Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель БСП и алгоритмы расчета кинетики реактора 13
1.1. Вывод и основные свойства модели 13
1.1.1. Интегральная форма модели БСП 17
1.1.2. Сопоставление с классическими моделями
1.2. Численная реализация модели БСП на основе интеграла Стилтьеса 19
1.3. Дискретизация интегральных уравнений модели БСП 24
1.4. Резольвента и оценка погрешностей 27
1.5. Квадратурные формулы скользящего интегрирования 29
1.6. Численная схема с учетом вырожденности ядра 34
1.7. Численная схема с учетом конечной памяти ПХЗН 35
1.8.0 зависимостях «мощность-реактивность» и «период-реактивность» 36
1.9. Интервальная оценка мощности 39
1.10. Распределенная модель БСП 40
Выводы 42
Глава 2. Организация вычислительных экспериментов с моделями БСП 44
2.1. Принципы построения информационно-моделирующей системы 46
2.2. Схема базы данных 50
2.3. Унифицированная процедура расчета процессов 51
2.4. Унификация модулей интегрирования 56
2.5. Унификация процедур расчета функций шага 58
2.6. Процедурная база знаний
2.6.1. Процедуры интегро-дифференциальной модели БСП 60
2.6.2. Процедуры интегральной модели БСП 63
2.6.3. Распределенная модельТРП 67
2.7. Библиотека стандартных процедур 69
Выводы
Глава 3. Анализ уравнений кинетики методом символьных вычислений 72
3.1. Вычисление характеристического полинома 74
3.2. Чувствительность характеристического полинома 78
3.3. Генерация канонической формы Фробениуса 85
3.4. Символьное вычисление передаточной матрицы реактора 88
Выводы 91
Глава 4. Уравнения реактиметра на основе модели БСП 94
4.1. Интегральное уравнение реактиметра 96
4.2. Реактиметр как фильтр 102
4.3. Прямая структурная форма реактиметра 105
4.4. Характеристики эквивалентного апериодического звена 112
4.5. Каскадная структурная форма реактиметра 116
4.6. Интервальная оценка реактивности
4.6.1. Уравнение баланса дисперсий для реактиметра 118
4.6.2. Интервальная оценка методом интегральных сумм 119
Выводы 122
Глава 5. Алгоритмы реакторно-физического эксперимента 125
5.1.0 возможных постановках экспериментов 126
5.2. Схемы идентификации ПХЗН 127
5.3. Идентификация ПХЗН методом стреляющего источника 131
5.4. Идентификация ПХЗН на критическом реакторе 134
5.5. Идентификация параметрических комплексов 136
5.6. Оценка подкритичности по зависимости «скорость-мощность» 140
5.7. Оценка подкритичности по асимптотическому среднему периоду 142
5.8. Шумовая идентификация ПХЗН 143
Выводы 147
Заключение 149
Список использованных источников
- Численная реализация модели БСП на основе интеграла Стилтьеса
- Унификация модулей интегрирования
- Символьное вычисление передаточной матрицы реактора
- Характеристики эквивалентного апериодического звена
Введение к работе
Актуальность
Оценка динамических характеристик ядерных реакторов на основе сравнительных расчетных и экспериментальных исследований эффектов реактивности является основным средством обоснования ядерной безопасности и управляемости реакторных систем. Такая роль реактивност-ных экспериментов сохраняется также для перспективных электроядерных и реакторно-лазерных систем. Поэтому совершенствование реакторно-физических (реактивностных) экспериментов в плане повышения точности, адекватности и оперативности всегда будет актуальным предметом исследования в физике реакторов и ядерной энергетике.
В качестве современных направлений и целей совершенствования реакторно-физического эксперимента можно указать следующие:
идентификация всех параметров кинетики реактора в рамках одной экспериментальной методики, в том числе в эксплуатационных режимах ЯЭУ;
исключение априорно задаваемых параметров кинетики, используемых в начальных условиях, при обработке экспериментов или закладываемых в конструкцию реактиметров;
сочетание расчетных соотношений из различных методик для уменьшения количества не-идентифицируемых параметров кинетики;
приведение моделей динамики к формам, содержащим экспериментально определяемые параметрические комплексы, оценки которых могут использоваться для проверки адекватности значений исходных параметров;
привлечение новых алгоритмов из различных разделов теории идентификации к задачам реакторно-физического эксперимента;
использование принципов теории подобия для упрощения структуры моделей;
формулировка экспериментальных схем в форме, допускающей привлечение методов математического планирования экспериментов и нетрадиционных статистических методик;
немаловажной остается задача уменьшения количества операций в программах сопровождения САУ ЯЭУ и реакторных экспериментов в реальном времени.
