Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в модельных задачах стационарной теплопроводности для тонких цилиндрических тел.
1.1. Асимптотическое решение задачи о распределении температурного поля в сплошном диске 22
1.2. Асимптотический анализ стационарного температурного поля в тонком кольцевом диске методом С.А. Ломова 31
1.3. Асимптотическое определение температурного поля в тонком кольце с учетом релаксационного источника тепла 36
1.4. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений в задаче теплопроводности при нестационарном нагружении 46
1.5. Асимптотический расчет периодического температурного поля в колесе при торможении бандажными колодками 58
Глава II. Математическое моделирование и асимптотический анализ процесса диффузии газа в металле с учетом эффектов переноса
2.1. Моделирование процесса водородной диффузии в нестационарно нагруженном узле трения
2.2. Применение метода С.А. Ломова в одной задаче нестационарной электротермоэластодиффузии в образце с тонкой накладкой
2.3. Асимптотические подходы к исследованию одномерной диффузии газа в металле
2.4. Модельная задача и вычислительный эксперимент, интерпретирующие опытные данные по диффузии в системе Та-0
2.5. Регуляризованная асимптотика и устойчивость в целом решения системы дифференциальных уравнений реакции химической кинетики типа Михаэлиса-Ментен .„ 110
Глава III. Исследование спектральных свойств и асимптотические решения в математических моделях вязкоупругих тел
3.1. Квадратичный операторный пучок плоской задачи о собственных колебаниях вязкоулругого слоя
3.2. Свободные продольные и поперечные колебания вязкоулругого стержня с соредоточенными и упруго подвешенными массами .
3.3. Модельные задачи о продольных колебаниях вязкоулругого твердотоплибного заряда при горении
3.4. Математическая теория демпфера сухого трения с вязкоупругим элементом
3.5. Расчет эпюры давления в задаче упрутогидродинамической теории смазки численным и асимптотическим методами
3.6. Модель аналитического расчета вязкоупругого состояния ЖСМ в I56
контакте абсолютно твердых тел
Глава IV. Построение и анализ математических моделей спектральных задач теории МГД-колебаний вязкой бесконечнопроводящей жидкости 167
4.1. Теорема о диссипации 168
4.2. Задача Ламба о волнах в вязкой жидкости бесконечной проводимости в горизонтальном магнитном поле
4.3. Исследование спектральных свойств длинных МГД-волн в вязкой жидкости методом теории квадратичных пучков и на основе дисперсионного уравнения 189
4.4. Математическая модель демпфирования собственных колебаний произвольной длины в вязкой жидкости бесконечЕіой электропроводности 196
4.5. Эффект стабилизации собственных гравитационных колебаний двухслойной электропроводной вязкой жидкости горизонтальным магнитным полем 206
Глава V. Построение и исследование математических моделей задач о собственных МГД-колебаниях невязкой жидкости конечной электрической проводимости
5.1. Собственные колебания жидкости конечной электропроводимости 217
при наличии внешнего магнитного поля (задача Ламба)
5.2. Собственные колебания тонкого слоя жидкости конечной электропроводимости при постоянной по глубине напряженности внешнего магнитного поля 228
5.3. Собственные колебания тонкого слоя жидкости конечной электропроводимости при наличии переменного по глубине внешнего магнитного поля 244
5.4. Собственные колебания потока жидкого металла в неоднородном магнитном поле 258
5.5. Расчет затухания нормальных колебаний слоя при произвольной длине волны 263
Заключение 268
Библиографический список использованной литературы
- Асимптотическое определение температурного поля в тонком кольце с учетом релаксационного источника тепла
- Применение метода С.А. Ломова в одной задаче нестационарной электротермоэластодиффузии в образце с тонкой накладкой
- Свободные продольные и поперечные колебания вязкоулругого стержня с соредоточенными и упруго подвешенными массами
- Задача Ламба о волнах в вязкой жидкости бесконечной проводимости в горизонтальном магнитном поле
Введение к работе
В настоящее время диссипативные системы получили самое широкое распространение в различных сферах науки и отраслях техники. В обиход прочно вошел термин «синергетика» как определение специфической синтетической области познания. Не вдаваясь в детали его строгой расшифровки, отметим только, что исследуемые синергетикой системы, как правило, являются диссилативными. Сказанное, безусловно, свидетельствует в пользу актуально-сти тематики диссертационной работы.
