Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор исследований, связанных с математическим моделированием кинетики сталкивающихся частиц 14
1.1 Модели парных соударений частиц 14
1.2. Примеры точных решений 32
2. Две математические модели столкновений бильярдных шаров, приводящие к решениям уравнения больцмана 35
2.1.Связь уравнений кинетики с уравнениями сплошной среды 35
2.2. Моделирование процесса столкновений в больцмановском газе 41
3. Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру 51
3.1. Введение 51
3.2. Кинетическое уравнение 52
3.3. Пространственно однородная модель. Дискретное фазовое пространство 55
3.4. Пространственно однородная модель. Фазовое пространство а = М„ 61
3.5. Пространственно неоднородная модель 64
3.6. Аналитическое решение дискретной модели (3.2), (3.12) 65
3.7. Компьютерное моделирование дискретной модели (3.2, (3.12)70
3.8. Переход от кинетического уравнения ортогональных столкновений к кинетическому уравнению Смолуховского 76
3.9. Тестирование модели (3.34), (3.35), (3.36), (3.37) на примере ортогональных столкновений на сферах в трехмерном пространстве R3 81
3.10. Пространственно однородная модель. Непрерывное фазовое пространство Q = Шп 85
3.11. Сферически симметричные аналитические решения уравнения (3.2), (3.19) 89
4. Алгоритмы и вычислительные эксперименты для моделирования пространственно однородной коагуляции 95
4.1. Вычислительный эксперимент для пространственно однородной модели коагуляции на основе однократного розыгрыша пары взаимодействующих частиц 95
4.2. Метод прямого моделирования медленной коагуляции, основанный на повторных розыгрышах пар взаимодействующих частиц 96
4.3. Модель пространственно однородной медленной коагуляции. 97
4.4 Тестирование модели пространственно однородной медленной коагуляции 100
4.5. Модель пространственно неоднородной медленной коагуляции 101
4.6. Тестирование модели пространственно неоднородной медленной коагуляции 107
Заключение 110
Литература 111
- Примеры точных решений
- Моделирование процесса столкновений в больцмановском газе
- Пространственно однородная модель. Дискретное фазовое пространство
- Метод прямого моделирования медленной коагуляции, основанный на повторных розыгрышах пар взаимодействующих частиц
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию двух физических явлений, связанных с кинетикой сталкивающихся частиц:
случай больцмановского газа, приводящий к пространственно однородному уравнению Смолуховского,
пространственно неоднородная коагуляция в дисперсных системах.
Для исследования данных явлений используется прямое моделирование на уровне отдельных молекул, основанное на методе Монте-Карло, аналитические и численные решения кинетических уравнений.
Объектом исследования диссертационной работы являются сложные системы взаимодействующих между собой частиц в процессе их движения. Предметом исследования являются кинетические системы, численные и имитационные методы моделирования процессов парных соударений частиц, приводящих к кинетическим моделям Больцмана и Смолуховского.
Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью тестирования и обоснования прямого моделирования для решения задач, связанных с процессами переноса вещества в системах сталкивающихся частиц, установления связи прямого моделирования с уравнениями Больцмана и Смолуховского.
Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в авиационной и космической технике, вакуумной технике, химической технологии. Уравнения гидро- и газовой динамики обладают уникальной универсальностью в том смысле, что они описывают основные физические процессы большинства современных технологий и экологических проблем от производства элементной базы микроэлектронной промышленности до переноса токсических компонентов воздушными потоками. Потребность в гидро- и газодинамических расчетах возрастает еще
и потому, что по мере развития численных методов и бурного прогресса вычислительной техники увеличиваются возможности математического моделирования газодинамических процессов, и как следствие рост доверия инженеров и конструкторов к результатам вычислительного эксперимента. Помимо внешних стимулов со стороны промышленности неослабевающий интерес к развитию вычислительной гидро- и газовой динамики поддерживается и внутренней логикой научного исследования этой интереснейшей с точки зрения развития механики, прикладной и общей математики проблемы .
