Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задач воздействия дифрагируюдщх лазерных пучков на абсорбционно оптически бистабильную систему на основе полупроводника 10
1.1. Точечная модель. Условия существования оптической бистабильности 10
1.2. Постановка задачи нестационарного воздействия дифрагирующего светового излучения на сплошной полупроводник и разностные схемы для её решения. Координаты (z,t,x) 21
1.2.1. Случай слабой дифракции. Пространственно одномерный случай. Координаты (t,x). 21
1.2.2, Случай развитой дифракции 30
1.3. Постановка задачи и численные методы для задачи нестационарного воздействия дифрагирующего светового излучения на сплошной полупроводник в координатах (z,t,r). 33
1 А. Краткие выводы 39
Глава 2. Компьютерное моделирование формирования многодоменных структур в оптически бистабильной сплошной среде 40
2.1. Слабодифрагирующие пучки 40
2.2. Щелевые пучки. Координаты (z,t,x) 45
2.3. Формирование неподвижных многодоменных локализованных структур в сплошной нелинейной среде. Координаты (z,t,r) 50
2.3.1 Трубчатые пучки 50
2.3.2. Гауссовы пучки 53
2.3.3. Гипергауссовые пучки 58
2.5. Индуцирование доменом высокого поглощения дополнительного движущегося домена. Кординаты (z,tsr) 70
2.5.1. Распространение трубчатого пучка 71
2.5.2 Коллимированный гауссов пучок 73
2,6. Исследование неустойчивости светового пучка при его распространении в нелинейно поглощающей среде 75
2.7. Краткие выводы 83
Глава 3. Компьютерное моделирование прохождения светового пучка среды с нелинейно поглощающими слоями 84
3.1. Постановка задачи прохождения лазерного импульса слоистой нелинейной среды..84
3.1.1. Случай слоистой среды вдоль продольной координаты 84
3.1.2. Случай сегментированной среды 86
3.2. Численные эксперименты по прохождению оптического излучения слоистой среды вдольпродольной координаты 89
3.3. Компьютерное моделирование записи информации в сегментированную среду. Координаты (z, t, г) 95
3.4. Краткие выводы 99
Основные результаты 100
Литература
- Постановка задачи нестационарного воздействия дифрагирующего светового излучения на сплошной полупроводник и разностные схемы для её решения. Координаты (z,t,x)
- Постановка задачи и численные методы для задачи нестационарного воздействия дифрагирующего светового излучения на сплошной полупроводник в координатах (z,t,r).
- Формирование неподвижных многодоменных локализованных структур в сплошной нелинейной среде. Координаты (z,t,r)
- Численные эксперименты по прохождению оптического излучения слоистой среды вдольпродольной координаты
Введение к работе
Начиная с 1980 года в литературе широко изучается явление оптической биста-бильности (ОБ) и мультистабильноеги [1-64]. Суть явления оптической бистабильности состоит в возможности реализации двух устойчивых состояний системы оптическое излучение-среда при одной и той же входной интенсивности светового пучка. Если таких состояний больше двух, то имеет место оптическая мультистабильность.
Следует подчеркнуть, что данное явление находит все большее применение в различных системах передачи информации (интернет) и обработки информации, в частности в созданном недавно фирмой Lenslet первого оптического процессора [65]. Весьма пер-
4 спективным это явление представляется как для длительного хранения информации
(трехмерные оптические диски), так и для создания оперативной памяти на полностью оптической основе [66,67].
К настоящему времени известно много различных механизмов и схем реализации ОБ. Условно их можно разделить на два больших класса: резонаторные и безрезонаторные оптические бистабильные устройства. Отдельно можно выделить еще и оптически биста-бильные схемы, реализованные на основе фотонных кристаллов [68,69,70]. В первом из них используются резонаторы, внутри которых находится нелинейный элемент. Во втором классе - применяются схемы взаимодействия, основанные на прохождении световым пучком нелинейной среды. Необходимо подчеркнуть, что при изучении безрезонаторпых оптически бистабильных систем, как правило, пренебрегают дифракцией оптического излучения. Это оправдано лишь на первом этапе исследований, когда необходимо выявить принципиальную возможность реализации оптической бистабильности. Однако известно, что при распространении светового пучка в среде в случае реализации оптической бистабильности из-за нелинейного поглощения световой энергии в его профиле образуются локальные провалы в интенсивности, особенно существенные на начальном этапе взаимодействия оптического излечения с нелинейно поглощающей средой. В свою очередь, изменение профиля пучка оптического излучения приводит к его дальнейшей трансформации вследствие дифракции [71,72]. Это может привести к возрастанию интенсивности в толще среды. В результате, этого система оптическое излечение-среда может снова переключиться в верхнее состояние вблизи сечения достижения нового максимума интенсивности пучка, т.е. появится ложное переключение (или ложная запись информации) [73]. Поэтому изучение реализации безрезонаторной оптической бистабильности, основанной на возрастающем поглощении, при воздействии дифрагирующих световых пучков представляет собой актуальную проблему.
