Введение к работе
Актуальность. Практически во всех областях современных научных исследований одним из основных инструментов изучения поведения сложных объектов является математическое моделирование, которое позволяет заменить натурный эксперимент математическим, т.е. численным. С помощью математического моделирования можно исследовать различные процессы и явления, а также отслеживать изменения различных параметров, их взаимовлияние, что позволяет принимать обоснованные решения.
Поскольку невозможно отразить все свойства реального объекта, любая математическая модель является приближенной. Целью математического моделирования и не является отражение всех свойств. Моделью придется пользоваться, а значит она должна быть достаточно простой. Поэтому разработка новых методов математического моделирования, развитие качественных приближенных численно-аналитических методов исследования математических моделей, а также тестирование и обоснование их эффективности является на сегодняшний день крайне важным.
Возрастающие потребности в математическом моделировании сложных объектов приводят к необходимости рассматривать задачи, решение которых даже на современных компьютерах представляет большие трудности. В последние годы рост быстродействия вычислительной техники достигается, как правило, за счет увеличения числа процессоров. Поэтому поиск подходов к математическому моделированию, позволяющих наиболее полно использовать результаты нескольких вычислительных процессов является актуальным.
Комплексное исследование научных проблем с применением современных технологий математического моделирования, вычислительным экспериментом и разработкой комплексов программ для проведения этого эксперимента представляет собой очень сложный процесс, достоверность результатов которого необходимо обосновывать, поскольку решение многопараметрической задачи сопровождается появлением на всех этапах различных видов погрешности, а именно погрешности математического моделирования, погрешности исходных данных, погрешности округления, погрешности численного метода и дополнительной ненаблюдаемой погрешности. Источниками этих видов погрешности является ограниченность времени, памяти, разрядности и надежности.
Анализ большого количества работ по этой тематике показывает, что в настоящее время достаточно мало внимания уделяется вопросам обоснования достоверности полученных с помощью математического моделирования результатов. В вычислительной практике преобладают упрощенные методы обоснования достоверности и оценки погрешности, которые не обладают необходимой надежностью. Во многих опубликованных численных результатах содержатся ошибки в разрядах, которые декларируются как верные. Проверка опубликованных численных данных представляет существенно большую сложность по сравнению с математическими преобразованиями, поскольку значительная часть работы (например, программа расчета) остается скрытой. Качество анализа численных погрешностей существенно зависит от опыта и интуиции иссле-
дователя, применяющего различные приемы, не поддающиеся описанию и остающиеся за рамками научных публикаций. Сравнение численных данных с результатами физических экспериментов, которое часто используется для оценки погрешности, дает возможность оценить только погрешность аппроксимации, которая содержит в себе погрешность модели, погрешность эксперимента и погрешность вычислений. При отсутствии оценки вычислительной погрешности эта сумма не дает возможности оценить погрешность математической модели.
В связи с этим разработка методов оценки погрешности и обоснования достоверности этих оценок является весьма актуальной проблемой.
Целями исследований является:
Повышение достоверности результатов математического моделирования с помощью разработки методов многокомпонентного анализа результатов вычислительного эксперимента, а также численных методов и комплексов программ, оценка эффективности этих методов при решении прикладных задач.
Для достижения этих целей необходимо решить следующие задачи:
-
Разработать методы фильтрации и идентификации результатов вычислительного эксперимента на базе различных математических моделей технических объектов и процессов в рамках концепции многокомпонентного анализа.
-
Разработать методы проверки адекватности результатов вычислительного эксперимента на основе сравнения интервалов неопределенности, полученных с помощью численной фильтрации.
-
Обосновать и протестировать методы многокомпонентного анализа результатов вычислительного эксперимента для типовых численных методов математического моделирования.
-
Разработать численно-аналитические методы решения задач математического моделирования, реализовать их виде комплексов программ, обосновать и протестировать посредством многокомпонентного анализа.
-
Провести комплексное исследование прикладных задач математического моделирования с помощью предложенных методов многокомпонентного анализа и разработанных комплексов программ, оценить эффективность предложенных методов.
