушающей частоты вращения и момент инерции.
Разработан алгоритм топологической оптимизации осесимметричных вращающихся деталей с учетом неосесимметричного изгиба.
Разработана методика оптимизации осесимметричных оболочечных систем с привлечением кольцевых элементов и полуаналитическим анализом чувствительности без использования численного дифференцирования.
Достоверность результатов. Достоверность результатов подтверждается используемым математическим аппаратом, сравнением с результатами расчетов на базе альтернативных подходов.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в работе, позволяют создавать программные комплексы для эффективной оптимизации конструкций.
На защиту выносятся следующие положения.
Алгоритм полуаналитического анализа чувствительности в бесконечномерном пространстве состояний, примененный к решению задачи оптимального проектирования вращающегося диска с учетом конструктивных и прочностных ограничений.
Методика решения задач топологической оптимизации осесимметричных конструкций с учетом неосесимметричного изгиба.
Алгоритм дискретного анализа чувствительности для осесимметричных оболочек и колец, моделируемых на основе метода конечных элементов.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VI-й международной конференции «Научно - технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения», СПбГПУ, СПб, 2005; на П-й международной научно-технической конференции «Авиадвигатели XXI века», ЦИАМ им Баранова, Москва, 2006; на научно - технической конференции, посвященной 90-летию В.И. Феодосьева «Фундаментальные и прикладные проблемы механики», МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2006.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты работы опубликованы в трех статьях [103, 104, 105] и трех тезисах докладов на конференциях [102,106,107].
Рекомендации к внедрению. Методы, алгоритмы и программы рекомендуются к внедрению и использованию в ЦИАМ им. П.И. Баранова, ОКБ авиадвигателестроительной и аэрокосмической отраслей, проектных организациях и предприятиях, занимающихся разработкой турбомашин. Теоретические материалы диссертации рекомендуется включить в учебные курсы САПР и методы оптимизации на специальности «Прикладная математика» в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 163 страницах, содержит 14 таблиц и 63 иллюстрации. Библиография включает 108 наименований.
Методы оптимизации в оптимальном проектировании конструкций
Как было показано выше, популярным способом решения задачи оптимального проектирования является сведение исходной технической задачи к задаче математического программирования. Рассмотрим общую задачу поиска условного экстремума функции многих переменных, к которой сводится большой класс задач оптимального проектирования /(/?)- min, ИГ ht h, / = 1,2 и; -\ (L5) gj(h)=0, j = \,2,...,me; gk(h) 0, k = me+l,...,m, Здесь heR" - вектор варьируемых переменных (параметров проектирования), ДА]-функция цели, gj(й)-функции ограничений. Рассматриваются также частные случаи общей задачи, в которых присутствуют ограничения только в виде равенств (1.6) Дй)- тіп; gj(h)=0, j = 1,2,..., т; (1.7) или только в виде неравенств: Дй)-»тіп; gj(h) 0, j = \,2,.,m. Значительное количество задач оптимального проектирования конструкций сводится к математической задаче условной оптимизации в следующей постановке max /t(A)-»min; \ к тх кК н (L8) max gAh) 0. \ j m2 -74 Примерами могут служить задачи минимизации перемещений при ограничениях на напряжения. Особенность такой формулировки является недифференцируемость функций типа max/Д/г). Для сведения этой задачи к стандартной гладкой задаче математического программирования одно ограничение maxg(/n 0 заменяется на т2 ограничений \ j m2 max 0 /И[ /Дл)- тіп; (1.9) j = 1,2,..., m2.
Далее вводится дополнительный искусственный параметр проектирования / и новая произвольная целевая функция /r(f), при этом функции под знаком максимума в выражении для исходной целевой функции переводятся в ограничения /c(t)- min, fk(h) r{t), к = \,2,...,т{; (1 10) gj(h) 0, j = 1,2,.., т2. Представленный прием позволяет свести задачу (1.8) к стандартной задаче математического программирования (1.5).
Рис. 1.3. Методы решения задач условной оптимизации Методы как условной, так и безусловной оптимизации делятся на методы нулевого, первого и второго порядка. Методы нулевого порядка (или методы с сопоставлением значений функций) основаны на эвристических соображениях, не связанных с использованием линейной или квадратичной аппроксимации целевой функции и ограничений в окрестности очередной точки вычисления.
Алгоритмы такого типа желательно использовать в ситуациях, когда применение более совершенных методов невозможно или крайне затруднительно [4, 5, 60]. Это семейство алгоритмов представлено методом формального поиска, генетическими алгоритмами, методом случайного поиска и рядом других. Эти алгоритмы просты в реализации и универсальны. Существенными недостатками этих методов являются: низкая скорость сходимости, сомнительная гарантия сходимости к истинному решению.
