Содержание к диссертации
Введение
1 Двухуровневые схемы 17
1.1 Описание метода 18
1.2 Каноническая форма двухуровневой явной схемы 21
1.3 Устойчивость по начальным данным 25
1.4 Устойчивость по правой части 28
1.5 Численный эксперимент 31
1.6 Явно-неявная схема 34
2 Алгоритм построения адаптивной подвижной сетки 39
2.1 Алгоритм построения стационарной сетки. Критерий построения сетки 40
2.2 Движение сетки 47
3 Моделирование ламинарного пламени 52
3.1 Математическая модель ламинарного пламени с Хе = 1. Критерий построения сетки для моделирования ламинарного пламени 52
3.2 Пространственная аппроксимация системы дифференциальных уравнений 54
3.3 Процесс без теплопотерь и подогрева. Выбор оптимальных шагов по пространству и времени 56
3.4 Процесс с теплопотерями либо подогревом 58
3.4.1 Теплопотери, граничные условия слева 60
3.4.2 Теплопотери, граничные условия справа 62
3.4.3 Теплопотери, граничные условия справа, концентрация 64
3.4.4 Затухание: теплопотери на двух границах 66
3.4.5 Затухание: теплопотери на одной из границ 69
3.4.6 Затухание: точечный источник 71
3.4.7 Подогрев 73
Заключение 75
Литература 76
- Каноническая форма двухуровневой явной схемы
- Пространственная аппроксимация системы дифференциальных уравнений
- Процесс без теплопотерь и подогрева. Выбор оптимальных шагов по пространству и времени
- Теплопотери, граничные условия справа, концентрация
Введение к работе
Данная работа посвящена численному моделированию нестационарных процессов со значительной пространственно-временной разномасштаб-ностью, когда лимитирующим фактором при построении численного алгоритма является не его устойчивость, а точность. Ярким примером задач такого типа являются математические модели в теории горения. Процессы горения весьма разнообразны и играют существенную роль как в промышленном применении, так и в обыкновенной жизни; достаточно упомянуть двигатели внутреннего сгорания, теплоэнергостанции, сжигание бытовых отходов. Вычислительные сложности при моделировании обуславливаются наличием процессов с сильно различающимися характерными временами: малым временем химической реакции и большим временем диффузионного механизма тепловой релаксации. Высокая скорость превращения вещества вкупе с медленным распространением тепловых возмущений и диффузионного перемешивания реагирующей смеси приводят к формированию очень узкой зоны химической реакции с большими градиентами температуры Т и плотности т/. Попытка моделирования таких процессов с помощью простых математических инструментов, таких, как, например, равномерная сетка приведет либо к некорректности полученных результатов по причине недостаточного количества узлов сетки либо к огромным вычислительным затратам. Ча- стичньш решением этой проблемы может быть использование адаптивной структурированной пространственной сетки, которая в соответствии с подходящим критерием имеет большее количество узлов в зоне горения. Такая сетка дает возможность не производить лишние вычисления в области с небольшими градиентами вкупе с достаточным количеством узлов в области существенного изменения решения. Но только использование хорошей пространственной аппроксимации при помощи адаптивной сетки не решает вопроса построения эффективного алгоритма. Особенно это касается 2-х и 3-х мерных моделей. Так, автору не известна ни одна работа по численному моделированию распространения фронта неодномерного ламинарного пламени, в которой бы не качественно, а количественно воспроизводилась бы скорость распространения пламени..
Как уже говорилось, лимитирующим фактором является также точность по временной переменной. При этом применение неявных схем не спасает положение, поскольку шаг по времени, требуемый для обеспечения точности, соответствует шагу явной схемы. Но только (и это самое важное) в очень небольшой пространственной области. В обычных однородных явных схемах условие устойчивости является глобальным - ориентируется на самый мелкий пространственный шаг. В данной работе мы ориентируемся на новый класс "составных"явных и явно-неявных схем, в которых условие устойчивости локализуется по пространству. Помимо простоты реализации такие схемы допускают очевидное естественное распараллеливание вычислений.
