Введение к работе
Актуальность темы исследования
Центральное место в современных проблемах защиты подземных вод от загрязнения, опасность которого возникает в связи с возможной фильтрацией в водоносные пласты неочищенных стоков и жидких отходов, приобретает проблема исследования процессов взаимодействия чистых природных вод и загрязненных сточных жидкостей под влиянием различных гидродинамических и физико-химических факторов. Реальный режим и характер загрязнения подземных вод определяется сложностью реологии движущихся жидкостей и морфологическим строением пористой среды, а также многообразием процессов взаимодействия между жидкостью и пористой средой, которая представляет сложную динамическую систему, характеризующуюся сложной иерархией неоднородностей различных размеров.
Сложность анализа множества факторов, влияющих на оценку условий и возможных последствий загрязнения подземных вод с учетом фактора времени, привели к широкому применению методов математического моделирования. Значительные успехи изучения пространственно-временных закономерностей процесса загрязнения тесно связаны с использованием численно-аналитических методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, как основных, так и смешанного типов.
Вопросы исследования загрязнения подземных вод являются классической проблемой, которые с той или иной полнотой рассматривались многими авторами, как у нас в стране, так и зарубежом. В проведенных ранее исследованиях Ф.М. Бочевера, Н.Н. Вернгина, В.М. Шестакова, П.Я. Полубариновой-Кочиной, Р. Коллинза, A3. Шейдегера и др. задачи нелинейной миграции традиционно решаются на основе линейных представлений о гидрогеологических процессах с упрощающими допущениями, в которых сложная пористая среда моделируется простыми фигурами евклидовой геометрии.
В теоретических исследованиях A.M. Нахушева, ЛИ. Сербиной, В.А. На-хушевой, P.P. Нигматулина, М.Х. Шханукова, Р.П. Мейланова особое внимание обращено на то, что нелинейные процессы переноса в реологически сложных средах часто обнаруживают инвариантность (фрактальность) пространственных и временных свойств и их математическое описание требует расширения диапазона измерения гидрофизических характеристик и разработки новых, более эффективных, математических моделей, адекватно отражающих свойства фрактальных процессов. Одно из перспективных направлений изучения явлений фрактальной миграции связано с успешными попытками применения математического аппарата дробного интегро-дифференцирования.
Дифференциальные уравнения дробного порядка представляют собой принципиально новый качественный метод описания, который, обобщая ранее известные результаты, открывает вместе с тем новые возможности
изучения механизма нелинейных эффектов, возникающих при асимптотических режимах загрязнения. Таким образом, работа, выполненная в этом направлении, является актуальной.
Цель работы
Целью диссертационной работы является разработка математических моделей нелинейной миграции загрязненных подземных вод; учитывающих влияние сложной структуры порового пространства реологических сред; постановка и решение начально-краевых задач для наиболее важных частных случаев; выбор и модификация численно-аналитических методов решения поставленных задач; разработка соответствующего комплекса программ.
Достижение поставленной цели предполагает формулировку и решение следующих задач:
-
Разработка и исследование математических моделей, описывающих пространственно-временные особенности взаимодействия потока загрязненных подземных вод со сложной структурой порового пространства реологических сред.
-
Исследование вопроса разрешимости модельных начально-краевых задач распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающих различное расположение и интенсивность источников загрязнения.
-
Разработка модифицированного метода численно-аналитического решения задач динамики загрязнения подземных вод.
-
Разработка комплекса программ реализации численных алгоритмов решения задач нелинейной миграции и исследование полученных результатов.
-
Исследование влияния размерности геометрии порового пространства реологических сред на характер режима миграции загрязнения подземных вод.
Методы исследования
Для решения поставленных в работе задач использованы методы математического моделирования динамических систем; элементы классического и дробного анализа; методы теории дифференциальных и интегральных уравнений; методы вычислительной математики, а также специализированные программные среды: Maple, Mathcad, Matlab.
Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа нелинейных динамических природных систем; использованием методов теории дифференциальных уравнений и аппарата дробного интегро-дифференцирования; хорошей согласованностью аналитических результатов и результатов численного эксперимента и воспроизведением на их основе известных результатов полученными другими методами.
Научную новизну работы составляют:
1. Математическая модель динамики загрязнения подземных вод в пористых природных средах, в основе которой лежит уравнение с дробной
производной по времени, учитывающее влияние сложной структуры поро-вого пространства.
-
Численно-аналитические методы анализа пространственно-временных свойств процесса загрязнения подземных вод в реологических средах под действием источников загрязнения различной интенсивности.
-
Алгоритмы математического моделирования процессов загрязнения подземных вод на основе нелокального уравнения, учитывающего влияние геометрии порового пространства реологических сред.
-
Математическая модель распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающая фрактальную размерность порового пространства реологических сред.
Практическая значимость работы определяется тем, что полученные в ней результаты могут быть использованы для исследования динамики нелинейных процессов переноса в средах со сложной топологией порового пространства. Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа и математического моделирования режима загрязнения подземных вод могут найти применение при решении практических задач мониторинга, экологической безопасности и рационального использования земель и водных ресурсов, а также в учебном процессе при выполнении магистерских диссертационных работ.
Положения, выносимые на защиту
-
Постановка и решение начально-краевых задач динамики распространения загрязнения подземных вод, описываемой математической моделью на основе дифференциального уравнения с дробной производной по времени, учитывающей влияние сложной структуры порового пространства на процесс миграции.
-
Аналитические методы анализа пространственно-временных свойств нелинейного процесса загрязнения подземных вод в реологических средах, в основе которых лежат модифицированные способы решения корректно поставленных начально-краевых задач, учитывающих действие источников загрязнения различной интенсивности и расположения.
-
Результаты численного анализа влияния сложной геометрической структуры порового пространства на нелинейный характер загрязнения подземных вод в реологических средах.
-
Асимптотические методы оценки нелинейных эффектов нестационарного режима загрязнения подземных вод, позволяющих определять время и область стабилизации процесса.
Апробация работы
Результаты докладывались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Северо-Кавказского технического университета (2006 - 2010 гг., г. Ставрополь); на заседаниях Научно-исследовательского семинара НИИ ПМА КБНЦ РАН по современному анализу, информатике и физике (2010, 2011 гг., г. Нальчик); на III Между-
народной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (2006 г., г. Нальчик); на VII Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине, экономике» (2007 г., г. Новочеркасск); на V, VI, VIII Школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (2008 -2010 гг., г. Нальчик); на I Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (2010 г., п. Терскол); на II Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики» (2011 г., г. Нальчик).
Публикации
Основные результаты диссертации изложены в 16 научных работах, 3 из которых [9, 15, 16] опубликованы в журналах рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных результатов кандидатских диссертаций, 13 - в сборниках всероссийских и международных конференций.
Личный вклад автора
Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично соискателем либо при его равноправном участии.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 105 наименований. Объем работы - 118 страниц, включая 18 рисунков.