Методы первого порядка строятся на основе некоторой аппроксимации целевой функции и ограничений в окрестности очередного приближения к решению, причем при построении этой аппроксимации используются только градиенты функций. Классически эта аппроксимация получается разложением в ряд Тейлора до первого порядка (метод линеаризации или sequential linear programming, SLP) [44, 63], в ряде современных алгоритмов строятся более удобные в вычислительном отношении выпуклые аппроксимации (sequential convex programming, SCP) [44]. Этот класс методов представлен такими алгоритмами, как convex linear approximation (CONLIN) [44, 61, 62], method of moving asymptotes (MMA) [45,46].
Методы второго порядка используют не только градиенты, но и вторые производные целевой функции и ограничений, например метод квадратичной аппроксимации (sequential quadratic programming, SQP) [1]. В настоящее время также разработаны методы SCP второго порядка аппроксимации [46].
Популярный и простой подход к решению задач условной оптимизации основан на сведении к задаче безусловной оптимизации [64, 65]. На основе целевой функции и ограничений конструируют штрафную функцию, которая подлежащей минимизации без ограничений на значения вектора переменных х. При введении внешнего штрафа к функции цели добавляется штрафное слагаемое, равное нулю при выполнении ограничений и быстро возрастающее при нарушении ограничений.
Расчетная модель вращающегося диска
Рассматривается диск (рис. 2.1), симметричный относительно своей срединной поверхности. Толщина h предполагается малой по сравнению с наружным радиусом г = Ь. Силы, действующие на диск, в том числе центробежные силы от вращения, направлены радиально и равномерно распределены в окружном направлении. Диск неравномерно нагрет по радиусу. Температура считается постоянной по толщине.
Напряженное состояние в диске считается двухмерным и осесимметричным, напряжения равномерно распределены по толщине. Рис. 2.1. Меридиональное сечение диска, симметричного относительно своей срединной поверхности Уравнение равновесия малого элемента диска имеет вид [3,68]: -—{arrh)-ae+qr = 0, И аг (2.3) где р - плотность материала диска; q{r) - зависимость приложенной нагрузки от радиуса. В случае инерационной нагрузки q{r) = рсо2, где со - угловая скорость вращения. Деформации в радиальном и окружном направлениях соответственно равны [3, 69] и du Б г - і Б в - dr г (2.4) БИБЛИОТЕКА где и(г) - перемещение диска в радиальном направлении. При упругом поведении материала связь между деформациями и напряжениями выражается с помощью закона Гука: ег=- Рг-рав)+ № se=-{ re-n(Jr)+aM, (2.5) где Е = Е{г) - модуль упругости материала диска; ju = ju(r) - коэффициент Пуассона; АТ = Т(г)-Т0, Т = Т(г) - температура диска, Г0 - температура в отсчетной конфигурации; а = а(г) - коэффициент линейного расширения материала. На наружном контуре диска r = b могут быть заданы радиальные напряжения или силы (7r{b) = arb, Nr(b)=Nrb =arbhb. (2.6)
Эти величины связаны с суммарной силой СгЪ от лопаток и замковой части обода, равномерно распределенной по площади цилиндрической поверхности на наружном контуре радиуса г = Ъ диска: Crb Nrb
При отсутствии лопаток или других внешних воздействий на наружном контуре crrb =0. Граничные условия на внутреннем контуре радиуса г = а диска зависят от условий его закрепления. Во многих случаях напряжение или силу на внутреннем контуре удобно считать заданными: ar(a)=ara,Nr(a) = Nra. (2.8) Преобразовав уравнение (2.1) с использованием соотношений (2.4), (2.5), напряженно-деформированное состояние диска приводем к системе дифференциальных уравнений du и 1-й2 1 _ /, ч. _ dr г Er h (29) UQ = !Lhu + Q + {-EabT-pcD2r2)h, dr г г где Q = arh г. (2.10)
Решение системы (2.9) будем искать для краевых условий общего вида axu(a)+p{Q(a)=r]x a2u{b)+fi2Q(b)=Tj2 Линейные соотношения (2.10) включают в себя способы задания граничных условий, приведенные в таблице 1. Причем возможна комбинация любого столбца для г = а с любым из столбцов для г = Ъ.
