Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Фрактальные дифференциальные уравнения состояния и переноса 30
1.1.0 дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в сплошных средах 30
1.2. Об одном интегральном представлении решений уравнения состояния Барретта 38
1.3. О модельных уравнениях переноса в средах с памятью 43
1.4. Уравнение неразрывности в средах с фрактальной структурой и обобщенное уравнение переноса дробного порядка 45
1.5. Об эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка 50
1.6. О классе фрактальных уравнений с частными производными и математических моделях диффузионного переноса 55
Глава II. Качественные свойства базовых дифференциальных уравнений математических моделей фрактальных процессов 62
2.1. Задача Лыкова и качественные свойства ее решения 62
2.2. Принцип экстремума для фрактальных уравнений параболического типа 79
2.3. Принцип экстремума для фрактального уравнения эллиптического типа 83
2.4. Видоизмененные задачи Копій и Дирихле для уравнения Барретта 87
2.5. Смешанная задача для фрактального волнового уравнения 93
2.6. Энергетическая оценка для многомерного фрактального оператора диффузии 97
2.7. Смешанные краевые задачи для модельного гиперболо-параболического уравнения 101
2.8. Структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения и фрактальных тригонометрических функций 105
2.9. Об уравнении фрактального осциллятора 122
2.10. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации в средах с фрактальной структурой 123
2.11. Качественные и структурные свойства фрактальных моделей адиабатического процесса 127
Глава III. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой и обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса 133
3.1. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой 133
3.2. Обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса 137
3.3. К проблеме корректного выбора уравнения состояния вещества 139
3.4. Об одном классе уравнений состояния вещества 141
3.5. Математическая модель распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения 153
3.6. Об одном классе реологических уравнений состояния 159
Глава IV. Математическая модель теплообмена в составной среде с идеальным контактом 163
4.1. Построение математической модели 163
4.2. Условия линейного сопряжения 166
4.3. Постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности с нелокальным условием сопряжения 167
4.4. Качественный анализ модельного варианта смешанной краевой задачи с нелокальным условием сопряжения 171
4.5. Алгоритм редукции задачи о распределении температуры в точке идеального контакта к смешанной задаче с нелокальным условием линейного сопряжения 194
4.6. О фундаментальном соотношении между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае обобщенного закона Фурье 197
4.7. Фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае закона Фурье 199
4.8. Анализ фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы 204
4.9. Об одной математической модели переноса тепла в почве 210
Глава V. О линейных уравнениях смешанного типа, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обостре нием 218
5.1. Линеаризация нелинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Самарского 218
5.2. Замыкающие соотношения для смешанного типа уравненийтеплопроводности первого и второго рода 224
5.3. Критерии ограниченности функции Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в угловых точках области его задания 240
Заключение 249
Список литературы
- Об одном интегральном представлении решений уравнения состояния Барретта
- Принцип экстремума для фрактального уравнения эллиптического типа
- К проблеме корректного выбора уравнения состояния вещества
- Качественный анализ модельного варианта смешанной краевой задачи с нелокальным условием сопряжения
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования нелокальных процессов тепло- и массопереноса в средах с фрактальной структурой - в сложных системах, моделируемых фракталами; исследованию начальных и смешанных краевых задач для основных типов локальных и нелокальных дифференциальных уравнений состояния и переноса; различным и существенно новым обобщениям весьма важного в физике фракталов закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса; развитию и разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепломассообмена в составных средах, решения задачи определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения; качественному анализу линейных уравнений смешанного типа, моделирующих экстремальные процессы, протекающие в режимах с обострением.
Необходимость разработки новых математических методов и высокоэффективных вычислительных алгоритмов востребовали проблемы моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы и, в первую очередь, процессы тепломассообмена в средах с фрактальной организацией и памятью [71], аномального переноса частиц с конечной скоростью свободного движения [117], [128], [135]. В частности, изучение свойств капиллярно-пористых сред, обладающих фрактальной структурой, требует разработки новых математических технологий, решений ряда фундаментальных проблем, которые практически не поддаются теоретическому исследованию стандартными методами статистической физики [54]. Эти проблемы приводят к принципиально новым начальным, краевым и сме-
шанным задачам для фрактальных дифференциальных уравнений и уравнений смешанного типа первого и второго рода. В частности, адекватным аппаратом аналитического описания аномальной диффузии, обнаруженной в широком разнообразии физических процессов, служат нагруженные дифференциальные уравнения, содержащие частные производные дробного порядка, а в случае отсутствия диффузии через фрактальную границу двух сред, где эффективный коэффициент диффузии идеальных молекул обращается в нуль (см. [1]), роль такого математического аппарата может сыграть уравнение параболического типа со знакопеременной характеристической формой [70, с. 56].