Эти вопросы сочетаются с задачами совершенствования вычислительного эксперимента, т.е. алгоритмов и расчетных моделей динамики реакторов. К таким задачам относятся, в частности:
оптимизация структуры модели и организации данных для упрощения алгоритмов, уменьшения числа операций и повышения точности;
внедрение методов интервального анализа для расчетов с гарантированной точностью;
— привлечение теории планирования экспериментов к организации вариантных расчетов;
параметризация вычислительных алгоритмов как средство их сравнительного анализа, оптимизации и унификации;
анализ чувствительности моделей к возмущениям параметров и начальных условий;
привлечение компьютерных символьных вычислений для получения «точных» алгебраических выражений динамических параметров ЯЭУ и функций чувствительности.
Перечисленные возможности совершенствования физических и вычислительных экспериментов требуют соответствующей модификации классических моделей, лежащих в основе экспериментальных и расчетных методик. В данной работе эти возможности рассмотрены применительно к дифференциальным и интегральным формам модели точечной кинетики ядерного реактора, записанной в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах {модель БСП), которая была использована в Физико-энергетическом институте при создании информационно-вычислительного комплекса Лаборатории нейтронно-физических исследований. Уравнения модели БСП можно рассматривать как результат применения теории подобия к уравнениям точечной кинетики реактора, как следствие некоторой формальной замены переменных или же получить эти уравнения, исходя из физических представлений.
Цели диссертационной работы
Разработка модели кинетики реактора в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах. Исследование математических и алгоритмических свойств модели.
Разработка алгоритмов идентификации для реакторно-физических экспериментов на основе модели БСП, позволяющих оценивать все параметры кинетики и выполнять адаптацию реакти-метров в эксплуатационных режимах ЯЭУ.
Разработка и анализ возможных схем реактиметров на основе модели БСП.
Алгоритмическая и программная реализация модели БСП для моделирования кинетики реактора методами численных и символьных вычислений.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.
Впервые предложена модель кинетики с негрупповым описанием процессов на запаздывающих нейтронах, исключающая априорные параметры из начальных условий, позволяющая точное вычисление функций Грина уравнений для запаздывающих нейтронов, не требующая конечно-разностной аппроксимации производных и снимающая проблему жесткости модели.
Предложены новые алгоритмы численного решения уравнений модели с привлечением интеграла Стилтьеса для интервальной оценки мощности и реактивности.
Впервые сформулированы алгоритмы скользящего интегрирования, позволяющие применить для решения интегральных уравнений кинетики квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности и не требующие определенной кратности числа узлов.
Предложены новые методики реактивностных экспериментов без привлечения априорных параметров, что позволяет более адекватно оценивать динамические характеристики ядерных реакторов.
Предложен ряд нетрадиционных схем реализации реактиметров, обеспечивающих адаптацию реактиметра, то есть идентификацию всех параметров кинетики, закладываемых в конструкцию реактиметра, в эксплуатационных режимах.
Разработан пакет программ на языке REDUCE для символьного расчета динамических характеристик реактора и их функций чувствительности.
Научно-теоретическую ценность представляют следующие результаты работы.
Применение интеграла Стилтьеса для решения дифференциальных уравнений.
Разработка квадратурных формул скользящего интегрирования (ФСИ).
Применением ФСИ для решения интегральных уравнений Вольтерры.
Применение теории фильтров к разработке цифровых реактиметров.
Авторегрессионные модели кинетики и схемы экспериментов на их основе.
Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем.
Предложенные в работе алгоритмы обеспечивают идентификацию всех параметров кинетики и адаптацию реактиметров в эксплуатационных условиях конкретного реактора. Тем самым существенно упрощается проблема обоснования и проверки адекватности моделей кинетики, используемых в САУ ЯЭУ и в реактиметрах.
Разработанные на основе модели БСП алгоритмы упрощают численное моделирование кинетики ядерных реакторов, уменьшая размерность модели и снимая проблему жесткости. Данные алгоритмы могут использоваться в различных задачах и программных комплексах моделирования динамики ЯЭУ.
