Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Концепция фрактала. Интегралы и производные дробного порядка 21
1.1 Математическое определение фрактала 21
1.2 Интегралы и производные дробного порядка 31
1.3 Физическая интерпретация фрактала 38
1.4 Математические и физические аспекты концепции фрактала 49
Глава II Математическая модель «фрактального» осциллятора 53
2.1 Линейный гармонический осциллятор 56
2.2 «Фрактальный» осциллятор 58
2.3 «Фрактальный» осциллятор с вынуждающей силой 62
2.4 «Фрактальный» осциллятор с затуханием 65
Глава III. Математические модели процессов переноса в средах фрактальной структурой 68
3.1 Моделирование переноса тепла в средах с фрактальной структурой 68
3.1.1 .Обобщенная задача теплопереноса на бесконечной прямой 71
3.1.2.Обобщенная задача теплопереноса в случае ограниченной области 73
3.1.3. Обобщенная задача теплопереноса на полупрямой 75
3.2. Численные методы решения краевой задачи для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой 77
3.2.1. Краевая задача для уравнения переноса с производной Дробного порядка 78
3.2.2. Краевая задача для уравнения переноса с двусторонней производной дробного порядка 85
3.3. Фильтрация в средах с фрактальной структурой 88
3.4. Математическая модель кинетики-сорбции в средах с фрактальной структурой 92
3.5. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка 96
Глава IV. Вычислительный эксперимент по анализу моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой 100
4.1. Численные расчеты задачи фрактального осциллятора с вынуждающей силой 101
4.2. Численные расчеты математической модели теплопереноса с учетом нелокальности по времени 105
4.3. Численные расчеты математической модели теплопереноса с учетом нелокальности по пространству 108
4.4. Численные расчеты математической модели теплопереноса в полуограниченной фрактальной среде с учетом нелокальности по времени 113
Заключение 121
Литература 124
- Математические и физические аспекты концепции фрактала
- «Фрактальный» осциллятор с вынуждающей силой
- Численные методы решения краевой задачи для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой
- Численные расчеты математической модели теплопереноса с учетом нелокальности по времени
Введение к работе
Актуальность темы. Несмотря на значительные усилия исследователей до сих пор задача создания адекватных количественных моделей неравновесных процессов остается актуальной. Особенно это актуально, когда речь идет о системах с фрактальной структурой. При описании свойств систем с фрактальной структурой нельзя использовать представления евклидовой геометрии и необходимо привлечь представления геометрии дробной размерности. Особенность систем с фрактальной структурой в том, что для них существенны такие эффекты, как память, сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. Создание адекватных математических моделей для систем, где проявляются свойства самоорганизации, детерминированного хаоса, также требует привлечения нетрадиционных подходов, основанных на применении математического аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка.
Развитие прикладных аспектов математического аппарата, интегродиф-ференцирования дробного порядка представляет интерес не только с точки зрения создания адекватных математических моделей для решения практических задач, но и с точки зрения развития самой математики интегродиффе-ренцирования дробного порядка.
В отличие от традиционного подхода, когда для количественного описания исследуемого явления используется одно соответствующее уравнение, имеющее заданный класс решений, применение аппарата интегродифферен-цирования позволяет использовать однопараметрический континуум дифференциальных уравнений. Это принципиально меняет подход к анализу экспериментальных данных, позволяя использовать новый параметр, который и представляет собой показатель дробности производной. В частности открываются новые возможности для решения задачи прогноза. Традиционными методами, включая современные методы детерминированного хаоса и вейвлет анализа, задача прогноза не решается. Применение аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет глубже понять известные результаты и получить новый класс решений позволяющих охватить широкий круг задач, ранее не объяснимых с позиций традиционных подходов. Таким образом, разработка методов моделирования физических процессов в средах с фрактальной структурой основанные на математическом аппарате интегродифференцирования дробного порядка актуально.
