Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Взаимодействие двухфазной среды с магнитным полем
1.1. Постановка задачи о вычислении силы, действующей на ве сферические частицы в вязкой жидкости в еоднородном магнитном поле 12
1.2. Взаимодействие двух частиц в однородном магнитном поле 18
1.3. Взаимодействие двух частиц в линейном магнитном поле 24
1.4. Решение асимметричной задачи 28
1.5. Сила, действующая на частицы в неоднородном магнитном оле с учетом парных взаимодействий 31
1.6. Движение частиц в вязкой жидкости в днородном магнитном поле 35
1.7. Движение частиц в вязкой жидкости в еоднородном магнитном поле 42
ГЛАВА 2. Моделирование гидродинамического взаимодействие частиц в нестационарных отоках жидкости
2.1. Постановка задачи о гидродинамическом взаимодействии астиц в нестационарном потоке жидкости 55
2.2. Взаимодействие двух частиц в идеальной есжимаемой жидкости 58
2.3. Силы, действующие на частицы в идеальной есжимаемой жидкости 68
2.4. Взаимодействие двух частиц в идеальной жимаемой жидкости 72
2.5. Силы, действующие на частицы в идеальной жимаемой жидкости 76
ГЛАВА 3. Динамика частиц
3.1. Влияние гидродинамического взаимодействия частиц их движение в потоке идеальной несжимаемой идкости с постоянной скоростью 79
3.2. Динамика частиц в потоке идеальной несжимаемой идкости с переменной скоростью с учетом арных взаимодействий 89
3.3. Динамика частиц в звуковой волне с учетом арных взаимодействий 99
3.4. Влияние взаимодействия частиц на рассеяние звука 114
Заключение 116
Список литературы 117
- Взаимодействие двух частиц в линейном магнитном поле
- Взаимодействие двух частиц в идеальной есжимаемой жидкости
- Динамика частиц в потоке идеальной несжимаемой идкости с переменной скоростью с учетом арных взаимодействий
- Влияние взаимодействия частиц на рассеяние звука
Введение к работе
Диссертация посвящена математическому моделированию взаимодействий частиц в двухфазной смеси. Актуальность проблемы связана с широким представлением таких смесей в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. В последние годы интенсивно развиваются методы аналитического и численного моделирования поведения таких сред при различных внешних воздействиях (электромагнитного поля, температуры, давления) [1-7]. Однако многообразие и сложность эффектов неоднофазности (силовое взаимодействие, вращение и столкновение частиц, коагуляция и т.д.) приводит к необходимости проведения все новых исследований в этой области. Одной из центральных проблем многофазных и, в частности двухфазных, сред является учет взаимодействия фаз. Поэтому получение новых аналитических, численных и экспериментальных результатов по различному роду взаимодействий фаз по-прежнему остается актуальной задачей.
В двухфазных смесях (суспензии, аэрозоли, эмульсии) существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. Примером таких сил могут служить силы, обусловленные наличием зарядов или диполь-ных моментов у частиц, причем заряды и дипольные моменты частиц могут быть обусловлены как действием внешнего поля, так и существовать в отсутствии его. Исследованию такого рода взаимодействий в двухфазных средах посвящены многочисленные работы [8 - 23]. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании столкновений и миграции частиц в жидкости, а также их структурирования. В результате действия сил притяжения между частицами возможно образование более крупных агрегатов, с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в смеси [24 - 36]. Изменение аг-регативного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства среды в целом [37- 48].
Второй механизм связан с взаимодействием между собой частиц диспергированной фазы (твердых частиц, капель, пузырьков) через движение несущей фазы (жидкость, газ). Например, в суспензии распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц. Следовательно, движение одной частицы влияет на движение всех остальных, и наоборот. Такое взаимодействие частиц влияет на все процессы, происходящие в двухфазной среде [49-69].
