Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время одним из основных феноменов в нелинейной динамике является существование устойчивых стационарных импульсов – «солитонов» в средах различной природы: от плазмы до деформируемых твердых тел.
В частности, первое экспериментальное наблюдение солитона в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе И. Рудника, Дж. И. Ву, С. Питермана (1987).
Ряд вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в работах Л.И. Могилевича и А.И. Землянухина. Основные результаты получены для тонких цилиндрических оболочек Кирхгофа-Лява (гипотеза прямых нормалей) на основе интегрируемых уравнений.
Вместе с тем, нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Уточнённые модели, учитывающие реальные факторы (неоднородность материала и диссипацию), часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. Единственным способом исследования такой системы является численный эксперимент.
Задачи численного моделирования распространения волн деформации в тонкой цилиндрической оболочке, но в одномерном случае были решены Е.И. Штейнбергом. Численные эксперименты в настоящей работе проводятся на двумерной сетке, что позволяет учитывать влияние пространственной неоднородности исследуемой системы на волновой процесс.
Многочисленные практические применения оболочечных конструкций в технике обусловливают актуальность данной работы.
Цель работы. Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных волн в деформируемых системах, описываемых неинтегрируемыми уравнениями на основе теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява в двумерном случае с учётом диссипации, конструктивной неоднородности, геометрической и физической нелинейности.
Комплексный характер исследования приводит к необходимости решения следующих задач:
Вывод обобщенного эволюционного уравнения, моделирующего распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейной неоднородной цилиндрической оболочке с затуханием.
Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.
Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы, в том числе и двумерных.
Научная новизна работы. Получила дальнейшее развитие нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек, а именно:
Выведено новое обобщенное пространственно-двумерное нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение продольных волн в пологих тонких цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява. От известных ранее моделей уравнение отличается одновременным учетом геометрической и физической нелинейности, потерь энергии и конструктивной неоднородности материала оболочки.
С помощью метода простейших уравнений для физически значимых редукций выведенного уравнения найдены классы точных солитоноподобных решений.
На основе проведенного сравнения основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 5-го порядка неявных псевдоспектральных схем. Такие схемы обладают лучшим, в рамках поставленной задачи, соотношением между скоростью и точностью вычислений. Необходимость выполнения большого числа вычислительных операций для расчета значений сеточной функции компенсируется в них устойчивостью, позволяющей делать большие шаги по времени.
Усовершенствован классический неявный псевдоспектральный метод, область его применимости расширена на уравнения, содержащие сложные нелинейные члены, например uuxxx или uxuxx.
Численно исследованы (на двумерной сетке) солитоноподобные решения выведенного уравнения и его частные случаи: явления распространения и упругого взаимодействия солитоноподобных волн, обнаружены ударно-волновые режимы и устойчивые крестообразные структуры, обнаружен устойчивый режим распространения волны с моделированным по амплитуде передним фронтом.
Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:
-
Программу (simpeq) для решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием систем компьютерной алгебры. Программа существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.
-
Программную оболочку (2D-soliton), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.
Достоверность результатов. Исследования проводились на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых были теоретически обоснованы. Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается также совпадением результатов численного и аналитического исследования. Дополнительно точность численных вычислений проверялась вариацией временного шага.
Практическая и теоретическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими и неразрушающими методами диагностики состояния материалов. Результаты моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных Нижегородских акустических конференциях в Институте машиноведения им. А.А. Благонравова (Нижний Новгород, 2006), на Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007), на Международной конференции «Advanced Problems in Mechanics 2008» (Санкт-Петербург, 2008), XXIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010), на XXII сессии Российского акустического общества и сессии научного совета РАН по акустике, на научном семинаре кафедры прикладной математики и теории навигационных приборов под руководством А.И. Землянухина.
На защиту выносятся cледующие основные результаты и положения работы:
Выведенное новое нелинейное уравнение в частных производных, описывающее волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации.
Точные решения полученных неинтегрируемых (в смысле метода обратной задачи рассеяния) эволюционных уравнений и их частных случаев. В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.
Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в нелинейных средах. Бездиссипативный случай с физической нелинейностью в случае задания начального импульса в виде гауссова купола приводит к образованию крестообразных структур. Случай задания сдвоенного гауссова импульса в качестве начальных условий приводит к образованию устойчивого волнового фронта с поперечно-модулированной амплитудой. Учёт геометрической нелинейности приводит к образованию крестообразной структуры для однокупольного начального возмущения и прямого солитона в случае с двухкупольным начальным импульсом. Моделирование диссипативной редукции выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.
Точные солитоноподобные решения системы уравнений, описывающей продольные волны деформации в магнитоупругом стержне.
Комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:
-
Программу simpeq, которая существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.
-
Программную оболочку (2D-soliton), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 6 научных статьях (из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ) и учебном пособии.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений и содержит 126 страниц текста.
