Введение к работе
Актуальность темы
Настоящая диссертация посвящена созданию математических методов компьютерного моделирования, эффективных алгоритмов численного решения кинетического уравнения Больцмана на многопроцессорных вычислительных системах с кластерной архитектурой и графических процессорах общего назначения (GP-GPU), разработке проблемно-моделирующих сред (ПМС) для анализа неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса в микро- и наноструктурах.
Одной из главных причин проведения подобных исследований является необходимость разработки методов компьютерного моделирования, лежащих в основе вычислительного эксперимента для широкого круга фундаментальных и прикладных задач газовой кинетики. Перечислим основные прикладные области: микроэлектроника (GAS in MEMS), каскадные вакуумные микронасосы, микро- и наномембраны, аэрогели, молекулярные сита, трековые мембраны (ядерные фильтры), способные разделять смеси разных молекул и изотопов, турбомолекулярные механические насосы, микродвигатели и микроманипуляторы.
Для численного моделирования течений разреженного газа во второй половине ХХ века были разработаны два основных подхода: метод прямого статистического моделирования и конечно-разностное решение кинетического уравнения Больцмана. В первом подходе моделируется процесс случайных столкновений и перемещения большого числа шестимерных векторов в фазовом пространстве, обозначающих молекулы газа. На их основе вычисляются среднестатистические значения физических величин, отождествляемые с макроскопическими параметрами газа. Данный метод успешно применялся при расчете сверхзвуковых течений разреженного газа, но для медленных течений этот подход может давать недостоверные результаты из-за присущего методам Монте-Карло статистического шума. В настоящих работах последовательно развивается второй из названных подходов, который не содержит статистических флуктуаций в решении и позволяет исследовать ничтожно малые изменения параметров течения газа. Последнее обстоятельство важно для разработки компьютерных моделей с высокой точностью, описывающих медленные течения разреженного газа, характерные для условий в микро- и наноустройствах.
Главной проблемой применения кинетического уравнения Больцмана является вычисление интеграла столкновений, ответственного за столкновение молекул. Значительное улучшение метода прямого решения уравнения Больцмана было достигнуто в работах Ф.Г. Черемисина, в которых был разработан проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана, строго сохраняющий массу, импульс и энергию в процессе молекулярных столкновений. Этот метод позволяет экономично рассчитывать сверх- и гиперзвуковые течения, но особенно эффективен при расчете медленных и слабо возмущенных течений, к которым относятся типичные течения в микроструктурах. Следует отметить, что большая размерность задачи, для которой необходимы значительные объемы оперативной памяти и вычислительной мощности, необходимость варьирования геометрических параметров микроустройств, физических характеристик газа требует использования современных суперкомпьютерных систем с различной архитектурой, в первую очередь вычислительных систем с кластерной организацией.
Решение подобного класса проблем возможно лишь при разработке надежных и эффективных проблемно-моделирующих сред для проведения полномасштабных вычислительных экспериментов для широкого круга задач в области фундаментальной физики, инженерных наук и прикладных технологий. Разработка проблемно-моделирующих сред (Problem Solving Environments) в различных прикладных областях знаний широко проводится в ведущих лабораториях США (LANL, LLNL, LBNL, BNL и др.) и университетах США (UC Berkeley, MIT, CALTECH и др.). В настоящей работе используются подходы и методы математических основ кинетической теории, вычислительной математики, информационных технологий и прикладной физики неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса. В основе математических методов решения кинетического уравнения лежит метод расщепления по физическим процессам и проекционный консервативный метод вычисления интеграла столкновений. Для эффективной реализации указанных методов необходимо применения суперкомпьютерных систем и технологий таких, как MPI (Message Passing Interface) для организации параллельных вычислений на кластерных вычислительных системах, CUDA (Compute Unified Device Architecture) для графических процессоров общего назначения (GPU-GP), объектных технологий для создания эффективных программных кодов. В ряде прикладных областей газовой кинетики экспериментальные результаты либо отсутствуют, либо являются неполными, что не позволяет сделать выводы о тех или физических характеристиках исследуемых явлений. В таких областях проблемно-моделирующие среды являются единственным инструментом, позволяющим проводить исследования широкого круга устройств и физических процессов методами вычислительного эксперимента с необходимой точностью.