Создан программный пакет «Точечная динамика», использующий технологию реляционных баз данных, что позволяет эффективно решать задачи организации вариантных расчетов, накопления результатов в обозримой форме, создания процедурных баз знаний, содержащих различные модели динамики ЯЭУ.
Продемонстрирован опыт организации и применения методов символьных вычислений для анализа моделей кинетики. Создан ряд программ, позволяющих генерировать аналитические зависимости динамических характеристик ядерных реакторов и их функций чувствительности к константам запаздывающих нейтронов.
Созданы библиографические, полнотекстовые, фактографические и процедурные базы данных по вопросам разработки реактиметров и динамики ЯЭУ.
На протяжении ряда лет программы сопровождения реактивностных экспериментов, разработанные на основе модели БСП, эксплуатировались в составе измерительно-вычислительных комплексов Лаборатории нейтронно-физических исследований ГНЦ РФ-ФЭИ.
На защиту выносятся:
Модель кинетики в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах в дифференциальной и интегральной формах (модель БСП).
Схемы реакторно-физических экспериментов на основе модели БСП.
Уравнения цифровых реактиметров на основе модели БСП. Алгоритмы реализации реакти-метра как адаптивного цифрового фильтра.
Алгоритмы и программы численной реализации модели БСП.
Алгоритмы и программы символьных компьютерных вычислений для анализа динамики реактора на основе модели БСП.
Информационно-моделирующая система «Точечная динамика» как прототип систем моделирования динамики в среде реляционных баз данных.
Личный вклад автора в получение результатов, изложенных в диссертации, состоит в выборе направлений исследований, разработке математических моделей, постановке и решении задач расчетно-экспериментального моделирования кинетики ядерных реакторов. Все теоретические и алгоритмические концепции, а также схемы реакторно-физических экспериментов и пакеты программ, описанные в работе, разработаны автором. Автор непосредственно участвовал в подготовке, проведении и обработке экспериментов, данные которых использованы для апробации предложенных в работе методик.
Апробация работы
Физические, математические и алгоритмические аспекты модели БСП, вопросы постановки экспериментов и реализации реактиметров на ее основе обсуждались на отраслевых семинарах по проблемам расчета ядерных реакторов (Обнинск, 1999-2006), по динамике и диагностике ЯЭУ (Обнинск, 1994, 2001), на 2-м Международном семинаре по космической ядерной энергетике, на международных симпозиумах по оптимизации вычислений [18-21]. По теме диссертации опубликовано 28 работ, в том числе 13 препринтов ГНЦ РФ-ФЭИ [1-13], 12 статей в отечественных и международных журналах и сборниках трудов [14-25], 2 обзора ЦНИИАтоминформа [26,27], 1 учебное пособие [28].
Достоверность полученных результатов подтверждается математическим анализом предлагаемых алгоритмов, сопоставлением с данными реактивностных экспериментов, сравнительными расчетами по программам численных и символьных вычислений.
Объем и структура работы
Работа состоит из введения, пяти глав, заключения с перечнем основных результатов работы и выводов, списка литературы из 212 наименований, изложена на 165 страницах машинописного текста, содержит 26 рисунков и 17 таблиц.
Численная реализация модели БСП на основе интеграла Стилтьеса
Расчет выполнялся по формулам (1.2.9, 1.2.10) с шагами, значительно превышающими максимальные шаги, допустимые по сформулированному выше (соотношение (1.2.12)) критерию близости верхней и нижней оценок интеграла (1.1.7). Отметим следующее: - переходные процессы в старших группах запаздывающих нейтронов завершаются (при данной величине т в (1.2.13)) к моменту стабилизации мощности; - относительная погрешность в старших группах выше (в силу большей величины постоянной распада); - построенные коридоры решения при указанных шагах по времени с приемлемой точностью представляют качественный ход процессов. Практическое уменьшение шага для сужения коридора может потребоваться только для получения однозначной трактовки состояния реактора, когда, например, нижняя оценка дает допустимое значение периода разгона, а верхняя указывает на его превышение.
Результаты интервальной оценки интеграла запаздывающих нейтронов приведены на рисунках 3,4. Ход мощности на рисунке 3 задан зависимостью (1.2.13) и, после 250-й секунды, зависимостью (1.2.15):
Для интегралов запаздывающих нейтронов на рисунке 3 приведена временная зависимость нижних сумм Дарбу-Стилтьеса. Отметим, что для каждого нуклида она практически не зависит от спектра нейтронов деления.