Интерес к процессу коагуляции обусловлен исследованиями в метеорологии, экологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Напрямую с явлениями коагуляции связаны процессы роста трещин в структуре материалов за счет их взаимных пересечений. Это имеет прямое отношение к задачам динамики разрушения деталей. Процессы коагуляции лежат в основе явлений полимеризации, створаживания, свертываемости крови.
Важность прямого математического моделирования для расчета систем сталкивающихся частиц обусловлена тем, что необходимо иметь соответствие между решениями уравнения Больцмана и распределением частиц в реальных физических системах. Возможно проведение сравнительного анализа результатов имитационного моделирования с точными решениями и решениями, полученными с помощью разностных схем. При этом большое значение имеют правила подготовки спектров имитационного моделирования для последующего сравнения с точными решениями.
В настоящее время найдены точные решения уравнения Больцмана для сравнительно простых случаев малых градиентов температуры, скорости и концентраций в газе. Существуют ситуации, когда уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое моделирование процессов
коагуляции имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.
Целью данной работы является разработка алгоритмов, реализация программного обеспечения и проведение вычислительных экспериментов прямого моделирования систем сталкивающихся частиц для специального случая одноатомного больцмановского газа и случая пространственно неоднородной коагуляции дисперсных систем.
В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:
Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для моделирования столкновений в больцмановском газе, а также ортогональных столкновений, когда функция распределения частиц по импульсам и энергиям подчиняется пространственно однородному уравнению Смолуховского.
Разработка, реализация алгоритма моделирования, создание программного обеспечения для расчета медленной пространственно неоднородной коагуляции частиц, описываемой уравнением Смолуховского.
Обоснование и выявление точности тестовых расчетов для прямого моделирования процесса парной коагуляции при сравнении с точными решениями.
Методами исследования являются:
Вычислительный эксперимент
Проведение тестирования вычислительного эксперимента
Разработка и обоснование математических моделей
Основные положения, выносимые автором на защиту:
Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели поведения больцмановского газа. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов с точными решениями.
Проведение вычислительного эксперимента на основе прямого моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.
Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого моделирования случая ортогональных соударений, приводящего к пространственно однородному и неоднородному уравнению Смолуховского.
Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого моделирования процесса парных столкновений в пространственно однородном и неоднородном случае для больцмановского газа.
Достоверность научных положений, выводов. Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-математических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравнительного анализа с точными решениями и физическим экспериментом.
Научная новизна работы состоит в следующем;
Исследована новая математическая модель больцмановского газа, основанная на применении метода прямого моделирования.
Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования ортогональных соударений твердых сфер. Обоснована математическая корректность исследуемой модели, приводящей для сферически
симметричных распределений в импульсном пространстве к кинетическому уравнению Смолуховского.
Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции, приводящая к решениям классического уравнения Смолуховского.
Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого моделирования процесса пространственно однородной и неоднородной парной коагуляции.
Практическая значимость работы состоит в следующем;
Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования ортогональных соударений твердых сфер. Обоснована математическая корректность исследуемой модели, приводящей для сферически симметричных распределений в импульсном пространстве к кинетическому уравнению Смолуховского.
Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции, приводящая к решениям классического уравнения Смолуховского.
Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого моделирования процесса пространственно однородной и неоднородной парной коагуляции.
Личный вклад автора. Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:
Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими уравнения Больцмана для максвелловских молекул.
Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями
пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для широкого класса интенсивностей взаимодействия и начальных данных в случае схемы медленной коагуляции.
Математическая модель газа, приводящего к уравнениям Смолуховского.
Алгоритм прямого моделирования и программная реализация на ЭВМ математической модели газа с ортогональными столкновениями молекул.
Алгоритм прямого моделирования и программная реализация на ЭВМ процесса пространственно неоднородной медленной коагуляции, приводящей к решениям уравнения Смолуховского.
Публикации. Основные публикации по теме диссертации:
1. Галкин А.В.Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру // Математическое моделирование, 2009, т. 21, с. 103—117.
3. Галкин А.В. Моделирование процесса пространственно неоднородной
коагуляции/ЛГезисы 4-й международной конференции "Математические идеи
П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания",
2008, С. 17—18.
4. Galkin V.A., Galkin A.V., Saveliev V.I. Mathematical simulation of
dynamics in cluster systems of Boltzmann - Smoluchowski type//Abstracts of 20-
th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007, p. 67—70.
5. Галкин В.А., Галкин А.В. Метод Монте-Карло прямого
моделирования пространственно неоднородной коагуляции// Труды 3-й
международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их
приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 8—18.
6. Галкин А.В., Галкин В.А. Математическое моделирование роста
агломератов// Сборник научных трудов, т. 29, Физико—математические и
технические науки, 2008, с. 16—23.
Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разработка и исследование математических моделей сложных систем// Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2008, вып. 14, с. 11—24.
Галкин В.А., Галкина И.В., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкин А. В. Математическое моделирование процессов спекания порошковых материалов и роста агломератов//Труды Регионального Конкурса научных проектов в области естественных наук, Калуга, 2007, С. 42—56.
9. Галкин В. А., Галкин А.В. Математическое моделирование
пространственно неоднородной коагуляции. 2006, Международный семинар
"Супервычисления и математическое моделирование", Саров—2006.
10. Galkin V.A., Galkin A.V. Quasilinear поп—local Hopf—type equation
describing clusters growth due to mutual connections between elements in the
interacting couples of clusters//Abstracts of EQUADIFF—2007 , Vienna, Austria,
2007, p.52.
Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разностный метод для решения уравнения Больцмана—Смолуховского //в сб. "Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук" , 2007, вып. 13, с. 46—50 .
Галкин А. В.,Галкин В.А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование роста дефектов в материалах ЯЭУ тезисы доклада// Труды международной конференции " Безопасность АЭС и подготовка кадров". Тезисы докладов X международной конференции, с. 119—120.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:
Семинар лаборатории Монте-Карло ускорителя на тяжелых ионах GSI г. Дармштадт, Германия, декабрь 2006 г.
9-й Международный семинар «Математическое моделирование и супервычисления», Саров, 2006 г.
Международная конференция «20-th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007», г. Обнинск, июль 2007 г.
10-й Международный семинар «Математическое моделирование и супервычисления», Саров, 2008 г
Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 100-летию И.Г.Петровского, г. Москва, май 2007 г.
Международная конференция «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», г. Обнинск, 14-18 мая 2006, 2008 гг.
Научный семинар PIMM РАН под руководством проф. Е.И.Леванова, 2009 г.
Выполнение исследований в рамках настоящей работы было поддержано грантом РФФИ, код проекта 08-01-00338(A).
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 118 страницах, в том числе основного текста 69 страниц, 4 рисунков, список литературы из 91 наименований.
Примеры точных решений
Аналогично выглядит оператор столкновений Смолуховского в теории коагуляции частиц с дискретными массами:
Уравнение (1.3) с операторами столкновений (1.8), (1.9) в дальнейшем будем называть кинетическим уравнением Смолуховского.
От неупругого столкновения элементов сложных систем очень многое зависит в нашей повседневной жизни, примером тому служит явление свертываемости (коагуляции) крови при порезах (отсутствие коагуляции крови грозит смертельной опасностью так же, как и ее чрезмерная интенсивность, ведущая к образованию тромбов с последующей закупоркой кровеносных сосудов!), створаживание молока и образование киселя — это тоже коагуляция; процессы полимеризации, т. е. очень интенсивной коагуляции частичек, лежат в основе производства полимерных нитей, использующихся при изготовлении современных материалов. Напрямую с этими явлениями связаны процессы роста трещин в структуре материалов за счет их взаимных пересечений (коагуляция растущих трещин с образованием дефектов, сопоставимых с размерами детали — явление разрушения).
