Введение к работе
Актуальность темы. Математические модели вычислительной гидродинамики (англоязычная аббревиатура - CFD) в настоящее время являются базой для исследования большого класса природных явлений: от движения воздуха вблизи нагретой солнцем пылинки до циркуляции воздуха в атмосфере, от движения жидкости в капиллярах, крови в кровеносных сосудах до океанических течений и т.п. Основой традиционных моделей CFD являются законы сохранения массы, импульса, энергии в виде систем дифференциальных уравнений, которые адаптируются к различным прикладным задачам путем постановки соответствующих граничных и начальных условий.
В настоящей работе применяется решеточный метод Больцмана – далее LBM (Lattice Boltzmann method). Причины, по которым был выбран именно этот метод вместо "прямого" решения уравнений Навье-Стокса (например, методом конечных разностей, конечных объемов или спектральным методом), кроются в простоте и эффективности вычислительного метода.
Есть два основных отличия LBM и традиционных CFD методов, которые следует считать преимуществами LBM:
конвективный оператор в LBM (шаг распространения) линейный в пространстве скоростей, в то время как в решателях Навье-Стокса он квадратично нелинейный. Тем не менее, используя разложение Чепмена-Энскога, с помощью LBM можно раскрыть это нелинейное конвективное поведение;
существенно различаются процедуры расчета давления: в LBM, оно получается из уравнения состояния, т.е. неявно на основе локальной плотности, в то время как в традиционных CFD методах, давление рассчитывается из уравнения Пуассона. Последний подход сталкивается с вычислительными трудностями в областях со сложной геометрией.
Эти две особенности дают LBM его первое преимущество: он приводит к простым явным вычислительным процедурам.
Другим преимущественным аспектом LBM является его численная эффективность. Разные авторы работали над этим аспектом (S.Succi, Chen и др.) и сделали сравнение с традиционными методами. Их исследование показало, что LBM практически в 2,5 раза быстрее для двумерного течения, которое они изучали, имевшее около 16000 узлов сетки. В данной работе проведено аналогичное исследование относительно времени расчета трехмерной задачи обтекания выступа в форме прямоугольного параллелепипеда при различных входных параметрах. В итоге для числа узлов порядка LBM быстрее в 4-6 раз в зависимости от точности, чем классический метод поправки к давлению.
Некоторые другие преимущества LBM возникают в силу его происхождения из кинетической теории. Задание различных граничных условий осуществляется по явным схемам. Благодаря своей локальности, метод прост в распараллеливании (нет необходимости в спектральном разложение или в решении уравнения для давления).
Одно из его главных приложений в области вычислительной гидродинамики, где он себя хорошо зарекомендовал – это решение слабо сжимаемых уравнений Навье-Стокса (см. Wolf-Gladrow, Succi, Chen и Doolen, Dellar), а также в более сложных задачах, связанных с многофазными и многокомпонентными течениями (смотрите например Shan и Chen, Reis и Phillips).
В 1989 году R. J. DiPerna, P.-L. Lions доказали теорему существования решения уравнения Больцмана в целом и его устойчивость. Поэтому, при использовании решеточных моделей Больцмана, решения дискретных уравнений, аппроксимирующих уравнение Больцмана и являющихся вычислительно устойчивыми, будут сходиться к решению этого уравнения с точностью, соответствующей порядку аппроксимации.
Цель работы. Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей, основанных на кинетическом уравнении Больцмана, описывающих гидродинамические процессы, а также созданию программного комплекса, реализующего эти модели для конкретных входных данных.
Основные усилия сосредоточены на исследовании следующих важных задач:
Разработка трехмерной математической модели на основе кинетического уравнения Больцмана для расчета полей: функции распределения частиц по скоростям, плотности и скорости жидкости, учитывающих внешние силы (силу Кориолиса, ветер), сложную геометрию исследуемой области, турбулентную вязкость, источники и стоки, различный тип граничных условий.
Численное исследование устойчивости Lattice Boltzmann методов с помощью анализа Неймана.
Построение последовательного и параллельного алгоритмов Lattice Boltzmann метода, а также расчет оценок ускорения и эффективности для супервычислительной системы ТТИ ЮФУ.
Программная реализация построенных алгоритмов на языке С++ при поддержке: OpenMP для многоядерных компьютерных систем и MPI для кластера распределенных вычислений с возможностью графической визуализации результатов при помощи OpenGL.