Интеграл запаздывающих нейтронов для различных нуклидов. Если рисунки 1,2 иллюстрируют длительность переходных процессов в отдельных группах запаздывающих нейтронов, то рисунок 3 отражает характер переходного процесса для запаздывающих нейтронов в совокупности. Еще более выразителен характер переходного процесса на запаздывающих нейтронах, представленный в зависимости от хода мощности, как показано на рисунке 4 для урана-235 в случаях теплового и быстрого спектров нейтронов деления.
Интервальные оценки интеграла запаздывающих нейтронов Ширина коридора интервальной оценки составляет доли процента относительно средней арифметической верхней и нижней оценок. То есть, при использованном здесь шаге переходной характеристики в 1с, верхняя и нижняя оценки интеграла запаздывающих нейтронов практически совпадают. Сравнение описанной методики с классическими алгоритмами решения уравнений точечной кинетики необходимо вести в двух направлениях. Во-первых, следует сопоставить известные методы применительно к предложенной модели, и, во-вторых, рассмотреть интегрирование по Стилтьесу для решения различных задач кинетики. Наиболее полные обзоры численных методов решения уравнений точечной кинетики ядерного реактора приведены у Хетрика и Колесова [62,12] (см также [1,74]). Здесь мы проведем сравнение только с обычной процедурой дискретизации уравнений кинетики, описанной, например, в обзоре [61]. В конечно-разностном представлении система (1.2.1) принимает вид
Сравнение формул (1.2.18, 1.2.19) с аналогичными соотношениями для классической системы уравнений кинетики, показывает, что использование переменных Sj, существенно упрощает структуру получаемых соотношений. Как видим, расчетная схема (1.2.18) эквивалентна нижней оценке (1.2.6) при интегрировании по Стилтьесу, отличаясь полиномиальной аппроксимацией экспоненциального множителя в (1.2.6). Последнее и обусловливает ее меньшую точность. Аналогичная потеря точности возникает и в других схемах конечно-разностной аппроксимации производной в уравнениях для процессов на запаздывающих нейтронах. Преимущество модели БСП достигается, таким образом, тем, что используются точные экспоненциальные решения (функции Грина) уравнений для процессов на запаздывающих нейтронах. Отрицательные показатели экспоненциальных решений исключают накопление ошибок. 1.3. Дискретизация интегральных уравнений модели БСП
В данном разделе рассмотрены возможные общие схемы дискретизации модели БСП в форме системы интегральных уравнений Вольтерры (1.1.12) для мощности реактора n(t) и скорости изменения мощности v(t). Интегралы в уравнениях (1.3.1) имеют различные ядра. По этой причине в общем случае численное интегрирование уравнений должно выполняться по разным квадратурным формулам, которые будут связаны только общим множеством узлов интерполяции. Запишем дискретные аналоги уравнений (1.3.1), используя (1.3.2) (1.3.3) обобщенные квадратурные формулы: к v = - (AkJhkJ) v,+rknk + Qk + Rl " ="o+2X/-v, + /=0 м XAlk,) где Rnk, R4k - квадратурные остатки, а весовая функция hkJ равна hkl = 8} -е х
Обобщение состоит в применении квадратурных формул, определяемых интервалом интегрирования. Это означает, что при переходе к очередной точке tk (т.е. с получением дополнительной информации) все весовые коэффициенты AkJ, Вк1,1 = \,к, должны пересчитываться заново, возможно с изменением типа квадратурной формулы. Зависимость квадратурных формул от интервала интегрирования отражается двойной индексацией весовых коэффициентов AkJ, BkJ.
Унификация модулей интегрирования
Целевое назначение ИМС состояло в организации сравнительного анализа систем констант, моделей и алгоритмов с точки зрения точности, быстродействия, близости результатов и т.п. применительно к той или иной задаче. Таким образом, для указанной пользователем задачи система должна организовать перебор констант, моделей и алгоритмов и обеспечить обозримое, удобное для анализа представление результатов сравнительных расчетов.
