Математические модели неразрушающего контроля мезоскопических сред и методы их исследования Бондаренко Анатолий Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Структура фундаментальных решений уравнений переноса излучения 23

1.1 Интегральное уравнение для фундаментального решения нестационарного уравнения переноса 24

1.2 Представление Дайсона-Филлипса для фундаментального решения уравнения переноса 27

1.3 Аналог формулы Фейнмана-Каца для фундаментального решения нестационарного уравнения переноса 31

1.4 Структура особенностей волнового фронта фундаментального решения нестационарного уравнения переноса 32

1.4.1 Иерархия сингулярностей фундаментального решения 36

1.4.2 Затухание особенностей фундаментального решения при t —> со 38

1.4.3 Наличие заднего фронта особенностей фундаментального решения 38

1.5 Стационарное уравнение переноса 44

1.6 Интегральное уравнение для фундаментального решения стационарного уравнения переноса 46

1.7 Теорема существования и единственности решения интегрального уравнения 48

1.8 Фундаментальное решение стационарного уравнения переноса 49

1.9 Оценки особенностей некоторых несобственных интегралов 51

1.10 Сингулярная структура фундаментального решения стационарного уравнения переноса 52

1.11 Результаты главы 1 60

2 Метод спектроскопии с высоким пространственным и угловым разрешением для задач оптической томографии 61

2.1 Задачи оптической томографии 61

2.2 Преобразование Радона в!" 62

2.2.1 Потенциалы Рисса и формулы обращения 63

2.2.2 Теоремы единственности восстановления по неполным данным 65

2.3 Метод спуска для уравнения переноса 65

2.4 Общая схема метода спектроскопии с высоким пространственным разрешением 68

2.4.1 Устройство и расположение источников и приемников 69

2.5 Численные результаты 73

2.5.1 Расчет скачков первого и второго типа 74

2.5.2 Влияние эффекта рассеяния на восстановление образа 74

2.6 Результаты главы 2 75

3 Уравнение типа Липпмана - Швингера для функции плотности энергии электромагнитного поля 77

3.1 Уравнение переноса энергии: Мезоскопический подход 77

3.1.1 Уравнение типа Липпмана - Швингера 79

3.1.2 Асимптотическое разложение решения уравнения ЛШ вблизи светового конуса 80

3.1.3 Асимптотическое разложение некоторых интегралов 82

3.2 Обратные задачи рассеяния для уравнения типа Липпмана - Швингера 88

3.2.1 Линеаризованная постановка обратной задачи 88

3.2.2 Решение обратной задачи рассеяния для уравнения ЛШ 90

3.2.3 Обратная задача с сингулярными рассеивающими неоднородно-стями 91

3.3 Метод диаграмм Фейнмана в задаче описания структуры волнового фронта уравнения ЛШ с сингулярными неоднородностями 93

3.3.1 Секвециальный подход к определению произведения обобщенных функций 93

3.3.2 Структура особенностей решения уравнения ЛШ с сингулярными включениями в потенциале 94

3.3.3 Теорема единственности решения обратной задачи 101

3.3.4 Задача с периодическим источником 106

3.3.5 Локализация дискретных включений 107

3.4 Компьютерное моделирование решений уравнения Липпмана - ШвингераШ

3.4.1 Локальная оценка плотности потока излучения в фиксирован ный момент времени в расчетах методом Монте Карло 111

3.4.2 Структура решения уравнения Липпмана -Швингера для опти чески плотной среды 114

3.5 Результаты главы 3 115

4 Теория и компьютерное моделирование в задачах рассеяния диффузионных волн 116

4.1 Диффузионные волны в регулярных средах 116

4.1.1 Обратные задачи рассеяния для биологических сред 116

4.1.2 Диффузионные волны в случайных средах 117

4.1.3 Иерархия математических моделей для описания процессов рассеяния в регулярных средах 120

4.1.4 Компьютерное исследование оптических свойств диффузионных волн в моделях с постоянной и экспоненциально распределенной длинами свободного пробега 125

4.1.5 Общая схема моделирования процесса переноса в регулярных средах 126

4.1.6 Разогрев неоднородностей диффузионной волной в модели с постоянной длиной свободного пробега 128

4.1.7 Дифракция диффузионной волны на щели 128

4.1.8 Принцип Гюйгенса-Френеля для диффузионной волны 130

4.1.9 Рефракция диффузионных волн и закон Синелиуса 131

4.1.10 Сравнительный компьютерный анализ свойств мезоскопических и макроскопических моделей диффузионных волн 134

4.1.11 Поведение диффузионных волн в различных моделях 135

4.2 Оптические свойства диффузионных волн в макроскопической модели 137

4.2.1 Уравнение для диффузионной волны плотности фотонов в макромодели 137

4.2.2 Конечноэлементная аппроксимация краевых задач для уравнения Гельмгольца с комплексным волновым числом 138

4.2.3 Решение параболической задачи с использованием МКЭ 146

4.2.4 Оптические свойства диффузионных волн в модели параболического уравнения 149

4.2.5 Явление разогрева неоднородностей 154

4.2.6 Диффузионная волна в случае параболического уравнения с сингулярным по времени источником 158

4.3 Диффузионные волны в средах с временной дисперсией 170

4.3.1 Законы Фурье 170

4.3.2 Некоторые особенности сред с памятью 171

4.3.3 Физическая интерпретация дробных интегралов и производных 172

4.3.4 Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их свойства 174

4.3.5 Метод конечных разностей для дробного дифференцирования 181

4.3.6 Сигнальная задача для уравнение Нигматулина 183

4.3.7 Обобщенная обратная задача Зоммерфельда 186

4.3.8 Решение обратных задач 191

4.3.9 Особенности распространения диффузионных волн в средах с временной дисперсией 192

4.4 Результаты главы 4 194

5 Решетчатые модели мезоскопических сред 196

5.1 Модели рассеяния на решетках 196

5.1.1 Классическая, волновая и спинорная модели распространения волн 199

5.1.2 Монте-Карло алгоритмы случайных блужданий фрактальной полуплоскости 203

5.1.3 Результаты Монте-Карло моделирования 203

5.1.4 Квантовое блуждание 204

5.1.5 Квантовое блуждание в пространстве более высоких четных размерностей 209

5.1.6 Результаты компьютерных моделирования квантового метода Монте-Карло 210

5.1.7 Сравнительный анализ моделей рассеяния 214

5.2 Критические явления в спиновых системах на фрактальных решетках 215

5.2.1 Фазовые переходы и критические экспоненты классических ферромагнетиков 217

5.2.2 Модель Изинга 218

5.2.3 Гипотеза скейлинга 221

5.2.4 Критические явления в ферромагнитной модели Изинга на фрактальных решетках 222

5.2.5 Монте-Карло алгоритмы для модели Изинга на решетках Сер-пинского 223

5.2.6 Построение вычислительных алгоритмов для двумерной модели Изинга 227

5.2.7 Результаты экспериментов с фрактальными решетками разных размерностей 228

5.2.8 Критические параметры для регулярных решеток и фрактальных решеток первого типа 229