Следует также подчеркнуть, что в литературе отсутствовало достаточно адекватное описание реализации модуляционной неустойчивости светового пучка при наличии поглощения среды. В прозрачных средах анализ модуляционной неустойчивости интенсивно исследуется [74-77] в связи с важностью данного вопроса, например для проблем передачи информации.
Цель работы состояла в изучении на основе математического моделирования закономерностей реализации абсорбционной оптической бистабильности при воздействии дифрагирующих световых пучков, в частности, в изучении возможности формирования многодоменных неподвижных и движущихся структур в однородной и слоистых средах; в построении адекватного описания развития модуляционной неустойчивости световых пучков при их распространении в поглощающих нелинейных средах.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней на основе математического моделирования предсказано формирование движущихся и неподвижных доменов высокого поглощения при воздействии дифрагирующих световых пучков на нелинейно поглощающую среду в условиях реализации абсорбционной оптической бистабильности. Изучены различные механизмы формирования многодоменных структур высокого поглощения в однородных и слоистых средах с нелинейным поглощением, в частности полупроводниках. Предложен подход к адекватному учету влияния поглощения нелинейной среды при анализе модуляционной неустойчивости световых пучков, на основе которого показано, что поглощение приводит к расширению интервала неустойчивости по сравнению с ранее имевшейся в литературе оценкой этого интервала.
Так как рассматриваемые процессы описываются нелинейным уравнением Шре-дингера совместно с нелинейным уравнением относительно концентрации свободных электронов полупроводника, то основньм методом исследования является компьютерное моделирование, выполненное на основе конечно-разностных методов [78-82] с использованием метода суммарной аппроксимации. Правильность результатов компьютерного мо-
6 делирования контролировалась с помощью расчетов на последовательности сеток. Также
проводилось сравнение результатов моделирования и аналитического решения при распространении оптического излучения в линейной среде. В случае же нелинейного распространения дня контроля получаемых в компьютерном эксперименте результатов использовались аналитические решения точечной модели, в которой получены интенсивности переключения системы из одного состояния в другое и соответствующие им значения концентрации свободных электронов.
В первой главе выполнена постановка задач воздействия на полупроводник лазерных пучков в случае нелинейной зависимости его поглощения от концентрации свободных электронов полупроводника. Параграф 1.1 содержит вывод точечной модели, связь безразмерных и физических параметров, характеризующих полупроводники и описание условий существования оптической он стабильности. Выявление закономерностей взаимодействия оптического излучения с полупроводником на начальном этапе изучения целесообразно проводить именно в рамках точечной модели. В параграфе 1.2 приведены постановки задач воздействия дифрагирующего светового излучения на сплошной полупроводник и разностные схемы для их решения. Для выявления роли дифракции рассматривается также распространение слабо дифрагирующих пучков. В пункте 1.2.1 представлен пространственно одномерный и двумерный случай (оптически тонкий и толстый слой). Сформулированы соответствующие дифференциальные задачи и записаны для них разностные схемы. Для наиболее полного описания процессов происходящих в системе «световой пучок- среда» необходимо перейти к квазиоптическому приближению. В этом случае учитывается дифракция светового излучения и диффузия по двум пространственным координатам. Этому посвящен пункт 1.2.2, записана соответствующая система уравнений относительно комплексной амплитуды оптического излучения и концентрации свободных электронов. Изложен метод ее численного решения. В параграфе 1.3 рассматривается постановка задачи нестационарного воздействия дифрагирующего светового излучения на
сплошную среду и сформулированы разностные схемы для ее решения в случае наличия аксиальной симметрии оптического излучения.