Необходимость проведения фундаментальных исследований по теме диссертационной работы стала очевидной, после того как выяснилось, что понятие фрактала становится одной из парадигм современной фундаментальной и экспериментальной физики, радиофизики и радиолокации, а дробное исчисление - математической основой физики фракталов, геотермии и космической электродинамики [21], [51], [69], [93], [99].
Работа выполнена по основному направлению научной деятельности Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН "Математическое моделирование нелокальных экстремальных процессов в системах с фрактальной структурой и памятью", которое утверждено Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.
Актуальность темы диссертационной работы подтверждают и многочисленные публикации отечественных и зарубежных авторов, среди которых следует отметить: работы В.Л. Кобелева, О.А. Кобелева, Я.Л. Кобелева, Л.Я.Кобелева, Е.П.Романова [32]-[38], [106], посвященные фрактальной диффузии; аналитический обзор Л.М. Зеленого и А.В. Милованова [21] по
актуальным проблемам фрактальной топологии и обратной кинетики (от теории перколяции к проблеме космической электродинамики); работы Р.П. Мейланова [54]-[56] и P.P. Нигматуллина [93], [94], [95]; монографии А.А.Потапова с библиографическим списком в 1017 наименований [99], А.В. Псху [101] и Л.И. Сербиной [116]; исследования С.Ш. Рехвиашвили [105], Р.Т. Сибатова, В.В.Учайкина [117] по фрактальному переносу в токопро-водящих полимерах и неупорядоченных полупроводниках.
На актуальность разработки численных методов решения уравнений диффузии дробного порядка обращено внимание в работах К.В. Oldham, J. Spanier [156], R. Gorenfio [151], B.M. Головизнина, В.П. Киселева, И.А. Ко-роткина, Ю.И.Юркова [8], [9] и М.Х. Шханукова [139].
Об интенсивности исследований в области фрактальной диффузии свидетельствует и тот факт, что на запрос "Fractal AND diffusion" в Научной Электронной Библиотеке () найдено 5282 работы.
На востребованность использования концепции фрактала в физике . конденсированной среды и на то, что анализ интегро-дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка представляет весьма трудную задачу, обращено внимание в работе А.И. Олемского, А.Я. Флата, опубликованной в 1993 г. в журнале "Успехи физических наук" [96].
Основной целью диссертации является разработка новых качественных и приближенных аналитических методов и алгоритмов моделирования и исследования нелокальных физических процессов и их математических моделей, которые задаются как локальными, так и нелокальными дифференциальными операторами, связывающими значения интенсивных переменных в различных точках пространства-времени.
Для достижения основной цели используются: основные принципы
метода математического моделирования и вычислительного эксперимента как двуединого процесса создания моделей и их исследования средствами математических наук; концепции фрактальной геометрии и дробного исчисления; метод энергетических оценок и интегральных уравнений; принцип Зарембы-Жиро и принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования; качественные свойства специальных функций и функции Миттаг-Леффлера; метод Фурье и метод функции Грина; методы теории нагруженных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными смешанного типа, разработанные и развитые в известных исследованиях Ф. Трикоми [124], А.В. Бицадзе [5], М.С. Салахитдинова [110], [111], Т.Д. Джураева [13], A.M. Нахушева [70], Е.И. Моисеева [58], Т.Ш. Кальменова [29], М.Т. Дженалиева [12], В.А. Елеева [15], А.Н. Зарубина [18], [19], Л.С. Пулькиной [102], О.А. Репина [104], К.Б. Сабитова [108], Л.И. Сербиной [116], М.М. Хачева [134].
В диссертации впервые разработаны следующие, выносимые на защиту, существенно новые теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в области математического моделирования:
Исследован широкий класс фрактальных дифференциальных уравнений состояния сплошных сред и нелокальное волновое уравнение с дробной производной по времени, найдено эффективное интегральное представление решения уравнения состояния Барретта через давление и функцию типа Миттаг-Леффлера;
Доказана теорема эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка и установлена связь уравнений микротурбулентной аномальной диффузии с базовыми нагруженными дифференциальны-
ми уравнениями математических моделей эридитарных явлений;
Разработан конструктивный алгоритм решения смешанной начально-краевой задачи для уравнения Бицадзе-Лыкова, обнаружено экстремальное свойство потока влаги в коллоидном капиллярно-пористом теле и доказан принцип экстремума для широкого класса фрактальных уравнений с частными производными параболического и эллиптического типов;
В локальной постановке сформулированы задача Коши, задача Дирихле и начально-краевые задачи для дифференциального уравнения Бар-ретта, фрактального волнового уравнения и эталонного уравнения смешанного типа с нелокальным условием Самарского и предложены эффективные аналитические методы их решения, получена энергетическая оценка для многомерного оператора диффузии дробного порядка, из которой следует единственность решения первой краевой задачи в видоизмененной постановке;
Исследованы структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения, обобщенного уравнения фильтрации в средах с фрактальной структурой, фрактальных тригонометрических функций, обобщенной функции релаксации, фрактальных моделей адиабатического и диффузионно-релаксационных процессов; найден новый подход к решению проблемы корректного выбора уравнения состояния вещества при высоких давлениях, позволивший найти и описать трехпараметриче-ский класс масштабных дифференциальных уравнений дробного порядка, включающий уравнение состояния хладона R134a;
Предложены аналитический и вычислительный алгоритмы определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения;
Реализована корректная постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности, найдено фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составных сред;
Решена проблема эффективной линеаризации основополагающих уравнений теории режимов с обострением, установлено, что базовыми уравнениями математических моделей широких классов физических процессов являются линейные локальные и фрактальные дифференциальные уравнения смешанного типа первого и второго рода.
Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в развитии фундаментальных основ математического моделирования фрактальных объектов и наносистем, странных процессов переноса и процессов, протекающих в режимах с обострением, теории нагруженных дифференциальных уравнений [12]. Практическую ценность, наряду с теоретической, будут иметь полученные в диссертации обобщенный закон движения границы раздела фаз ( 1.6), обобщенный закон Пуассона ( 2.1), обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса (3.2) и уравнение состояния хладона R134a (3.4).
В "Отчете о деятельности Российской академии наук" в 1996 году исследование класса дифференциальных уравнений состояния и переноса в системах с памятью отмечено как важнейший результат в области естественных наук (раздел прикладная математика, информатика, математическое моделирование, информационные системы), а в отчете РАН в 2006 году как основной результат названы построение и исследование существенно новых и разного уровня прогностической значимости математических моделей нелокальных процессов тепло- и массопереноса, протекаю-
щих в сплошных средах с памятью и в средах, имеющих пространственную и временную фрактальную организацию, выявление фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы в случае одномерного уравнения теплопроводности смешанного типа.
Достоверность результатов диссертации и адекватность математических моделей обеспечиваются строгими математическими доказательствами, вычислительными экспериментами и в отдельных случаях предельными переходами к эталонным вариантам, сравнением с данными экспериментов и натурных наблюдений.
Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара и итоговых заседаниях Ученого совета Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:
XIV Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Терскол, РФ, 1992 г.
Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», AMADE. Минск, Беларусь, 1999 г.
XVI Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2001 г.
Вторая международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2001 г.
XVIII Международная конференция «Физика экстремальных состояний вещества», Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2003 г.
Международный Российско-Узбекский симпозиум «Уравнения сме-
шанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, РФ, 2003 г.
Международный Российско-Казахский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, РФ, 2004 г.
XIX Международная конференция «Уравнения состояния вещества». Эльбрус, РФ, 2004 г.
III Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2006 г.
10. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, тео
рия функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения
академика Ильи Несторовича Векуа. Новосибирск, РФ, 2007 г.
В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00-01-00311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (2000-2002 гг.), 03-01-96728-р2003юг_а «Разработка математических моделей автоматизированного мониторинга экологического состояния предгорных территорий и мероприятий по предотвращению или уменьшению до средних величин катастрофических последствий» (2003-2005 гг.), 06-01-96625-р_юг_а «Математические основы моделирования во фрактальных средах и их приложение к описанию физических, природных и социально-биологических систем» (2006-2008 гг.) и как руководителем проекта «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию энерго-
и массообмена в составных средах с фрактальной структурой» (2006-2008 гг.), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований.
Основные научные результаты диссертации опубликованы в монографии [71] и в работах автора [72]-[91]. Отдельные результаты диссертанта, изложенные в параграфах 1.1, 2.5, 2.8, 2.9, включены в книгу [69] (см. 5.8, 5.13, 5.20, 5.21). Результаты пятой главы, оформленные в виде трех лекций, внедрены соискателем в учебный процесс Пятой Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» [53, с. 169].
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 157 наименований.
Объектом исследования главы I, состоящей из шести разделов (параграфов), являются дифференциальные уравнения состояния и переноса дробного порядка. Главный результат раздела 1.1 - корректный выбор ка-чественно нового класса фрактальных дифференциальных уравнений, выступающих как замыкающие уравнения системы, состоящей из одномерного уравнения Навье-Стокса и уравнения неразрывности. В 1.2 доказаны три теоремы, характеризующие структурные и качественные свойства всех решений следующего уравнения состояния дробного порядка:
DQtp(x, rj) - Хр(х, t) = EDQtp(x, rj), 0 < a = const < 1, (0.1)
где DQt - оператор дробного дифференцирования по t порядка а с началом в начальный момент времени t — 0, р(ж, t) и р(х, t) - давление и плотность в точке х в момент , Л и Е - постоянные величины. Основным результатом этого параграфа является
Теорема 1.2.3. Пусть ПТ = {(ж, t) : а < х < Ь, 0 < t < Т};
p(x,t) Є C(Qt), ЩіРІ.00^1!) ^ -^[0>^] для любого x Є [a,b],
p{x,t) = ф)Г{а)іа-1ехра{\іа)+ t
+E
р(х, t) + \J(t- ту)""1 ехра(А|* - ч\а)р(х, ri) drj
Здесь Г (г)- гамма-функция Эйлера, ехра(2;) = Y1 г(а+ак) ~ обобщенная экспоненциальная функция по терминологии автора.