5.2.9 Критические параметры для фрактальной решетки второго типа.230

5.2.10 Сравнение с известными результатами 236

5.2.11 Проверка гипотезы гиперуниверсальности 236

5.3 Асимптотика фрактального спектра и задачи неразрушающего контроля уставших материалов 239

5.3.1 Вариационные принципы и асимптотика собственных значений оператора Лапласа 239

5.3.2 Метод Хермандера 241

5.3.3 Гипотеза Weyl - Berry для фрактальных границ и оценки второго члена спектральной асимптотики 242

5.3.4 - функция эллиптического оператора на компактном многообразии 244

5.3.5 Метод теплового ядра 245

5.3.6 Тауберова теорема Карамата 246

5.3.7 Фрактоны и собственные колебания фрактальных структур 247

5.3.8 Фрактонная размерность фрактального кластера 248

5.3.9 Высокочастотная асимптотика фрактонного спектра мульти-фрактальных решеток 249

5.3.10 Результаты моделирования методом Монте-Карло 251

5.3.11 Обсуждение результатов компьютерных экспериментов 252

5.4 Результаты главы 5 253

6 Спектральная хирургия квантовых графов 255

6.1 Спектр оператора Лапласа на графах 255

6.2 Одномерная задача рассеяния 256

6.3 Задача рассеяния на квантовых графах 260

6.4 Задача Штурма-Лиувилля на компактных графах 261

6.5 Задача рассеяния на некомпактных графах 262

6.5.1 Контрпримеры к обратной задаче рассеяния на графах 264

6.6 Формула следа оператора Лапласа на графах и обратные спектральные задачи 267

6.7 Метод множественного рассеяния 268

6.8 Спектральная комбинаторика квантовых графов 270

6.9 Фрактальные графы. Салфетка Серпинского 273

6.10 Спектральная хирургия графов 277

6.11 Факторизация S-матрицы рассеяния 282

6.12 Метод ренормгрупп для конечно разветвленной салфетки Серпинского 284

6.13 Задача лазерной томографии 288

6.14 Рассеяние на графе как рассеяние на прямой 291

6.15 Результаты главы 6 292

Заключение 293

• Представление Дайсона-Филлипса для фундаментального решения уравнения переноса
• Теоремы единственности восстановления по неполным данным
• Асимптотическое разложение решения уравнения ЛШ вблизи светового конуса
• Иерархия математических моделей для описания процессов рассеяния в регулярных средах

Введение к работе

Актуальность

Изучение наноструктур знаменует новый этап развития естественных наук. Наноструктуры - это структуры, по своим размерам занимающие промежуточное положение между молекулами и микроскопическими объектами, т.е. объектами размером порядка 1 мкм. Они содержат конечное число атомов и, следовательно, подходят для решения современных технологических задач на атомном уровне. Следует особо отметить широту и разнообразие возможностей, создаваемых этим научным направлением. Это особенно справедливо для материаловедения, где нанотехнология в ближайшие десятилетия должна привести к подлинной революции.

В этой связи в последнее время значительно усилился интерес к построению моделей среды на наноуровне, иначе называемыми мезоскопическими моделями сплошной среды. Это объясняется также тем, что при создании новых технологий неразру-шающего контроля среды, обычно сталкиваются с проблемой создания адекватной как математической, так и физической модели исследуемого объекта. При этом часто получаемая математическая модель не описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Одной из первых таких математических моделей, созданной для описания рассеяния излучения, можно считать уравнение переноса. Примерами сред, для которых часто рассматривается мезоскопические модели, являются, например, среды с временной или пространственной дисперсией и уставший металл.

Ситуация с описанием физических процессов на мезоуровне начала меняться после принятия физическим сообществом идей Мандельброта о структурном самоподобии (фрактальности). Многочисленные примеры физических структур, обладающих самоподобием на уровне промежуточном между микро- и макроуровнями (на мезоуровне), стали объектами пристального внимания со стороны физиков - экспериментаторов. Оказалось, что материалы, мезоскопическая структура которых обладает свойством масштабной инвариантностью (скейлинга) всего 5-8 порядков, имеют уникальные физические свойства, являющиеся результатом его внутренней самоподобной "архитектуры"[49]. Заметим, что для такого материала нельзя определить такое основное понятие физики сплошной среды, как "плотность", и, соответственно, для него нет адекватной математической модели.

Наибольший вклад в развитие этого направления внесли Смирнов Б.М., Соколов Д.Д.,Поликарпов М.И., Бершадский А.Г., Зосимов В.В., Потапов А.А., Нигматулин P.P., Чукбар К.В., Учайкин В.В., Кобелев В.Л., Романов Е.П., Оксогоев А.А., Бунин Е.Ж., Иванова B.C., Васильев Л.Н., Андреев Г.А., Галкина Т.В., Опаленов Ю.В., Милованов А.В., Засовин Э.А., Соколов А.Ф.,Кравченко В.Ф., Bande A., Halvin S., Lauwerier Н., Niemeyer L., Pietronero L., Wiesmann H.J.,Davaney R.L.,Ramstyein A.S., Schaefer D.W., Keefer K.D., Pfeifer P., Jakeman E., Allain C, Cloitre M., Tsallis C, Alexandrowicz Z.,

Для всех этих математических моделей большой интерес представляют задачи неразрушающего контроля. Эти обратные задачи, состоящие в определении характеристик среды по известным параметрам реакции этой среды на внешнее воздействие, не являются, как правило, классическими коэффициентными обратными задачами для уравнений в частных производных.

Поэтому на первом этапе постановки обратной задачи актуальной становится задача нахождения параметров, несущих наиболее значимую информацию об интере сующих нас внутренних характеристиках среды. В этом случае выделение этих параметров и исследования характера зависимости этих параметров от характеристик среды является основной задачей компьютерного моделирования и может привести к созданию новых технологий неразрушающего контроля среды. Состояние проблемы Одной из основных задач неразрушающего контроля я мезоскопических сред, ставшей актуальной в последнее десятилетие, является задача оптической (лазерной) томографии. Задачи лазерной томографии возникли в результате отказа от использования сильно ионизирующего гамма излучения при ранней диагностики рака головного мозга. Применение классической схемы томографии с использованием лазерного излучения затруднено в виду сильного рассеяния оптического излучения видимого диапазона. Как известно, классическая схема томографии основана на обращении преобразования Радона, при этом рассеянное излучение воспринимается как шум. Использование уравнения переноса для описания рассеяния фотонов в оптически плотных средах делает обратную задачу более адекватной физической проблеме и снимает ряд проблем, однако математическая сложность такой обратной задачи возрастает. Это связано с переходом от задачи обращения преобразования Радона к обратной задаче для уравнения переноса. Большой вклад в развитие теории обратных задач для уравнения переноса внесли Амиров А.Х., Аниконов Ю.Е., Ани-конов Д.С., Иванков А.Л., Нижник Л.П., Орловский Д.Г., Прилепко А.И., Романов В.Г., Тарасов В.Г., Case К.М., Larsen E.W., McCormick N.J., Sanches R., Grunbaum A., Dorn 0., Natterer F. Автору известна единственная работа Wang Z.-S., Lu B.-W. в которой рассматривалась обратная задача рассеяния для фрактальной среды.