Предпочтительную последовательность перебора заранее указать нельзя. Исходя из опыта подобных вычислительных экспериментов при расчете ядерных реакторов, можно считать, что системы нейтронных констант являются инвариантными объектами, поскольку они связаны с конкретными типами ЯР. Поэтому их подготовку целесообразно проделывать однократно, т.е. предусмотреть обращение к ним в самом внешнем цикле. Далее, поскольку понятие задачи здесь, вообще говоря, не конкретизировано, удобно отнести перебор алгоритмов и моделей на уровень задач, то есть ограничиться в главной процедуре только двумя циклами: внешним, -по системам констант, - и вложенным - по задачам. Таким образом, в данном контексте под задачей понимается как некоторая практическая проблема, например, расчет динамических характеристик конкретного аппарата, так и тестирование (в том или ином смысле) программной реализации того или иного алгоритма или модели (уравнений) на некотором наборе констант (параметров).
При сопоставлении различных систем констант или алгоритмов, а также, в некоторых случаях, и при проектных вариантных расчетах целесообразно предусматривать в таблице результатов поля для всех компонент используемых балансных уравнений. Например, применительно к интегральным уравнениям БСП соответствующая таблица должна включать поля верхних и нижних оценок для мощности (если последняя является расчетной величиной), реактивности, периода, логарифмической скорости и интеграла запаздывающих нейтронов, а также поля соответствующих характеристик погрешностей. Такая группа полей автоматически генерируется в таблице результатов для каждого расчетного варианта. Все системы констант запаздывающих нейтронов также целесообразно разместить в одной таблице, предусмотрев в ней стандартные поля, то есть идентификатор набора - (нуклид, спектр), номер группы, собственно константы и их погрешности, а также поля для однократно вычисляемых параметров, используемых затем в расчете, например, для экспоненциальных множителей е л или для коэффициентов характеристического полинома системы уравнений точечной кинетики. Сценарий организации вариантных расчетов в технологии баз данных стандартен [48] (см. также [83,118]). ИМС предоставляет пользователю перечень доступных для решения задач, а затем организует подготовку или корректировку таблиц расчетных вариантов, запрашивая у пользователя исходные данные, соответствующие выбранной задаче, и предоставляя для выбора стандартных данных справочные таблицы, содержащие перечень имеющихся систем констант и методов (процедур) обработки. На следующем этапе ИМС просматривает записи таблицы вариантов, формирует таблицы данных очередного варианта и передает их процедурам обработки.
Таким образом, ИМС обеспечивает минимизацию объема данных, запрашиваемых у пользователя, и избавляет его от необходимости контроля структуры и полноты данных и их соответствия вычислительным цепочкам.
Допустимость различных сочетаний исходных данных, систем констант и методов расчета ведет к быстрому росту числа расчетных вариантов. Простейшая задача комбинаторной оптимизации состоит в данном случае в минимизации таблиц расчетных вариантов, так чтобы полный расчетный вариант являлся элементом прямого произведения этих таблиц, и в упорядочивании перебора вариантов таким образом, чтобы не повторять заново генерацию многократно используемых массивов данных. Более сложная ситуация возникает, когда необходимо учитывать ограничения на сочетаемость данных, определяющих расчетный вариант, или когда допускается переменное число таблиц расчетных вариантов. Подобные задачи генерации вариантов, их размещения и адресации в реляционных таблицах с необходимостью приводят к использованию различных алгоритмов построения и реализации нумерующих функций [40-47,87-92].
На следующей странице приведен вариант головной процедуры ИМС, которая просматривает таблицу «Список систем констант», для каждой отмеченной пользователем комбинации «Нуклид»,«Спектр» выполняет запрос к таблице констант запаздывающих нейтронов, формирует массив постоянных распада и массив долей групп, а затем последовательно вызывает обрабатывающие процедуры, перечисленные в таблице - «Список задач». Если характер задачи не требует привлечения систем констант, то описанные действия пропускаются, и выполняется последовательный вызов сценариев, перечисленных в списке задач.
Символьное вычисление передаточной матрицы реактора
В данной главе рассмотрены некоторые методы и результаты анализа модели БСП средствами системы символьных вычислений REDUCE [126]. Возможность получить в алгебраической символьной форме динамические характеристики объекта представляет очевидный интерес, обеспечивая, в частности: повышение точности расчетов; параметрический анализ и оптимизацию; определение коэффициентов чувствительности в аналитической форме; анализ распространения погрешностей при численном моделировании; проверку эквивалентности моделей динамики различной размерности, их алгоритмического и аппаратурного воплощения.