Общая тенденция развития науки на современном этапе заключается в интеграции различных направлений естествознания. Образовалось новое научное направление — физика открытых систем, в рамках которого объединяются такие направления как синергетика, диссипативные структуры, детерминированный хаос, концепция фрактала с приложениями в физике, химии, биологии, геофизике, теории информации, математических основ экономики, социологии. Область приложений физики открытых систем все более расширяется, требуя при этом решения проблем как фундаментального, так и прикладного характера. Важной особенностью физики открытых систем является и то, что интеграция достигает такого уровня, когда создается единая система взглядов на естественнонаучные и гуманитарные знания.
Множество вопросов, представляющих практический интерес и которые переросли в задачи, имеющие фундаментальное значение связаны с природой релаксации сильнонеравновесных состояний к состоянию равновесия. К неравновесным процессам относятся процессы тепломассопереноса гидра и газа - динамики в сложных системах как недра земли, поверхностный слой почвы, различные процессы связанные с климатическими катастрофами. Особенностью неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой является медленная релаксация корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения одночастичных функций распределения. В частности могут существовать неравновесные стационарные состояния, когда система в рассматриваемой задаче в принципе не достигает равновесного состояния. Все это приводит к тому, что традиционные методы «сокращенного» описания в статистической физике становятся не пригодными при исследовании свойств систем с фрактальной структурой.
Фрактальный подход вносит новый уровень понимания динамики соотношения обратимых и необратимых процессов, открывая тем самым, новое направление в развитии неравновесных процессов, в основе которых лежит самоорганизации. Ярким примером такого объекта является пылевая плазма, в которой проявляется процессы самоорганизации.
Термин фрактал впервые ввел в 1975 году Бенуа Мандельброт с выходом его книг [1]. Слова фрактал образуется от латинского глагола frangere — ломать, и прилагательного fractus - дробный. Следует отметить, что математические идеи сформировались задолго до этого в ХГХ-м веке в работах Георга Кантора, Карла Вейерштрасса, Джузеппе Пеано, Гастон Жюлиа, Пьер Фату и других. Понятие фрактальной (дробной) размерности появилось в 1919 годе в работе Феликса Хаусдорфа [2]. Однако, именно Бенуа Мандельброт объединил эти идеи и положил начало систематическому изучению фракталов и их приложений.
Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фракталы инициировали интенсивное развитие теории информации. Фрактальные алгоритмы нашли применение в информационных технологиях, например для синтеза трехмерных компьютерных изображений природных ландшафтов. Особо следует отметить связанное с фракталами развитие математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка и р-адического анализа.
Особое место занимает задачи, связанные с прогнозированием. На сегодняшний день все попытки решения задач прогнозного характера не удается не только традиционными методами анализа, но и современными методами, такими, как вейвлет анализ [3], методами детерминированного хаоса [4], фликер шума [5] .
В развитии концепции фрактала можно отметить два этапа. На первом этапе развивалась геометрическая версия. Этому посвящены работы Федера Е.[6], Олемской А.Щ7], Флат А.Я.[7], Зосимова В.В.[8], Батунина А.В.[9], Климантовича Ю.Л. [34]. Развитие геометрической версии основывалась на применении компьютерной графики. В основе применения компьютерной графике лежит использование свойства самоподобия. Наиболее полно различные применения геометрической версии фракталов изложены в книге [11].
Описание физических свойств систем с фрактальной структурой привело к развитию аналитических методов в концепции фрактала, основанных на применении математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка. Математический аппарат дробных производных и дробных интегралов имеет давнюю историю. В создании основ математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка участвовали известные математики Эйлер, Г.Лейбниц, Абель, Риман. В настоящее время известны монографии по дробному исчислению как отечественных [12,17], так и зарубежных [11] авторов. Интерес к дробному исчислению за последнее десятилетие был вызван в связи с решением многих прикладных задач в областях химической кинетики, неупорядоченных конденсированных сред, сильно неравновесных состояний. В связи с развитием концепции фрактала резко повысился интерес к прикладным аспектам дробного исчисления в теории тепло-массопереноса, вычислительной математики, биофизики, теории информации и социологии.