Параграф 1.3 является дополнением 1.1 и посвящен выводу модельных уравнений переноса в средах с памятью, в частности, уравнения
r^g^ + DlTXx, ч) = =2^ (т. с = const > 0).
В разделах 1.4-1.5 исследуются уравнение неразрывности в средах с фрактальной геометрией и обобщенное уравнение переноса дробного порядка; проводятся анализ и классификация этих уравнений как нагруженных уравнений в частных производных; обосновывается, что для фрактальных сред роль обобщенного закона Фика (и Фурье в случае теплового потока) может сыграть уравнение
х Ъ
q(x, t) = _fll|H + bl(t) J ufa 0)d + b2(t) j и fa 0)df,
a x
которое вместе с обобщенным уравнением неразрывности
a2DQtu(x,7]) = —dq(x,t)/dx
приводит к нагруженному уравнению переноса с дробной производной по времени
Dgtu(x, rj) = а12ихх + Ьии(х, 0), аг2 = аг/а2, b\2 = [&i - b2]/a2',
найдены критерии эквивалентности уравнения стохастического переноса при субдиффузионном режиме
о и уравнения диффузии дробного порядка
щ = c2DlQ;7uxx(x, г,), 2с2 = 1/Г(1 - 7), (0.3)
и этот результат сформулирован в виде следующей теоремы.
Теорема 1.5.1. Пусть решения и = u(x,i) уравнений (0.2) и (0.3) ищутся в классе функций, обладающих тем свойством, что щ Є L[Q,T], и непрерывна для всех t є]0,Т[ их Є [a,b]. Тогда необходимым и достаточным условием эквивалентности уравнений (0.2) и (0.3) является условие \imDQ^uxx(x,rj) = 0.
В уравнении (0.2) u(x,t) — J N(x,t,r)dr: где N(x,t,r) - функция
о
распределения плотности частиц в точке х в момент времени t (г - время
пребывания частиц в данной точке х).
Важным следствием теоремы 1.5.1 является следующее заключение:
если u(x, t) -решениеуравнения (0.2) и существует такая точка xq Є [a, b],
что c2uxx(x,t) = X(x)u{x0,T]) + с%и(ж,77), ще d^tu(x,rj) = D^1ur](x1ri) -
производная по Капуто, Х(х) Є C[a, b], 0 < 7 = const < 1, то между двумя
физическими факторами u(xq, t) nt существует фрактальная зависимость
D^u^^rj) = 0 <> u(xo,t) = const t~7.
В 1.6 анонсируются новые классы фрактальных дифференциальных уравнений в частных производных, играющих знаковую роль в проблемах математического моделирования эридитарных явлений и процессов, протека-
ющих в средах с фрактальной структурой. К таким уравнениям относятся, например, фрактальное уравнение теплопроводности
- / D^tu(x,r])d = кАхи + f(x:t), 0 < а < j3 < 1,
где с - удельная теплоемкость, р - плотность среды, f(x,t) - мощность внутренних источников теплоты, или непрерывное уравнение Ньютона
f D^ufarj) dl; = f(x,t), 1<а<Р<2.
В этом разделе особый акцент делается на фрактальное уравнение переноса пассивных примесей в турбулентной среде
TfDSAx,rf) + D^u{x,ri) = ~ (dJ^ , (0.4)
где Tf = const - время фрактальной релаксации; u(x,rj) - концентрация примесей в точке х > 0 в момент времени t > 0; Da - коэффициент аномальной диффузии по координатной оси х, а е]1,2[, (3 є]0,1[. Здесь доказано, что если решение u(x,t) уравнения (0.4) при а > /3 удовлетворяет нелокальному условию: Daux\x=Q = Daux\ , г Є]0, со[, 0 < t < t* и видоизмененному начальному условию: Y\mtl~aSu{t) = aoj т0 среднее значение
Su{t) = - J u(x,t)dx концентрации в любой момент времени от начального
г о t = 0 до расчетного * определяется формулой
Su(t) = а0Г(а + 1)^-^1/(^-^) (-ta-P/rf; a + l) , (0.5)
где Ei/s(z; р) - функция типа Миттаг-Леффлера.