Постановка задачи нестационарного воздействия дифрагирующего светового излучения на сплошной полупроводник и разностные схемы для её решения. Координаты (z,t,x)
В этом пункте сформулирована задача и записана для нее разностная схема, в случае учета диффузии по одной поперечной координате х, нормированной на радиус а светового пучка на входе в нелинейную среду. В оптически тонком случае, когда все процессы по продольной координате происходят одинаково, и, считая, что среда слабо искажает профиль пучка, взаимодействие оптического излучения с нелинейно поглощающим полупроводником описывается следующим уравнением: =D1 + l{t,x)5{tt) n,-L1[ x LXIt 0 (1.2.1) a ox с граничными и начальными условиями дп дх 1=0 -О, и1=0. (1 2-2) Коэффициент поглощения среды задается формулой S(n) = 50(\-n)txp[-y{\-/fo)l y,f3 0. (1.2.3)
Вьппе /(/, х) - нормированное на характерную величину распределение интенсивности на входе в нелинейную среду. DL - безразмерный коэффициент, характеризующий поперечную диффузию свободных электронов, который помимо свойств среды зависит также от радиуса падающего пучка. Lx - определяет половину поперечного размера нелинейной среды, который измеряется в единицах начального радиуса пучка. Для численного решения задачи (1.2.1), (1.2.2) в области G = { L x Lx;0 t Ll введем равномерную сетку oj = mt х&х, а)/ = {tk =кт, k = 0,\,2...,Nn r = L,JNt}, 0,= ,= ,1 = - ,..., , =1,/ ), L t - временной интервал, на котором анализируется решение. Определим на ней сеточные функции и введем безиндексные обозначения: n = n(tk,Xt), n = n{tk +т,хІІ), n =-(n + n), I = l(tk +T/2,xt).
Поставим в соответствие задаче (1.2.1), (1.2.2) следующую разностную схему. Во внутренних узлах сетки а запишем следующие разностные уравнения "—1 1 ( ( \ \ 1 ( — = DL(A4xh + A-lvn) + -l 5 п +8{п) — п+п т 2 2 {. \ J J 21, j lvxxn , 2 П. Граничные условия (1.2.2) аппроксимируются со вторым порядком: lx,-Ls 2D, «л-і, - l{s{n) + S(n))+n 2D, nai l{e{n)+S{n)) + n
На нулевом слое по времени сеточная функция для концентрации свободных носителей заряда определяется следующим образом я(0,х,) = 0. (1.2.4) Так как схема нелинейная, то для ее решения используем, например, следующий итерационный процесс л-1 Л 1 ґ +1 -- п+п , Л = 0,1,... П x,-Lx 2D, s+\ n,,-LS--I s\n\ + S(n) \ 0.5 + П П x,Lt - 2D± 8\h\ + 8{n) + и s+1 \ ( { \ , Л 0.5 fit,LT 2 I U Значение сеточной функции на нулевой итерации берется с предыдущего временного слоя .(=0 п -п (1.2.5) Итерационный процесс прекращается при выполнении условия max Л +І J n-h -, max + s2, єх,єг Пространственно двумерный случай. Координаты (z, t, х).
В случае оптически толстого слоя, когда вдоль направления распространения светового импульса концентрация электронов неоднородная, необходимо учитывать диффузию не только по поперечной, но и по продольной координате. Тогда в случае слабого поглощения в нелинейной среде оптического излучения, эволюция концентрации свободных электронов описывается следующим уравнением вдоль координаты z распространении оптического излучения. дгп "Г = D±T + D\\ —Г + Щ х№)-пі -к x LIt0 z lz,t 0 Ot (К 7Z (1.2.6) с начальными и граничными условиями вида Нм,=. дп x=-L„l,, дп 8z z=0.. = 0. (1.2.7) Выше Ой - нормированный коэффициент диффузии свободных электронов по продольной координате z, которая измеряется в единицах характерной длины, L, - безразмерная длина, в пределах которой анализируется распространение оптического излучения Для численного решения задачи введем в области G = \-Lx х t ,0 z L2,0 I X,} равномерную сетку со = a , x й)х x уг, да, = { = AT, А - 0,1,2...,ЛҐ, , r = Z, /#,}, a {xt lh,a = -Nx,...,Nx,hx=LjNx) I={zK=mhI,m = Q,\,2... Nt,LjNI}.