Для разработки численного алгоритма решения рассмотрим переход от исходной задачи с управлением h(r) в пространстве кусочно-непрерывных функций к вектору из N управляющих параметров h = (h{,...,hN) . Введем аппроксимацию функции h(r) на наборе из N базисных функций Вк{г), k = \,2,...,N в виде N
Если рассмотреть значения произвольного функционала E[h] на функциях вида (2.16) при фиксированном наборе функций Вк(г), то получим функцию многих переменных e(/jj=Aj. Введем сетку co = {r0 =а,гх,...,гм =Ъ\ на интервале [a,b]. Аппроксимация управления (2.16) и сетка со позволяет свести исходную задачу условной оптимизации (2.1) с уравнением связи (2.2) к задаче математического программирования для поиска оптимального значения параметров проектирования h ={h{,...,hN) g0()=F[]- min, у(л)=а,и(гуЫо№У ] . (\ (\ (\ (2Л7) / min(r,) И(ф/ тах(0), j = 0,1,...,М, Z(h)y(r) = f(h). Как уже было изложено в первой главе, для использования алгоритмов оптимизации первого и квазивторого порядков требуется осуществить расчет производных df/dhk, dgjjdhk для всех k = \,2,...,N. Применение метода „ dgj gj(h + Ahk ek)-gj(h) конечных разностей —- и - —L1-L приводит к изложенным в dhk Ahk первой главе проблемам точности вычисления производных и необходимости осуществить N дополнительных этапов моделирования для вычисления gj \jj + Ahk ек J. Таким образом, возникает зависимость времени вычисления производных от размерности вектора параметров проектирования, которая приводит к ограничению на количество используемых параметров проектирования.
Сравнительный анализ с методом квадратичной аппроксимации и анализом чувствительности на основе численного дифференцирования
Эффективность применяемого метода анализа чувствительности оценивалась по результатам сравнения с работой метода квадратичной аппроксимации (SQP) [4, 11] с традиционным численным дифференцированием целевой функции и ограничений. Общая схема метода квадратичной аппроксимации применительно к решению общей задаче оптимизации в виде (1.2) представлена на рис.2.4.
При оптимизации методом SQP использовались две различные параметризации диска. В первом случае конструкция диска задается в виде аппроксимации (2.16) с базисными функциями (2.72), Во втором случае применялась более простая конструкторская параметризация, подразумевающая определенную технологию изготовления детали, представленная на рис. 2.5.
Полученные результаты показали, что при использовании более простой конструкторской параметризации проигрыш в массе конструкции незначителен и представленная параметризация может считаться достаточно удачной.
При профилировании диска методом SQP для расчета градиентов целевой функции и ограничений использовалось непосредственное численное дифференцирование. Такая методика вынуждает проводить п расчетов напряженно-деформированного состояния для получения всех необходимых производных. Это обстоятельство приводит к росту времени счета пропорционально количеству используемых параметров проектирования и, соответственно, накладывает существенное ограничение на число управляющих параметров.
Сравнение двух методов проводилось на задаче оптимизации диска при линейном градиенте температуры (550 градусов Цельсия у ступицы и 650 у обода), ограничений на максимальную (70 мм) и минимальную толщину (5.4 мм) диска, переменного допускаемого напряжения (1050 МПа у ступицы и 740 МПа у обода с коэффициентом запаса 1.55).
На рис. 2.6 представлен оптимальный проект диска, полученный методом проекции градиента с 200 управляющими параметрам, на рис. 2.7 результат оптимизации диска при тех же нагрузках, но с дополнительным конструктивным ограничением (пунктирной линией показано начальное приближение).
Решение задачи профилирования диска методом проекции градиента и методом квадратичной аппроксимации показало, что результаты расчетов незначительно отличаются как по массе, так и по форме конструкции, что наглядно представлено на рис. 2.8, 2.9. Применение полуаналитического анализа чувствительности проекта-позволило значительно сократить время счета. При применении метода квадратичной аппроксимации использовалось 30 параметров проектирования для аппроксимации функции h{r). Это привело к необходимости проводить расчет конструкции 30 раз только для вычисления градиентов на каждой итерации при использовании конечноразностной аппроксимации производных.
В методе проекции градиента с полуаналитическим анализом чувствительности на каждой итерации проводится два расчета напряженно-деформированного состояния, независимо от числа управляющих параметров, при этом расчет градиентов производится без опасных погрешностей, присущих методам численного дифференцирования. Таким образом, очевидно, что время счета при применении метода квадратичной аппроксимации без анализа чувствительности приблизительно в 15 и более раз превосходило время счета при применении метода проекции градиента в данной постановке задачи. Таким образом, для параметризации диска при использовании метода проекции градиента использовалось 200 параметров и больше, при этом время счета было значительно меньше, чем при использовании метода квадратичной аппроксимации с 30 параметрами проектирования без применения полуаналитического анализа чувствительности. Поэтому эффект от применения полуаналитического анализа чувствительности в данной задаче оптимизации достаточно значителен.