Когда время фрактальной релаксации т/ или произведение т/ max Su (t) близки к компьютерному нулю, формулу (0.5) можно заменить формулой
Su(t) = a0rfr{a + l)t2a-p-x/T((5), которая при /? = 2ск - 3/2, 1/2 < a < 1 принимает вид закона движения границы раздела: Su{t) = калД.
Об одном интегральном представлении решений уравнения состояния Барретта
Уравнение (1.1.24) перепишем в виде DStp-Xp EDStP, А = -1/т, 0 а 1. (1.2.1)
Уравнение (1-2.1) относительно давления р = p(x,t) является уравнением в частных производных дробного порядка а. Если р не зависит от х, то уравнение (1.2.1) при заданной плотности р представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение дробного порядка.
Как показано в работе [62, с. 28], определяющее уравнение Ю.Н. Ра-ботнова, связывающее напряжение а — cr{t) и деформацию є = e(t) в полимерных системах, сводится к уравнению a + rD&a = TED&S. (1.2.2) Очевидно, что при фиксированных значениях х уравнения (1.2.1) и (1.2.2) относятся к одному и тому же классу. Через 1/[0,Т], как и ранее, обозначим множество всех измеримых по т Лебегу на сегменте [0,Т] функций f(t), для которых f \f(t)\dt со. о Справедлива следующая
Теорема 1.2.1. Пусть D tp Є -[0,Т] для любой фиксированной точки х Є Q. Тогда любое решение р Є L[0, Т] уравнения (1.2.1) представимо в виде p(x,t) = fo(s)-J5fo(s)]5a( ;A,l) + t + Е{р(х, t) + \JBa{t-m А, 1)р(х, г,) drj}, (1.2.3) о где p0(aO = lim -V( ), (1.2.4) - 0 p0(x) = \imD lp(x,r]), (1.2.5) 00 \k-l+ak-l BB(t; A, 1) = - -. (1.2.6) Задаваемая формулой (1.2.6) функция Ba(t, А, 1) в работе [143] названа функцией Барретта.
Действительно, при фиксированном х Є Q уравнение (1.2.1) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение дробного порядка а с правой частью h = EDfitp
Проникновение элементов фрактальной геометрии [20, с. 177-186], [93], [94], [154] в современную теоретическую и математическую физику стимулировало новые подходы к исследованию структурных и качественных свойств уравнений неразрывности и переноса в средах с фрактальной (дробной) размерностью; к объяснению зависимости и() = к 7 между двумя физическими факторами и( ) и , где 7 дробный показатель степени; к -величина, зависящая только от j; - некоторая интенсивная переменная (время, температура, давление, плотность,...), или же зависимости, задаваемой простейшим дифференциальным уравнением дробного порядка 1 — 7 вида ) = 0, 0, 0 7 1. Б.Б. Мандельброт [154] определял фрактал как структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому или же как множество 2, для которого его хаусдорфова размерность строго больше топологической. А.Н. Колмогоров [39] хаусдорфовой фрактальной размерностью множества Q назвал число d; = (0) = -1 , ; JK J є- 0 logs где Nn(e) - минимальное число n-мерных є-кубов, покрывающих множество точек Q с точностью Є.
Фракталам в динамических системах, в радиофизике и радиолокации посвящены оригинальные и глубоко содержательные книги P.M. Кроновера [45] и А.А. Потапова [99].
Уравнениям переноса в средах с фрактальной организацией посвящен ряд работ, среди которых здесь отметим [42], [43], [93], [94], [135], [138]. Среды с фрактальной организацией характеризуются наличием в них больших пустот во всех масштабах.
В работе [93] (см. также [94]), отправляясь от уравнения Фурье ди(хЛ) 82u(x,t) п п _ п ,„ л „. — г1-1 = D— -А t О, х О, D = const 0, (1.4.1) at ох1 с начальным условием и(х: 0) = 0, 0 х оо, (1.4.2) и краевым условием И(0, ) = Ї/0) 0 t T, (1.4.3) для ряда физических систем, которые содержат в себе каналы, входящие в состав некоторой ветвящейся фрактальной структуры (см. рис. 1.4.1), автор приходит к сверхмедленному уравнению диффузии вдоль основного канала следующего вида: Da»u (xt)-D д2ц"(ж ) її її її і її м її і її и її і II II II II II II II II II II II II Рис. 1.4.1. Структура, подобная расческе, показывает пример фрактальной структуры типа дерева Коха. Зубья этой полубесконечной расчески ведут в различных направлениях, перпендикулярных основному каналу где 1/Q - заданная величина, а = 2 , п = 1,2,... Уравнение (1.4.1) является следствием закона Фика (и Фурье в случае теплового потока) q(x,t) = —аіди/дх, а\ = const 0 (1-4-4) и уравнения неразрывности a dujdt — —dq/dx, ач — const 0. (1.4.5) Известно, что каково бы ни было число х 0, любое регулярное и ограниченное решение u(x,t) уравнения (1.4.1), удовлетворяющее начальному условию (1.4.2), является решением уравнения vD = - u(x,t), и этот факт не зависит от краевого условия (1.4.3). Однако для фрактальной среды, как правило, уравнение (1.4.5) не должно иметь места.