В первой главе диссертации рассмотрена математическая модель взаимодействия частиц, помещенных в вязкую жидкость, во внешнем магнитном или электрическом поле. Примером двухфазной среды, имеющей сильное взаимодействие с магнитным полем, служит магнитная жидкость [2]. Так как магнитные свойства несущей и диспергированной фаз, вообще говоря, различны, то и взаимодействие каждой фазы с магнитным полем происходит различным образом. Одна из важнейших задач при моделировании поведения таких сред состоит в определении сил, действующих со стороны магнитного поля на каждую из фаз. В работах [3, 4, 12, 13] находилась сила, действующая на несущую и диспергированную фазы со стороны магнитного поля. Учитывалась зависимость магнитной проницаемости всей смеси от концентрации частиц или магнитной проницаемости несущей фазы от температуры. Основой для таких вычислений служила задача о взаимодействии с магнитным полем одной частицы, помещенной в жидкость носитель. Средняя сила, действующая на единицу объема диспергированной фазы, считалась равной произведению этой силы на число частиц в единице объема смеси. Магнитное взаимодействие частиц при этом не учитывалось. Однако такое взаимодействие частиц приводит к изменению силы, действующей на каждую частицу в объеме, и, следовательно, к изменению средней силы, действующей на единицу объема диспергированной фазы. Кроме того, одним из эффектов взаимодействия с магнитным полем, является структурирование в магнитной жидкости, что приводит к изменению ее реологических свойств [38-48]. Механизмом, отвечающим за такое структурирование, является магнитное
рование, является магнитное взаимодействие частиц. Например, взаимодействие частиц обладающих постоянным магнитным моментом. Такое взаимодействие называется диполь-дипольным. Известно выражение для энергии взаимодействия двух частиц, обладающих дипольным моментом [70]. Влияние внешнего магнитного поля при этом сводится к изменению ориентации вектора магнитного момента каждой частицы, и, следовательно, к изменению сил и моментов, действующих между частицами. Аналогичное взаимодействие существует между поляризованными частицами в электрическом поле. Для частиц, поляризующихся во внешнем поле, для вычисления сил, действующих на них со стороны магнитного поля, необходимо решать задачу об определении поля вне и внутри частиц. В работах [14-23] вычислялась сила, действующая на тело, погруженное в ограниченный объем магнитной жидкости в однородном магнитном поле, или, находящееся вблизи плоской границы поляризующейся жидкости. В диссертации решена задача о взаимодействии двух частиц, намагничивающихся или поляризующихся во внешнем неоднородном магнитном или электрическом поле, помещенных в неограниченный объем жидкости. Получены выражения для сил, действующих на частицы со стороны магнитного или электрического поля, и изучена динамика их движения в вязкой жидкости с учетом гидродинамического взаимодействия. Показано, что в однородном магнитном поле частицы, магнитная проницаемость которых больше, чем несущей жидкости, стремятся к объединению при их ориентации близкой к вектору напряженности внешнего поля. При других ориентациях частиц происходит их удаление друг от друга. Для частиц, магнитная проницаемость которых меньше, чем несущей жидкости, объединение происходит практически при тех же ориентациях, что и для магнитных частиц, а именно,. при ориентации близкой к вектору напряженности магнитного поля возможно их объединение. Отклонение от этой ориентации приводит к появлению сил отталкивания между частицами. Полученные в диссертации результаты согласуются с выводами, сделанными в работе [14] относительно ориентации, при которых происходит при-
тяжение или отталкивание частиц с одинаковыми магнитными свойствами в однородном магнитном поле. На примере неоднородного магнитного поля, создаваемого проводником с током, показано, что агрегирование частиц в объеме жидкости практически невозможно: силы притяжения между частицами намного меньше сил, заставляющих частицы двигаются в одном направлении. Это приводит к тому, что частицы либо достигают поверхности проводника раньше, чем происходит их объединение (случай магнитных частиц в немагнитной жидкости), либо удаляются в бесконечность.
Во второй главе диссертации рассмотрена математическая модель второго механизма взаимодействия частиц в двухфазной среде — взаимодействия через движение несущей фазы. В двухфазной среде жидкость — частицы или газ — частицы такое взаимодействие частиц называется гидродинамическим. Если большое число частиц в жидкости расположены случайным образом и среднее расстояние между двумя ближайшими частицами велико по сравнению с их размерами, то наиболее важными гидродинамическими взаимодействиями будут взаимодействия между парами частиц, оказавшимися близко одна от другой, поскольку группы из трех и более близко расположенных частиц встречаются еще реже. Моделированию гидродинамического взаимодействия двух частиц в вязкой жидкости посвящено большое число работ [52, 59-62, 66-69]. В работах [66-69] разработан метод, позволяющий моделировать при малых числах Рейнольдса гидродинамическое взаимодействие большого числа частиц, помещенных в вязкую жидкость, скорость которой на бесконечности представляется полином произвольной степени по координатам. Сущность метода заключается в представлении решений уравнений Лапласа и Пуассона в мульти-польном виде с тензорными коэффициентами, вид которых определяется видом невозмущенного потока жидкости.