Исследования структуры фундаментального решения стационарного уравнения переноса, результаты которого приведены в диссертации, привели к созданию принципиально новой технологии дистанционного зондирования оптически плотных сред. Эту схему будем называть спектроскопией с высоким пространственным и угловым разрешением. (Space-domain spectroscopy) Для этой схемы автором разработаны простые численные алгоритмы решения обратной задачи. Эти алгоритмы являются более устойчивыми и позволяют определять дополнительные параметры среды. В предложенной схеме использование рассеянного излучения, как источника дополнительной информации о среде, дало возможность восстанавливать одновременно не один, а два параметра, характеризующих среду.

Однако практическая реализация этой схемы для обьектов размером порядка 103 длин свободного пробега натолкнулась на определенные трудности. Как показали совместные с группой проф. Наттерера компьютерные Монте-Карло эксперименты, это было связано со следующим обстоятельством. Угловые особенности рассеянного излучения, порожденные сосредоточенным, мононаправленным источником, бысто затухая в оптически плотной среде, становились недоступными для регистрации современной аппаратурой. Для биологических обьектов размером в несколько десятков длин свободного пробега, таких как молочная железа, эта схема давала желаемый результат. Но для обьектов типа головного мозга (103 длин свободного пробега) эта схема не могла быть практически реализована.

Для решения этой проблемы рассматриваются два подхода.

1. Подход, предполагающий создание новой математической модели, описывающей рассеяние излучения в оптически плотной среде.

В этом направлении в диссертации на основе подхода, используемого в современной теории поля, было выведено интегральное уравнение, напоминающее уравнение Липпмана-Швингера. После анализа структуры сингулярностей его решения был предложен метод решения обратной задачи, состоящей в восстановлении двух параметров среды по измерениям плотности модуля вектора Пойнтинга на границе области. Как показало компьютерное моделирование, этот метод позволяет исследовать внутреннюю структуру объектов порядка 102 длин свободного пробега. Основная проблема заключалась в том, что для лазерной томографии головного мозга требуются методы, работающие с объектами порядка 103 длин свободного пробега фотона видимого спектра.

2.Подход основан на таком статистическом явлении как диффузионные волны.

На сегодняшний день, в зависимости от конфигурации экспериментальной установки и используемой теоретической модели распространения света в исследуемой среде, принято различать две базовые методики определения искомых оптических характеристик:

Спектроскопия с высоким временным разрешением ( в англоязычной литературе "Time-resolved-" ил и "Time-domain spectroscopy"). На поверхность исследуемой сильно-рассеивающей среды падает короткий (обычно пикосекундный) лазерный импульс. Интенсивность рассеянного света регистрируется приемником, расположенным на известном расстоянии от точки падения лазерного излучения на поверхность среды. Выражение для интенсивности, как функции расстояния "источник - детектор1 времени, может быть получено на основе решения нестационарного уравнения диффузии света в исследуемой среде. Искомые оптические характеристики среды входят в полученное выражение в качестве параметров. Наибольший вклад в разработку этого направления внесли Patterson M.S., Chance В., Wilson B.C., Kienle A., Wang R.K., Wikramasinghe Y.A.

Модуляционный метод ("Frequency-domain technique"). Одним из самых перспективных направлений в области неразрушающего контроля среды является исследование свойств диффузионных волн в регулярных средах и в средах с временной дисперсией. Диффузионные волны, как физическое явление, являются основой для создания одной из самых перспективных технологий неразрущающего контроля сплошной среды [136], [133], [159], [135], [147]. Этот метод находит применение в медицинской [143], [144], [154], [124], [207], [119] и оптической [188], [113], [153], [213] диагностике. Эти волны являются сильно затухающими волнами огибающей плотности фотонов и порождаются периодическим источником излучения в оптически плотной среде.

Модуляционный метод развивался в работах: Тучина В.В., Arridge S.R., Patterson M.S., Chance В, Kienle A, Cubeddu R, Pifferi A., Taroni P., Torricelli A., Valentini G., O Leary M.A., Arjun G., Tromberg B.J., Coquoz 0., Fiskin J.В., Schweiger M. В качестве источника света использовалось непрерывное лазерное излучение, модулированное по амплитуде. Отметим, что под диффузионными волнами понимаются физически различные явления. Например, слабую локализации ноносекундного светового импульса в оптически плотной среде и волны плотности фотонов, возбуждаемые периодическим по времени источником.

Прямые физические эксперименты, результаты которых приведены в работах Tromberg B.j., Svaasand L.O., Tsay T.., Haskell R.C., O Leary M.A., Boas D.A., Chance В., Yodh А., показали, что возмущения фотонной плотности обладают типичными для волн свойствами: они преломляются, дифрагируют, обладают дисперсией и затухают. Автору не известны результаты исследований оптических свойств диффузионных волн методом прямого компьютерного моделирования.

В последнее время большое внимание физиков привлекли, так называемые, ре шетчатые модели мезоскопических сред. Как было замечено выше, исследование неупорядочных систем факторизуется на задачу исследования дискретной модели и проблему предельного перехода. Первая решается путем многочасовых компьютерных экспериментов, вторая - ренормгрупповыми методами. Этот подход был разработан в современной квантовой теории поля для исследования открытых нелинейных систем и считается одним из самых эффективных. При этом в современной физике, моделям использующим самоподобные (фрактальные) решетки уделяется особое внимание. В этом направлении следует отметить работы Pai-Yi Hsiao, Burioni R., Gassi D., Donnetti L., Carmona J.M., Mariconi U.M., Ruiz-Lorenzo J.J., Taracon A.

Однако автору не известны работы посвященные исследованию обратных задач для таких моделей. Цель работы

Целью работы является разработка новых математических моделей и численных методов решения задач неразрушающего контроля мезоскопических сред, возникающих в рамках этих моделей. Компьютерное моделирования работы построенных на основе этих математических моделей измерительных схем с целью исследования их эффективности, точности и границ применимости.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать структуры фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнения переноса с переменными коэффициентами с целью решения методом сингулярных разложений обратных задач теории переноса излучения, возникающих в задачах томографии с рассеянием. Разработать на этой основе новые схемы томографии, использующих рассеянное излучение, как дополнительную информацию о среде.

2. Разработать новые математические модели для описания процессов рассеяния излучения в оптически плотных средах. Построить новые схемы измерения в томографии для сред с сильным рассеянием, использующих информацию только о распределении плотности энергии излучения на границе.

3. Разработать математические методы моделирования всех предлагаемых схем томографии с рассеянием с целью исследования их эффективности, точности и границ применимости.