Под действием вынуждающей силы (0.2) фрактальная система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний- с собственной частотой системы »ис частотой вынуждающей силы Q. В случае когда а = 2, F(t) = /0 cos(Q/) является простой периодической функцией с некоторой частотой Q..
Несмотря на историческую давность повышенного интереса к исследованиям движения жидкости в пористых средах, в теории фильтрации до сих пор остается ряд нерешенных проблем. Особенности пространственной структуры, многофазность системы приводят к сложной природе явлений, для которых и в настоящее время отсутствует адекватный математический аппарат количественного рассмотрения фильтрационных течений в пористых структурах. Несмотря на многочисленные работы в этой области [45,53,54, 55] вопрос об исследовании нестационарных фильтрационных течений в пористых средах остается актуальным.
В связи с проникновением идей фрактальной геометрии в современную науку предпринимаются активные попытки внедрения зависимостей с дробной размерностью для описания различных физико-химических процессов [13, 73]. В ряде работ [13,71] показано, что в ветвящихся фрактальных структурах могут реализовываться сверхмедленные процессы переноса. Вместе с тем оказалось, что процессы, происходящие во фрактальных средах, можно моделировать с помощью дифференциальных уравнений, содержащие дробные производные вместо обычных производных целого порядка.
В [70,71] показано, что ряд физико-химических систем, которые могут быть описаны уравнениями в дробных производных, должны содержать в себе каналы, входящие в состав ветвящейся фрактальной структуры.
Такими системами могут быть процессы теплопереноса и массопереноса в перколяционных кластерах, фрактальных и пористых средах. Причем [70,71,74] получено, что показатель дробной производной по времени соответствует доли каналов (ветвей), открытых для протекания. В [16] показано, что аномальная диффузия (диффузия Леви) имеет фрактальную природу, и получена взаимосвязь порядка дробной производной с показателями масштабного преобразования времени и Херста.
Несмотря на долгую историю развития математического аппарата дробного дифференцирования, аналитические методы решения уравнений дробной диффузии оказываются малоэффективными, а теория численных методов их решения носит фрагментарный характер и далека от завершения. На актуальность разработки численных методов решения краевых задач для уравнения переноса в производных дробного порядка обращено внимание в работах Нахушева A.M. [17], Кисилева В.ГЦ69], В.М. Головизнина В.М.[69], Короткина И.А.[86], Charles Tadjeran [87], Lynch V.E. [88]. Разработке численных методов решения дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы [69], [86-88].
Особое место в проблеме создания адекватных количественных моделей занимает современные информационные технологии. Особенность современных информационных технологий, заключающихся в единой технической базе для передачи информации различной природы. Аудио, видео анимации, телефония, передача данных привело к созданию нового класса интегрированных сетевых приложений. Такими являются: видеоконференции, интернет-телефония, анимации в реальном времени, распознавание голоса, распределенные вычисления, интерактивная графика, виртуальная реальность и др. Все это привело к тому, что для процессов передачи, обработки и хранения информации в современных высокоскоростных сетях с пакетной коммутацией характерно стохастичность сложной природы. Одним из важнейших свойств, характерных для современных сетевых процессов, становится обнаруженное на практике свойство самоподобия или масштабной инвариантности статистических характеристик. Такие свойства составляют основу особого класса физических процессов — фрактальных процессов. Кроме того, для сетевых процессов также характерно свойство самоорганизации. Использование аналитических методов концепции фрактала в информационных технологиях начаты в работах Нахушева A.M.[21], Забаровского В.С.[19], Городецкого А.Я. [20].