Стимулом к проведению данных исследований послужили работы [127-131], в которых эффекты влияния констант запаздывающих нейтронов изучались путем сравнения результатов численного моделирования некоторых режимов динамики реактора при замене одной системы констант на другую. Очевидно, выводы и рекомендации, сделанные на основании таких расчетов, затруднительно применить к другим режимам реактора или к иным системам констант.
Основные результаты главы состоят в получении алгебраических зависимостей динамических характеристик реактора и их коэффициентов чувствительности от параметров запаздывающих нейтронов. Это позволяет: преодолеть известную проблему накопления ошибок при численном определении динамических характеристик (коэффициентов характеристического полинома, матриц фильтра Калмана, передаточных матриц и т.д.) для моделей большой размерности; выполнить прямую проверку эквивалентности различных систем констант запаздывающих нейтронов (в том числе с нетрадиционным числом групп) с точки зрения совпадения (в пределах погрешности) параметров динамических характеристик реактора.
Материалы главы изложены в работах [15,25-27]. Символьные алгоритмы применительно к реакторным расчетам не получили по ряду обстоятельств широкого распространения. Поэтому целью работы было как получение упомянутых выше результатов, так и иллюстрация специфики символьных вычислений, а также выработка рекомендаций по их выполнению.
В частности, символьные вычисления требуют надлежащей организации и предварительной подготовки структуры исходных данных, использования специальных приемов и конструкций в программе символьных вычислений, чтобы обеспечить представление результатов расчета в обозримой форме, пригодной для анализа и минимизирующей количество операций при последующей численной реализации. (В определенной степени введение модели БСП было обусловлено этими обстоятельствами.) Поэтому изложение ведется параллельно в традиционных терминах математических моделей и в терминах их программной реализации, так что необходимые соотношения записываются без особых оговорок или в обычных математических обозначениях или в виде операторов REDUCE. Приводятся тексты и фрагменты REDUCE-программ для расчета (применительно к модели БСП) стандартных динамических характеристик - передаточной матрицы, характеристического полинома, канонической формы Фробениуса. Описана программа генерации в символьной форме функций чувствительности коэффициентов характеристического полинома к вариации параметров запаздывающих нейтронов и приведены результаты численного расчета коэффициентов чувствительности для ряда наборов констант запаздывающих нейтронов.
Формат алгебраических выражений в REDUCE близок к формату языка PASCAL, поэтому выражения, полученные в результате символьных вычислений, после минимального редактирования можно включать в PASCAL-программы для выполнения численных расчетов. Более универсальным способом является вывод в формате FORTRAN-программы. Этот режим является одним из стандартных в REDUCE, так что система заведомо обеспечивает синтаксическую правильность генерируемых выражений Фортрана. В общем случае программным образом можно организовать вывод на любом языке. В разделе 3.4 описана, в частности, генерация файлов для системы MATHCAD. 3.1. Вычисление характеристического полинома
Вычисление коффициентов характеристического полинома позволяет записать систему уравнений кинетики в канонической форме Фробениуса (см. раздел 3.3), которая, в свою очередь, является основой для формулировки алгоритмов идентификации и анализа управляемости-наблюдаемости модели.
Система дифференциальных уравнений модели БСП (3.1.1) (3.1.2) ! A0 = -Vey f)+! 0, 4-ХО = -j Sj -Sjit) + r{f) n{t) + 0(0 содержит меньшее число параметров, чем классическая модель кинетики, и эти параметры входят в уравнения линейно. Эти особенности существенно упрощают символьные вычисления динамических характеристик модели. Для таких вычислений целесообразно представить систему (3.1.1-3.1.2) в матричном виде
Характеристики эквивалентного апериодического звена
Форма частотных характеристик интеграла запаздывающих нейтронов, типичный вид которых приведен на рисунках 12 и 13, указывает на их подобие характеристикам апериодического звена с коэффициентом усиления, равным эффективному времени жизни нейтронов и постоянной времени г0 = \1сос, где частота среза сос вычисляется согласно известному свойству фазо-частотной характеристики апериодического звена: (р[сос) = -ж1А, то есть как решение уравнения arctg[V(o)c)/U{(oc))+7t/4 = 0, где U,V- вещественная и мнимая частотные характеристики (4.2.8), соответствующие передаточной функции (4.2.6). Для практического определения постоянной времени и оценки её чувствительности к параметрам запаздывающих нейтронов это уравнение удобно записать в эквивалентной форме F(U , Д 2) Ща ) + Via) = 0. (4.4.2) Оценка погрешности коэффициента усиления по формуле чувствительности первого приближения равна «-Zfto + «,). (4.4.3) где символом 8 обозначены относительные погрешности. Соответственно, оценка дисперсии равна = А2Г, + І (АГІА4 Arj %-(Wj+aj\ (444) где E - оператор усреднения. Для практических расчетов используются табличные значения стандартных отклонений AfiJtAXj. В частности, при некоррелированных погрешностях оценка дисперсии (4.4.4) равна . J 1 ( , АгХ. (4.4.5) MAj\ Ai J
В настоящее время ковариационные матрицы для параметров запаздывающих нейтронов в справочных данных не приводятся [170]. Поэтому для оценки всех ковариаций ЕІАу у в (4.4.4) необходимо располагать совокупностью «первичных» замеров каждого параметра у г В качестве таковых можно взять данные из доступных систем констант запаздывающих нейтронов. Тогда можно оценить средние и ковариаций по формулам E(Ay,Ayj) = E[(yt -у,)(у; -yjj), fj = Е(у;).