Типичным примером диссшативных систем являются трибосистемы. Прогресс современной техники связан с интенсификацией рабочих процессов узлов трения и соответствующим повышением их тепловой напряженности. Проблема снижения тепловой напряженности особенно остро ощущается в ме-таллополимерных сопряжениях. Это обусловлено тем, что интенсификация режимов работы узлов трения, а также низкая теплопроводность полимерных материалов предопределяют возникновение в них значительного температурного градиента, механизм влияния которого на физико-механические и трибологиче-ские характеристики пока еще не достаточно выяснен.
Однако как в теоретическом, так и в экспериментальном изучении эта проблема требует дальнейшего исследования. Действительно, несмотря на большие теоретические достижения в области исследования термического три-боконтакта, отсутствуют работы, позволяющие осуществить расчет температуры в тонком поверхностном слое фрикционного взаимодействия. Более того, в исследованиях рассматривались только случаи положительного температурного градиента, когда максимальная температура трущихся тел возникает на поверхности. В реальных узлах трения весьма часто приходится сталкиваться с присутствием отрицательного температурного градиента, когда максимальная температура находится внутри объема трущихся тел. Сложность проблемы еще и в том, что объемы тела, активно участвующие в процессах трения, чрезвычайно малы. А.Ю. Ишлинский [185] отмечает, что нет цельного представления
6 о микромеханизмах процессов, протекающих в поверхностном слое. Наши знания ограничиваются гипотезами о проявлении эффектов пластифицирования и охрупчивания, сформулированными П.А. Ребиндером, а также некоторыми сведениями о протекании тех или иных химических или физических реакций.
Выяснение особенностей поведения поверхностных слоев металлополи-мерного трибоконтакта - одна из центральных задач в триботехнике. Поэтому для более глубокого знания процессов на контакте необходимо разработать не только методы диагностики, но и более полные теоретические модели, специфическое назначение которых, с одной стороны, учитывать изменения, происходящие в объеме и в пограничном слое, а, с другой - приводить к простым инженерным расчетам. Разработка такого метода и составляет одну из задач, решаемых в первых двух главах данной диссертации.
Однако знание температурного поля в узле трения и констатация фактов его влияния на физико-механические и трибологические характеристики пластмасс не дают ответа на круг вопросов, которыми озадачены исследователи-трибологи. Необходимо определить механизм этого влияния и найти математически точные или приближенные инженерные описания элементарных фрикционных актов, вытекающих, в первую очередь, из специфики полимерных материалов - их способности генерировать при трении активные продукты деструкции и накапливать электрические заряды. Наличие температурного градиента в трибосопряжении приводит к градиенту механических свойств и развитию диффузионных, трибоэлектрических и трибохимических процессов в зоне фрикционного контакта.
На основе анализа существующих теоретических представлений и экспериментальных данных в области исследования термического трибоконтакта установлено, что не только температура, но и температурный градиент является ключевой характеристикой металл ополимерной трибосистемы.
В работе предложен метод расчета температурного поля в металлополи-мерных трибосистемах, базирующийся, в отличие от известных, на теории регуляризации сингулярных возмущенных задач путем перехода в пространство
безрезонансных решений, позволивший исследовать характер изменения температуры и температурного градиента в пограничной области фрикционного контакта в зависимости от режимов и характера работы узла трения с учетом изменений свойств материала в поверхностном слое и смены граничных условий. Такой подход к исследованию термического контакта в теории трения и износа предпринят впервые В .И. Колесниковым [197], и его достоверность подтверждена экспериментально путем принципиально нового метода диагностики температурного поля с применением поверхностных акустических волн Рэлея.
Следует отметить, что в проведенных экспериментах материал предполагался идеально упругим. В действительности же все металлы обладают свойством внутреннего трения. Последнее можно имитировать введением соответствующего коэффициента вязкости, рассматривая модель Кельвина-Фойгта. На практике, как показано в третьей главе диссертационной работе, это может привести к тому, что рэлеевские волны либо вообще не будут возбуждаться гармоническим волнопродуктором, либо дойдут до волноприемника с чрезвычайно малыми амплитудами, сопоставимыми с точностью измерительной аппаратуры.