Цели и задачи диссертации
Главной целью диссертации является разработка проблемно-моделирующих сред для анализа неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса в сложных структурах на макро-, микро- и наноуровне, методов проведения вычислительных экспериментов на суперкомпьютерах с кластерной организацией, адекватно описывающих физические процессы в таких структурах.
В основе математических методов описания подобных физических процессов лежит кинетическое уравнение Больцмана, метод расщепления и консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений. Последовательная реализация и развитие проекционного метода вычисления интеграла столкновений проведена впервые. Это позволило получить ряд важных результатов в прикладных областях газовой кинетики. В качестве конкретных прикладных задач рассмотрено моделирование процессов течения разреженного газа, включая смеси газов с произвольным отношением молекулярных масс, через системы периодических микроканалов различной геометрии (трековые мембраны); разработаны компьютерные модели вакуумных микронасосов Кнудсена различной конфигурации; исследовано поведение ударных волн в микроканалах, проведено моделирование турбомолекулярных насосов Холвека. Были развиты методы верификации проблемно-моделирующих систем на основе численных экспериментов на модельных задачах с известным точным аналитическим решением и проведено сравнение их результатов с классическими экспериментальными результатами. Общей особенностью моделирования явлений в этих устройствах является необходимость использования кинетического уравнения Больцмана для адекватного достижения точности исследуемых процессов, сложность вычислительных методов, необходимость разработки универсальных алгоритмов и программных средств для их компьютерной реализации.
В диссертации были решены следующие задачи:
Реализовать проекционный метод вычисления интеграла столкновений для численного решения кинетического уравнения и развить его для смесей газов с произвольным отношением молекулярных масс;
Разработать эффективные масштабируемые алгоритмы для численного решения уравнения адвекции и вычисления интеграла столкновений на вычислительных системах с кластерной организацией и вычислительных системах с графическими процессорами (общего назначения);
Создать на основе технологии MPI (кластерные вычислительные системы) и на основе технологии CUDA (GP-GPU) программные солверы вычисления интеграла столкновений на основе проекционного метода и солверы численного решения левой части кинетического уравнения на основе прямоугольных и тетраэдрических сеток;
Создать проблемно-моделирующие среды, включающие интерактивный ввод данных и вывод результатов компьютерного моделирования для их последующей визуализации;
Провести анализ программных систем в области генерации сеток, средств визуализации результатов компьютерного моделирования для их интеграции в проблемно-моделирующие среды;
Разработать технологии верификации предложенных алгоритмов и реализующих их программных солверов;
Разработать методы полномасштабного компьютерного моделирования и анализа исследуемых процессов и устройств из различных прикладных областей газовой кинетики на основе созданных проблемно-моделирующих сред.
Методы исследования
В основе математического описания физических процессов лежит кинетическое уравнения Больцмана. Уравнение Больцмана решается методом расщепления: по очереди моделируются перенос молекул и их столкновения друг с другом. Для численного решения уравнения адвекции используются прямоугольные и неструктурированные тетраэдрические сетки и численные схемы различного порядка точности. Одной из главных проблем решения уравнения Больцмана было отсутствие строгого сохранения массы, импульса и энергии при вычислении интеграла столкновений. Разработанный консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана, строго сохраняющий массу, импульс и энергию в процессе молекулярных столкновений, является ключевым в плане математического аппарата для достижения поставленных в работе целей. В дальнейшем консервативный проекционный метод был обобщен на смеси газов с произвольным отношением молекулярных масс. Для вычисления интеграла столкновений в пространстве скоростей были впервые разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, использован метод кубатурных сеток Коробова, который наиболее эффективен с вычислительной точки зрения. Для численного решения кинетического уравнения используются численные схемы первого и ТVD-схемы второго порядка точности. Реализация численных схем проводиться на прямоугольных и на неструктурированных тетраэдрических сетках.