На защиту выносятся следующие результаты:
-
Методы повторной численной фильтрации результатов вычислительного эксперимента, заключающиеся в последовательном исключении компонент и идентификации оставшихся. Способ обоснования оценок погрешности моделей с помощью визуализации многокомпонентной модели погрешности.
-
Методы проверки адекватности результатов вычислительного эксперимента основанные на проверке факта пересечения интервалов неопределенности. Оценки доверительной вероятности и возможности ее увеличения при сравнении нескольких интервалов и повышении точности.
-
Результаты применения предложенных методов многокомпонентного анализа к исследованию составляющих погрешности типовых численных мето-
дов с различными типами моделей погрешности. Выявленные закономерности изменения погрешностей округления и численных методов от шага дискретизации и других параметров.
-
Численно-аналитические методы решения задач моделирования процессов течений идеальной весомой жидкости и электрохимической обработки со свободными границами. Их реализация в виде комплексов программ. Результаты идентификации модели крутых волн (численное обоснование гипотезы Сто-кса).
-
Результаты комплексных исследований задач гидродинамики и электрохимического формообразования, проведенных с помощью разработанных численно-аналитических методов и многокомпонентного анализа, и полученные приближенные аналитические модели.
Научная новизна
-
Новизна разработанных методов численной фильтрации и идентификации результатов вычислительного эксперимента заключается в предложенном способе получения и обоснования оценок погрешности и эталона с помощью двухэтапной фильтрации на основе многокомпонентной модели погрешности, что в отличие от методов экстраполяции и регуляризации, позволяет получить непротиворечивые оценки составляющих погрешностей искомых параметров.
-
Новизна разработанных методов проверки адекватности результатов вычислительного эксперимента заключается в том, что в отличие от применяемого на практике сравнения приближенных значений, проверяется попадание тестового решения в полученный интервал или факт пересечения интервалов неопределенности, что согласно полученным оценкам, позволяет уменьшить вероятность необнаружения ошибки на несколько порядков. Этим существенно повышается эффективность тестирования.
-
С помощью многокомпонентного анализа получены достоверные данные о закономерностях накопления погрешности округления, интерполяции и др. Проведенный вычислительный эксперимент показал, что зависимость погрешности численных методов от параметра дискретизации в различных (в том числе и сингулярных) случаях представляется в виде суммы компонент различного вида, что позволяет эффективно использовать многокомпонентный анализ.
-
Новизна результатов, полученных с помощью разработанных методов многокомпонентного анализа и предложенных численно-аналитических методов при решении известной задачи (численное обоснование гипотезы Стокса) заключается в выявлении 4 новых компонент модели крутых волн, что позволило с высокой точностью аппроксимировать их характеристики.
-
Новизна результатов комплексного исследования модели течения жидкости в центробежной форсунке заключается в разрешении парадокса, связанного с принципом максимального расхода. Найдены решения с расходом, отличающимся от максимального на 2-3% при сверхкритическом режиме течения. Проведенный многокомпонентный анализ задач электрохимической обработки дал возможность получить новые приближенные аналитические модели нестационарных процессов электрохимической обработки.
Достоверность результатов
Достоверность результатов подтверждается тестированием моделей и методов оценок погрешности с помощью сравнения с известными решениями и применением нескольких способов решения задач.
Практическая ценность
Практическую ценность представляют разработанные методы фильтрации результатов численного эксперимента и комплексы программ, которые могут быть использованы в вычислительной практике для уточнения и оценки погрешности решения прикладных задач, а также полученные численные результаты, которые могут быть использованы при проектировании технологических процессов, что подтверждается актом о внедрении в ООО «ЕСМ».
Результаты исследований внедрены также в учебный процесс УГАТУ при реализации учебных планов по дисциплинам «Численно-аналитические методы», «Экстраполяционные методы оценки погрешности», «Вычислительная математика» по направлениям 01.03.00-«Математика. Компьютерные науки», 23.01.00-«Информатика и вычислительная техника.