Показано, что суммарный эффект от воздействия температуры и температурного градиента резко отклоняется от правила аддитивности и имеет оптимум, в пределах которого процесс трения характеризуется минимальными устойчивыми значениями сил трения и интенсивности изнашивания.
Раскрыта физическая природа и определены закономерности влияния температуры и температурного градиента на трибоэлектрические и диффузионные процессы, происходящие в зоне контакта металлополимерной трибосисте-мы. Для фрикционных материалов основным критерием исключения повышенного износа и переноса металла на сопряженную поверхность является снижение степени наводороживания металлического контртела путем создания оптимального температурного градиента и положительной трибозарядки на нем.
Задача теории теплопроводности заключается в отыскании температуры в отдельных точках тела в любой момент времени. В математическом смысле
задача сводится к нахождению распределения температуры в теле в виде непрерывно дифференцируемой функции.
Началом систематического изучения термического контакта при трении материалов можно считать выход в свет работ Боудена и Ридлер. Дальнейший вклад в решение проблемы внесли Блок и Иегер.
Расчет температур на единичном пятне контакта провел Р. Хольм.
Последующие исследования только уточнили уже известные результаты. Из них можно отметить следующие работы: М.П. Левицкого, Линга и Сейбла, Арчарда, Дайсона, Г.А. Фазекаса.
С совершенно иных позиций рассматривает задачу термического контакта при трении для случая, когда область соприкосновения мала по сравнению с характерным размером тел, М.В. Коровчинский.
Следует сказать о работе Л.В, Янковской, в которой сделана попытка распространить метод Блока на случай макроконтакта.
Таким образом, все работы по расчету поверхностных температур сводятся к естественному обобщению методов определения последних на микро- или макроконтактах.
B.C. ЩедрОБ решил тепловую задачу трения, в которой устранены вышеуказанные недостатки.
В машиностроении с теплообразованием при трении как фактором, ограничивающим работоспособность деталей машин, исследователи столкнулись в условиях особо высоконагруженного контакта, прежде всего при ужесточении рабочих параметров тормозов.
Особенно следует здесь отметить работу А.В. Чичинадзе [257], который изучил температурные режимы тормозных устройств при трении с применением введенного им параметра-коэффициента взаимного перекрытия и разработанных уравнений тепловой динамики трения.
В настоящее время большинство работ советских и зарубежных специалистов в области термического трибоконтакта посвящено определению температурного поля тонкослойных покрытий узлов трения и много-
слойных трибосистем при стационарном и нестационарном нагружении, а также при высоких скоростях скольжения.
Так, В.А. Кудинов на основе анализа исследований деформации поверхностных слоев трущихся тел пришел к заключению, что максимальное значение температуры при трении имеет место не на поверхности трения, а на расстоянии, равном половине деформируемого слоя трущейся пары.
Существующие методы теплового расчета не позволяют, однако, определить характер изменения температурного поля в тонких поверхностных слоях трибоконтакта с учетом изменений свойств последнего. Кроме того, из анализа работ по расчету температурного поля скользящего контакта можно заключить, что все они выполнены с некоторыми приближениями в постановке граничных условий. Это обусловлено, прежде всего, непростой геометрией фрикционных сопряжений и неполным взаимным перекрытием рабочих поверхностей.
Перечень работ упомянутых выше авторов приведен в вышедшей в 2003 г. в издательстве «Наука» монографии В.И. Колесникова [197], явяляющимся научным консультантом диссертанта, раздел 2.2 которой написан, к слову, по материалам совместных с диссертантом статей [88,96,101, 104,105,114].
Методологической основой представляемой диссертационной работы является математическое моделирование, основополагающие концепции которого сформулированы в [19,235,236,251,274,290] и, безусловно, в ряде других работ.
Математический аппарат диссертации включает в себя: линейные уравнения математической физики, линейные и нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, широкий набор асимптотических методов, из которых основное внимание уделяется наиболее современному по времени своего появления методу регуляризации сингулярных возмущений С.А. Ломова, нелинейную спектральную теорию операторов, разнообразные численные методы, базирующиеся как на стандартных пакетах прикладных программ, так и на
оригинальных вычислительных программах, использующих системы языки и программирования MathCad, Mathematica, Pascal.