Графики изменения массы проекта по итерациям для методов квадратичной аппроксимации и проекции градиента, приведенные на рис. 2.10, иллюстрируют более высокую скорость сходимости метода проекции градиента в данной задаче по сравнению с методом квадратичной аппроксимации. Данное обстоятельство объяснятся тем, что в реализованном методе проекции градиента величина шага выбиралась пользователем и в дальнейшем уменьшалась при необходимости. В методе квадратичной аппроксимации величина шага выбиралась из условия минимума функции выигрыша [7], что обеспечивает более надежную сходимость к истинному решению, но может приводить к вычислению маленьких шагов в пространстве переменных проектирования.
Таким образом, полуаналитический метод анализа на чувствительность позволяет существенно увеличить эффективность алгоритма оптимизации, требующего расчет производных. Значительное уменьшение времени счета позволяет использовать большое количество параметров проектирования и получать более точные решения задач оптимизации.
Топологическая оптимизация и метод конечных элементов
Для топологической оптимизации часто используются четырехузловые и девятиузловые Лагранжевы прямоугольные конечные элементы. Причем применение четырехузловых конечных элементов связано с некоторыми численными проблемами, которые будут затронуты в дальнейшем.
Несложно заметить, что в определение целевой функции (энергии деформаций) входит вектор перемещений конструкции, который неявно зависит от вектора условных плотностей d. Для эффективной организации оптимизационного процесса необходимо вычислить производные энергии деформаций по условной плотности каждого конечного элемента, что даёт возможность использовать методы математического программирования первого порядка, например метод проекции градиента, метод движущихся асимптот (ММА) или методы квазивторого порядка, такие как SQP [1].
Таким образом, требуется провести анализ чувствительности энергии деформаций к вариации плотностей конечных элементов. Продифференцировав выражение (3.7) по de, получим dW д uT r„\ дйт .„ „т дК _ _r т. дії = [итКи}= Ки + ит — и + итК—. (3.9) dde ddeK J dde dde dde V ;
В линейной задачи упругости вектор перемещений узлов конечно-элементной сетки и связан с вектором внешних нагрузок F соотношением Кії = Р. (3.10) Продифференцировав выражение (ЗЛО) по de, получаем соотношение дК _ „ди BF и + К = . (3.11) Ые dde dde у }
Учитывая симметричность матрицы жесткости К и комбинируя (3.9) и (3.11), выводим выражение для расчета производной энергии деформаций по плотности е- го конечного элемента dW т 8F -г дК _ = 2ит ит и. (3.12) dde dde 8de К J Производная матрицы жесткости вычисляется на основе соотношения (3.2) - = pdpe-XSTeKeSe- (3.13)
Для расчета градиента вектора нагрузок следует учесть, что от плотности конечного элемента зависит только объемная составляющая нагрузки, т.е. JT = -r{l deSlFv,e +2Х%1 = STeFY,. (3.14) dde ode\e e J По определению матрицы геометрической связи ue=Sj. (3.15) Подставляя (3.14) и (3.13) в (3.12), с учетом (3.15), получаем j = 257 - pdrluTSlKeSeu = 2ujFv e - Pdpe XuTeKeue. (3 J 6) 8de
Таким образом, задача анализа на чувствительность функций, входящих в постановку задачи топологической оптимизации (3.9) может считаться полностью решенной. Выражение (3.16) может быть представлено в виде dW = 2Ae-pdr%, где Ae - суммарная работа объемных сил на конечном элементе, a Wt - энергия деформаций конечного элемента.
Классической тестовой задачей топологической оптимизации является проектирование шарнирноопертой конструкции (рис. 3.2). Для окончательной формулировки задачи оптимального проектирования требуется задаться коэффициентом заполнения области материалом /.
Пример постановки задачи топологической оптимизации Задача решалась на прямоугольной сетке 70x40 с использованием четырехточечного прямоугольного конечного элемента и коэффициентом заполнения / = 0.3. Результат оптимизации на 17-ой итерации приведен на рис. 3.3а. Решение задачи топологической оптимизации.
Представленный результат позволяет рассмотреть типичные проблемы топологической оптимизации. Несмотря на то, что общая структура (топология) конструкции вполне просматривается, на изображении видны зоны, закрашенные в виде «шахматной доски». То есть пустые элементы граничат с заполненными [40]. Как показывает анализ, такая структура области обеспечивает большую жесткость по сравнению с равномерно распределенным по области материалом. Жесткость системы из четырех четырехузловых КЭ, представленных на рис. 3.36, больше жесткости системы, приведенной на рис. З.Зв. Для решения этой проблемы существуют два подхода: использование конечных элементов более высокого порядка и применение специальных фильтров, заимствованных из обработки изображений [39].
Другой проблемой является возможное изменение топологии конструкции с измельчением сетки, т.е. зависимость финального проекта от конечноэлементной сетки. Простым способом решения этой проблемы также является применение фильтров [39].