Постановка задачи и численные методы для задачи нестационарного воздействия дифрагирующего светового излучения на сплошной полупроводник в координатах (z,t,r).
Для выявления роли дифракции оптического излучения при его взаимодействии с нелинейно поглощающим полупроводником в условиях реализации оптической биста-бильности в этом параграфе приведем результаты компьютерного моделирования в случае слабого влияния дифракции (в предельном случае без ее учета). Следует подчеркнуть, что в подавляющем большинстве работ, посвященных анализу формирования волн переключения в оптически бистабильной системе, основанной на возрастающем поглощении, дифракция световых пучков не учитывалась (см. например, книги [1,2]), предполагая, что она не будет оказывать влияния при воздействии пучков с большим начальным радиусом. Однако, как было показано в [37,54], даже в этом случае дифракция оптического излучения может качественно изменить характер формирования областей высокого поглощения: образование обратного кинка [37], дифракционной неустойчивости при прохождении домена высокого поглощения [49]. Поэтому ее учет является необходимым.
В основе этих явлений лежит трансформация профиля интенсивности оптического излучения. Для иллюстрации этого при распространении оптического излучения в линейной среде в настоящем параграфе также приведены данные расчеты в координатах {z,t,r) и (z,t,x).
Нужно заметить, что для тестирования программ проводилось исследование трансформации трубчатого пучка в линейной среде (50 - 0.0), т. е. рассматривалось одно уравнение для комплексной амплитуды
Для трубчатых пучков (пучки, имеющие провал в распределении интенсивности на их оси) имеет место их фокусировка излучения [71,72]. Изменяя параметры входного пучка, можно достичь значения интенсивности в среде, достаточное для переключения системы в случае нелинейного поглощения. Нужно заметить, что при решении системы (1.3.1) - (1.3,2), (1.3.4) (в декартовых координатах) такого соотношения между интенсив-ностями получить не удалось, хотя это, по-видимому, возможно. На рисунке 2.1 изображено решение системы (1,3,1), (1.3.3), (1.3.4) при следующих значениях параметров: аг =0.57, D = 0.5.
При воздействии недифрагирующих световых пучков его взаимодействие описывается системой уравнений (1.2.1-1.2.2) или (1.2.6.-1.2.7). Рассмотрим сначала оптически тонкий случай. Тогда компьютерное моделирование проводится на основе уравнений (1.2.1-1.2.2) с распределением интенсивности вида
В настоящем параграфе рассматривается взаимодействие оптических пучков с полупроводником обладающим коэффициентом поглощения (1.2.3) с параметрами — 2.553, //7=5 в координатах (z, t, х). Необходимость такого рассмотрения обусловлена двумя обстоятельствами. Во-первых, в литературе [2,6,36,50,53] описаны закономерности формирования областей высокого поглощения в случае температурной зависимости коэффициента поглощения при фокусировке оптического излучения вглубь среды. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть этот же процесс при зависимости коэффициента поглощения от концентрации свободных электронов и продемонстрировать его и в этом случае. Заметим, что такой анализ является также тестом разработанных численных методов, так как для температурной зависимости коэффициента поглощения имеются физические эксперименты.
Во-вторых, щелевые пучки представляют самостоятельный интерес для данного класса задач, так как после прохождения поглощающего пита в трехмерных оптических носителях информации из-за неточности фокусировки в него пучок может приобрести эллиптический профиль (когда его радиусы по поперечной координате различаются). Далее его взаимодействие с поглощающими слоями при определенных условиях описывается в рамках щелевых пучков.
Формирование неподвижных многодоменных локализованных структур в сплошной нелинейной среде. Координаты (z,t,r)
Дефокусировка светового пучка уменьшает его пиковую интенсивность, что приводит к сокращению длины второго домена. Помимо этого, она сглаживает кольцевую и структуру образовавшегося трубчатого профиля пучка. В результате чего вторичное переключение системы в верхнее состояние происходит в более дальнем сечении по сравнению со случаем чисто амплитудных решеток. Подчеркнем, из-за формирования домена высокого поглощения также реализуется область быстрого изменения концентрации и по поперечной координате. Причем второй домен высокого поглощения имеет поперечный размер значительно меньший по сравнению с начальным радиусом пучка. В результате этого, при отличии от нуля коэффициента а в данной области пучка действует сильная линза. Этим и обусловлен выбор значений параметра а, представленных в подписях к рисункам, при которьк самовоздействие оптического излучения в области второго домена оказывает значительное влияние на динамику распространения приосевой области пучка. Для уменьшения эффектов самовоздействия и неоднородности воздействия, вызванного гауссовым профилем пучка, как в задачах, связанных с реализацией трехмерной оптической памяти, так и в задачах, связанных с построением оптического процессора, целесообразно использовать гипергауссовые пучки. Исходя из этого, на первый взгляд, очевидного положения рассматривалось воздействие гипергауссового пучка на полупроводник с возрастающим поглощением, которое задается следующим распределением амплитуды A(z = 0,/,r)= exp(-r2"72)(l-exp(-10r)) m = 1,2,... (2.3.3)
При проведении компьютерного моделирования для коллимированных гипергауссовых пучков с т =3 обнаружена возможность формирования трех стационарных доменов высокой концентрации вблизи оси распространения оптического излучения (см. рис. 2.3.6а штрих-пунктирная кривая). Такая структура появляется за счет сложной трансформации профиля входного гипергауссова пучка в распределение с несколькими локальными максимумами, по мере его распространения в нелинейной среде с возрастающим поглощением (рис. 2.3.66). Динамика формирования многодоменной продольной структуры изображена на рис. 2.3.6а. Обсудим эти рисунки более подробно.
На вход в среду подается гипергауссов пучок с достаточной интенсивностью для формирования области высокой концентрации свободных носителей заряда в лриосевой части вблизи входного сечения. Вследствие ее реализации в этой части среды возрастает поглощение. В случае слабой поперечной диффузии заряженных частиц из-за оптического поглощения излучения после прохождения домена его интенсивность в приосевой области становится меньшей, чем на периферийной части: образуется провал в распределении интенсивности на оси пучка. Таким образом, происходит трансформация гипергауссова профиля интенсивности в трубчатое распределение, с максимальным значением интенсивности недостаточным для образования домена высокого поглощения. При дальнейшем распространении оптического излучения его профиль вновь преобразуется в распределение с максимумом интенсивности на оси распространения значением, достаточным здесь для формирования области высокого поглощения. Этой ситуации на рис. 2.3.6а соответствует второй по времени появления домен, сформированный в области zs= 0.38. Он появляется благодаря именно реализации трубчатого профиля интенсивности пучка после его прохождения первого домена высокого поглощения. Он имеет большой продольный размер по сравнению с первым доменом.
Далее, с увеличением длины первого домена наблюдается рост еще одного домена высокого поглощения, расположенного между уже двумя сформировавшимися доменами. Учитывая то обстоятельство, что его рост совпадает по времени с увеличением протяженности по продольной координате первого домена, можно предположить, что его формирование обусловлено преломлением световых лучей на неоднородной поперечной границе первого домена, аналогично изученному в [43] механизму формирования многодоменных поперечных структур. Именно он, в данном случае, приводит к формированию дополнительного продольного домена. nfet=t„0j 1,0 Рис.2.3.6. Продольное распределение концентрации свободных электронов на оси пучка при q=2.25, Щ = D± = 10 ,Sp =15.0, (X — О, D=0.3, m=3 (а) в моменты времени t, =3.75 (сплошная линия), 6.25 (пунктир), 8.75 (точечная кривая). 18.75 (штрих-пунктир, это значение соответствует стационару). Профиль интенсивности / = \А\ (б) в .момент времени t0 =18.75 в различных сечениях при 2:=0.048 {сплошная линия), 0.059 (пунктир), 0.0Й9 (точечная кривая), 0.08 (штрих-пун ктир).