Коагуляция имеет прямое отношение к задачам динамики разрушения деталей и прогноза развития дефектов с целью предотвращения возможных катастроф на аэрокосмических аппаратах, разрушения трубопроводов первого контура ядерноэнергетических установок при их циклическом замораживании—размораживании и т. д. Последнее особенно актуально для ядерных реакторов с тяжелым металлическим теплоносителем (свинец, свинец—висмут), где фазовые переходы служат источником скачков давления на стенки каналов теплоносителя, что ведет к развитию трещин и разрушению конструкций.
В работе [40] показано, что уравнение Смолуховского описывает специальный случай больцмановского газа (рассматриваемого в главе ), состоящего из одинаковых молекул, которые испытывают только ортогональные упругие соударения. В этой модели величина со является кинетической энергией молекулы. Очевидно, что распределение молекул / по энергиям в этом случае имеет 5 -образную особенность (меру Дирака S0(do))), сосредоточенную на молекулах с нулевой кинетической энергией.
Тем самым, в задачах для уравнения Смолуховского естественным образом возникают функциональные решения, являющиеся предметом следующей главы.
Наличие в физической системе источников частиц, действующих с неотрицательной интенсивностью q отражается добавлением этой величины в правой части уравнения (1.3).
Несмотря на то, что первые кинетические уравнения записаны для специальных систем, область их приложений оказалась весьма широкой. Аналоги уравнений Больцмана и Смолуховского используются при моделировании процессов переноса излучения в веществе, нейтронов в ядерном реакторе, при исследовании роста капель в облаках, дефектов в материалах реакторов на быстрых нейтронах, газовых пор в металлах и т. д. [55,4,2,3,56,57-60].
Задача Коши для уравнения (1.3) с операторами столкновений (1.5)--(1.7) подробно исследована с точки зрения корректности в целом в классах начальных данных, которые не зависят от пространственных координат х. Случай пространственно неоднородных задач весьма трудный и число содержательных результатов здесь относительно невелико. Основная трудность заключается в отсутствии непрерывности операторов столкновений вида (1.5)-(1.7) в нормах, связанных с соотношениями сохранения или диссипации, характерных для этих задач.
Такого рода задачи возникают в процессе математического моделирования массопереноса в ядерно—энергетических установках при наличии встречных потоков вещества (лазерный термоядерный синтез). Одним из важнейших направлений применения рассмотренных моделей для уравнений Власова—Лиувилля—Больцмана—Смолуховского с разрывными полями скоростей течения вещества является задача исследования процессов образования конденсированной материи в международном проекте физики высоких энергий [61] СВМ (Condensed Baryonic Matter), получаемой при столкновении встречных пучков частиц в ускорителе на тяжелых ионах. Следуя [CBM-Rep], приведем общие положения физики высоких энергий, связанные с исследованием фазовых переходов, ведущих к образованию конденсированной материи при лобовых столкновениях ядер в ускорителях тяжелых ионов.