В настоящее время аналитические методы концепции фрактала находят все более широкое применение практически во всех направлениях не только естественно научных направлений, но и гуманитарных. Обнаруживаются все больше систем с фрактальными свойствами. Причем область применимости концепции фрактала непрерывно расширяется. Важно то, что среди множества задач, стоящей перед фундаментальной наукой, одна из востребованных задач - задача прогноза, и с концепцией фрактала связана надежда решения этой фундаментальной проблемы. С этой точки зрения процессы в высокоскоростных вычислительных сетях представляет пример системы, где задача прогнозирования одна из актуальных. Здесь принципиально важно и то, что современные информационные технологии как открытые системы помимо всего прочего одновременно представляют собой «экспериментальную установку» для исследования проблем детерминированного хаоса и прогноза.
Число монографий, посвященных развитию концепции фрактала и их приложений практически во всех областях естествознания, непрерывно растет [10,17,18,43,75,77] .
Цель диссертационной работы. Развитие нового подхода на основе математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка для создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой.
В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие основные задачи исследования:
- на основе математической модели линейного гармонического осциллятора разработать математическую модель «фрактального» осциллятора;
- на основе известных моделей теплопереноса разработать математическую модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой с учетом не-локальностей по времени (память) и по пространству (пространственные корреляции);
- разработать численные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка.
Обоснованность и достоверность диссертационных исследований определяются корректным применением методов исследований, математической обоснованностью полученных решений, подтверждаются результатами вычислительных экспериментов, проверкой адекватности результатов, полученных на основе разработанных моделей, с известными результатами по те-пломассопереносу.
Научная новизна работы:
• Разработана математическая модель «фрактального» осциллятора.
• Разработана математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой.
• Разработана математическая модель процесса кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой, учитывающая особенности межфазной границы.
• Разработаны численные методы решения краевых задач для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой.
• Получено обобщенное уравнение Фоккера-Планка.
Теоретическая и практическая значимость работы. Использование математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка позволяет создать новую основу для моделирования процессов теплопереноса и массопереноса в системах с фрактальной структурой. Разработанные численные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка могут служить основой для построения численных алгоритмов решения задач тепломассопереноса. Полученную математическую модель кинетики-сорбции можно использовать для оптимизации адсорбирующих процессов при получении, в частном случае, полукристаллических пленок чувствительных элементов. Полученное обобщенное уравнение Фоккера-Планка расширяет область его приложений и открывает новые возможности исследования процессов переноса с учетом эффектов памяти и пространственных корреляций в средах с фрактальной структурой.
Исследования по теме диссертации проводилось в рамках научно-исследовательских работ кафедры прикладной математики Дагестанского государственного университета.
Математические и физические аспекты концепции фрактала
Примером, где реализуется теоретико-инвариантный подход, является метод ренормгрупп и теория фазовых переходов. В статистической физике метод ренормгруппы выделяет распределения вероятностей, инвариантные относительно группы масштабных преобразований. Такие распределения , как правило, сосредоточены на фракталах. В качестве другого примера, где геометрические и физические свойства глубоко связаны, можно привести современные представления теории квантовой гравитации [32]. Особенности свойств метрики пространства и времени являются определяющими при формировании физических свойств. Например, при рассмотрении многообразии геометрических пространств, соответствующих существовании множества Вселенных время, как физический параметр вообще выпадает из рассмотрения. Квантовая гравитация рассматривается как топологическая квантовая теория. Эти направления исследования находятся на той стадии, когда главной задачей является определение таких фундаментальных понятий и величин, как топологическая окрестность, Хаусдорфова размерность, введение в скейлинг пределе концепции расстояния и т.п.