Альтернативный более трудоемкий путь состоит в статистическом моделировании множества возможных значений у} в соответствии с некоторым предполагаемым распределением погрешностей (например, равномерным или нормальным), параметры которого выражаются через табличные значения констант /?; Д; и средних квадратичных отклонений Apj,AXj.
Для оценки погрешности частоты среза сос необходимые соотношения получаются из условия равенства нулю вариации функции (4.4.2) на траектории корня сос в пространстве параметров: cF(a),p,X) _ AJ-} CF(U),P,X)_PJ\(0) + XJ 2Л ) Я, Формула дисперсии получается из (4.4.6) аналогично выводу формулы (4.4.7), то есть из условия D(F) = 0 на траектории корня сос в пространстве параметров. Без учета корреляционного слагаемого она выглядит следующим образом
Коэффициент усиления (4.4.1) имеет смысл эффективного времени жизни нейтронов. Его значения, вычисленные на основе констант Кипина для урана и плутония, приведены у Хетрика [62]. В таблице 15 они воспроизведены с добавлением данных по другим нуклидам и оценок погрешностей. Относительные погрешности здесь определены как о-р/р, где р - оцениваемый параметр. Средние квадратические отклонения ст вычислялись без учета корреляции погрешностей на основе полученных выше формул. В таблице 15 приведены также соответствующие постоянные времени Т0=1/й)с. г Таблица 15. Параметры эквивалентного апериодического звена для интеграла запаздывающих нейтронов
Нуклид Спектр нейтронов деления Эффективноевремя жизни,с Отн.погр.эфф.временижизни,% Постоянная времени, с Отн. погр. постоянной времени,%
Описанное построение эквивалентного апериодического звена дает еще один способ перехода к модели точечной кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов в дополнение к известным схемам [62,114,131]. Его можно назвать методом эквивалентирования в частотной области, поскольку используется условие близости характерных параметров амплитудно-фазовых частотных характеристик интеграла запаздывающих нейтронов в многогрупповом и одногрупповом представлениях. Одногрупповое уравнение (4.3.4) имеет вид yk = avk+byk.l ,а = ТК/Лт0, Ъ = е т\
В сочетании с уравнением (4.3.5) отсюда получаем схему численного моделирование кинетики в форме v =[rknk -%.,« ., -vt.,+ a-,) + a]/(l + o), (4.4.7) общий случай которой проанализирован в главе 1.
Уравнение (4.4.7) можно записать как рекуррентное уравнение реактиметра или трактовать его как уравнение авторегрессии, для оценки коэффициентов которого применимы известные методы [190]. При этом предпочтительны различные варианты скользящей оценки, позволяющей контролировать стабильность коэффициентов (и, следовательно, адекватность модели) на всем интервале измерений.
Чтобы задать коэффициенты каскадной рекурсивной формы (4.2.4), которая минимизирует собственные шумы фильтра, достаточно вычислить нули 9j передаточной функции - корни полинома P(s,a) в числителе (4.2.3). Полюсы передаточной функции в данном случае известны и равны постоянным распада. Нули передаточной функции, вычисленные на основе констант Кипина, приведены в таблице 16.
Похожие диссертации на Моделирование кинетики ядерных реакторов на основе уравнений для безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах
