Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор исследований, связанных с математическим моделированием кинетики сталкивающихся частиц 12
1.1 Исследование процессов, приводящих к столкновениям частиц 12
1.2 Уравнения больцмановского типа. Уравнение Смолуховского 16
1.3 Метод Монте-Карло 19
1.4 Имитационные методы решения уравнений больцмановского типа 21
1.5 Выводы по главе 26
2. Случай больцмановского газа, приводящий к уравнению коагуляции смолуховского 27
2.1 Простой разреженный газ, модель твердых сфер 27
2.2 Переход от уравнения Больцмана к уравнению коагуляции Смолуховского 31
2.3 Задача Коши для пространственно однородного уравнения коагуляции без источника 34
2.4 Сходимость разностных схем к решениям уравнения Смолуховского в пространственно однородном случае 38
2.5 Статистическое моделирование процесса пространственно однородной парной коагуляции 41
2.6 Вычислительный эксперимент по отысканию связи решений уравнения Больцмана с имитацией столкновений
молекул в разреженном газе 50
2.6.1 Моделирование эксперимента при наличии единственного энергетического уровня в начальный момент времени 50
2.6.2 Многоуровневое моделирование процесса парной коагуляции методом Монте-Карло 54
2.7 Выводы по главе 60
3. Математическое моделирование пространственно неоднородной коагуляции 62
3.1 Пространственно неоднородная коагуляция 62
3.2 Пространственно неоднородное уравнение коагуляции Смолуховского 64
3.3 Сходимость разностных схем к решениям уравнения Смолуховского в пространственно неоднородном случае 66
3.4 Статистическое моделирование процесса пространственно неоднородной коагуляции методом Монте-Карло 68
3.5 Вычислительный эксперимент, подтверждающий сходимость алгоритма прямого моделирования 71
3.5.1 Сравнение результатов алгоритма прямого
моделирования с аналитическими решениями 71
3.5.2 Сравнение результатов алгоритма прямого
моделирования с численными решениями 79
3.6 Выводы по главе 88
Заключение 90
Литература
- Уравнения больцмановского типа. Уравнение Смолуховского
- Переход от уравнения Больцмана к уравнению коагуляции Смолуховского
- Статистическое моделирование процесса пространственно однородной парной коагуляции
- Сходимость разностных схем к решениям уравнения Смолуховского в пространственно неоднородном случае
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию двух физических явлений, связанных с кинетикой сталкивающихся частиц: случай больцмановского газа, приводящий к пространственно однородному уравнению Смолуховского, пространственно неоднородная коагуляция в дисперсных системах.
Для исследования данных явлений используется прямое имитационное моделирование на уровне отдельных молекул, основанное на методе Монте-Карло.
Объектом исследования диссертационной работы являются сложные системы взаимодействующих между собой частиц в процессе их движения. Предметом исследования являются кинетические системы, численные и имитационные методы моделирования процессов переноса вещества в дисперсных системах.
Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью тестирования и обоснования прямого имитационного моделирования для решения задач, связанных с процессами переноса вещества в системах сталкивающихся частиц, установления связи прямого моделирования с уравнениями Больцмана и Смолуховского.
Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в авиационной и космической технике, вакуумной технике, химической технологии. Уравнения гидро- и газовой динамики обладают уникальной универсальностью в том смысле, что они описывают основные физические процессы большинства современных технологий и экологических проблем от производства элементной базы микроэлектронной промышленности до переноса токсических компонентов воздушными потоками. Потребность в гидро- и газодинамических расчетах возрастает еще и потому, что по мере развития численных методов и бурного прогресса вычислительной техники увеличиваются возможности математического моделирования газодинамических процессов, и как следствие рост доверия инженеров и конструкторов к результатам вычислительного эксперимента. Помимо внешних стимулов со стороны промышленности неослабевающий интерес к развитию вычислительной гидро- и газовой динамики поддерживается и внутренней логикой научного исследования этой интереснейшей с точки зрения развития механики, прикладной и общей математики проблемы [6].
Интерес к процессу коагуляции обусловлен исследованиями в метеорологии, экологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Напрямую с явлениями коагуляции связаны процессы роста трещин в структуре материалов за счет их взаимных пересечений. Это имеет прямое отношение к задачам динамики разрушения деталей. Процессы коагуляции лежат в основе явлений полимеризации, створаживания, свертываемости крови.
Важность прямого имитационного математического моделирования для расчета систем сталкивающихся частиц обусловлена тем, что необходимо иметь соответствие между решениями уравнения Больцмана и распределением частиц в реальных физических системах. Возможно проведение сравнительного анализа результатов имитационного моделирования с точными решениями и решениями, полученными с помощью разностных схем. При этом большое значение имеют правила подготовки спектров имитационного моделирования для последующего сравнения с точными решениями.
В настоящее время найдены точные решения уравнения Больцмана для сравнительно простых случаев малых градиентов температуры, скорости и концентраций в газе. Существуют ситуации, когда уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое имитационное моделирование процессов коагуляции имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.
Целью данной работы является разработка алгоритмов, реализация программного обеспечения и проведение вычислительных экспериментов прямого имитационного моделирования систем сталкивающихся частиц для специального случая одноатомного больцмановского газа и случая пространственно неоднородной коагуляции дисперсных систем.
В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:
Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для расчета специального случая больцмановского газа, приводящего к пространственно однородному уравнению Смолуховского.
Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для расчета пространственно неоднородной коагуляции частиц, описываемой уравнением Смолуховского.
Исследование пределов аппроксимации прямого имитационного моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана.
Обоснование и сравнение точности тестовых расчетов результатов имитационного моделирования процесса парной коагуляции с точными решениями.
Методами исследования являются:
Вычислительный эксперимент
Проведение тестирования вычислительного эксперимента
Основные положения, выносимые автором на защиту:
Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели поведения больцмановского газа для одноуровневого и многоуровневого взаимодействия частиц. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.
Проведение вычислительного эксперимента на основе прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.
Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого имитационного моделирования специального случая больцмановского газа, приводящего к пространственно однородному уравнению Смолуховского.
Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого имитационного моделирования процесса парной коагуляции в пространственно неоднородном случае без источника.
Достоверность научных положений, выводов. Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-математических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравнительного анализа с точными решениями и физическим экспериментом.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения молекул газа по кинетическим энергиям с точными решениями пространственно однородного уравнения Смолуховского и решениями, полученными с помощью разностных схем.
Проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными аналитическими решениями пространственно неоднородного уравнения Смолуховского и решениями, полученными с помощью разностных схем для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных.
Исследована новая математическая модель больцмановского газа, основанная на применении метода прямого имитационного моделирования.
Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования поведения специального случая одноатомного больцмановского газа, в котором молекулы представляют собой твердые сферы, и парные соударения молекул происходят под прямым углом.
Обоснована математическая корректность исследуемой модели больцмановского газа, приводящей к модели парной коагуляции кинетических энергий соударяющихся частиц.
Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции без источника при наличии дисперсии скоростей свободного переноса частиц, основанная на применении метода прямого имитационного моделирования.
Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника.
Практическая значимость работы состоит в следующем:
Проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по кинетическим энергиям и массам с точными решениями уравнения Смолуховского и численными решениями, полученными с помощью разностных схем. Это дает более точное и глубокое понимание смысла решения уравнения Смолуховского для пространственно однородной и неоднородной модели.
Реализованная имитационная модель больцмановского газа может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле.
Алгоритм прямого имитационного моделирования пространственно неоднородной коагуляции и программное обеспечение может быть использовано для моделирования роста трещин в структуре материалов, моделирования роста кристаллов.
Личный вклад автора. Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:
Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями уравнения Больцмана для специальной модели разреженного газа в случае одноуровневого и многоуровневого взаимодействия молекул.
Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для широкого класса интенсивностей взаимодействия и начальных данных.
Детальный сравнительный анализ полученных результатов с точными решениями уравнения Смолуховского.
Алгоритм прямого имитационного моделирования и программная реализация на ЭВМ математической модели специального случая больцмановского газа, приводящего к коагуляции кинетических энергий соударяющихся частиц.
Алгоритм прямого имитационного моделирования и программная реализация на ЭВМ процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах без источника частиц.
Публикации. Основные публикации по теме диссертации:
Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Случай больцмановского газа, приводящий к уравнению коагуляции Смолуховского // ЖВМ и МФ, 2006, Т. 46, №3, С. 535-547.
Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Математическое моделирование кинетики коагуляции //Математическое моделирование, 2006, Т. 18, №1, С. 99-116.
Галкин В. А., Забудько М. А., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкина И. В. Математическое моделирование процессов роста агломератов // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2005, Вып. 8, С. 31-35.
Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Математическое моделирование кинетики пространственно неоднородной коагуляции // Сборник трудов 6-й Международной конференции «Рост монокристаллов и тепломассоперенос (ICSC 2005)», Обнинск, 25-30 сентября, 2005. - Т. 3, С. 612-621.
Осецкий Д. Ю. Разработка программного комплекса для математического моделирования кинетики коагуляции // Сборник научных работ лауреатов областных премий и стипендий. Выпуск 1.-Калуга: КГПУ им. К. Э. Циолковского, 2005. С. 171-177.
Галкин В. А., Забудько М. А., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкина И. В. Математическое моделирование процессов роста агломератов в приближения Смолуховского и Власова-Лиувилля-Смолуховского // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2005, Вып. 1(28), С. 67-74.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались диссертантом на следующих научных конференциях и семинарах:
8-я Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», г. Обнинск, 6-8 октября 2003 г.
6-й Международный конгресс по математическому моделированию, г. Нижний Новгород, 20-26 сентября 2004 г.
2-я международная конференция «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания», г. Обнинск, 26-29 ноября, 2004 г.
8-й Международный семинар «Структурные основы модифицирования материалов методами нетрадиционных технологий (MHT-VIII)», г. Обнинск, 14-18 июня 2005 г.
6-я Международная конференция «Рост монокристаллов и тепломассоперенос (ICSC 2005)», г. Обнинск, 25-30 сентября 2005 г.
6. 9-я Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», г. Обнинск, 24-28 октября 2005 г.
Выполнение исследований в рамках настоящей работы было поддержано грантом РФФИ, код проекта 05-01-00688(A).
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 95 страницах, в том числе основного текста 91 страница, 13 рисунков, список литературы из 50 наименований на 4 страницах.
Уравнения больцмановского типа. Уравнение Смолуховского
Эволюция физических систем, состоящих из статистически большого количества сталкивающихся в процессе движения элементов, моделируется пространственно неоднородным уравнением больцмановского типа [6]: М + divz(u u kz,t)) = sM(uU(z,t)) dt z (1.1) COED., tER , ZERjy, где подлежащая отысканию функция u (z,t) описывает состояние физической системы в момент времени t 0 в точках с пространственными координатами z = {z\,...,zj ). Множество параметров {co} = Q описывают возможные состояния элементов физической системы. величины L Є Rtf определяют скорость движения элементов физической системы между столкновениями, т.е. скорость свободного переноса.
Если положить, что со - это масса частиц системы, то в случае непрерывных масс QeRi оператор Смолуховского S - (ic- (z,t)), стоящий в правой части уравнения (1.1) имеет вид: S \u \zJ)) = -%(co-co[,col)uiM \t)ui \t)dcoi 0 оо (L2)
В случае дискретных масс Q = N, а оператор Смолуховского, стоящий в правой части уравнения (1.1), определяется соотношением: , a -\ Щ При выводе уравнения (1.1) Смолуховский полагал, что u {z,t) есть фактическое число частиц в момент времени / 0, обладающих массой со, и находящихся в элементе пространства dz. Статистическое обоснование уравнения коагуляции, как это будет показано в главах 2 и 3, указывает на то, что функция u zj) имеет вероятностный характер. Смысл искомой функции объясняется в работах [7,8,10,11,20]. Для сравнения экспериментальных данных и полученных решений уравнения Смолуховского требуется точное понимание физического смысла функции іга\г,і).
Обратимся к оператору столкновений Смолуховского (1.2). Ядром этого уравнения является функция Ф{со,со{), которая полагается известной. Ее вид определяется конкретным типом физического механизма, приводящего к столкновению частиц в системе. Для определения Ф(со,сО[) необходимо решить самостоятельную физическую задачу. Следует отметить, что наличие или отсутствие классического решения уравнения Смолуховского зависит от свойств ядра Ф(со,соі).
В случае ограниченного ядра существование классического решения уравнения Смолуховского было доказано в [22]. При отсутствии классического решения уравнения Смолуховского пользуются теорией обобщенных решений дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, изложенной в [23]. Но есть случаи, когда у уравнения Смолуховского нет не только классического, но и обобщенного решения. Тогда можно воспользоваться теорией функциональных решений, изложенной в [24].
Для математического исследования нелинейного уравнения больцмановского типа (1.1) не существует на сегодняшний день прямых методов, которые приводили бы к точным аналитическим решениям. За прошедшие десятилетия создано и развито несколько численных методов решения кинетического уравнения типа Больцмана. Особое место среди этих методов занимают методы статистических испытаний, основанные на применении методов Монте-Карло.
Методы статистического моделирования, или методы Монте-Карло, находят все более широкое применение. Сфера приложения этих методов весьма разнообразна. Это - перенос излучения, ядерная физика, теория массового обслуживания, химия, биология и т.д. Свидетельством большого интереса к этим методам, к их развитию является выход в свет за последние десятилетия целого рода ряда монографий и сборников, посвященных теории и приложениям метода Монте-Карло [8, 10, 12, 19].
Дадим краткую характеристику методу Монте-Карло и рассмотрим подробнее методы статистических испытаний, в особенности, метод прямого имитационного моделирования.
Переход от уравнения Больцмана к уравнению коагуляции Смолуховского
Физические системы, состоящие из статистически большого количества сталкивающихся в процессе движения элементов, описываются пространственно неоднородным уравнением больцмановского типа [12]: dt к v " (2.9) coeQ, teRi, zeRN, где подлежащая отысканию функция u (z,t) описывает состояние физической системы в момент времени / 0 в точках с пространственными координатами z = {z\,...,zj ). Множество параметров {со} = С1 описывают возможные состояния элементов физической системы. В уравнении (2.9) мы полагаем, что неотрицательная величина CD - это кинетическая энергия частицы системы. Величины іг6 є і?дг определяют скорость движения элементов физической системы между столкновениями, т.е. скорость свободного переноса.
При построении математической модели процесса соударений частиц на систему налагают следующие предположения физического характера [1]:
1. система состоит из твердых сфер, испытывающих абсолютно упругие столкновения;
2. физическая система настолько разрежена, что можно рассматривать лишь парные взаимодействия, а более высокого порядка взаимодействиями пренебречь;
3. частицы физической системы образуют локально хаотическое множество. Пусть в объеме V(N) рассматривается система из N частиц, имеющих значения кинетической энергии во множестве неотрицательных чисел.
Занумеруем частицы натуральными числами и будем рассматривать пространственно однородную модель, тогда состояние системы в момент времени t 0 полностью задается вектором скоростей частиц v = (uhu2,...,vN).
Предположим, что частицы хаотически движутся, испытывая абсолютно упругие парные соударения. В случае столкновения между двумя одинаковыми твердыми сферами соотношения, которые связывают скорости после — — — — столкновения щ и щ со скоростями до столкновения Ufc и щ, принимают вид: I »к = -11511(5.-) Pi =vi-\\q\\(q,vk-vi), (2.10) \ k l N где q единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей центры сфер в момент столкновения, что соответствует центральному взаимодействию, ориентация вектора q не имеет значения.
Преобразование скоростей (2.10) в точности соответствует модели абсолютно упругого взаимодействия одинаковых твердых сфер и получено из законов сохранения импульса (2.1) и энергии (2.2).
Будем рассматривать только те столкновения, для которых векторы соударяющихся частиц ориентированы ортогонально друг другу. Будем полагать, что вектор q в момент соударения сонаправлен с одним из векторов скоростей налетающих частиц. Таким образом, учитывая сделанные предположения относительно сталкивающихся частиц и приняв во внимание (2.10), получим, что в рассматриваемой модели каждый акт взаимодействия приводит к тому, что одна из частиц, участвующая во взаимодействии, останавливается и теряет свою кинетическую энергию, а другая - приобретает суммарную кинетическую энергию налетающих частиц и продолжает свое движение. На (рис 1.1) показана схема размещения частиц - биллиардных шаров в фазовом пространстве скоростей.
Таким образом, мы имеем полную аналогию с явлением коагуляции (слияние масс), только в нашем случае речь идет о коагуляции частиц в смысле коагуляции кинетических энергий этих частиц. В дальнейшем изложении под коагуляцией мы будем подразумевать именно такой вариант «слияния», при котором коагулируют не сами частицы, а их кинетические энергии.
Принятой математической моделью процесса коагуляции при N —» оо, F(JV)- оо является кинетическое уравнение Смолуховского [1, 30]. Если предположить, что кинетические энергии системы в начальный момент времени имеют значения т = кт\,к eZ+,m\ 0, то вышеуказанные акты коагуляции пар частиц не выводят значения кинетических энергий образующихся частиц из этого множества. Ниже без потери общности будем полагать т\=\. Обозначим щ{ї) концентрацию частиц кинетической энергии к є N в момент времени t О, Ф# / - интенсивность коагуляции частиц с энергиями киї, при этом Фд. / = Ф/ О. Значения оператора столкновения
Смолуховского Бф , задающие скорость изменения концентраций {щ} =\, определим соотношением 1+г=к /=1 Пусть в - функция Хевисайда, %м № к) при М є N и % = l. Положим %,Ф(") = Х Ф ( М«О, MeN Формально включим оператор ф в однопараметрическое семейство def операторов 5д/ф, 1 М оо, полагая Б ф = ф. Будем рассматривать однопараметрическое семейство уравнений
Статистическое моделирование процесса пространственно однородной парной коагуляции
Перейдем к рассмотрению статистического моделирования процесса парной коагуляции (метод Монте-Карло) [12]. Пусть V(N) = NeN. Положим, что каждой частице присвоен номер /(\ i N) и она имеет в момент времени
О кинетическую энергию ти,- є Z+. Таким образом, кинетическая энергия системы из N частиц задается вектором m(t) = (mi(t),m2(t),... m (t))eZ . Определение 3. Назовем коагуляцией пары частиц с номерами / и j (l i j N) в системе из N частиц, находящейся в состоянии m(t) = (mi(t),ni2(t),...,m (t)) єZ , преобразование Ajj :mv- m = Ajj(m) єZj такое, что m v- m , если k&i,j, и w/ ь- mz- + m,-, т,-\- 0. Очевидно, для каждого преобразования Afj выполнен закон сохранения кинетической энергии N N , Zm =Лтк к=\ к=\
Паре сталкивающихся частиц с номерами i,j (і j) в рассматриваемой системе взаимно однозначно сопоставим подстановку %j = ґ\, 2,..., і -1, і, і +1, ...J -1, j, j +1,..., J\0 1,2,..., і -1, у, і +1, ... J -1, /, j +1,..., JV, множество которых обозначим S2(N). Очевидно, card(S2(N)) = Cj . Пусть пара сталкивающихся частиц разыгрывается в каждый момент времени tn = пт, т О, на основе независимого выбора одной из подстановок ті є ,(N) с вероятностью Сдг
Тем самым в рассматриваемой системе из N частиц моделируется хаос, приводящий к парным столкновениям частиц. Пусть в каждый момент времени tn=nv,T 0, рассматриваются независимые случайные величины я(і), принимающие значения на S C O- Запись /г(/) = ;г/, означает, что в момент времени t сталкиваются частицы с номерами i j. Положим A(7t(t))-A j, если 7t(t) = 7tij\ обозначим Е - тождественное преобразование. Определим случайную величину 77/,-, i j, принимающую два значения - 0 и 1, где 1 означает коагуляцию сталкивающихся частиц с номерами i j, а 0 отсутствие коагуляции этих частиц.
Положим, что вероятность столкновения частицы энергии к с частицей энергии / равна T{N)(N-\) bKl \, где функция Фд. / называется интенсивностью взаимодействия и подчиняется следующему условию: %,/=Фа о, k,iez+ Ф0д=0, keZ+, (2.16) def Величину т = T(N) назовем временем столкновения и подчиним соотношению 0 г -.—г-. (2.17) ( -1)ІФ2І0 Определим случайные величины /,/(0 условной функцией распределения, полагая J = {d\,...,djq) є і?дг /%;(/) = 11 m(t) = d) = T(N)(N - V)Odhdj, P{%j{t) = 01 «(f) = d) = \- T(N)(N - \)Q ditdj. (2 18) Акту парного соударения частиц в течение промежутка времени ( и и+і) п+\= п+т ПРИ выборе подстановки r(tn)eS2(N) соответствует следующее правило преобразования вектора состояния m(t)eZ системы взаимодействующих частиц: m(tn) - &п) = Е Ях9х(1я№и(1пЖя( „)) + (1 - %j(tn))EMtn) (2.19) \ i j N Пусть Пґ - конечное множество элементарных исходов для случайного вектора m(tn) є Zjy, а события составляют всевозможные подмножества 2 п в Q, . Пусть /J - вероятность на Q, , задаваемая формулой def шєВ Определим для каждой компоненты вектора m{tn), (\ i N) функцию распределения
Доказательство теоремы 2.3 [12] является следствием теоремы 2.2 и леммы 2.4. Следствие. При выполнении условий теоремы 2.1 решение задачи Коши (2.12), (2.13) u(co,t) для уравнения Смолуховского (М = со) является пределом последовательности средних концентраций (2.23), полученных методом прямого моделирования (Монте-Карло) (2.16)-(2.22) при последовательных предельных переходах: сначала N -» оо, а затем М —> со.