Для нестационарных течений жидкости необходимо использовать уравнения, моделирующих движения жидкости при больших числах Рейнольдса. В первом разделе главы 2 диссертации выписаны условия, при которых возможно
использовать эти уравнения. Одним из способов нахождения решений этих уравнений является представление скорости жидкости в потенциальном виде. Условия, при которых такое представление имеет физический смысл, приведены в первом разделе второй главы диссертации. Для потенциальных течений жидкости задача сводится к нахождению решения уравнения Лапласа для потенциала, а значит можно использовать метод, разработанный в работах [66-69]. Используя этот метод, во втором разделе главы 2 диссертации моделируется гидродинамическое взаимодействие двух частиц в нестационарном потоке несжимаемой жидкости, невозмущенная скорость которого представляется в виде полинома первой степени по координатам. Найдены выражения для скорости и давление в жидкости вокруг частиц с учетом их гидродинамического взаимодействия. Скалярные величины в этих выражениях определялись в виде асимптотического ряда по малому параметру, представляющему собой отношение размера частиц к расстоянию между ними. Используя найденные распределения скорости и давления, в третьем разделе главы 2 получены выражения для сил, действующих на частицы со стороны жидкости.
Особый интерес в последние годы представляет моделирование волновых процессов в многофазных, в частности двухфазных, средах [5-7, 71-98]. Экспериментальные исследования [71-77, 98] показали, что внутренняя структура природных и технологических многофазных сред существенно влияет на волновые процессы в них. При этом возникает и обратная задача — моделирования влияния волновых процессов на саму структуру среды. Одним из интереснейших волновых процессов, с точки зрения моделирования и практических приложений, является распространение звука. Распространение слабых возмущений в двухфазной среде и влияние на характеристики этих возмущений (скорость, декремент затухания) различных факторов (внешнего магнитного и электрического полей, фазовых переходов, концентрации неоднородностей и т.д.), изучалось во многих работах [5-7, 98-101]. В частности, изучалось влияние звуковых волн на движение частиц, взвешенных в жидкости или газе [102-104]. С этой целью вычислялись силы, действующие
этой целью вычислялись силы, действующие на частицы в звуковой волне со стороны несущей фазы. Однако при этом гидродинамическое взаимодействие частиц не учитывалось. В четвертом разделе главы 2 диссертации предложена математическая модель гидродинамического взаимодействия частиц в нестационарном потоке сжимаемой жидкости, невозмущенная скорость которого представляется в виде полинома первой степени по координатам. Для частиц, расстояние между которыми много меньше характерного размера, на котором проявляется сжимаемость жидкости, решение задачи аналогично решению задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в нестационарном потоке несжимаемой жидкости. Найдены выражения для скорости и давление в жидкости вокруг частиц с учетом их гидродинамического взаимодействия. Скалярные величины в этих выражениях определялись в виде асимптотического ряда по малому параметру, представляющему собой отношение размера частиц к расстоянию между ними. Вычисления проделаны с точностью до слагаемых пятого порядка по малому параметру. Полученные выражения позволили вычислить в пятом разделе главы 2 силы, действующие на частицы со стороны жидкости с учетом гидродинамического взаимодействия.
В главе 3 диссертации представлены результаты по численному моделированию динамики частиц в нестационарных потоках идеальной жидкости. В первом разделе главы 3 моделировалось движение двух частиц в однородном стационарном потоке несжимаемой идеальной жидкости. Как известно, для системы тел в таких потоках должен выполняться парадокс Даламбера, то есть суммарная сила на все тела со стороны жидкости равна нулю вдоль скорости потока. Отличной от нуля может быть только сила перпендикулярная вектору скорости набегающего потока жидкости. Однако, как указывается в [105, с. 75], "при наличии в потоке нескольких тел нельзя утверждать, что составляющая силы воздействия потока, параллельная скорости, для каждого тела в отдельности равна нулю". Поэтому, учет гидродинамического взаимодействия частиц приводит к появлению отличной от нуля силы, действующей на частицы, кото-
рые под действием этой силы приходят в движение. Как показывает численное моделирование, поведение частиц существенно зависит от их первоначального положения относительно потока жидкости. В зависимости от этого частицы либо стремятся сблизиться вплоть до контакта, либо разойтись на бесконечность.
Во втором разделе главы 3 моделируется поведение частиц в нестационарном потоке идеальной жидкости.
В третьем разделе главы 3 представлены результаты по численному моделированию поведения частиц в звуковой волне. Рассмотрено влияние различных факторов на поведение частиц в звуковой волне: отношение плотности частиц к плотности жидкости, первоначальная ориентация частиц относительно скорости набегающего потока жидкости, относительно начальной фазы волны. Результаты показывают, что возможно как сближение частиц, так и их удаление друг от друга.
В заключении подводятся итоги, намечаются возможности развития проведенных исследований и формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту:
математическая модель, описывающая магнитное и гидродинамическое взаимодействия двух частиц в вязкой жидкости;
результаты расчета сил, действующих на частицы, и скоростей, приобретаемых ими в результате взаимодействия;
результаты исследования влияния магнитного поля на возможность образования агрегатов из частиц;
математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие двух частиц в нестационарном потоке идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости;
результаты расчета сил, действующих на частицы со стороны жидкости в результате взаимодействия;
- результаты исследования влияния гидродинамического взаимодействия двух частиц на возможность образования агрегатов из частиц в линейном потоке несжимаемой жидкости и в звуковой волне.
Взаимодействие двух частиц в линейном магнитном поле
В первой главе диссертации рассмотрена математическая модель взаимодействия частиц, помещенных в вязкую жидкость, во внешнем магнитном или электрическом поле. Примером двухфазной среды, имеющей сильное взаимодействие с магнитным полем, служит магнитная жидкость [2]. Так как магнитные свойства несущей и диспергированной фаз, вообще говоря, различны, то и взаимодействие каждой фазы с магнитным полем происходит различным образом. Одна из важнейших задач при моделировании поведения таких сред состоит в определении сил, действующих со стороны магнитного поля на каждую из фаз. В работах [3, 4, 12, 13] находилась сила, действующая на несущую и диспергированную фазы со стороны магнитного поля. Учитывалась зависимость магнитной проницаемости всей смеси от концентрации частиц или магнитной проницаемости несущей фазы от температуры. Основой для таких вычислений служила задача о взаимодействии с магнитным полем одной частицы, помещенной в жидкость носитель. Средняя сила, действующая на единицу объема диспергированной фазы, считалась равной произведению этой силы на число частиц в единице объема смеси. Магнитное взаимодействие частиц при этом не учитывалось. Однако такое взаимодействие частиц приводит к изменению силы, действующей на каждую частицу в объеме, и, следовательно, к изменению средней силы, действующей на единицу объема диспергированной фазы. Кроме того, одним из эффектов взаимодействия с магнитным полем, является структурирование в магнитной жидкости, что приводит к изменению ее реологических свойств [38-48].
Механизмом, отвечающим за такое структурирование, является магнитное рование, является магнитное взаимодействие частиц. Например, взаимодействие частиц обладающих постоянным магнитным моментом. Такое взаимодействие называется диполь-дипольным. Известно выражение для энергии взаимодействия двух частиц, обладающих дипольным моментом [70]. Влияние внешнего магнитного поля при этом сводится к изменению ориентации вектора магнитного момента каждой частицы, и, следовательно, к изменению сил и моментов, действующих между частицами. Аналогичное взаимодействие существует между поляризованными частицами в электрическом поле. Для частиц, поляризующихся во внешнем поле, для вычисления сил, действующих на них со стороны магнитного поля, необходимо решать задачу об определении поля вне и внутри частиц.
В работах [14-23] вычислялась сила, действующая на тело, погруженное в ограниченный объем магнитной жидкости в однородном магнитном поле, или, находящееся вблизи плоской границы поляризующейся жидкости. В диссертации решена задача о взаимодействии двух частиц, намагничивающихся или поляризующихся во внешнем неоднородном магнитном или электрическом поле, помещенных в неограниченный объем жидкости. Получены выражения для сил, действующих на частицы со стороны магнитного или электрического поля, и изучена динамика их движения в вязкой жидкости с учетом гидродинамического взаимодействия. Показано, что в однородном магнитном поле частицы, магнитная проницаемость которых больше, чем несущей жидкости, стремятся к объединению при их ориентации близкой к вектору напряженности внешнего поля. При других ориентациях частиц происходит их удаление друг от друга.