4. Провести компьютерное моделирование процессов рассеяния диффузионных волн, с целью сравнительного анализа их оптических свойств в различных моделях и разработать на основе этого исследования рекомендации для создания новых технологий неразрушающего контроля мезоскопических сред, основанных на регистрации диффузионных волн.

5. Разработать математические модели, описывающих процесс отражения волн от границ раздела регулярной и фрактальной среды. Провести компьютерное моделирование критических явлений в модели Изинга на самоподобных решётках, с целью определения влияния параметров этих решеток на величину критических экспонент.

6. Разработать математические методы моделирования для нахождения высокочастотной асимптотики малые поперечных колебания этих решеток, с целью нахождения параметров, несущих наибольшую информацию о структуре решеток.

Научная новизна

1. Впервые получены аналитические результаты о сингулярной и регулярной структуре фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами, доказаны теоремы единственности решений, возникающих в томографии с рассеянием обратных задач, построены численные алгоритмы их решения, разработаны новые схемы томографии в оптически плотных средах, проведено моделирование работы этих схем и даны выводы об их эффективности и границах применимости.

2. Впервые дан феноменологический вывод интегрального уравнения (типа Лип-пмана - Швингера) для эволюции плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах, получены две теоремы об асимптотическом разложении решения этого уравнения вблизи светового конуса, доказаны теоремы единственности задачи оптической томографии и построены численные алгоритмы ее решения. На этой основе впервые разработана новая схема томографии с рассеянием, проведено моделирование переднего фронта решения уравнения ЛШ и сделаны выводы об эффективности предложенной схемы.

3. Впервые с помощью техники фейнмановских диаграмм была получена теорема о структуре особенностей решения уравнения ЛШ с сингулярными неоднород-ностями в потенциале и разработаны алгоритмы решения задачи томографии с рассеянием, состоящей в определении координат сингулярных неоднородно-стей по следу решения уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Впервые разработан метод сведения этой задачи к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе, получена теорема единственности и разработаны численные алгоритмы решения этой задачи.

4. Впервые с помощью разработанного метода локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени путем компьютерного моделирования диффузионных волн для различных моделей мезоскопических сред обнаружены явления дифракции, рефракции, выполнение принципа Гюйгенса-Френеля и явление разогрева неоднородностей. На основе этого моделирования впервые дан анализ перспективности различных схем диффузионной томографии.

5. Впервые получены аналитические решения одномерных обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами, состоящих в определении коэффициента теплопроводности и порядка дифференциального оператора по измерениям в нескольких точках и на разных частотах. Впервые получено обобщение законов Фурье для сред с временной дисперсией.

6. Впервые с помощью компьютерного моделирования, как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло, исследованы различные решетчатые математические модели отражения волн от полуплоскости замощенной решетками Серпинского. В качестве решетчатых моделей распространения волны впервые выбирались модель Каца, модель, предложенная Фейнманом для уравнения Дирака (спинорная модель), и модель квантового блуждания.

7. Впервые путем компьютерного моделирования критических явлений на самоподобных решетках исследовано влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри и сделаны выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков в рамках модели фрактальной параметризации материала.

8. Впервые методом теплового ядра сводящего исследование спектральной асимптотики малых собственных колебаний решетки к моделированию некоторого случайного процесса на этой решетке, исследована высокочастотная асимптотика самоподобных решеток. Результаты компьютерного моделирования дают возможность сделать выводы о перспективности технологий неразрушающего контроля среды на основе измерения параметров высокочастотной асимптотики спектра её малых колебаний.

9. Впервые разработаны основы техники спектральной хирургии квантовых графов, используя которую впервые удалось получить функциональное уравнение для § - матрицы конечно разветвленной салфетки Серпинского. Впервые доказаны теоремы единственности решения для обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера на иррациональном графе и для задачи оптической томографии с сингулярными неоднородностями. Впервые разработаны численные методы и предложены технологические схемы для их решения.

Теоретическая значимость

1. Аналитические результаты о сингулярной структуре фундаментальных решений стационарного уравнения переноса, нестационарного уравнения переноса и уравнения Липпмана-Швингера могут быть использованы для создания новых численных алгоритмов решения задач неразрушающего контроля среды.

2. Уравнение типа Липпмана-Швингера, предложенное в работе для описания эволюции плотности вектора Пойнтинга электромагнитного поля в оптически плотной среде, является более удобным, чем уравнение переноса, и не имеет артефакта- бесконечной скорости распространения возмущений, присущего уравнению теплопроводности. Предложенный подход может быть использован для вывода новых уравнений описывающих процесс рассеяния излучения в средах с аномальной диффузией.

3. Точные решения обратных задач аномальной диффузии, полученные в работе, могут быть использованы при построении численных алгоритмом решения обратных задач аномальной диффузии.

Практическая значимость

1. Разработана новая схема томографии с рассеянием, в которой рассеянное излучение воспринимается не как шум, а как источник дополнительной информации, позволяющая определять одновременно две характеристики среды. Эта схема была положена в основу проекта, принятого правительством России к финансированию и уже частично реализована западными фирмами. Алгоритмы и пакеты программ, разработанные для моделирования работы этой схемы, позволяют исследовать ее эффективность в различных ситуациях.

2. Разработаны алгоритмы численного решения обратной задачи томографии с сингулярными неоднородностями, позволяющие находить их координаты в неоднородной среде.

3. Результаты численного моделирования на основе разработанных алгоритмов, поведения диффузионных волн для различных моделей распространения излучения позволили сделать выводы о перспективности различных схем оптической томографии.

4. Явление разогрева неоднородностей, выявленное в результате компьтерного моделирования поведения диффузионных волн в различных моделях рассеяния излучения дает теоретическую возможность для создания новых технологий для раннего лечения злокачественных новообразований.

5. Результаты компьютерного моделирования новых моделей процессов отражения электромагнитных волн от "фрактальных"поверхностей позволяют сделать ряд выводов об их адекватности реальным процессам.

6. Полученные компьютерным моделированием, проведенным на основе комплекса разработанных программ, выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков и высокочастотной асимптотики малых колебаний в рамках модели фрактальной параметризации материала, дают основу создания новых технологий неразрущающего контроля мезоскопических сред.

Достоверность результатов диссертации подтверждается их совпадением в частных случаях с результатами расчетов, выполненных другими авторами и с помощью других методов. Теоретические результаты опубликованы в ведущих зарубежных журналах, докладывались на крупных международных конференциях и представлены в их публикациях. Они известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов. На защиту выносятся

1. Результаты исследования сингулярной структуре фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами и решений уравнения Липпмана-Швингера.

2. Алгоритмы решения (аналитические и численные) решения обратных задач рассеяния в оптически плотных средах и новые схемы томографии, построенные на этой основе. Выводы об их эффективности и границах применимости, основанные на результатах компьютерного моделирования работы этих схем.