Традиционный статистический подход при описании неравновесных процессов основан на существовании параметров «сокращенного описания», выделяющихся для их описания большими временными масштабами[33]. При этом более важно то, что наряду с иерархией временных масштабов, позволяющих ввести «сокращенные параметры», существует также и определенная субординация между медленно и быстро меняющимися величинами благодаря возникновению особого рода корреляций частиц системы. Эти корреляции и приводят к тому, что параметры сокращенного описания системы начинают определять состояние системы и не нужно всякий раз проводить усреднение микроскопической динамики системы. Для того необходимо, чтобы характерные времена корреляций микроскопических переменных ттс должны быть значительно меньше характерных времен изменения макроскопических (параметров «сокращенного описания» или гидродинамических параметров) времен ттас : ттс « ттас. Именно это условия нарушается для широкого класса неупорядоченных систем, находящихся в неравновесном состоянии с реализацией процессов с коррелированной в широком диапазоне масштабов микроскопической структурой. В этом случае в системе может иметь место процессы, более быстрые, чем гидродинамические. И эти процессы не успевают релаксироваться за времена порядка ттс. Для таких быстрых процессов нарушается условие ттс «ттас и имеет место условие Тт,с ттас - Такая медленная релаксация быстрых процессов, происходящих по степенному закону т а, в конечном итоге приводит к расходящимся величинам в кинетических коэффициентах и к яркому проявлению нелинейных свойств, эффектов памяти, самоорганизации. Для таких систем также характерно отсутствие локальных приближений, как по пространственным, так и по временным характеристикам. При этом фундаментально то, что отсутст вует общее интегро-дифференциальное уравнение: на каждой стадии развития система описывается различными уравнениями. Это вызывает к отказу от традиционных методов усреднения при статистическом рассмотрении. Приходится одновременно рассмотреть и микроскопические и макроскопические пространственно временные масштабы, что принципиально отличается от традиционного подхода вообще в теоретической физике. Все это в целом и выделяет класс фрактальных систем.
Глубокая физическая природа системы, которая кроется за фрактально-стью, заключается в том, что характерный пространственный масштаб неоднородности системы может сравниться с характерными микроскопическими пространственными параметрами что, в свою очередь, приводит к необходимости анализа свойств в рамках концепции пространственной нелокальности.
Сложный характер пространственных и временных корреляций приводит к появлению эффектов памяти и самоорганизации. Описание таких свойств требует выхода за рамки традиционных методов статистической физики.
Говоря об отсутствии традиционной структуры иерархии времён релаксации имеется ввиду, что обычно между характерными микроскопическими временами т, (например время релаксации в течении которого устанавливается термодинамическое равновесии ) и характерными макроскопическими временами г„, имеет место соотношениет, «тт. Это соотношение лежит в основе вывода уравнений движения для описания свойств пористых сред используя различных процедур усреднения многочастичных функций распределения. Однако в случае пористых сред и в целом для фрактальных систем имеет место соотношение г, тт . В результате нельзя провести традиционные процедуры усреднения многочастичных функций распределения.
Рассмотренные выше особенности приводят к тому, что в теории должны явно фигурировать два характерных параметра - пространственный пара метр нелокальности Ln и характерное время г,. Это означает, что при выводе дифференциальных уравнений нельзя совершить предельные переходы Ах -» О, At -» О поскольку необходимо ограничиться пределом Ах - Lm А?-
Отметим, что предельные переходы Ах - О, At - О лежат в основе приближения локально-термодинамического равновесия и принципа пространственной локальности. В случае, когда имеет место предельные переходы Ax- Ln, At- T; применение приближения локально-термодинамического равновесия и принципа пространственной локальности несправедливо и необходимо использовать локально неравновесные модели. Отметим также, что характерной чертой локально неравновесных моделей, когда существенны нелокальные эффекты, является зависимость характерных пространственных и временных параметров системы от внешних факторов. Это принципиально важное обстоятельство, приводящее к тому, что по существу мы имеем дело с физикой открытых систем [34,35].