Для частиц, магнитная проницаемость которых меньше, чем несущей жидкости, объединение происходит практически при тех же ориентациях, что и для магнитных частиц, а именно,. при ориентации близкой к вектору напряженности магнитного поля возможно их объединение. Отклонение от этой ориентации приводит к появлению сил отталкивания между частицами. Полученные в диссертации результаты согласуются с выводами, сделанными в работе [14] относительно ориентации, при которых происходит при тяжение или отталкивание частиц с одинаковыми магнитными свойствами в однородном магнитном поле. На примере неоднородного магнитного поля, создаваемого проводником с током, показано, что агрегирование частиц в объеме жидкости практически невозможно: силы притяжения между частицами намного меньше сил, заставляющих частицы двигаются в одном направлении. Это приводит к тому, что частицы либо достигают поверхности проводника раньше, чем происходит их объединение (случай магнитных частиц в немагнитной жидкости), либо удаляются в бесконечность
Взаимодействие двух частиц в идеальной есжимаемой жидкости
Рассмотрим модель, описывающую взаимодействие двух сферических частиц А и В одинакового размера в идеальной несжимаемой жидкости (р = const.) [112]. Положение точки жидкости относительно центров сфер А и В будем обозначать векторами хА и хв соответственно. Для введенных векторов имеем отношение: Здесь векторы Uj(A), U;(B) - скорости невозмущенного потока жидкости в точках, занимаемых центрами сфер А и В соответственно; векторы VА , VB - абсолютные линейные скорости частиц А и В, приобретаемые в результате взаимодействия с потоком жидкости и взаимодействия между собой; п , п — единичные векторы нормали к поверхностям частиц А и В.
Линейные скорости VА , VЕ сфер есть неизвестные функции вектора г и параметра — = є. Для их определения необходимо решать уравнения движения г частиц. Решение этих уравнений рассматривается в главе 3. Далеко от частиц имеет место затухание возмущений, вызванных присутствием частиц в жидкости:
Так как рассматривается случай потенциального движения жидкости, то введем потенциал для скорости возмущения жидкости: Тогда из (2.2.1)получим уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в виде: Второе уравнение системы (2.2.1) служит при этом для определения давления.
Решение уравнения (2.2.4) с граничными условиями (2.2.2) и (2.2.3) может быть представлено, в силу их линейности, как сумма решений двух задач: задача 1 - о «вмороженных частицах» с потенциалом скорости возмущений pi; задача 2 — о движении частиц в покоящейся на бесконечности жидкости с потенциалом скорости возмущений д 2. Задача 1 о «вмороженных частицах» заключается в нахождении решения уравнения (2.2.4) со следующими граничными условиями на поверхности сфер А и В соответственно:
На бесконечности требуется выполнение условия (2.2.3). Граничные условия (2.2.5), (2.2.6) означают, что частицы движутся с локальными линейными скоростями невозмущенного потока жидкости. Так как скорость основного течения есть линейная функция координат и сферы имеют одинаковый радиус, то можно записать следующее соотношение для точек на поверхности сферических частиц А и В:
Неизвестная вектор-функция V должна удовлетворять следующему То есть, функция V антисимметрична относительно точки х = — для всех значений функции на поверхностях сфер А и В. Сделаем предположение: функция V удовлетворяет преобразованию (2.2.7) в любой точке жидкости. В этом случае значение функции V равно нулю в точке х = — . Сделанное предположение позволяет записать решение уравнения (2.2.4) с неизвестными коэффициентами, которые могут быть вычислены с использованием граничных условий только на поверхности одной сферы, например А, граничные условия (2.2.5). На поверхности сферы В граничные условия (2.2.6) будут выполняться автоматически, так как скорость основного потока жидкости и неизвестная функция U удовлетворяют преобразованию (2.2.7) одновременно на поверхностях Решение уравнения (2.2.4), удовлетворяющее на бесконечности (2.2.3), может быть записано в следующем виде [67-69, 107-109]:
Здесь Lyk q,Ljjk q - мультиполи, содержащие частные производные от То есть, выражение для скорости можно записать в виде суммы комбинаций частных производных от двух функций, обратных, соответственно, расстояниям от произвольной точки в жидкости до центра одной из двух сфер, например А.