3. Методы решения задач оптической томографии, основанные на описаниии эволюции плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах с помощью предложенного в работе интегрального уравнения типа Липпмана-Швингера.

4. Метод исследования сингулярной структуры уравнения (ЛШ), основанный на технике фейнмановских диаграмм и результаты исследования структуры решения уравнения (ЛШ) с сингулярными включениями в потенциале. Методы решения задачи томографии с рассеянием, состоящей в определении координат сингулярных неоднородностей по следу решению уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Метод сведения этой задачи к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе.

5. Метод локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени и результаты численного моделирования диффузионных волн в различных моделях мезоскопических сред. Комплекс программ и результаты компьютерных экспериментов по исследованию свойств диффузионных волн, порожденных периодическим по времени источником в модели параболического уравнения. Данный на основе этого моделирования анализ перспективности различных схем диффузионной томографии. Аналитические результаты, полученные для обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами.

6. Методы моделирования в задаче отражения электромагнитной волны от полуплоскости замощенной решетками Серпинского. Сравнительный анализ различных моделей, основанный на результатах компьютерных экспериментов, полученных как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло.

7. Результаты моделирования критических явлений на самоподобных решетках и анализ влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри. Выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков в рамках модели фрактальной параметризации материала.

8. Метод исследования высокочастотной асимптотики малых собственных колебаний самоподобных решеток методом теплового ядра, сводящий исследование этой асимптотики к моделированию некоторого случайного процесса на этой решетке. Выводы о перспективности технологий на основе измерения параметров высокочастотной асимптотики спектра малых колебания среды.

9. Техника спектральной хирургии квантовых графов, ее теоретическое обоснование и результаты по обратной задаче рассеяния, полученные с ее помощью.

Апробация

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

• Международном симпозиуме по теории обратных задач (Самарканд-1987)

• Заседании рабочей группы по разработке рекомендаци провительству по создания оптического томографа (Санкт-Петербург-1991, 3-8 мая.).

• International Symposium on Computerized Tomagraphy, ( Novosibirsk-1993).

• International workshop "Computational Radiology and Imaging: Therapy and Diag-nistic", Minneapolis, Institute for Mathematical and its Applications, 3-17 march, 1997.

• International Conference "IIL-POSED AND INVERSE PROBLEMS"dedicated to Prof. M.M. Lavrent ev, Novosibirsk-1999.

• 6th International Symposium on science and technology, Novosibirsk State Technical University, 24-30 June 2002.

• 7 th International Symposium on science and technology, Ulsan Technical University, Korea, June 24-July 30, 2003.

• 8 th International Symposium on science and technology, Tomsk State University, Tomsk, June 26-July 3, 2004.

Основные результаты докладывались также на семинарах Института Математики, Вычислительного Центра СО РАН, Института Гидродинамики и Новосибирского Государственного Технического Университета.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 61 печатная работа, в том числе 20 - в рекомендованных ВАКом журналах и в центральных зарубежных изданиях, 10 работ опубликовано без соавторов.

Личный вклад автора

Диссертационная работа и все результаты, лежащие в её основе, выполнена и получены при непосредственном участии автора на всех этапах. Ему полностью принадлежат постановки задач исследования, теоретические исследования и анализ численных экспериментов.

Работа выполнялась в Институте Математики им. С.Л. Соболева СОРАН и Новосибирском Государственном Техническом Университете в период с 1985 по 2004 год.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, и заключения, изложенных на 319 страницах машинописного текста.

Во Введении очерчены основные понятия, постановки задач и методы решения задач неразрушающего контроля мезоскопических сред. Дана структура диссертации по главам, оценена научная новизна и практическая ценность полученных результатов и приведен список публикаций по теме диссертации.

В главе 1 диссертации рассмотрено нестационарное уравнение переноса. На основе полученного представления Филлипса-Дайсона для фундаментального решения приведена формула Фейнмана - Каца и схема ее доказательства. Сформулированы и доказаны три утверждения, касающиеся структуры фундаментального решения нестационарного уравнения переноса.

Далее в главе рассмотрено стационарное уравнение переноса. Для него также представлена структура особенностей фундаментального решения.

В главе 2 предложена новая схема спектроскопии с высоким пространственным разрешением. Эта схема основана на методе сингулярных разложений и результатах о структуре особенностей фундаментального решения стационарного уравнения переноса, полученных в диссертации. Для модельной задачи приведены результаты численных экспериментов с целью проверки эффективности предлогаемой схемы и для демонстрации влияния эффекта рассеяния на восстановление образа сечения тела.

В главе 3 дан эвристический вывод интегрального уравнения переноса плотности энергии фотонов для оптически плотной среды (Уравнения Липпмана - Швин-гера). Вычислено асимптотического представления решения этого уравнения вблизи светового конуса. На основе полученных аналитических результатов, предложены несколько алгоритмов решения обратных задач для интегрального уравнения, выведенного в предыдущей главе. Представлен подробно разработанный алгоритм численного решения в двух случаях расположения источников и приемников. Далее рассмотрена обратная задача для ЛШ, состоящая в определении координат сингулярных неоднородностей внутри среды с неизвестными характеристиками. Использование техники фейнмановских диаграмм позволило доказать теорему о структуре особенностей решения уравнения ЛШ в этом случае. На основе этой теоремы доказана единственность решения обратной задачи и приведен ряд численных алгоритмов ее решения. В случае фиксированных координат источников-приемников обратная задача сводится к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе.

В главе 4 рассмотрены различные математические модели, предназначенные для описания диффузионных волн в оптически плотных средах. Используя, разработанный метод локальной оценки плотности по времени интегрального потока излучения, было проведено компьютерное Монте-Карло исследование структуры фундаментального решения уравнения переноса. Было обнаружено явление временной локализации импульса сразу за передним фронтом волны. Это явление, называемое так же диффузионной волной, ранее наблюдалось только в физических экспериментах. Приведены результаты компьютерных экспериментов с различными математическими моделями, показывающих, что диффузионные волны обладаю рядом "оптиче-ских"свойств. Явление разогрева неоднородности, обнаруженное в ходе этих экспериментов, проверяется для разных моделей распространения. На основе полученных результатов даны рекомендации о перспективности различных схем диффузионной томографии.

Далее исследуются диффузионные волны в средах с временной дисперсией. Для уравнения Нигматулина рассмотрена обратная задача, состоящая в определении порядка дифференцирования и коэффициента теплопроводности по значениям амплитуды и фазы диффузионной волны. Получены точные формулы для решения этой обратной задачи, необходимые для численных алгоритмов решений обратных задач в общем случае. Обсуждены полученные обобщения законов Фурье.

В главе 5 рассмотрены решетчатые модели мезоскопических сред. В первом разделе исследуются различные математические модели отражения электромагнитной волны от фрактальной поверхности.

Целью компьютерных исследований было изучение статистических свойств рассеянного излучения. Построен алгоритм квантового блуждания на решетках. Он является квантовым аналогом метода Монте-Карло, обобщенным на фрактальные решетки. Приведен сравнительный анализ моделей рассеяния от фрактальной полуплоскости.