Моделирование процесса столкновений в больцмановском газе
Параметры модели выбирались следующими: число частиц N = 25000, которые в начальный момент времени имеют распределение вероятностей, соответствующее точному решению А.В.Бобылева (одночастичная функция распределения зависит,только от кинетической энергии частиц). Фазовое пространство скоростей трехмерное. Промежуток времени выбора сталкивающихся пар частиц (шаг по времени) равен г = 10_3. Число повторных испытаний для выбора сталкивающихся пар на одном шаге по времени (Л0 = 32000. Интенсивность столкновений в вычислительном эксперименте выбиралась так, что Ф = 20, если кинетическая энергия Е каждой из сталкивающихся частиц не превосходит 10б. В противном случае полагаем величину Ф = 0 . Ячейки имеют вид сферических слоев в13с центром в точке О, при этом толщина каждого слоя равна 10"2. Результаты вычислительного эксперимента указывают на адекватность имитационного моделирования решению А.В.Бобылева. Аналогичные вычислительные эксперименты выполнены для пространственно неоднородной модели, где также получены удовлетворительные результаты. На основе метода А.А.Никольского [70] в сочетании с вышеуказанным решением А.В.Бобылева получается содержательный пример решения уравнения Больцмана с оператором столкновений (1.5), отличным от тождественного нуля. Для максвелловских молекул примером такого решения служит функция: Следует подчеркнуть, что макроскопические газовые переменные в этом случае совпадают с решением В.С.Галкина [71] для системы
Навье—Стокса с уравнением состояния газа Р = RpT: где cp, cT — положительные постоянные, а соответствующие значения вектора потока тепла (/-(л:, 0 = 0. Следует подчеркнуть, что в отличие от пространственно однородной модели в пространственно неоднородном случае функция Ф является вероятностью столкновения пары частиц в выбранной пространственной ячейке. Поэтому в формулах (2.4) в пространственно неоднородном случае вероятность взаимодействия пары частиц $ (V ,VJ)T 1 заменяется на вероятность Ф(У, vJ), где 0 Ф(\ , vy) = Ф(У, v ) 1. Предполагается, что частицы взаимодействуют, когда их пространственные координаты различаются не более, чем на заданный размер пространственной ячейки h О. При этих изменениях во всей моделируемой системе в течение времени взаимодействия г разыгрывается приведенный выше алгоритм столкновений для пространственно однородной модели. Далее частицы сдвигаются в координатном пространстве на расстояние, равное произведению скорости частицы на шаг по времени т. Приближение решения пространственно неоднородного уравнения Больцмана определяется формулой где Dh% - шар радиуса И с центром в точке х в пространстве положений частиц R3, mes(D ) - объем этого шара, Nv(tn,D ) - количество частиц системы, находящихся в момент времени tn в шаре Dhx со скоростями в ячейке Dv. Сравнительный анализ проводился для макроскопических параметров газа, получаемых на основе точного решения пространственно неоднородного уравнения Больцмана и результатов имитационного моделирования. Для приведенных расчетов вероятность столкновения выбранных пар полагалась равной Ф = 1, если кинетическая энергия Е каждой из сталкивающихся частиц не превосходит 106. В противном случае полагаем величину Ф = 0. Пространственная точка наблюдения выбрана с координатами (-1,0,0. 5)еЕ3. Полное время расчета г = 7.5. Число частиц в системе 32000. На каждом шаге по времени в каждой пространственной ячейке Q(N) = 32000 раз подряд выбираются пары сталкивающихся частиц. При этом запрещаются повторные столкновения для номеров, уже единыжды участвовавших в розыгрыше столкновения на данном шаге по времени. В расчетах размер пространственной ячейки h полагался равным 0.3, а шаг по В течение всего времени проведения вычислительного эксперимента контролировалось выполнение закона сохранения полной энергии системы и ее полного импульса.
Пространственно однородная модель. Дискретное фазовое пространство
Структура абсолютно непрерывной компоненты оператора столкновений (3.19) аналогична оператору столкновений кинетической теории коагуляции, разработанной М.Смолуховским [75, 14, 15, 32]. Таким образом, оператора (3.19) можно трактовать как описание процесса коагуляции импульсов и кинетической энергии при ортогональных соударениях частиц (3.3) (абсолютно непрерывная компонента), и процесс выделения покоящегося вещества - сингулярная компонента, которая в теории коагуляции отождествляется с осадками или образованием геля, выделяющегося из дисперсной системы.
В силу наличия сингулярной компоненты у оператора столкновений на абсолютно непрерывных распределениях частиц, решения уравнений (3.1), (3.2) также должны рассматриваться в классах мер, состоящих из сингулярной и абсолютно непрерывной части. При этом сингулярная часть решений уравнений (3.1), (3.2) сосредоточена на скоростиv = 0. Таким образом, закон столкновений (3.3) приводит к необходимости рассмотрения функциональных решений уравнений физической кинетики [42, 43], теории которых посвящена глава 2.