Для программной реализации проблемно-моделирующей среды и программных солверов используются объектно-ориентированные технологии и соответствующие средства разработки программного кода в среде LINUX. Для реализации параллельных вычислений на кластерных вычислительных системах используется технология MPI и технология Nvidia CUDA — для расчетов на графических процессорах. Для эффективной программной реализации вычислений интеграла столкновений используются технологии потоковой обработки в режиме SIMD (SSE, SSE2) для процессоров Intel. Следует особо отметить программные системы, интегрированные в проблемно-моделирующую среду. Программный пакет GMSH, с открытым кодом, позволяет эффективно генерировать неструктурированные тетраэдрические сетки, которые лежат в основе моделирования физических процессов в устройствах с произвольной трехмерной геометрией. Для визуализации и анализа результатов компьютерного моделирования применяются различные программные продукты. Для наглядной визуализации потоков используется система NCL (NCAR Command Language), с трёхмерным распределением макропараметров удобно оперировать в среде Paraview, которая обладает возможностью обработки больших объёмов данных на кластерных системах. Для работы с прямоугольными сетками применяется разработанная автором диссертации система Bkviewer, ориентированная на анализ выходных данных в случае моделирования систем с прямоугольной геометрией.
Основные положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся новые результаты по математическому моделированию, вычислительным методам и комплексам программ, полученные в рамках выполнения диссертации:
-
Разработан многоточечный проекционный метод вычисления интеграла столкновений для смесей газов с произвольным отношением молекулярных масс.
-
Разработаны вычислительные алгоритмы, значительно повышающие эффективность программного солвера вычисления интеграла столкновений на основе применении современных компьютерных технологий потоковой обработки в режиме SIMD (SSE, SSE2) и многомерных сеток Коробова с большим числом кубатурных узлов.
-
Разработан метод решения уравнения адвекции на основе разностных схем различного порядка точности на тетраэдрических сетках адаптирующийся к произвольной геометрии устройства.
-
Созданы эффективные вычислительные методы и параллельные алгоритмы с высокой степенью масштабируемости численного решения уравнения адвекции для кластерных вычислительных систем и дана их программная реализация.
-
Разработаны проблемно-моделирующие среды численного решения кинетического уравнения Больцмана на различного типа сетках для кластерных вычислительных систем и для графических процессоров общего назначения (GPU-GP).
-
На основе разработанных проблемно-моделирующих сред методами вычислительного эксперимента и математического моделирования проведены исследования неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса с числами Кнудсена 0.01
Научная новизна
В диссертации впервые показана возможность изучения современными методами компьютерного моделирования и полномасштабного вычислительного эксперимента неравновесных газокинетических процессов тепломассопереноса широкого класса фундаментальных и прикладных задач газовой кинетики на основе решения кинетического уравнения Больцмана для газов с реальными физическими параметрами в наиболее сложной для анализа области с числами Кнудсена 0.01
Достоверность результатов
Достоверность и обоснованность разработанных в диссертации математических методов, вычислительных алгоритмов, проблемно-моделирующих сред, результатов компьютерного моделирования подтверждена:
сравнением результатов численных экспериментов для модельных задач с известными точными аналитическими решениями,
сравнением результатов моделирования с экспериментальными результатами,
сравнением с расчетами на основании других известных методов и моделей,
феноменологической проверкой (соответствием полученных результатов современным представлениям о предмете исследований).
Апробация работы.
Результаты исследований, проведенных в диссертации, были представлены на следующих российских и международных конференциях:
20-th International Conference on Transport Theory, Obninsk, 2007;
International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Kyoto, Japan, 2008;
XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, (ВМСППС”2009), Алушта, Украина, 2009;
International Symposium on Shock Waves (ISSW27), St. Petersburg, Russia, 2009;
International Conference on Computational Science 2010 (ICCS), Amsterdam, Holland, 2010;
Восьмая Международная конференция по Неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2010) Алушта, Украина, 2010;
19th International Shock Interaction Symposium (ISIS), Moscow, Russia, 2010;
Семнадцатая Международная конференция по Вычислительной механике и прикладным современным программным системам (ВМСППС’2011) Алушта, Украина,2011;
The 8th Pacific Symposium on Flow visualization and image processing (PSFVIP-8), Moscow, Russia, 2011;
28TH INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON RAREFIED GAS DYNAMICS, Zaragoza, Spain, 2012;
Nanotech Conference & Expo 2012, Santa-Clara, CA, USA,2012;
13th International Conference on Mathematical Methods in Science and Engineering (CMMSE 2013), Almera, Spain, 2013.
