Введение к работе
Актуальность работы определена необходимостью прогнозирования и программирования разного рода процессов по имеющимся статистическим данным. Эти процессы, как правило, исследуются вероятностными методами, с помощью построения статистических или динамических моделей. Каждый из этих типов моделей имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-либо допущений и упрощений. Однако результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. И, главное, аналитические модели более приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, т.е. не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (теоретически - неограниченно большое) число факторов. Но и у них есть свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное - крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать путем догадок и проб. Классические подходы к построению статистических моделей рассмотрены в работах Б. Оксендаля [1], А. Н. Ширяева [2] и многих других авторов. Довольно много работ посвящено изучению процессов через построение статистических моделей. Так, например, в работах А. И. Орлова [3] и В. Н. Афанасьева [4] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции. Для этого строятся эмпирические модели которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов. В последнее время активно развивается теория прогнозирования различных явлений, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах В.И. Арнольда [5], СП. Крудюмова, Г.Г. Малинецкого [6] и многих других авторов. Строгое математическое обоснование подхода
к обработке статистических данных, базирующегося на понятии дифференциального включения, представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Бла-годатских [7], Е. В. Воскресенского [8]. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные по сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Таким образом инструменты и модели нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Поэтому необходима разработка методов прогнозирования, которые могли бы учитывать большое количество факторов и при этом позволяли строить управляемые прогнозы. В качестве основного аппарата исследования в настоящей работе использована математическая теория управления динамическими процессами, которые описываются дифференциальными включениями. В настоящей работе развивается метод, предложенный Е. В. Воскресенским в работе [8]. Этот метод является универсальным, поскольку учитывает все значения в статистической базе данных и может быть применен к процессам различной природы. Эта его особенность чрезвычайно важна, так как существующие на сегодняшний день социальные исследования (в экономике, демографии) при прогнозировании не учитывают скачкообразные изменения статистических данных и, пренебрегая ими, искажают картину [9]. Стоит отметить, что основным недостатком предлагаемого метода является слишком «широкий» прогноз, то есть большой скачок между наименьшими и наибольшими значениями измеряемых величин. Во многих задачах требуется знать лишь поведение верхней или нижней границы интегральной воронки (либо некоторых компонент), либо повлиять только на одну из них в будущем. В работе приводятся базы данных, для которых построены интегральные воронки возможных решений, а сами решения лежат на их границах. В этом видится преимущество метода, основанного на построении дифференциального включения, перед статистическим прогнозированием: метод учитывает «крайние» — маловероятные
кривые развития процессов. Отметим, что решения, полученные с помощью динамических методов (обыкновенных дифференциальных уравнений), методов математической статистики, лежат внутри конуса возможных решений. Конус возможных решений описывает всевозможные траектории, в том числе и маловероятные. Поэтому предлагаемые модели могут быть полезны при исследовании социальных проблем, оценке и прогнозировании состояния некоторых процессов биосферы.
Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели, которая позволяла бы на основе статистических данных определять динамику исследуемого процесса. Статистические данные представляют собой некоторую базу данных за известный промежуток времени. Необходимо разработать алгоритм, реализующий модель в виде дифференциального включения, с помощью которого можно строить управляемый прогноз с различными функционалами качества и без них. Разработанный алгоритм должен быть реализован в виде комплекса программ, позволяющего обрабатывать статистические данные и строить на их основе управляемый прогноз. Необходимо разработать методы прогнозирования социально-экономических процессов с различными функционалами качества в виде базы данных ограничений компонент, описывающих исследуемый процесс.
Научная новизна.
Статистические данные, представляющие собой результаты наблюдений за вектором величин, характеризующих процесс, в фиксированные моменты времени задают базу данных (временной ряд). В предположении, что этот временной ряд является рядом значений некоторой абсолютно непрерывной вектор-функции х = x(t) в моменты времени ti, строится дифференциальное включение. Функции х = x(t) являются его решениями. Учитывая то, что статистические данные имеют сезонный характер, прогноз строится на очередной сезон (или несколько сезонов) в предположении, что сезонность
сохранится. Начиная с определенного момента времени, можно ввести управление. В работе исследуются временные ряды и строятся прогнозы как с управлением, так и без него.
Разработан и реализован в виде программного продукта метод обработки статистических данных и построения прогноза в виде программного движения управляемого процесса. Все результаты являются новыми.
Научная и практическая значимость.
Описанный в диссертации метод позволяет заменить статистическое исследование процесса построением модели, основанной на дифференциальных включениях. Здесь следует отметить, что все возможные решения дифференциального включения принадлежат интегральной воронке. Это дает право считать разработанный метод более адекватным, ибо он учитывает все возможные траектории поведения процесса.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;
метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества и без него;
исследование математической модели безработицы;
программное обеспечение Сопе для построения конуса возможных решений и управляемых прогнозов;
новый подход к обработке статистических данных в виде построения дифференциального включения на основе этих данных.
Апробация работы.
Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:
объединенных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (Саранск, 2006-2010);
Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009, 1-4 июня) [А1];
III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008, 15-16 октября) [А2];
XIII научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция №78 — «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2008) [A3]
IV Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2009, 19-21 октября) [А4];
Региональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи - будущему Мордовии». Секция №77 - «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2009) [А5]
IV Международная научная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2009, 1-12 августа) [А6];
VIII Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008, 12-16 мая) [А7, А8];
Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 3-6 июня) [А9];
IX научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых (Саранск, 2010, 1-3 июля) [А10].
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, из них 2 (работы [А1, А2]) в изданиях, рекомендованных ВАК к публикации материалов диссертаций.
Структура и объем диссертации.
Похожие диссертации на Математическое моделирование управляемых процессов на основе статистических данных