Примером решения уравнения (3.2) с фазовым пространством v є R2 с оператором столкновений (3.19) при интенсивности столкновений Ф = 1 является мера, состоящая из абсолютно непрерывной компоненты с нестационарным максвелловским распределением, и атомарной меры, эволюционирующей при м-ни к мере Дирака S0(dv):
Справедливость этого соотношения устанавливается прямой подстановкой его в (3.2) и (3.19). Приведенная формула описывает «перекачку» вещества из подвижной компоненты газа в неподвижную. Она является примером функционального решения задачи Коши для уравнения (3.2), (3.19) при непрерывных начальных данных (распределение Максвелла) [43]. Очевидно, что для этого решения выполняются законы сохранения массы, средний импульс равен нулю, сохраняется средняя кинетическая энергия. Масса вещества в подвижной компоненте (совпадающая с вероятностью обнаружения частицы в подвижной компоненте) равна pit) = ; полная масса неподвижной компоненты (вероятность обнаружения частицы в неподвижной компоненте) равна ; температура неподвижной компоненты равна нулю. При этом температура газаГ(0 сосредоточена в подвижной компоненте и растет с течением времени по закону Т (0 -1+—. Выполняется уравнение состояния идеального газа (закон 2л Клапейрона—Менделеева) Р рТ. На приведенном решении давление Р = const.
Пространственно неоднородное кинетическое уравнение для модели ортогональных столкновений (3.3) получается подстановкой операторов (3.12), (3.19) в обобщенное уравнение Больцмана (3.1). В соответствии с замечанием 3.3 в случае пространственно неоднородной динамики (3.1) образуется пространственная структура, состоящая из неподвижного вещества в системе отсчета, связанной с центром масс газа. Отметим, что характер столкновений частиц (3.3) означает, с течением времени движущиеся частицы в основном переходят в состояние покоя. Т.е. в общем случае, когда интенсивность столкновений Ф const 0, асимптотикой распределения частиц по скорости при t -» +ад является атомарная мера Дирака S0(dv), сосредоточенная на значении скорости v = 0. С этой точки зрения представляет интерес исследование поведения макроскопических переменных в рассмотренной модели газа. В частности, из-за постоянно возникающей покоящейся массы частиц в силу закона (3.3), макроскопическое (гидродинамическое) состояние такого газа естественно рассматривать как бинарную смесь покоящегося конденсата и скользящей в нем подвижной компоненты. Полная масса покоящегося вещества монотонно возрастает с течением времени, а его кинетическая энергия и импульс обращаются в нуль. Соответственно, в силу закона сохранения энергии температура подвижной компоненты должна увеличиваться с течением времени.
Для тестирования модели в рамках вычислительного эксперимента рассмотрим пространственно однородную задачу, описываемую уравнением (3.2) с дискретным оператором столкновений (3.12). Положим, что дискретное множество скоростей Q лежит в плоскости R2. Пусть в столкновениях участвовали только те пары частиц, у которых ортогональные направления движения и одинаковые значения кинетической энергией Ек =2к \ к є N . (Величина кинетической энергии частицы массы т равна —mv2). Для удобства вычислений потребуем, чтобы значение массы частицы т = 2. На каждом энергетическом уровне Ек выделим две пары взаимно ортогональных направлений, задаваемых единичными векторами
Метод прямого моделирования медленной коагуляции, основанный на повторных розыгрышах пар взаимодействующих частиц
Этот раздел посвящен вопросу о связи предельного поведения результатов прямого статистического моделирования методом Монте-Карло процесса коагуляции, основанного на случайном розыгрыше актов коагуляции на уровне отдельных частиц с повторным выбором пары взаимодействующих частиц на каждом шаге по времени. При этом на каждом временном шаге применяется следующее правило: в процессе повторного розыгрыша номеров сталкивающихся пар частиц получен ранее выбранный номер частицы для заданного времени столкновения, то данная пара во взаимодействии не участвует. Число повторных испытаний по выбору взаимодействующих пар на данном временном шаге предполагается неограниченно возрастающим, когда число частиц в системе N -»оо. Эту процедура повторных розыгрышей с упомянутым правилом запрета назовем медленной коагуляцией. Сразу подчеркнем, что суть данного названия связана с коэффициентом при ядре Ф в уравнении Смолуховского. Для ранее рассмотривавшихся моделей быстрой коагуляции в работах В.А.Галкина, И.Р.Багдасаровой, Д.А.Рыжикова, Д.Ю.Осецкого [55, 76, 77, 73] коэффициент равен 2, а в модели медленной коагуляции коэффициент равен 1, что соответственно определяет динамику процесса коагуляции. Модель медленой коагуляции полностью адекватна классическому уравнению Смолуховского и позволяет обощение на пространственно неоднородный случай. В рамках модели медленной коагуляции получено математическое обоснование пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для широкого класса начальных данных и вида зависимостей парного взаимодействия частиц Ф.