«Фрактальный» осциллятор с вынуждающей силой
Развитие физики фракталов и использование математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка вызвало повышенный интерес к обобщению хорошо известных модельных систем. При изучении широкого класса колебательных процессов важнейшую роль играет модель гармонического осциллятора. С одной стороны в модели осциллятора мы имеем простое обыкновенное дифференциальное уравнение с известным решением, с другой стороны, несмотря на простоту, оно охватывает существенные стороны колебательного процесса. В связи с этим, большой интерес представляет переход в уравнении для осциллятора к производной дробного порядка с целью создания основ описания физических процессов в средах с фрактальной структурой. В настоящем разделе дается обобщение задачи гармонического осциллятора с вынуждающей силой на основе дифференциальных уравнений с дробным дифференцированием и показана возможность рассмотрения на их основе нелинейных колебательных процессов.
Рассмотрим колебания во фрактальной системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными.
Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х. Если в уравнении (2.1) положить у = О, то получим уравнение фрактального осциллятора с вынуждающей силой: где 0 а 1, F{t) -вынуждающая сила. Пусть функция F(t) имеет суммируемую производную порядка п-а с началом и концом в точках 0 и / є [О,Г]. При а = 2, уравнение (2.13) переходит в известное уравнение движения для гармонического осциллятора с вынуждающей силой где со- частота свободных колебаний. В случае, когда вынуждающая сила является простой периодической функцией времени с некоторой частотой Q т общее решение уравнения (2.14) при начальных условиях х(0) = а, х(0)-Ь имеет вид [82]: Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение представляющее собой совокупность двух колебаний- с собственной частотой оис частотой вынуждающей силы Q. Решение (2.15) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае (2.15) можно представить в виде [82]: При Q - со второй член равенства (2.16) дает неопределенность 0/0. Раскрывая по правилу Лопиталя, нетрудно заметить, что имеет место соотношение: Следовательно, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем. Рассмотрим, как изменятся резонансные решения в случае «фрактально го« осциллятора. Решение уравнения (2.13) при начальных условиях х(0) = а, х(0) = Ъ в классе функций АС2[0,Т] имеет известный вид [17] Особый интерес во фрактальных средах представляет случай, когда вынуждающая сила является функцией Миттаг-Лефлера: В случае когда а = 2, F(0 = /0 cos(Q0 является простой периодической функцией с некоторой частотой Q. Найдем решение уравнения (2.13), когда правая часть имеет вид (2.15). Используя соотношение Eaa+l(-za) = l-Eal(-za), окончательно получим: Таким образом, под действием вынуждающей силы фрактальная система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний- с собственной частотой системы ис частотой вынуждающей силы Q..
В случае а = 2, мы получаем известное решение (2.16). Решение (2.20) неприменимо в случае резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Найдем общее решение уравнения движения в средах с фрактальной структурой в случае, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы.
Численные методы решения краевой задачи для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой
В настоящее время для решения дифференциальных уравнений дробного порядка используются как аналитические, так и численные методы. В связи с большими трудностями, возникающими при поиске аналитических решений уравнений с дробными производными, в данной главе предпринимается попытка разработки численного метода его решения.
Унифицированным методом приближенного решения дифференциальных уравнений, применимым для широкого класса уравнений математической физики, является метод конечных разностей (или метод сеток). Результаты моделирования при помощи метода конечных разностей имеют хорошую сходимость с экспериментальными данными. Еще одним достоинством данного метода является простота его реализации и универсальность получаемых программ.
В методе конечных разностей осуществляется переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели. При таком переходе должны сохраняться основные свойства физического процесса, прежде всего законы сохранения (тепла, массы, энергии и т.д.)
Рассмотрим краевую задачу для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка.
Постановка Задачи. Процесс переноса в средах с фрактальной структурой характеризуется нестационарным распределением частиц в пространстве, где расстояние х, которое прошла частица за время t из начальной точки, растет по степенному закону. В качестве математической модели такого процесса используется дифференциальное уравнение с дробной производной.