Далее представлены результаты исследования термодинамики систем со спином на регулярныхи и самоподобных решетках. Для исследования поведения критических параметров модели Изинга при изменении параметров фрактальной решетки, используется следующие Монте-Карло методы:

• Существенной выборки Метрополиса,

• Кластерный алгоритм Swendsen-Wanga,

• Алгоритм Wolf переворота кластера.

Приведены результаты исследований, касающиеся гипотезы гиперуниверсальности, и сделаны выводы о перспективности технологий неразрушающего контроля ферромагнетиков, использующих измерение температуры Кюри.

Метод теплового ядра, применяемый в настоящей работе для исследования асимптотики оператора Лапласа на ковре Серпинского, в отличии от вариационного подхода, основан на построении ( - функции эллиптического оператора на многообразии. Использование Монте-Карло моделирование и тауберовой теоремы Караматы позволило сделать ряд выводов о перспективности подхода, использующего параметры спектральной асимптотики для определения свойств среды.

Глава 6 посвящена исследованию задачи рассеяния для уравнения Шрединге-ра на графах. В этой главе развивается техника спектральной хирургии квантовых графов, представляющая самостоятельный интерес. Эта техника позволила получить нелинейное функциональное уравнение для S - матрицы конечно разветвленной салфетки Серпинского.

Далее рассматривается задача восстановления координат сингулярных неодно-родностей, расположенных в случайной среде. В диссертации показано в каких случаях можно решить эту задачу.

В заключении диссертации приводятся основные результаты проведенных исследований.

Представление Дайсона-Филлипса для фундаментального решения уравнения переноса

В работах автора [2] - [92] впервые была представлена сингулярная структура фундаментального решения стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами. Ранее эта структура была практически не известна даже для уравнений с постоянными коэффициентами. Оценки особенностей решений уравнения переноса со "щелевымииисточниками были получены Аниконовым Д.С. методами интегральных уравнений с сингулярными ядрами. Использование техники обобщенных функций позволило автору впервые дать полное описание всех типов сингуляностей фундаментальных решений уравнений переноса с переменными коэффициентами.

Одним из основных уравнений, используемых для описания процессов рассеяния электромагнитного поля в плотных средах в рамках мезоскопического подхода, является уравнение переноса [54]. -?Г + Q V U + a(x)U = 7 - f Ф, П, П Щх, t, Q )dn + Q{x, t, fi). V Ob 47Г Jsi Расширенное фазовое пространство {x, t, Щ есть 6-мерный континуум, три независимых координаты описывают точку х в момент времени t и две координаты на единичной сфере Пей2 задают скорость частицы. Здесь функция Q(x, t,V) задает плотность источников, а(х) полное сечение рассеяния: а(х) = оа(х) + as(x), cra(x) 0,as(x) 0.

Функция r](x,Q,Q ) определяет вероятность того, что частица, имевшая вектор скорости П , после столкновения изменит его на Q. Эта функция называется инди-катриссой рассеяния и обычно нормирована: -?- [ q(a;,ft ,fi)cto = l. 47Г JS2

Это уравнение рассматривается как феноменологическое в теории переноса нейтронов или гамма квантов в плотных средах. Оно является линеаризацией уравнения Больцмана в теории разряженных газов. И наконец оно может быть получено как лестничное приближение уравнения Бете - Солпитера для корреляционной функции в случае, когда флуктуации случайной среды достаточно регулярны.

Обладая конечной скоростью распространения возмущений и в то же время давая удовлетворительное описание процессов рассеяния на мезо уровне, это уравнение занимает промежуточное положение между гиперболическими и параболическими уравнениями. С его помощью можно получать параболические и гиперболические модели диффузии, хотя оно само не обладает свойством псевдолокальности.

При исследовании фундаментального решения обычно рассматривают поведение этого решения при больших и малых значениях величины Г = (t — t0)2 — (х — х0)2 — (у - у0)2 _ (г _ 20)2.

Для уравнения переноса мы покажем, что помимо регулярной части принадлежащее пространству L(K3 х S2), сингулярная часть состоит из двух дельта образных распределения; первое имеет носитель на луче г = х + vtCl0, Q, = fi, t 0; второе имеет носитель в виде части 4-поверхности G в I3 х S2, а также двух сингулярных слагаемых, имеющих логарифмические особенности. Оценки, полученные для коэффициентов, стоящих перед особенностями

О Фп /5"ехр(-7 ), п = 0,1,2, Р=Т SUP ІК Цоо, 7 = inf аа(х), могут рассматриваться как оценки особенностей в дальней зоне.

Введем необходимые обозначения. Мы используем стандартное обозначение V для пространства бесконечно-дифференцируемых функций с компактным носителем в R4 х S2.

В дальнейшем мы будем называть пару(систему) (a, asrj) допустимой, если: I) Функции as(x),a(x) являются неотрицательными функциями изРи п(х, Q, Сі ) - неотрицательная из пространства Сд0 функция. И) Рассматриваемую систему будем называть подкритической [9,10], если : 0 crs(x) а(х), х Є Е3.

Пусть В будет замкнутый конус В = {х Є R3, t Є М+ vt \x - x\} и K+ = В x S2 область в R4 x S2. Обозначим через K+(T) = K+n{0 t r},D(r) = {\x-x0\ VT} CK3 К = К+(Т)И D = D(T), для некоторой фиксированной константы Т 0 . Мы обозначим через Р = — SUp Н Ноо.

Теоремы единственности восстановления по неполным данным

В следующих разделах нам понадобятся утверждения, касающиеся единственности задачи восстановления функции f(x) по ее лучевому преобразованию, заданному на некотором подмножестве области его определения. Мы сведем обратную задачу к задаче восстановления функции по ее лучевому преобразованию заданному не для всех направлений в є S2. Доказательство этих утверждений существенно опирается на свойство аналитичности преобразования Фурье функций с компактным носителем.

Теперь приведем нужные нам теоремы единственности [139].

Теорема 8 Пусть Pgf = О для бесконечного числа направлений. Тогда из того, что / Є С(КП) следует, что / = 0.

Теорема 9 Пусть Пп - единичный шар вЖп, и пусть А - бесконечное множество, лежащее вне Шп. Тогда из того , что f Є Co(fin) и D/ = 0 при а Є А следует, что / = 0.

Заметим, что в случае бесконечно удаленных источников, эта теорема эквивалентна теореме 8. Мы не будем здесь касаться вопросов единственности и устойчивости в случае конечного числа направлений.

Метод спуска для уравнения переноса.

В настоящем разделе мы получим, используя результаты главы 1.4, оценки сингу-лярностей фундаментального решения стационарного уравнения переноса методом спуска по переменной t. Эти оценки менее точны, чем результаты главы 1 , но являются более удобными для задач оптической томографии.