С 2007г. по 2013г. на ежегодных научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» при непосредственном участии автора диссертации создана и работает секция «Моделирование газокинетических процессов в микроструктурах», на заседаниях которой ежегодно докладывались результаты диссертации.
Результаты работы также докладывались на научных семинарах в МФТИ (ГУ), ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, ИРЭ им. В.М. Котельникова РАН, НИЦ Курчатовский институт, НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, ИПМ им. М.В. Келдыша, МГТУ МИРЭА.
Практическая ценность и внедрение результатов диссертации
Диссертационная работа выполнена на кафедре моделирования ядерных процессов и технологий Московского физико-технического института (государственного университета), на которой проводятся исследования, связанные с моделированием прикладных и фундаментальных проблем газовой кинетики на суперкомпьютерных системах, с разработкой математических и численных методов, параллельных алгоритмов, проблемно-моделирующих сред и компьютерных моделей газокинетических процессов в различных системах. Результаты диссертации, связанные с математическими методами, вычислительными алгоритмами, проблемно-моделирующими средами, компьютерными моделями газокинетических процессов в сложных системах, нашли широкое применение при выполнении научных исследований в МФТИ (ГУ), ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, ИРЭ им. В.М. Котельникова РАН, НИЦ «Курчатовский институт», при реализации аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011гг.)» Минобрнауки, федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013гг. Научные результаты диссертации, связанные с разработкой методов компьютерного моделирования газокинетических процессов в микроструктурах, созданием алгоритмов и проблемно-моделирующих сред легли в основу учебного курса «Моделирование газокинетических процессов в микро- и наноустройствах», читаемого автором диссертации в МФТИ (ГУ) на кафедре моделирование ядерных процессов и технологий с 2005г. по настоящее время.
Разработанные математические методы, вычислительные алгоритмы и проблемно-моделирующие среды регулярно использовались при выполнении научных исследований в рамках реализации грантов РФФИ № 06-07-89198-а «Разработка компьютерных моделей физических процессов тепломассопереноса в нано и микро электромеханических устройствах», № 09-07-00406-а «Разработка математических методов, алгоритмов и программных систем для решения задач кинетической теории газов на многопроцессорных вычислительных системах», № 12-08-00656-а «Разработка методов анализа ядерных энергетических систем на основе неструктурированных сеток численного решения кинетического уравнения», № 12-08-00940-а «Разработка методов и компьютерных моделей для анализа физических процессов кинетики разреженного газа в ядерных фильтрах на графических процессорах (GP-GPU)» в 2006-2013гг.
На основании результатов диссертации были оформлены один патент [40] и шесть свидетельств [41-46] о государственной регистрации программ для ЭВМ, зарегистрированных в Реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности (Роспатент).
Основные публикации
По теме диссертации опубликовано 46 работ, из них 20 статей в ведущих российских и зарубежных рецензируемых журналах, в том числе 17 [2-18] статей в российских и зарубежных рецензируемых журналах из списка, рекомендованного ВАК, издана одна монография [1], получены один патент [40] и шесть свидетельств [41-46].
Личный вклад соискателя в работы с соавторами
Положения, выносимые на защиту, и основные результаты диссертации отражают личный вклад соискателя в работы с соавторами. Это разработка новых математических методов вычисления интеграла столкновений, вычислительных методов и параллельных алгоритмов для решения уравнения адвекции, создание программных солверов и проблемно-моделирующих сред, математических моделей газокинетических процессов в микроустройтсвах различного типа и анализ полученных результатов.
Структура и объем работы