Принцип экстремума для фрактального уравнения эллиптического типа
Смешанная задача для фрактального волнового уравнения Уравнение (1.3.7) относится к классу уравнений вида д2и D%tu{x, п) = с2- , К а 2, (2.5.1) где с = const 0. При а = 2 оно совпадает с однородным волновым уравнением. Смешанная задача для уравнения (2.5.1) в области Q = {(я, t) : 0 ж 1, 0 t Т} ставится следующим образом.
Задача 2.5.1. В области Г2 найти решение u(x,t) уравнения (2.5.1), непрерывное всюду в замыкании Q, кроме точек (х:0), 0 ж 1; и удовлетворяющее начальным: \imt2-au(x,t) = r(x), 0 ж 1, (2.5.2) Km t[t2-au(x,t)]=v(x) (2.5.3) и краевым условиям: и(0,t) = 0, u(l,t) = 0, 0 t Т, (2.5.4) где т(х) и v{x) - заданные функции. Условие (2.5.3) можно заменить условием ,. t2 au(x,t) - т(х) , ч , ,_ г ч цт \-l-L \J. = V(X\ о ж 1. (2.5.5) От (2.5.5) можно прийти и к (2.5.3).
Имеет место Теорема 2.5.1. Пусть т{х) и v(x) представимы в виде ряда Фурье по синусам: 1 сю 1 оо Т{х) = — -г У] Тп Sin ТТПХ, и(х) = Т Т-Т У2 Un Sm 7ГПХ. (2.5.6) 1 (о; - 1) і [а) - — V 71=1 V П=1 Тогда решение задачи 2.5.1 определяется формулой u(x,t) = yn(t)smTmx, (2.5.7) n=l где yn(t) = vnta-1expa(-\nta) +.Tnta-2El/a(-\nta-a-l) (2.5.8) с Xn (line)2, n = 1, 2,... Как и в случае волнового уравнения [123, с. 82] ии — с2ихх, (2.5.9) метод разделения переменных применительно к задаче 2.5.1 реализуется по следующей схеме.
Найдем класс нетривиальных решений уравнения (2.5.1), удовлетворяющих краевым условиям (2.5.4) и представимых в виде u(x,t) = (p(x)y(t). (2.5.10) Подставляя предполагаемую форму решения (2.5.10) в уравнение (2.5.1) и краевое условие (2.5.4), получим ц "(х) + Xif(x) = 0, ip(Q) = 0, р(1) = 0, (2.5.11) П&уМ 4- Xc2y(t) = 0. (2.5.12) Нетривиальное решение задачи (2.5.11) возможно лишь при значениях А = (тт)2, п = 1,2,... (2.5.13)
Собственные функции (рп(х), соответствующие собственным значениям (2.5.13), определяются по формуле рп(х) = sin(7rna;), п = 1,2,... (2.5.14) Уравнение (2.5.12) с учетом (2.5.13) принимает вид ЩУ(П) + Ky(t) = О, Хп = (с)2. (2.5.15) Как показано в 2.4, единственное решение видоизмененной задачи Коши }?Гау = фту Ara = W) (2516) для уравнения (2.5.15) определяется формулой (2.5.8). Непосредственным вычислением и на основании (2.5.16) можно убедиться, что функция (2.5.7) удовлетворяет условиям (2.5.2) - (2.5.4).
Разложение (2.5.6) имеет место, если: 1) производные функции г (ж) до второго порядка включительно непрерывны, третья производная кусочно-непрерывна на сегменте [0,1] и, кроме того, т(0) = т(1) = 0, т"(0) = т"(1) = 0;
2) функция v{x) непрерывно дифференцируема на [0,1], имеет кусочно-непрерывную вторую производную и, кроме того, и(0) = 1/(1) = 0. Исследуем теперь смешанную задачу (2.5.2) - (2.5.4) для неоднородного уравнения D$tu{x, rj) = с2ихх + f(x, ), К а 2, 0 х 1, (2.5.17) где 00 р f(x,t) = y fn(t)sm(irnx), fn(t) = 2 f(x,t)sm(irnx)dx. (2.5.18) n=l {
В силу известной теоремы Стеклова разложение (2.5.18) справедливо, если функция f(x,t) Є C(fl), f(0,t) = /(1, ) = 0 и при любом фиксированном t 0 имеет кусочно-непрерывную производную по ж с точками разрыва первого рода.