В определяющей четкий план действий при математическом моделировании какого-либо объекта или процесса триаде «модель - алгоритм - программа» [274] под вторым этапом подразумевается, прежде всего, выбор алгоритма для расчета на ЭВМ, иными словами представление модели в виде, удобном для применения численных методов. Между тем наличие широких возможностей, представляемых современными численными методами, не умаляет роли асимптотических методов решения уравнений изучаемой модели. Эффективность асимптотических подходов к решению уравнений, описывающих процессы в различных областях физики, биологии, экономики и т.д. продемонстрирована огромным количеством исследованных задач, имеющих значительную теоретическую и прикладную ценность. Асимптотический подход, основанный на сегодняшний день на широкой палитре методов теории регулярных и сингулярных возмущений, играет фактически роль методологического принципа, позволяющего говорить об «асимптотическом мышлении», способствующем углубленному пониманию и декомпозиции сложных систем, формированию новых понятий и выявлению иерархических связей между физическими теориями (моделями) различного уровня. Универсальность асимптотических явлений, возможность единых подходов вне зависимости от принадлежности явления той или иной области естествознания оправдывает введение по предложению М. Крускала термина «асимптотология» [13,233].
Заметим также, что и применение численных методов к решению сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (в контексте настоящей диссертационной работы под последними понимаются уравнения с малым параметром при старших производных или их части, в последнем случае иногда говорят, что малый параметр разделяет старшие производные) требует предварительного асимптотического анализа для построения устойчивых алгоритмов [67]. Более того, даже при наличии точных решений, содержащих естественные большие или малые параметры, но являющихся громоздкими и малообозримы-
и ми, переход к их асимптотическому представлению оказывается весьма полезным. Здесь речь идет о так называемом инженерном характере представляемых результатов, когда в понятие "инженерный" включается сочетание необходимой точности с простотой окончательных расчетных формул, дающих возможность делать непосредственные качественные выводы о зависимости решения от физических параметров. Примечание существенно в ситуациях, когда «прогонка» прямого численного либо точного решения требует больших затрат машинного времени, не совместимых с реальной практической ценностью задачи.
Асимптотическое определение температурного поля в тонком кольце с учетом релаксационного источника тепла
В настоящее время разработано много сравнительно простых инженерных методик для теплофизического расчета трибосопряжений. Однако, при современном состоянии техники нельзя ограничиваться только приближенным определением средней объёмной температуры узла трения, используя элементарное уравнение теплового баланса, учитывающее только теплофизические параметры одного из элементов пары трения. Поэтому большое внимание уделяется тепловым расчётам трибосопряжений, которые должны наряду с учётом значительного числа факторов, определяющих ход того или оного теплового процесса, приводить к достаточно простым расчётным формулам.
В данном параграфе рассматривается применение асимптотического метода регуляризации сингулярных возмущений [228] для исследования двумерных задач теплопроводности для подшипника. Речь идет об осесимметричной задаче о распределении температурного поля в тонком композиционном подшипнике с радиусами Но и R} (Ro Ri) толщиной 2b,
Предполагается, что на внутренней цилиндрической поверхности подшипника (\z\ 6; г = R0) имеется равномерно распределённый поверхностный источник тепла с интенсивностью О , обусловленными трением, который, в общем случае, может зависеть от переменной z. В подшипник поступает из зоны трения количество тепла, определяемое выражением Qn = ocmnQ„P = атп - так называемый «реальный» коэффициент разделения тепловых потоков.
На внешней цилиндрической поверхности подшипника (г = -Rj; \z\ е) и на торцах (\z\ = е; Ro r Ri) происходит теплообмен со средой, имеющей температуру То. Материал, из которого изготовлен подшипник, считается неизотропным, поэтому коэффициенты теплопроводности в радиальном направлении Хг и в осевом направлении І-. считаются различными. Внутри объёма материала предполагается наличие внутреннего (релаксационного) источника тепла, обусловленного внутренним трением, который имеет интенсивность pfr) = exPr(R0-r) (1.41) Введём безразмерные переменные соотношениями r = R/;z = bzf- Ra/Rx;Tf = (T T0)/T0. (1.42) Модельная краевая задача в безразмерных переменных запишется, очевидно, в виде, отличающемся от 1.2 лишь неоднородностью дифференциального уравнения.
Как видно, эффект фрикционного разогрева проявляется только в по-гранслойных членах. Если подшипник достаточно толстый, то величина exp( t) является трансцендентально малой, и соответствующими членами мож но пренебречь. В этом случае эффект фрикционного разогрева проявляется только вблизи поверхности трения.
Пример. Определим температурное поле в полимерном подшипнике со следующими параметрами: Ro = 0,04 м, Rj = 0,045 м, 2Ъ = 0,01 м, п = 120 об/мин,Р = 314 н, а = 8 вт/м2 град,/= 0,08; Хг = Хг= 0,2 вт/м. град, То = 18С. Вибрации вала считаем отсутствующими. Вычислим величины є и Biz. = / -1 =0,111; Bi:=alXl=0,2. Следовательно, можно считать, что Biz = В є, где В = 1,8. Поэтому для расчёта температуры можно применить формулу (1.84), полагая в ней М = 0. Результаты расчетов приводятся в таблице 1.1. и на рисунках 1.1. и 1.2. Выводы:
1) В случае, когда потенциал релаксационного источника тепла имеет порядок О(є) и Biz = О(є) (т.е. при слабой теплоотдаче с торцов) главный член асимптотики порождён релаксационным потенциалом, фрикционный же тепловой поток проявляется в следующем приближении, т. е. при -Js. 2) Тепловое поле фактически одномерное, так как зависимость температуры от координаты z проявляется только в членах порядка є. 3) В случае, когда потенциал релаксационного источника имеет порядок 0(іп) (т.е. мощность релаксационного источника тепла мала) влияние фрикционного и релаксационного источников тепла проявляется уже в главном члене асимптотики. 4) В случае сильной теплоотдачи с торцов подшипника Biz = 0(1) эффект фрикционного, разогрева проявляется только в погранслойных членах, т.е. носит локальный характер. 5) В случае сильной теплоотдачи с торцов подшипника и достаточно большой толщине его, эффект фрикционного разогрева проявляется только вблизи поверхности трения.
В современных машинах фрикционные узлы и тормозные устройства работают в тяжелых условиях, вызванных действием высоких температур, скоростей, статистических и динамических нагрузок. Эти факторы оказывают определенное воздействие на рабочие характеристики трибосопряжений. Следовательно, одной из задач современной науки о трении и износе является подбор оптимального сочетания материалов и прогнозирование их поведения в различиях конструкциях и при различных режимах работы.
В нагруженных узлах трения происходит значительное тепловыделение, которое может привести к оплавлению металлических материалов, деструкции полимерных и композиционных материалов, отслаиванию части объёма материала вследствии развития подповерхностных максимальных температур или отрицательных проекций VT на радиальное направление.
Основными факторами, влияющими на механические характеристики трибосопряжений, являются объёмные и поверхностные температуры, а также температурные градиенты.
При режиме повторяемого теплоимпулъсного трения, когда начальная температура не изменяется, объёмные температуры в первом приближении зависят от количества генерируемого тепла и скорости генерации тепла. Теплопо-глощающая способность фрикционных элементов таких узлов быстро снижается при приближении к пределу насыщения.
Тепловые процессы в узлах трения при повторно-кратковременных режимах происходят иначе, так как здесь наряду с начальной температурой, количеством генерируемого тепла, скоростью генерации, оказывают влияние остаточные объёмные температуры, соотношение между скоростью генерации тепла и скоростью отвода тепла от узла трения и т.д.
Применение метода С.А. Ломова в одной задаче нестационарной электротермоэластодиффузии в образце с тонкой накладкой
Обратим внимание на то, что во всех трех формулах для различных режимов теплоотдачи торцов время входит единым образом посредством функции S(r,$), а именно:
Приведенная таблица показывает, что при сильной теплоотдаче общая температура мала (наличие множителя є перед скобкой), но относительный вклад нестационарной составляющей велик; при слабой же теплоотдаче наоборот, общая температура велика, а относительный вклад нестационарной составляющей мал (наличие множителя вперед 7 IT ).
Анализ формул (1.168), (1.208), (1.209) показывает, что с уменьшением Віг толщина стационарного погранслоя увеличивается. Видно также, что относительный вклад нестационарной составляющей возрастает с ростом Bir и Віг и уменьшается с ростом д 0.
Множитель перед фигурной скобкой характеризует абсолютную температуру, которая возрастает с увеличением угла обхвата колеса колодками, рабочих параметров узла трения ( Р, V) и уменьшается с ростом Віх и Віг.
Проведенные нами численные расчеты показали наличие подповерхностного максимума в плоскости радиального сечения колеса у нестационарной составляющей температурного поля (рис. 1.4). В определенном интервале углов в максимальное значение температуры достигается не на поверхности, а внутри колеса, в результате чего в зоне трения создается отрицательный радиальный температурный градиент.
В этом нам видится причина наблюдающегося на практике интенсивного износа бандажа колес композиционными тормозными колодками. Выделяющийся из композиционной колодки в результате термомеханодеструкции водород диффундирует в зону максимальной температуры [25,54,55,311], что приводит к охрупчиванию прилегающего к поверхности катания слоя колеса и его разрушению, что вполне наглядно представлено на рис. 1.7, являющемся фотографией эксплуатировавшейся в реальных условиях тормозной колодки.
Вновь обращаясь к принципу максимума для параболического уравнения [209,213,264,278,291,302], отметим его безусловное выполнение, что хорошо видно из рис. 1.5 и 1.6.
Водородное изнашивание как один из процессов разрушения поверхностей при трении скольжения установлено сравнительно недавно (всего лишь 15-20 лет назад). Из всех видов разрушения поверхностей при трении скольжения, по-видимому, водородное изнашивание наиболее трудно поддается экспериментальному и теоретическому изучению, несмотря на то, что оно обнаруживается в узлах трения машин различных отраслей техники и по широте проявления может быть сравнимо с абразивным изнашиванием. При трении, вследствие термомеханической деструкции полимеров в зоне их контактирования с металлом, выделяются различные по своей природе твердые, жидкие и газообразные продукты, в частности, водород, который активно адсорбируется трущейся поверхностью металла. Это вызывает ее охрупчивание и разрушение и как следствие перенос с нее частиц металла на более мягкий полимерный материал. Как установлено в [25,54,55], этому способствуют градиент концентрации и градиент температуры. В [311] высказывается гипотеза о том, что максимальные концентрации водорода могут возникать в окрестностях больших градиентов термомеханических параметров, хотя этому нет достаточного (достоверного) теоретического подтверждения, то есть нет ответа на вопрос, как влияет величина и характер изменения температурного поля в образце на профиль концентрации в нем водорода. Таким образом, дальнейшие исследования в этом направлении необходимы для теоретического обоснования одной из сторон механизма водородного изнашивания, точнее, для проверки утверждения об относительном совпадении пика температуры с пиком концентрации водорода в металле.
В [6,197,198] рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение ОДУ стационарной диффузии водорода с коэффициентом диффузии, меняющимся по закону Аррениуса, при наличии локального подповерхностного максимума температуры. Из полученного в квадратурах решения при специально, правда, подобранных параметрах вытекает, что при отрицательной теплоте переноса максимум концентрации расположен в непосредственной близости температурного.
В реальных условиях узлы трения работают, как правило, в условиях нестационарного нагружения.
Рассмотрим следующую модельную задачу нестационарной диффузии в тонкой, достаточно длинной металлической пластине (стержне) в предположении о постоянстве коэффициента диффузии и при зависимости температуры только от координаты.
Свободные продольные и поперечные колебания вязкоулругого стержня с соредоточенными и упруго подвешенными массами
В фундаментальной монографии [305], посвященной вопросам диффузии газов в металле, обращается внимание на наличие химических реакций второго порядка в процессах дегазации при переходе через граничные поверхности. При этом основное значение имеют адсорбционные явления, особенно в случае каталитических реакций на металлических поверхностях. Типичной моделью реакции второго порядка является двух-стадийная реакция Михаэлиса-Ментен, в которой участвуют субстрат, энзим (катализатор или ингибитор), субстратно-энзиматический комплекс и продукт. Подробное ее описание дается в [234], там же приводится и имеющее составной характер приближенное решение соответствующей системы методом сращиваемых асимптотических разложений без обычного для практики применения этого метода обоснования. На данный момент практически не подлежит сомнению тот факт, что наилучшее приближение к точному решению в задачах рассматриваемого типа дает метод регуляризации сингулярных возмущений [228].