Работа проводилась по тематике госбюджетных НИР УГАТУ «Создание математических моделей естествознания», «Исследование взаимосвязи вычислительных алгоритмов и архитектур высокопроизводительных вычислительных систем», в рамках Федеральной целевой программы «Интеграция науки и высшего образования России на 2002 - 2006 годы», программы Президента «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-65497.2010.9).
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на Междунар. науч.-техн. конф. «Ленинские горы - 95» (Москва), на Междунар. конгр. «Молодежь и наука - третье тысячелетие» (YSTM'96) (Москва), на Междунар. конф. по гидродинамике больших скоростей (HSH -ГБС), (Чебоксары, 1996, 2002, 2004, 2008, Кемерово, 2006), на Междунар. конф. «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 1996, 2000), на «Междунар. науч.-техн. конф. Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1995, 1997, 2000, 2005, 2010), на Междунар. конф. «Оптимизация численных методов» (Уфа, 1998), на XIV Междунар. конф. «Интервальная математика» (Новосибирск, 1998), на VI Междунар. конф. «Вычислительные методы в задачах волновой гидродинамики» (Новосибирск, 1998), на 2-ой и 4-ой Сибирской школе-семинаре «Матем. проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1998, 2000), на Междунар. симп. по вычислительной гидродинамике (Бремен, 1999), на всеросс. науч. конф. «Краевые задачи и их приложения» (Казань, 1999, 2000), на Междунар. конф. «Матем. модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999), на межотрасл. конф. «Снежинск и наука» (Снежинск, 2000), на IV-м сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000, Новосибирск), на 7-м русско-японском симп. по вычислит, гидродинамике (Москва, 2000), на Междунар. конф. «Компьютерные науки и информационные технологии» (CSIT) (Уфа, 2000, 2001, 2003, 2005, 2007, Пат-
ры, 2002, Будапешт, 2004, Карлсруэ, 2006, Анталия, 2008, Крит, 2009, М.-СПб, 2010), на европ. конгр. по вычислит, методам в прикл. науках (ECCOMAS-2000, Барселона), на Междунар. симп. по вычислит, методам, компьютерной арифметике и доказательным вычислениям (SCAN-2000, Interval-2000, Карлсруэ, SCAN-2002, Париж, SC4N-2006, Дуйсбург), на Междунар. конф. по вычислит, механике (ЕССМ-2001, Краков), на европ. конф. по вычислит, гидродинамике (ECCOMAS CFD 2001, Свонси), на VIII и X Всеросс. съездах по теор. и прикл. механике (Пермь, 2001, Н. Новгород, 2011), на 2-м всеросс. симп. по прикл. и промышл. матем. (Йошкар-Ола, 2001), на 5,6,10-й Междунар. конф. «Актуальные проблемы машиностроения и механики сплошных и сыпучих сред» (Москва, 2002, 2003, 2007), на всемирном конгр. по вычислительной механике, (WCCM-2002, Вена), на V Междунар. конф. по прикл. матем. и механике (GAMM 2003, Падуя), на V Междунар. симп. по кавитации (CAV 2003, Осака), на 7 нац. конгр. США по вычислит, механике (USNCCM7, Альбукерка, 2003), на Междунар. матем. конф. (Уфа, 2007), на Росс. конф. «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007), на Всеросс. научно-практ. конф. «Обратные задачи в приложениях» (Бирск, 2008), на Росс. конф. «Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии» (Уфа, 2010), на Междунар. науч. конф. «Параллельные вычислительные технологии» (ПаВТ'2010, Уфа), на Междунар. науч.-техн. конф. «Электроэрозионные и электротехнические технологии в производстве наукоемкой продукции» (Москва, 2010).
Публикации
Основные результаты работы отражены в 64 научных трудах, в том числе 21 статье в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 40 в других изданиях, 2 свидетельствах о регистрации программного продукта, 1 патенте на изобретение.
Структура и объем работы
Диссертация изложена на 376 стр. текста и состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложения.