Можно записать бесконечно много членов в выражении (2.2.8) по правилу: сумма мультиполей четного порядка и разница мультиполей нечетного порядка дают симметричную функцию. Градиент симметричной функции дает антисимметричную функцию, удовлетворяющую преобразованию (2.2.7).
Неизвестные тензорные коэффициенты, содержащиеся в выражениях для скорости и давления должны зависеть от величин Ей, г.-, — и быть линейными по Ejj, потому что граничные условия(2.2.5), (2.2.6) линейны по этой величине. Используя заданные тензоры Ец, г-, Sy, можно сконструировать тензор
Динамика частиц в потоке идеальной несжимаемой идкости с переменной скоростью с учетом арных взаимодействий
На графиках представлена зависимость безразмерных функций xl[t], x 2[t], x 3[t] , характеризующих изменение координат точки А, и функции а/г, характеризующей изменение относительного положения точки В, от времени в однородном потоке жидкости для случая, когда плотность частиц в два раза меньше плотности жидкости при различных начальных условиях положения частиц относительно друг друга.
Результаты численного моделирования показывают, что возможно как сближение частиц, так и их удаление друг от друга. Причем, если скорость набегающего потока направлена под углом, близким к прямому, относительно прямой, соединяющей центры сфер, то частицы сближаются (рис. 3.8, рис. 3.9, рис. 3.10). При другом положении сфер относительно скорости потока происходит их удаление друг от друга. Такое поведение сфер согласуется с качественными выводами, приведенными в [103, 104] относительно сил, действующих на частицы. 3.2. Динамика частиц в потоке идеальной несжимаемой жидкости с переменной скоростью с учетом парных взаимодействий
Рассмотрим гидродинамическое взаимодействие двух частиц А и В одинакового размера в нестационарном потенциальном течении несжимаемой жидкости.
Скорость жидкости U на бесконечности есть зависящая от времени линейная функция координат
Используем полученные выражения для сил F и F , действующих на сферы А и В в идеальной несжимаемой жидкости, для определения скоростей движения частиц А и В.
Скорости, приобретаемые частицами в результате взаимодействия с потоком и между собой, получаем из системы дифференциальных уравнений:
Результаты решения системы дифференциальных уравнений представлены на графиках функций, определяющих динамику частиц в потоке идеальной несжимаемой жидкости с переменной скоростью с учетом парных взаимодействий.
Как видно из графиков (рис. 3.12-3.19), гидродинамическое взаимодействие частиц Решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в идеальной сжимаемой жидкости актуально в связи с изучением распространения звуковых волн в дисперсных средах. Звуковые волны представляют собой колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидкости. Рассмотрим две одинаковые сферические частицы А и В, помещенные в поток жидкости, соответствующий распространению монохроматической звуковой волны, в которой все величины являются гармоническими функциями времени. Для плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, скорость невозмущенного течения жидкости имеет вид [114]: Vi=voicos(krA-wt), где к - волновой вектор, г - радиус-вектор центра сферы A, w - частота волны, t - время.
Плоская монохроматическая волна представляет интерес в связи с тем, что всякую волну можно представить в виде совокупности плоских монохроматических волн с различными волновыми векторами и частотами. Длину волны Л будем считать много большей расстояния г между частицами X » г. В этом случае скорость V( невозмущенного течения жидкости для плоской волны в окрестности частиц можно представить в виде ряда. В линейном приближении по координатам получимЛегко видеть, что полученное выражение (3.3.1) аналогично записи
Но это — уравнение, определяющее потенциальное движение несжимаемой жидкости. Значит, применимы все рассуждения, приведенные в главе 2.
Сила F, действующая на частицы А и В в звуковой волне, вычисляется как [114]:
Выражения для сил F$ и F/, действующих на частицы А и В в звуковой волне, совпадают с выражениями для сил, полученных для случая идеальной сжимаемой жидкости 2.5. Из системы уравнений определяем скорости сфер А и В в звуковой волне, что позволит проследить динамику частиц в звуковой волне с учетом парных взаимодействий и при различных значениях начальной фазы к-гА. Обезразмерим систему уравнений (3.3.2). Для этого введем следующим образом безразмерные переменные:
Влияние взаимодействия частиц на рассеяние звука
Полученные результаты по взаимодействию частиц в звуковой волне используем для определения количества рассеиваемой энергии.