Рассмотрим в области D = {{x,t}: L х R, О t Т} краевую задачу следующего вида: Несмотря на долгую историю развития математического аппарата дробного дифференцирования, аналитические методы решения уравнений дробной диффузии оказываются малоэффективными, а теория численных методов их решения носит фрагментарный характер и далека от завершения. Точных методов решения задачи (3.41) не существуют. Для нахождения решения задачи (3.41) применим метод конечных разностей.
Метод конечных разностей численного решения краевой задачи для уравнения переноса двусторонней производной дробного порядка. Построим разностную схему. В области D введем сетку: с шагом h по х и г по /.
Используя определение Грюнвальда-Летникова дробной производной по пространству [12]
Из неравенств (3.43) и (3.44) следует, что собственные значения матрицы А больше либо равны 1. Тогда собственные значения матрицы Л"1 положительны и меньше либо равны 1. Следовательно, разностная схема (3.42) безусловна устойчива.
Несмотря на историческую давность повышенного интереса к исследованиям движения жидкости в пористых средах, в теории фильтрации до сих пор остается ряд нерешенных проблем. Особенности пространственной структуры, многофазность системы приводят к сложной природе явлений, для которых и в настоящее время отсутствует адекватный математический аппарат количественного рассмотрения фильтрационных течений в пористых структурах.
Как стало теперь ясно, для рассмотрения геометрии пор необходимо привлечение пространства дробной размерности [38]. Глубокая физическая природа, которая кроется за фрактальностью системы, заключается в том, что характерный пространственный масштаб неоднородности системы может сравниться с характерными микроскопическими пространственными параметрами, что в свою очередь приводит к необходимости анализа свойств в рамках концепции пространственной нелокальности [38]. Следующая особенность - многофазность - также приводит к необходимости развития принципиально иного подхода при рассмотрении свойств пористых сред. Как отмечено в [53], доля, приходящаяся на межфазную границу в пористых средах такова, что дает вклад в наблюдаемые величины. Область между двумя фазами представляет собой вещества, занимающие промежуточное состояние между взаимодействующими фазами. Для них характерны наличие флуктуации, сложная природа корреляций (обусловленная пространственной неоднородностью), и отсутствие традиционной структуры иерархии времен релаксации. Сложный характер пространственных и временных корреляций приводит к появлению эффектов памяти и самоорганизации. В силу рассмотренных причин оказываются неадекватными широко используемые при исследовании свойств пористых сред методы квантовой статистической физики неупорядоченных сред, такие, как методы Т - матрицы [56], перколяций, приближения когерентного потенциала [57]. Описание свойств систем с фрактальной структурой требует выхода за рамки традиционных методов статистической физики.
Применение математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка к задачам теории фильтрации осуществлено в работе [45].
Задача данной главы заключается в построении математической модели процесса нестационарной фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой. Исходные уравнения фильтрации в пористых средах имеют вид [56,57,58]
Систему уравнений (3.45) необходимо дополнить уравнением состояния р = р(Р,Т) и уравнением пористости m = m(P,T)=m(p). Отметим, что несмотря на широкое применение системы уравнений (3.45) и их различных модификаций [56-58], они вызывают трудности при необходимости учета эффектов памяти, пространственных корреляций и в целом объяснения нелинейных свойств системы.
Численные расчеты математической модели теплопереноса с учетом нелокальности по времени
Решение и графическое представление традиционного уравнения теплопроводности для различных краевых условий широко представлено в литературе [91]. Рассмотрим, как изменится график решения при переходе к обобщенному уравнению теплопроводности. Анализируем решение в случае задачи Коши.
На рис. 12,13 приведены результаты численного расчета задачи Коши (3.28) для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка по времени при фиксированных значениях t и при различных значениях параметра а . (график 1 при а = 1, график 2 при а = 0.7, график 3 при а = 0.5). Как видно на рис. 12,13 имеет качественное отличие распределения температуры при переходе к производным дробного порядка. Вместе экспоненциального, характерного для традиционного решения (график 1, а = 1), характера уменьшения температуры, получается распределение температуры, имеющий степенной характер (графики 2 и 3, а = 0.7,а = 0.5). Степенной характер изменения температуры в пространстве является физическим проявлением фрактальных свойств среды.