Это утверждение справедливо в силу теоремы 2.3 и свойства сходимости приближений W(M,*)—)-1^(00^) ПРИ М —»со (теорема 1).
Тестирование метода Монте-Карло (2.16)-(2.22) проведено в [32] для различных видов интенсивностеи взаимодействия и начальных данных посредством сравнения с точными решениями задачи Коши и решениями, полученными с помощью разностной схемы (2.15). Данные вычислительных экспериментов указывают на достаточно быструю сходимость приближений к точным решениям при N ~ 200.
Рассмотрим двумерный случай на плоскости, полагаем, что частицы полностью заполняют пространство, т.е. V(N) = N. Все частицы занумеруем числами 1, 2, ...,N, также будем считать, что все частицы обладают одинаковым модулем скорости и, и, соответственно, имеют тождественные значения кинетической энергии. Распределение векторов скоростей частиц в момент времени / = 0, подчиним следующему правилу:
Сходимость разностных схем к решениям уравнения Смолуховского в пространственно неоднородном случае
Рассмотрим математическую модель процесса парной коагуляции в дисперсной системе, состоящей из вязкой среды, в которой вдоль оси Ox = {xeR} под действием внешней силы с постоянной скоростью движутся частицы, которые состоят из объединений мономеров, имеющих массу ju\ 0 [1]. Частицу, порожденную объединением і мономеров (т.е. ее масса равна щеЫ), будем для краткости именовать «z-мер». Пусть скорость движения /-мера равна щу а при столкновении пары частиц происходит их слияние в единый конгломерат, состоящий из суммарного количества мономеров обеих частиц (коагуляция). Для описания эволюции концентраций /-меров ft=f{i,x,t) в такой системе используется кинетическое уравнение Смолуховского ./=1 ./=1 ГДЄ Ф,- , =(7: :\Uj-D Л - ИНТЄНСИВНОСТЬ СЛИЯНИЯ / И j- МерОВ, 7/ / - СЄЧЄНИЄ захвата, являющееся симметричной, неотрицательной функцией на NxN. Оператор столкновений, определяемый правой частью уравнения (3.1), обозначим Sj(f), / = {//}/єдг- Первое слагаемое в S\(f) считаем по определению равным нулю. Выражение для Sj(f) задает локальный баланс между рождением / -меров из-за слияния i — j и j -меров и уничтожением / -меров. Оператор столкновений определяет локальный закон сохранения количества вещества, заключенного в частицах, состоящих из конечного числа мономеров, ибо для финитных наборов концентраций / справедливо равенство
Для уравнения (3.1) рассматривается задача Коши с начальными данными /0 ,лг,0) = (д:) 0, XER, /EN (3.2) При построении математической модели процесса коагуляции на дисперсную систему налагают следующие предположения физического характера [2]: 1. частиц достаточно большое число, чтобы можно было применить функцию распределения частиц по массам; 2. дисперсная система настолько разряжена, что можно рассматривать лишь парные взаимодействия частиц, а более высокого порядка взаимодействиями пренебречь; 3. частицы дисперсной системы образуют локально хаотическое множество; 4. наличие дисперсии скоростей свободного переноса.
Пространственно неоднородное уравнение Смолуховского является примером уравнения болыдмановского типа. Предлагаемая ниже разностная схема для приближенного решения в случае такого класса уравнений позволяет установить корректность задачи Коши с ядрами взаимодействия частиц и начальными данными, представляющими интерес для физики реальных процессов [1].
Рассмотрим задачу Коши: си (X,l) + L{u) = g(a )(M(a.)(jC) ))) ffleQ] teR+t xRnt (33) 7=1 J u\t=Q=u0. (3.4) с оператором S больцмановского типа, определяемым правой частью уравнения (3.3). Следующая разностная схема [2] задает приближенный метод для решения задачи Коши (3.3), (3.4): Перейдем к рассмотрению статистического моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции (метод Монте-Карло) [8]. Пусть в начальный момент времени / 0 рассматривается система из N частиц, находящихся на отрезке [0,L]eRi. Положим, что каждой частице присвоен номер i(\ i N), и она имеет в момент времени t О, находясь в точке х/ 0 одномерного пространства Хє[0,], массу rrii(t)eZ+ и скорость u(w/(0)eZ+. Пусть vm{n=mmVi,ie\...N. Выберем шаг по пространству h и шаг по времени г, исходя из следующих соображений.