Численные эксперименты по прохождению оптического излучения слоистой среды вдольпродольной координаты
Для наглядности изложения результатов на рис. 3.2.1а пунктиром представлено продольное распределение концентрации свободных электронов в фиксированный момент времени (1=200) при воздействии коллимированного трубчатого пучка (3.1.5 ) на сплошную нелинейно поглощающую среду. Отметим, что максимальное значение концентрации в сплошной среде достигается при z-0.4, а длина домена высокого поглощения равна примерно 0.1. Параметры среды и оптического излучения подобраны таким образом, что в этом случае происходит периодическое образование и движение домена высокого поглощения от задней границы по направлению распространения лазерного излучения. На рис. 3.2.1 также изображены четыре графика, на которых представлено продольное распределение концентрации электронов на оси пучка в слоистой среде при фиксированной длине поглощающего слоя І ь и постепенно увеличивающемся расстоянии L между ними (поглощающие слои на этом и последующих графиках выделены жирными отрезками) в тот же момент Бремени (t=200). При этом важно подчеркнуть, что в отличие от сплошной среды в анализируемой здесь ситуации, распределения концентрации являются стационарными. В случаях, изображенных на рис.3.2.1а, б видны сформировавшиеся два домена высокого поглощения с максимальными значениями концентрации соответственно при z-0.375 ,0.5 (а) и при z-0.3125, 0.625 (б). Длина каждого из этих четырех доменов примерно равна 0.125. Следовательно, каждый из них по протяженности примерно равен длине домена, образовавшегося в сплошной среде (если измерять его длину по значению концентрации на уровне п=0.3).
При дальнейшем увеличении Ltr - расстояния между поглощающими слоями рис. 3.2.1в, г происходит формирование только одного домена при значениях z равных соответственно 0.5 и 0.5375. Если сравнить распределения концентрации для сплошной и слоистой сред, видно, что использование слоистой среды приводит к образованию доменов в тех сечениях по z, в которых в сплошной среде формирования домена не происходит. Особенно это хорошо заметно при сравнении распределений концентрации на рис.3.2.1а, г.
На рис. 3.2.2а пунктиром представлены два стационарных домена в случае слоистой среды, сформировавшиеся к моменту времени t=200 при воздействии первоначально коллимированного трубчатого пучка (заметим, что первый домен располагается там же, что и домен, образовавшийся в слоистой среде).
Второй же домен индуцирован сформировавшимся первым доменом, так как световой пучок, прошедший сквозь первый домен, приобретает трубчатый профиль и затем вновь трансформируется в гауссово распределение. Максимальное значение концентрации достигается при z=0.375 и 1.0. Длина первого домена составляет примерно 0.1, а второго- 0.4 безразмерных единиц.
На рис. 3.2.2 также представлены три продольных распределения концентрации свободных электронов на оси пучка в слоистой среде при различных сочетаниях длин и количества поглощающих и прозрачных слоев. При этом на рис. 3.2.2а длина поглощаю щего слоя выбрана такой, что первый (левый) домен для обоих случаев формируется в одном о том же месте. При формировании второго домена в сплошной и слоистой средах наблюдаются существенные отличия. Они проявляются из-за того, что на месте расположения второго домена в сплошной среде, в слоистой среде находится прозрачный слой. Тем не менее, в слоистой среде этот второй домен все же образуется с координатой центрального максимума концентрации равной 1.5, т.е. в 1.5 раза дальше расположения его центра в сплошной среде
При использовании трех поглощающих слоев в наших расчетах часть второго поглощающего слоя приходится на ту область пространства, в которой в сплошной среде формируется второй домен. В результате этого формируется два продольных домена на рис. 3.2.26, в, но профиль второго домена в этом случае имеет два максимума.
Для подтверждения дифракционной природы формирования нескольких доменов на рис. 3.2.3 изображены четыре графика поперечного распределения интенсивности лазерного излучения в различных сечениях по z для комбинации поглощающих и прозрачных слоев изображенных на рис. 3.2.2 а. На нем хорошо видно чередование трубчатых и гауссовых профилей, в которые трансформируется первоначальный трубчатый пучок по мере своего распространения через слоистую среду.
Аналогичные зависимости имеют место и при воздействии гауссовых коллимиро-ванньгх пучков. Так на рис. 3.2.4 изображены продольные распределения концентрации свободных электронов на оси первоначально коллимированного гауссового пучка при фиксированном значении Lab и постепенно увеличивающемся значении Ltr (аналогично рис.3.2.1).