К проблеме корректного выбора уравнения состояния вещества
В силу (3.1.1) и (3.1.2) уравнение переноса в средах, имеющих фрактальную временную и пространственную структуру, мооюно записать в следующем виде: A0D u( r)-D B0D u( t) = п т = ЕDLBkD%u{ tk) - Е AkD$u(xk,г,). (3.1.3) к=1 к=1
Если 0 /Зк 1, Bk = Bk(t), Df_1w(,) = О при х = а для любого к = О,1,..., п и t 0, то из (3.1.3) получаем уравнение п т АоП&и{х,r)-B0Dsa%u(t,t) = YiBkDbu(t )-$ ( ,»/), (3.1.4) Jfe=l Jb=l где 6k = P+Pki которое является нагруженным дифференциальным уравнением переноса дробного порядка. Уравнения (1.5.2), (1.5.3) получаются из (3.1.4) при а = 7, 60 = 2, Л0 = Г(1 - 7), В0 = 1/2, = t \ 5Х = О, t\ = О, Bk = 0 при к ф 1, Ak = О для всех А; = 1, 2,..., га.
Диффузионно-релаксационные процессы, происходящие в средах с фрактальной геометрией в одномерном случае, могут быть описаны уравнением вида 2%«(я,тй = BpDPxu(U) + c(x,t)u(x,t), (3.1.5) где Вр = const 0, c(x,t) = — т" /2, 0 а 1, 1 /3 2 или же следующим "осредненным" по а и j3 непрерывным дифференциальным уравнением: С1 С2 I D%tu(x,r})da= / BpDp0xu{ ,t)d(3 + c{x,t)u{x,t).
В случае диффузии ионов через фрактальную поверхность образца-электрода твердого электролита коэффициент Вр означает коэффициент диффузии, а числа а и /3/2 - фрактальные размерности в плоскости и в направлении диффузии [32].
При исследовании "возможности существования автоволновых решений для диффузионных процессов во фрактальной среде" (см. [35]) важную роль может сыграть нелинейное уравнение п-а?и = в иа л 0 1,1 /? 2. (3.1.6)
Если в уравнении (3.1.6) положить а = 0, /5 = а = 2, то получим уравнение Буссинеска [97, с. 448] где и = u(x,t) интерпретируется как уравнение свободной поверхности грунтовых вод при постоянных коэффициентах фильтрации к и пористости грунта т.
Поскольку Dua—у-У- = Dfcau(, t) - и(х, 0)Г"7Г(а), то уравнение (3.1.6) эквивалентно уравнению Dl7au(, ту) = BpDiu it, t) + «(re, О /ОД. (3.1.8) Уравнения (1.5.1) или (1.5.4) получаются из (3.1.8) при а — 1 — 7, В0 = [2Г(1 - 7)Г\ 0 = 2, г = 1. В случае, когда а = 2 ± є, где є - достаточно малое положительное число и физически оправдано задание в некотором промежутке времени t нелокального граничного условия типа условия Самарского д Гь о-Вр— u(x,t)dx = iu(t), 0 t T, (3.1.9) дї J а уравнение (3.1.6) в слое а х b хорошо аппроксимируется линейным уравнением Dl;au(x,rj) = u(t)D xu( t) + и(х: 0)іа 2/Г(а - 1), а х b. (3.1.10) Довольно часто среднее значение- u{t) = 1/(6 — a) fa u(x,i) dx физической величины u(x,t) в слое а х Ъ и для любого момента времени от начального t = 0 до расчетного t — Т является унимодальной функцией, и функция ш() имеет следующий вид: u(t) = sign (U -i)-\t- U\mtp(T - t)qcu+(t), 0 U Т, (3.1.11) где т, р, q - неотрицательные числа, u +(t) 0 для всех t Є [0,Т], t -время, когда непрерывная на сегменте 0 t Т функция u (t) достигает своего максимума.
Если имеет место (3.1.11) и to+(t) pa 1, р = q = 0, то из (3.1.10) получаем модельное уравнение D au = sign ( )-\t Г1 іи(, t) + u(x, 0)га 2/Г(1 - a), которое при a = 0, (3 = 2 переходит в нагруженное уравнение смешанного типа с вырождением порядка при t = 0: г2 [d2u/dt2 + sign (і - U) \t - Цтд2и/дх2] = и{х, 0). (3.1.12) Уравнение (3.1.12) при и(х, 0) = 0 является одним из базовых в теории уравнений смешанного типа [5], и оно при т = 0 известно как уравнение Лаврентьева-Бицадзе. Уравнение (3.1.6) при а = 0, р1 = а = 2 принимает вид = 1( )- 0 а 1,. 0. (3.1.1.) Пусть A = const 0, у/2 В = АГ(2 — a)jBi. Тогда функция u(x,t) = Atl a-Bx (3.1.14) будет решением уравнения (3.1.13), удовлетворяющим условию и(х, 0) = -Вх, и(0, t) = At1"". (3.1.15) На евклидовой плоскости точек (x,t) линии At1 ± Вх = const в определенном смысле играют роль характеристик уравнения (3.1.10). Принимая во внимание (3.1.14) и начальное условие из (3.1.15), уравнения (3.1.9) и (3.1.10) при а = 0 можно записать следующим образом: д [ь crBp-— / u(x,t)dx = cuat а, (3.1.16) vt Jo taD2;au(x, rj) - uiaDbufo t) = -xt2a-2B/T(a - 1), (3.1.17) где ша = {1 — а)(тАВр. При a. = 0 условие (3.1.16) в силу (3.1.15) переходит в условие u(t) — At — 65/2, где u(t) = fQ u(x,t) dx/b - среднее значение u(x,t), а уравнение (3.1.17) - в уравнение d2u/dt2 = ivoDQXu(,t).