Рассмотрим стационарное уравнение переноса с правой частью специального вида Q Vxtf + о{х)Н = Х - [ ф, fi fi )#(ft )dfi + 8{х - хЩП - П). (19) 47Г Js2

В дальнейшем для прозрачности вычислений мы будем рассматривать изотропный случай, т.е. будем предполагать, что иидикатрисса г/ зависит только от скалярного произведения /i = fi Г2 : ф,П,П ) = г](х,П-П ) = ф,Іі) (20) и а8{х) = о(х) = 0 (21) вне достаточно большой сферы SR. Будем также предполагать, что ф, П, П ) Є V{R3 х 52 х S2), о{х) Є V(R3), us{x) Є V(R3), (22) a(x) = aa{x) + as(x), aa(x) 0 и as{x) 0. (23) В операторных терминах перепишем уравнение (19) LH = XSH + 5{х - х)(5(Г2 - П), X = const. (24)

Это уравнение имеет бесконечно много решений. Ниже мы будем рассматривать только основное фундаментальное решение, которое выделяется условием отсутствия падающего во внутрь излучения для достаточно большой сферы 5д С Л : H(x,Cl;x, )\xeSR,Q.N(x) 0 = 0, (25) где N(x) вектор внутренней нормали в точке х Є SR. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 10 Предположим, что условия (20)-(25) выполнены. Тогда задача (19),(25) имеет единственное решение Н(х,С1) в V (R? х S ).

Эта теорема обычно доказывается построением ряда Неймана Н(х, П; х, П) = J2 А"Яп(х, П; х, П), (26) п 0 для интегрального уравнения, ассоциированного с задачей (19),(25). Н = XL 1SH + Ь-15(П-П)5(х - х). (27) Здесь лоо / rx—Clt \ L 1u(x,Cl) = / ехр I — / a{x)dx ) и(х — Ш, Q)dt.

Мы можем построить представление вида (1) и для стационарного уравнения переноса. Оно будет связано с нестационарным разложением, согласно методу спуска, соотношением /ОО Нп{х,П;х,П) = Sn(x,t,n;x,n№ndt. (28) ./О

Мы хотим получить представление для Н(х, Cl; х, QP) вида (1) используя соотношение (28) и, следовательно, выделить особенности Gn(x, С1;х,С1) в представлении Нп(х, Q; х, Cl) = Gn(x, Cl; х, П) рп, где (рп(х, Сі;х,Cl) есть ограниченные на R?хS2 функции для всех (х,Cl) бй3хS2. Мы будем использовать в дальнейшем это разложение для решения обратной задачи, причем значимыми для нас будут только два первых члена этого разложения.

Обозначим 6(1) 5-функцию, сосредоточенной на луче Н%, который проходит через точку х в направлении С1 для всех Сі Є S2, через 1 ее эпсилон окрестность в R%.. Тогда мы будем иметь, по определению, для всех ф(х, Сі) Є V(R3 х S2) (5(1),ф(х,Сі)) = Г dCl [ ф(х+тСі, т. Js2 Jo

Для всех фиксированных Cl,x,ClQ, = E(a;,f2, Г2) обозначает часть плоскости, между лучами г = х + Сіт и г = х + С1т при т 0: {хЄЯ\х = х + аСі + рСі}, а,р 0. Определим распределение сосредоточенное на Е, ее действием на пробную функцию.

Ниже мы будем использовать распределение f(x,y) вида f(x) 1(у). Ее действие на основную ф Є V(Rn+m) функцию определим как (/(я) 1(у),ф) = (f(x), Jф(х,у)ёу) = (1(у) /(х),ф) = J(f(x) (x,y))dy.

Такие распределения называются независимыми от у. Теорема 11 Предположим, что все условия теоремы 7 выполнены. Тогда основное фундаментальное решение может быть представлено в виде: Н(х, П; х, П) = GQ(x, Q; х, Q)g0 + Gi(x, СІ; х, П)ді + h(x, її; x, Sl), (29) здесь G0(x,n;x,n) = 6(1)5(ЇІ-П), (-\x -x\ f a(x + s(x - x))ds) , #0 = p(x , x) = exp ( -a;u - x 9l = ±р(х0,х )а5(х )ф ,П-П0)р(х ,х) и п(х,П;х,П) eL S2) для всех х Є і?3, П Є 52 и х Є R?x \ le. Доказательство. Используя теорему 3, для произвольной функции ф(х, Q) Є V(R?x S2) имеем:

Асимптотическое разложение решения уравнения ЛШ вблизи светового конуса

И пусть мы можем измерять, для всех положений источника и приемника, усредненную по времени 5t интенсивность излучения в моменты времени Є [ 0) 0 + 2-R], где о = \х — у\ - момент первого прихода сигнала. Точнее говоря, мы будем считать, что в цепи приемника излучения стоит интегратор по времени с варьируемым параметром 5t. Скорость сигнала будем считать равным единице. Тогда измеряемый сигнал будет имеет вид t+5t J{x, t, s,y)= / K(x, T, s, y)dr. Jt-St

Для реальных измерительных приборов всегда существуют такое отличное от нуля 6t которое характеризует инерционность приемника излучения. Таким образом, будем считать, что измеряется уровень сигнала при всех 5t Є [5t ,St+] для некоторых 6t ,St+.

Требуется, используя эту информацию, определить основные характеристики этого объекта, а также количество неоднородностей, их расположение и размер.

Теперь дадим точную формулировку обратной задачи: Обратная задача с сингулярными неоднородностями Пусть для интегрального уравнения К(х, t, s, у) = р(х, у) 5{t-s-\x-y\) 1 Г Ж, Ы0 4тга; - у\2 47г JQ \х - f K(t,t-\x\ta,y)dt (46) с функцией as(x) вида k=N aa(x) = о%(х) + 2 akS(x - xk) fc=l известен интеграл по времени от следа его решения rt+St piot K (x,t,s,y)= K(x,t,s,y)\csdT Jt-St (47) (48) с некоторым варьируемым параметром 5t О на многообразии Q=(t,x,s,y)e{[\x-y\,cx ),dDR,0,dDR}. Требуется найти две функции трех переменных а3{х),аа(х),хЄШІ, (49) и AN константу ak,xl, (k = l..N) ,NeN. (50)

Нам понадобится для дальнейшего определить произведение обобщенных функций так, что бы не было противоречий с физическим смыслом задачи.