Если на пути распространения звуковой волны находится какое-либо тело, то происходит рассеяние звука. Это связано с появлением дополнительных волн, распространяющихся во все стороны [114, 115]. Рассеяние звуковой волны вызвано уже наличием самого тела. Кроме того, под влиянием звуковой волны само тело приходит в движение, что вызывает некоторое дополнительное излучение звука телом, то есть дополнительное рассеяние.
Если длина излучаемой волны велика по сравнению с расстоянием г между частицами А и В в звуковой волне Я»г, что вблизи сфер А и В движение определяется уравнение Лапласа [114]: Д = 0 где у/ - потенциал возмущенного поля скоростей в рассеянной волне. Следовательно, на больших расстояниях от частиц потенциала у/ рассеянной волны может быть представлен в виде ряда по мультиполям аналогично случаю взаимодействия частиц в звуковой волне или несжимаемой жидкости: Распределение скорости зависит от расстояний до центров частиц. На больших расстояниях от частиц решение (3.4.1) должно совпадать с решением волнового уравнения для сферических волн [114]:
Первый член представляет собой расходящуюся волну, второй - волна, сходящаяся к центру. В выражении (3.4.1) при условии А»г получим
Ограничимся в выражении (3.4.1) только членами, наименее быстро убывающими с ростом г, получим, что потенциал рассеянной волны равен
Среднее количество рассеиваемой за одну секунду энергии в данном эле менте телесного угла dQ. определяется как [ ] cpv dQ. Полная интенсивность / рассеяния получается интегрированием выражения (3.4.2) по всем направлениям рассеяния. При этом интегрировании удвоенное произведение обоих членов в (3.4.2), пропорциональное первой степени косинуса угла между направлением рассеяния и направлением распространения звуковой волны, исчезает и получаем следующее выражение: Здесь скобками « » усредненные параметры. Усреднение элементов 1 т осуществляется по правилу а = — jdt. Таким образом, исследование распро странения звуковых волн в дисперсных средах показывает, что гидродинамическое взаимодействие дисперсных частиц влияет на рассеивание звука.
В диссертации рассмотрены задачи моделирования взаимодействия частиц в магнитном поле и в потоке жидкости. Исследовано влияние магнитного и гидродинамического взаимодействия на возможность объединения частиц в агрегаты. Полученные результаты в задаче о магнитном взаимодействии двух частиц могут быть использованы при моделировании взаимодействия двух поляризующихся частиц в электрическом поле. Дальнейшее продолжение исследований связано с обобщением рассмотренных в диссертации моделей на случай большого числа взаимодействующих частиц.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту: - математическая модель, описывающая магнитное и гидродинамическое взаимодействия двух частиц в вязкой жидкости; - результаты расчета сил, действующих на частицы, и скоростей, приобретаемых ими в результате взаимодействия; - результаты исследования влияния магнитного поля на возможность образования агрегатов из частиц; математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие двух частиц в нестационарном потоке идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости; - результаты расчета сил, действующих на частицы со стороны жидкости в результате взаимодействия; - результаты исследования влияния гидродинамического взаимодействия двух частиц на возможность образования агрегатов из частиц в линейном потоке несжимаемой жидкости и в звуковой волне
На графиках представлена зависимость безразмерных функций xl[t], x*2[t], x*3[t] , характеризующих изменение координат точки А, и функции а/г, характеризующей изменение относительного положения точки В, от времени в однородном потоке жидкости для случая, когда плотность частиц в два раза меньше плотности жидкости при различных начальных условиях положения частиц относительно друг друга.
Результаты численного моделирования показывают, что возможно как сближение частиц, так и их удаление друг от друга. Причем, если скорость набегающего потока направлена под углом, близким к прямому, относительно прямой, соединяющей центры сфер, то частицы сближаются (рис. 3.8, рис. 3.9, рис. 3.10). При другом положении сфер относительно скорости потока происходит их удаление друг от друга. Такое поведение сфер согласуется с качественными выводами, приведенными в [103, 104] относительно сил, действующих на частицы.