Качественный анализ модельного варианта смешанной краевой задачи с нелокальным условием сопряжения
Рассмотрим перенос тепла в почвенном слое —г х I, интерпретируемом как система 5, состоящая из слоев S+ = {х : —г х 0}, S = {х : 0 х 1} с разными теплофизическими характеристиками.
Предположим, что перенос тепла в почвенном слое S+ происходит согласно принципу локального термодинамического равновесия по закону Фурье [137, с. 526] а в слое S - по обобщенному закону Максвелла ди rqdStq- + q = -А2- - (4.9.2)
Здесь: q+ = q+(x,t) - поток тепла в точке х Є S+ в момент времени t\ \\ - коэффициент теплопроводности; и+ = u+(x,t) - температура; rq, А2 -характеристики почвенного слоя 5 ; q = q (x,t), и = u (x,t) - поток и температура слоя 5 ; д$ь = D -1 - регуляризованный оператор дробного дифференцирования порядка а; а - действительное число, характеризующее фрактальную организацию почвенного слоя S . При а = 1 формула (4.9.2) совпадает с законом Максвелла [71, с. 117].
Законы (4.9.1) и (4.9.2) вместе с законом сохранения энергии приводят к следующим уравнениям переноса тепла в системе S = S+ U S : где а\ и а\ - коэффициенты теплопроводности в почвенных слоях S+ и S , cq- скорость распределения теплоты, rq выражает время релаксации тепловых напряжений.
В случае идеального контакта слоев S+ и S к уравнениям (4.9.3), (4.9.4) можно присоединить условия линейного сопряжения u+(0,t)=u-(0,t), 0 t T, (4.9.5) q+{0,t)=q-(0,t), 0 t T, (4.9.6) где T - расчетное время. Для системы (4.9.3)-(4.9.4) с условиями сопряжения (4.9.5)-(4.9.6) рассмотрим следующую смешанную краевую задачу: u+(-r,t) = tpr(t), и-(l,t) = pt(t), 0 Т, и + (ж, 0) = (р+(х), — г х 0, и (х, 0) = (р (ж), = 0, 0 х I. t=o ди dt
Эта задача исследуется так же, как и краевые задачи, сформулированные в 4.3. Здесь акцент сделаем на вариант этой задачи, который в случае г = со приводит к следующей нелокальной краевой задаче: Задача 4.9.1. Найти регулярное в области Q = {(x,t) : х 0, 0 t Т} решение и = u(x,t) уравнения теплопроводности щ = а2ихх, (4.9.7) непрерывное при 0,0 Т, удовлетворяющее начальному и граничному условиям и(х,0) = 0, х 0; (4.9.8) 5M»(0,77) + Aiit O, ) = X2D0otu(O,rj) + p(t), 0 t T, (4.9.9) а также условию Тихонова lim u(x,t) ехр(—дх2) = 0 для какого-либо Х-Ї+СЮ числа 5 0. 212
Предполагается, что а - заданный коэффициент теплопроводности; а, Д Лі, Аг- заданные числа; ггж(0, t) = limux(x,t\Dntux(Q,r]),DQtux(Oir]) и заданная функция cp(t) принадлежат классу С]0,Т] П L[0,T].
Хорошо известно, в первую очередь благодаря монографии Ю.И. Ба-бенко [3], важность развития аналитических методов решения задач тепло-массопереноса с целью разработки более совершенных и менее трудоемких расчетных методов определения потоков вещества и теплоты на граничных многообразиях, в том числе на границе раздела составных сред.
В моделях теплопереноса, охватываемых задачей 4.9.1, проблема определения теплового потока через сечение х = 0 сводится к задаче нахождения производной от температуры u(x,t) по пространственной координате х на границе х = 0 полубескоиечной области Q.
Введем обозначения: r(t) = и(0, t), v{t) = (0, t), ехра z = Eya(z; a) -специальная функция типа Миттаг-Леффлера, которую можно назвать обобщенной экспоненциальной функцией; {c\,oi\ - двухэлементное множество;