Запишем систему ОДУ реакции в безразмерной форме x(t) = -x + (fi]_y + xy, 9 (0 = x-W-xy, 0 t T. (2.57) с условиями Коши х(0) = 1,у (0)=0. Здесь S(t)=S(Q)x(t), S(t) - переменная концентрация субстрата, C(t)=E(0)y(t), C(t),E(t) - коцентрации комплекса и энзима, t=kjE(0)t - безразмерное время, khk.itk2 - константы к,+к3 к, ЕГО) скоростей реакции, р= г, tj= 2 , ff = r«l - малый пара S(0)k, S(0)k{ S(0) метр.
Система (2.57) - типичная сингулярно возмущенная задача. Очевидно наличие изолированного решения вырожденной (при є=0) задачи y = x(/j + x(t)J, называемого далее квазистационарным, в котором x(t) удовлетворяет так называемому присоединенному ОДУ первого порядка, решение которого в неявной форме таково: x(t) + filnx(t)-l — T]t. Ясно, что x(t), y(t) монотонно убывают, стремясь к нулю при t— +co. Следуя методике [228], удобно положить x(t) = x(t) + u(t), y(t) = y(t) + v(t) (2.58) и переписать систему в стандартном для метода Ломова виде du и є— = -є —и + є(х(і) + /л- t])v + suv, dt /л- x(t) L = „_ + J _wv_ (2.59) dt fi + x(t) dt с начальными условиями u(0) = 0, v(0)=-l/(l+ju). Спектр матрицы линейного приближения состоит из нулевого собственного числа и ненулевого l(t) = -(ju + x(t)) 0, то есть удовлетворяет условию стабильности.
Вводим далее регуляризирующую переменную т = ч f X(0)d6 и «расширенные» функции її(і,т,є), (t,t,e)7 в терминах которых задача становится регулярно возмущенной. Представляем решение в виде рядов (u,v) = 2=0sn(un(t,T), „(t,r) и выписываем нелинейную систему в частных производных нулевого приближения А1Г = 0 A = - 0+Av0-W, ив(0,0) = 09 v0(0,0) = -- . (2.60) дт от Л 1+ц
Уравнения последующих приближений являются линейными и строятся по вполне определенному алгоритму. В каждом приближении строим решения в классе так называемых безрезонансных решений Л, структура элемента которого следующая: (uJ(t,T),v/t,T)) = Y2=/uJ n,)(t)e "l,vJ " )(t)e " ), j = 0,l,... Следуя [228], можно показать, что все задачи однозначно разре шимы в Л. Нетрудно установить, что UoftJ O, а для VQ(1) получается точное решение (ряд (2.60) «обрывается»): v0(t,j) = Vg }(t)r\ где v0(n(t) остается неопределенной в рамках данного приближения с известным только начальным условием vo(J (0) = J/(l + }i). Сама же функция v0 1J(t) находится из ОДУ первого порядка, обеспечивающего отсутствие резонанса в первом приближении, т. е. принадлежность и і и vi пространству Л.
Учитывая представление (2.58), запишем главный член асимптотики: x(t)=x(t) + 0(e), / jl+x(t) 1 + ц io Ё±Ш+и; {в)+ и (Ц + Х(в))2\ .(). сів}+0() (2.61)
Выражение для vt (t) построено, но не приводится ввиду его определенной громоздкости. Оценка О (є) строго обосновывается аналогом соответствующей теоремы из [228]. Более того, расчеты показывают, что для достаточно малых е(є 0,1) вторым и третьим членами в квадратной скобке подынтегрального выражения в (2.61) можно пренебречь. Заметим, что в данной работе построено и первое приближение. Обратим внимание на «усиления» по сравнению с методом погранслойных функций А. Б. Васильевой [31], в котором производится «замораживание» переменного коэффициента x(t) в точке t=0 и в высших приближениях появляются резонансные члены вида тет ухудшающие разложения.
Задача Ламба о волнах в вязкой жидкости бесконечной проводимости в горизонтальном магнитном поле
Противоречие в [60] обходится путем привлечения гипотезы Рейнольдса. Суть её такова, если в результате теоретического расчета окажется, что (х) / Р(х)» гле / " коэффициент трения Кулона-Амонтона, то это свидетельствует о наличии режима проскальзывания, а не чистого качения. На соответствующем интервале изменения х следует по смыслу гипотезы положить т(х) = f - р(х). В любом случае теперь краевые условия будут удовлетворены (рис. 3.12).