Проблемы с произведением обобщенных функций возникают в математической физике постоянно. При этом, несмотря на лемму Л. Шварца [194], в каждом конкретном случае можно попытаться придать смысл такому произведению. Известно, что произведение (р(х)6(х) является обобщенной функцией, если (р(х) является непрерывной функцией в окрестности нуля. Это требование можно ослабить следующим образом. В духе секвенциального подхода [78] будем говорить, что произведение обобщенных функций / и g существует на открытом множестве Q, если последовательность (/ п) (9 6п) сходится в обобщенном смысле на Q для любой дельта-последовательности 6п. Справедливо следующее утверждение:

Теорема 16 Если обобщенная функция f принимает значение f(a) в точке а, то f(x) 5(х - а) = /(а) 5(х - а). Доказательство. Это равенство достаточно доказать для а = 0. Пусть ip(x) - произвольная гладкая функция с компактным носителем, такая, что р(0) ф 0, так как (5п(х),ір(х)) - р(0),то ап = (5(х),(р(х)) ф0 при некотором п щ. Заметим, что последовательность Рп{х) = —Sn(x) у(х) является дельта последовательностью при п по- Определим /3 (х) = j3n{—x). Тогда при п щ (№) 5п{х))5(х), р{х)) = an(f(x) 5п(х),рп(х)) = ап [(/(я) 6п(х)) Рп(х))х=о = Xn[f(x) (8n{x) 0Z(x))]x=o в силу ассоциативности свертки обобщенных функций с компактным носителем. Так как 8п(х) Рп(х) также является дельта-последовательностью, отсюда следует, что ((/(«) 5п(х)) 5п(х), ф)) - fp(0)/(0). (51)

Если же (0) = 0, то положим (р(х) = р\{х) + Р2{х), гДе VI 0е)» Р2{х) гладкие функции с компактным носителем , такие, что рі(х) ф 0,ір2(х) ф 0. Применяя дважды полученный результат, получим ((/( ) бп(х)) 6п(х), рк(х)) - (0)/(0), к = 1,2.

Складывая эти соотношения, получим (51) для произвольной гладкой функции ip(x) с компактным носителем. Так как (f(0)S(x), ip(x) = /(0) (0) для таких функций, то (f(x) 6n(x))-5n(x)- f(0)-5(x), что и доказывает теорему. Напомним, что все утверждения доказанные в рамках секвенциального подхода, справдливы и в теории обобщенных функций Шварца.

Иерархия математических моделей для описания процессов рассеяния в регулярных средах

В связи с вышесказанным, актуальной становится задача построения математической модели рассеяния излучения в оптически плотной среде, пригодной для описания процесса распространения диффузионной волны в сплошной среде. В настоящей работе мы рассмотрим несколько таких математических моделей. (і) Мезоскопические модели.У равнение переноса, уравнение Бете-Солпетера, уравнение типа Липманна-Швингера, уравнение с постоянной длиной свободного пробега, уравнения квантового подхода. (іі) Макроскопические модели. Гиперболическая модель и параболическая модель. (Ш) Модели на решетках.Модель Каца, модель Фейнмана уравнения Шрединге-ра, модель для частиц со спином, квантовое блуждание. Начнем с мезоскопических моделей. Подход с использованием уравнения переноса и его P/v аппроксимаций.

Рассмотрим нестационарное уравнение переноса частиц в трехмерном случае .-V-Ь(г,П,ф + щЬ(г,П,і) = ns J L{r,Q ,t)f{Q,n)dtt +S(r,U,t). (62) Здесь L(r, П, t)—плотность числа частиц в точке г в момент времени t, имеющих вектор скорости Q. Функция /(П, fi )—вероятность того, что частица с вектором скорости Г2 , после рассеяния будет иметь вектор скорости О., г;—скорость частиц в среде, щ = /J.S + /j,a—полное сечение, где fis—сечение рассеяния и /ла—сечение поглощения. Функция S(r, Q, t)- определяет источник. Введем плотность числа частиц Ф(г, )= [ dnL{r,fi,t), (63) а также поток частиц J(r,t) = [ dnL{r,h,t)n. (64)

В пределах P/v аппроксимации функции плотности и источника представимы в виде

Затем умножаем (70) на У я ) и интегрируем по С1. Условие ортогональности для сферических гармоник (69) можно применять ко всем множителям кроме Q V jTO(r, t). Результатом является і а N і г -діФа,0 + l4a)4 aj! + Е Е / « Фі,тУі,т&ЖА ) = 4afi- (71) 1=0 m=-lJ Займемся оставшимся интегралом. Первым делом представим скалярное про-изведение между О и оператором градиента через компоненты С1х- ,С1ущ, и

Clz-i- Компонента Г2У/)ТО(Г2) может быть написана через сферические гармони-ки, отметим, что Сі зависит от в и —соответственно полярные и азимутальные углы направления С1. Эти уравнения получены с условием рекуррентных формул для связанных многочленов Лежандра.

Это система линейных уравнений для фа$ называется F/v аппроксимацией. Она получена путем отбрасывания всех фа и да для а N. Модель параболического уравнения.

Одной из основных математических моделей, используемой для исследования свойств диффузионных волн, является модель в которой процесс рассеяния фактически заменен на процесс диффузии и основным обьектом исследования становится параболическое уравнение.

Другими словами, будем считать, что Р\ - приближение достаточно хорошо описывает процессы рассеяния в оптически плотных средах, когда альбедо имеет не очень большое значение

Уравнение диффузии получается в случае, когда мы пренебрегаем подчеркнутыми членами. Полагая, что источник изотропный мы убираем S\(r,t). Обнуление остальных членов можно пояснить на примере источника, у которого временная зависимость выражена как е гші. Тогда производные по времени могут быть заменены на — іш, и остальную часть подчеркнутых членов можем отбросить при 3Du/v2 1. Это предположение эквивалентно условию vpiju} 1, где fi8 = цв(1 - gi). Другими словами, частота рассеяния должна быть значительно больше частоты модуляции источника.

Итоговое уравнение примет вид

В настоящем разделе мы приводим результаты компьютерных Монте-Карло исследований свойств диффузионных волн в различных моделях и для сред с различной плотностью.

Явление временной локализации плотности энергии в оптически плотной среде неоднократно наблюдалось в физических экспериментах, однако компьютерные исследования свойств этой волны в различных моделях автору неизвестны. Значимость этого явления для задач неразрушающего контроля оптически плотной среды подчеркивает следующее обстоятельство. При увеличении плотности среды происходит экспоненциальное падение интегральной интенсивности плотности однократно-рассеянного и еще более значительное двукратнорассеянного излучений. При оптической толщине исследуемого объекта порядка 50 длин свободного пробега эти интенсивности невозможно выделить из шумов измерительной техники. Диффузионная волна - это чисто статистическое явление и поэтому не удивительно, что при увеличении оптической толщины образца её свойства проявляются все более отчетливо. В этом случае именно ее свойства становятся той единственной измеряемой информацией, используя которую можно пытаться определить параметры среды внутри области. Все вышесказанное объясняет актуальность задачи исследования свойств диффузионных волн, как основы новой технологии неразрушающего контроля среды.

В журнале Physics Today за 2001 год обзорная статья, посвященная использованию диффузионных волн в современных технологиях, начинается с преамбулы, которую мы приведем в оригинале:

Diffusion waves lack wave fronts can t be beamed, and don t travel very far, yet they form the basis of several new and revolutionary measurement technologies.

Ниже приведен результат проведенного нами компьютерного эксперимента по исследованию возникновения диффузионной волны в модели с постоянной длиной свободного пробега.