В отличие от рассмотренной выше модели быстрой коагуляции, акты парных столкновений в модели медленной коагуляции разыгрываются следующим образом.
Рассмотрим множество А, состоящее из пар номеров (/,у), 1 / j N. В каждый момент времени tn разыгрываются независимые случайные величины я}г)0а) со значениями в А так, что P{n(,s)(tn) = {i,j) = 1/С2, \ s Q(N). Возможные пары сталкивающихся частиц в момент времени tn выберем как значения набора {?r,(J)(0} _ , накладывая дополнительное ограничение: если хотя бы один из номеров, входящих в пару n]s\tn) при s 2, входит в одну из пар n\X)(tn),..., 7v\sA)(tn), то для пары n\ \tn) коагуляция в ячейке D, в момент времени tn не происходит. Тем самым исключаются многократные взаимодействия для каждой частицы внутри ячеек. Подсчитаем вероятность выбора пары взаимодействующих частиц с номерами 0 , у), \ i j N. Очевидно, что вероятность выбора этой пары на s -м шаге в серии 1 s Q(N) независимых испытаний равна где первый сомножитель является вероятностью того, что в первых 5-1 -м испытании во множестве А не появлялась пара с заданными номерами частиц / или j. Второй сомножитель — это вероятность выбора искомой пары на последнем шаге. Таким образом, вероятность выбора пары (/, j) из множества А на одном из шагов в серии 1 s Q(N) независимых испытаний равна сумме геометрической прогрессии указанных вероятностей, которая равна
Если число повторных испытаний Q(N) по выбору пары взаимодействующих частиц таково, что величина Q(N)N ] - оо, то при больших значениях N имеем
Повторим дословно рассуждения, приведенные при рассмотрении пространственно однородной модели быстрой коагуляции [76], с тем лишь различием, что вероятность коагуляции выбранной пары взаимодействующих частиц определяется следующими условиями.
Положим, что вероятность коагуляции частицы массы к с частицей массы / равна Фк1т 1, где функция Фк1 называется интенсивностью коагуляции и подчиняется следующему условию:
После предельного перехода N - оо удовлетворяют классическому уравнению Смолуховского Таким образом, модель медленной коагуляции соответствует гипотезам М. Смолуховского. Рис. 4.1. График полной концентрации #(/) (белый график-имитационное моделирование, зеленый- разностная схема, красный- аналитическое решение)
Численное моделирование коагуляции по алгоритму с повторным выбором пар взаимодействующих частиц проводилось аналогично случаю быстрой коагуляции. Сравнение имитационного результатов моделирования проводилось с аналитическими решениями и вычислениями методом разностных схем (см. рис. 4.1, 4.2). Для числа частиц N 200. Для времени взаимодействия частиц т 10-3 для одной истории имитационного моделирования на уровне срезки М 102 для ядра Ф 1 типичная погрешность не превышала 2% для общей концентрации частиц и отдельных компонент спектра. Ниже приведены типичные графики для серии пространственно однородных вычислительных экспериментов.