Второй распространенный вариант сводится к использованию в расчетах эпюры давления по Герцу: Лх)=Ряяі4ї 7. (3.70)
Очевидно, что при этом а = с. Гипотезу Рейнольдса с равным основанием можно применить и в данном случае.
3) Распределение давления в аналитической форме находится из решения уравнения Реинольдса для однородной вязкой несжимаемой жидкости с учетом эффекта пьезовязкости при абсолютно твердом цилиндре и основании [52].
В размерных переменных оно записывается так: = 6ехр{ар\х )І2КУ J" Х гі2 -, р (-а)=р (с)=0, (3.71) ах [2Шгл+х ) где hm - аппликата точки х 0, /гд - коэффициент динамической вязкости, а коэффициент пьезовязкости.
Уравнение (3.71) интегрируется в квадратурах, а при удовлетворении граничных условий получается трансцендентное уравнение для определения связи между величинами а и с.
Авторами предлагается новый подход, базирующийся на выводе приближенного уравнения относительного равновесия тонкого слоя максвелловскои среды в проекции на ось ординат. С учетом введенных обозначений имеем & dp d v .„„„ дх ду дг
Массовые силы в (3.72) учтены через граничное соотношение, использованное при выводе (3.67). Действуя на (3.724) оператором М и учитывая отсутствие зависимости р от у , придем к следующему соотношению (детали перехода к безразмерным величинам опущены) d2t dx 2U2v d3v з dx2 dx 3-— = 1, 1 = -р — dx dx I г ДНЛ "л J
Инерционным членом І в соответствии с принятой концепцией можно пренебречь. Исключая, наконец, производную — с помощью равенства (3.66), dx получим окончательно -, d7x s2—-г = -Д (3.73) при граничных условиях г(-7) = т(У) = 0. (3.74) Трактовка (3.73) более чем очевидна - это приближенное уравнение равновесия сплошной среды в напряжениях.
Выписываем точное решение краевой задачи (3.73) - (3.74): x+t х 1 т р-р- -р- . (3.75) / + е г 1 + ее Структура (3.75), в особенности при широко распространенном в реальных ситуациях случае є «/, примечательна. Слагаемое z(x) = fiописывает
так называемое вырожденное (или проникающее) решение, отвечающее е = 0; два последующих слагаемых суть пограничные слои у левого и правого концов интервала, соответственно, они компенсируют невязку в выполнении краевых условий в рамках приближения г = т(х).
Стоит отметить одну характерную особенность, представляющую интерес для общей теории асимптотического метода С.А. Ломова [228]. Применение его к рассматриваемой задаче дает, в отличие от методов А,Б. Васильевой и Вишика-Люстерника [30,40], не асимптотический, а точный результат.
Схема решения такова. Вводим регуляризирующие переменные . = , f = . Переходим к расширенной функции т(х,_,+), исполь S є зуя формулу сужения т(х)= т{хг \ =. ii= zi е в Преобразуем производную d3T _д2т 2 д2т 2 д2т 1 д2т 1 д!т dx2 " дх2 є дхд + є дхд + е2 д?_ + є2 д и ищем разложение в «безрезонансном» классе W оо со Нетрудно удостовериться, что т0{х) р, fk(x) = 0,k l , все Пг (х)= const, что приводит вместо сумм к двум слагаемым C_eL,C+e + с произвольными постоянными С+_, для определения которых используется формула (3.75).
Приведем на рис.3.12 сравнительные результаты расчетов на основании методики [60] и по полученной в данной работе формуле (3.75).
Распределение касательных напряжений в области контакта: I - график функции кулоновского трения, 2 - решение задачи Коши(4.98), 3 - график решения краевой задачи (4,105) - (4.106) по формуле (4.107), кривая, проходящая через точки (-1,0),А,В,[0,1), - распределение касательных напряжений по И.Г. Горячевой [60].
Заметим, что последняя кривая принадлежит классу кусочно непрерывно дифференцируемых и имеет разрывы производных первого рода в точках А и В. Определенная по (3.75) функция т(х)е Си(-1,1),