Материалы и методы исследования. Описание гидродинамики производилось на основе уравнения Больцмана, для решения которого использовались дискретные аналоги в виде Single Relaxation Time и Multiple Relaxation Time Lattice Boltzmann моделей (далее SRT и MRT LBM). В данных моделях применяются явные схемы для расчета частичной функции распределения на каждом временном слое, а затем по функции распределения вычисляется давление (плотность) и скорость жидкости. Данные дискретные модели были эффективно распараллелены для:
1) кластерных систем декомпозицией по двум пространственным переменным;
2) многоядерных компьютеров с использованием равномерного распределения вычислений в узлах трехмерной сетки между ядрами.
Численные расчеты были реализованы на языке программирования С++ с использованием открытых библиотек параллельного программирования OpenMP и MPI. Результаты визуализировались при помощи открытой библиотеки OpenGL и анализировались в одной из написанных автором программ.
Научная новизна.
Развитие LB моделей ориентированных на математическое моделирование гидродинамических процессов, обеспечивающих выполнение основных законов сохранения на дискретном уровне.
Определение областей устойчивости LB моделей, гарантирующих сходимость вычислительных процедур для численного решения задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в зависимости от областей изменения входных параметров.
Эффективные параллельные алгоритмы численной реализации решеточного уравнения Больцмана для кластерных систем с распределенной памятью и для многоядерных систем с общей памятью и их теоретическое обоснование.
Достоверность научных положений и выводов обусловлена корректным построением и исследованием моделей и проведением численных экспериментов, а также сравнением результатов с известными тестовыми решениями и классическими решениями на основе уравнений Навье-Стокса.
Научная и практическая значимость работы.
Практическое применение полученной математической модели связано с моделированием экологических проблем, возникающих в реальных водоемах, а также прогнозирования их последствий. Комплекс программ, основанный на построенных математических моделях, позволяет производить расчет гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в исследуемых трехмерных областях произвольной геометрии, при заданных начальных и граничных условиях, внешнем воздействии для всевозможных параметров жидкости. Во время расчета одна из программ выполняет онлайн визуализацию картин течений в режимаx 2D и 3D отображения, что помогает в принятии решений и мгновенной оценке состояния в исследуемой области. Проведенное сравнение на примере тестовых задач результатов расчетов и эффективностей алгоритмов, полученных с помощью LBM и классических методов CFD, показало: разницу в 5% между полями скорости течения жидкости по одной из оцениваемых норм; превосходство LBM в быстродействии в 4-6 раз и более в зависимости от параметров задачи.
Результаты, выносимые на защиту:
1. Анализ и выбор граничных условий для методов класса LBM, обладающих свойством консервативности и обеспечивающих возможность проведения численного решения задач вязкой несжимаемой жидкости с погрешностью не более 2%.
2. Области устойчивости LBM, зависящие от компонент вектора скорости и множества времен релаксации дискретной модели построенного алгоритма, гарантирующие сходимость вычислительных процедур при проведении расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.
3. Параллельные алгоритмы решеточного метода Больцмана на основе: MPI технологии для кластерных систем с распределенной памятью; OpenMP технологии для многоядерных ПЭВМ с общей памятью и их теоретические оценки ускорения и эффективности.
4. Комплекс программ, предназначенный как для персональных многоядерных ЭВМ, так и для супервычислительных систем (например, кластер ТТИ ЮФУ), реализующий параллельный алгоритм расчета течений в заданной трехмерной области с помощью LBM и позволяющий отслеживать в режиме онлайн картины течений.
Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах:
VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов, Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. ТРТУ, Таганрог, 19-20 октября 2006.
Международная научно-техническая конференция. Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы (24-29 сентября 2007, пос. Дивноморское, Геленджик, Россия).
V Всероссийская научная конференция «Экология 2009 – море и человек» (16-18 сентября, 2009, Таганрог, Россия).
V Международная конференция по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (1-5 июня 2009, Ростов-на-Дону).
III Международная научная конференция. СППМиММ-09. (2 – 7 февраля 2009 , Воронеж).
IX Всероссийская научная конференция молодых учёных, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление». ТТИ ЮФУ. (Геленджик, 2-4 ноября 2011).
Научные семинары кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ в 2008-2011 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, из них 4 статьи в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованный ВАК. Зарегистрирован программный продукт «Lattice Boltzmann method 3D for Basins (LBM 3D for Basins)» (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611337 от 16.02.2010 г.) в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 147 страницах, включает в себя 95 иллюстрации, 9 таблиц; состоит из введения, 5 глав, заключения и списка используемой литературы из 93 наименований.
Похожие диссертации на Математическое моделирование гидродинамических процессов на основе решеточных уравнений Больцмана