На рис. 14,15 приведены результаты численного определения изменения температуры в заданной точке пространства с изменением времени и показателя производной дробного порядка по времени. В случае уравнения в производных дробного порядка температура в заданной точке меняется быстрее.
Как видно на рис. 14 и 15 учет нелокальности по времени приводит к резкому изменению температуры в заданной точке. На рис. 15 изменение температуры приближается к скачкообразному характеру, что качественно отличается от решения традиционного уравнения.
В этом параграфе рассмотрим математическую модель распределения температуры в полуограниченной фрактальной среде с нелокальностями по времени (памятью). В качестве такой модели в 3.4.3 рассмотрено уравнение теплопроводности на полупрямой с производной дробного порядка по времени. В частности рассмотрим: и(0,0 = 4. Для графического представления решения задачи (1) воспользуемся рассмотренными в 3.5 неявными разностными схемами. Ниже приведена программа, разработанная в среде MathCAD и результаты вычислений задачи (5.1) в различные моменты времени. Как видно на графиках численного решения, распределение температуры по координате при уменьшении показателя производной дробного порядка по времени выходит на асимптотику, не зависящее от времени. При графическом представлении традиционных решений, такое явление не наблюдается. Это хорошо видно на рис. 23, 24.
Отсутствие адекватных количественных моделей явлений переноса и особенно для систем, находящихся в состояниях далеких от равновесия, связано не только со сложностью природы таких систем, но и ограниченностью методов традиционных подходов. В процессах переноса, связанных с релаксацией сильно неравновесных состояний системы, проявляются фрактальные свойства. Их количественное описание требует использование математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка.
Особый интерес, как с точки зрения фундаментальной науки, так и практической, вызывают среды с фрактальной структурой. Связано это с тем, что такие системы обладают уникальными свойствами. В них проявляются закономерности, для которых создание адекватных количественных моделей в рамках традиционных подходов оказывается невозможным. В частности многие закономерности носят степенной характер, и их объяснение в рамках традиционных подходов оказывается чрезвычайно затруднительно.
Применение метода дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет кардинально изменить создание количественных моделей. Основное отличие в том, что при создании количественной модели привлекается не одно дифференциальное уравнение, а бесконечное множество дифференциальных уравнений. При этом показатель дробности производной становится важнейшим параметром количественного анализа и позволяет естественным образом учесть особенности открытых систем. В рамках такого подхода удается из экспериментальных данных, носящих интегральный характер, восстановить природу микроскопических параметров системы.
Сформулируем основные результаты, полученные непосредственно автором. Главным результатом работы является научно обоснованное решение проблемы создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой, расчетно-экспериментальныи анализ предложенных моделей. При решении этой проблемы получены следующие основные результаты. 1. На основе математической модели линейного гармонического осциллятора построена математическая модель «фрактального» осциллятора. Установлено уменьшение амплитуды и слабое изменение периода колебаний при уменьшении показателя дробной производной. Предложенную модель можно применить для прогнозирования и анализа сложных нелинейных колебательных процессов в биологических и экономических системах, включая и стохастические процессы. 2. Построена математическая модель переноса в средах с фрактальной структурой. Установлено, что вместе экспоненциального, характерного для традиционной модели, характера уменьшения температуры, распределение температуры в средах с фрактальной структурой имеет степенной характер. А с уменьшением показателя дробной производной по координате в заданный момент времени, установлено увеличение максимального значения температуры и появление области локализации температуры. 3. Разработаны явные и неявные разностные схемы для решения краевых задач для уравнения переноса с производной дробного порядка и получены численные результаты. Предложен алгоритм и создана программа численного расчета решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производными дробного порядка по времени и по координате.