Собственно, данная диссертация посвящена численному моделированию процессов диффузии-реакции при помощи составных схем. Моделирование производилось при помощи адаптивной структурированной сетки.
В качестве инструмента моделирования был использован пакет MS Visual C++ 6.0.
Далее будут приведены некоторые соображения по поводу актуальности данной тематики, цель исследования, а также будут сказаны слова о научной новизне результатов; будет описана структура диссертации.
Актуальность данной тематики обусловлена следующими факторами: Во-первых, это практическая потребность в моделировании процессов химической кинетики, нестационарной диффузии и теплопроводности в реальных объектах. В такого сорта задачах особенность решения реализуется лишь в небольшой области. Именно на такие задачи и ориентирован предложенный в данной работе алгоритм. Во-вторых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных системах. А явные методы, как уже упоминалось, обладают универсальными возможностями для распараллеливания. В-третьих, алгоритмы должны быть надежными, а для этого необходима теоретическая обоснованность используемых методов. Перечисленные факторы говорят об актуальности рассматриваемой проблематики.
Целью работы является численное моделирование процесса ламинарного горения в двумерном случае с использованием нового класса алгоритмов на специальной адаптивной структурированной сетке.
Кратко остановимся на научной новизне полученных результатов. —В диссертации предлагается развитие нового подхода к конструированию явных и явно-неявных схем решения краевых параболических задач, а именно, строятся двухуровневые явные и явно-неявные схемы со вторым порядком аппроксимации по времени в части области.
Доказаны теоремы об устойчивости по начальным данным и пра-вой части. При этом основным результатом следует считать тот факт, что устойчивость обеспечивается независимыми для каждого из блоков условиями.
Построена адаптивная подвижная сетка для решения задач типа диффузии-реакции, характеризующихся большими вторыми производными в некоторой небольшой части области.
Осуществлено моделирование ламинарного пламени в прямоугольной области при различных начальных условиях и условиях на границах. Показана корреляция результатов с формулой для скорости распространения фронта пламени по Зельдовичу [13], а также картина распространения фронта для с процесса с теплопотерями на границах при различных начальных данных, включая точечный источник.
Скажем здесь о рассматриваемой в данной работе математической модели ламинарного пламени. Это система нелинейных параболических уравнений диффузии-реакции, описывающая распространение фронта ламинарного пламени между двумя бесконечными в направлении одной из осей, например, ОУ, пластинами. Область решения представляет собой произвольное прямоугольное сечение, сделанное при фиксированном Yq. Пространство между пластинами заполнено некоторым газом с концентрацией 7] и имеющим температуру Т. В начальный момент времени происходит зажигание, а именно, в некоторой области температура газа полагается равной температуре горения, а концентрация равной 0.
Уравнения имеют следующий вид: сЬ,Р^ = АДг + д^(ч,г), где р - плотность, D - коэффициент диффузии, ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, А - коэффициент теплопроводности, Q - тепловой эффект реакции, проходящей в соответствии с законом Ар-рениуса
Щг?,Т) = Ь?ехр-^йг, где к есть предэкспонент, R - универсальная газовая постоянная, Е -энергия активации. Для рассматриваемого случая с числом Льюиса Le = l D — Х/срр.
Условия на границах задаются следующим образом: для концентрации на левой границе прямоугольника задаются условия Дирихле на остальных границах задается условие
Для температуры на левой границе задается условие Дирихле, на правой условие ?-» на верхней и нижней границах прямоугольника задаются условия Нью- тона, описывающие теплопотери ± а±Т ~ 0. дп В работе рассматриваются различные начальные данные, в том числе точечный источник.
Перейдем к структуре диссертации. Работа состоит из данного введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении ниже приведен обзор литературы по теме диссертации и краткое содержание всех глав. Главы 1,2 и 3 посвящены собственно материалам исследования. Заключение содержит список полученных результатов. Список литературы содержит 84 наименования. Ссылки на первоисточники приведены во введении. В основной части текста упоминаются лишь работы, содержащие некоторые конкретные факты, используемые для доказательств. Главы разделены на пункты с двухиндексньши номерами. В диссертации принята трехиндексная нумерация формул, теорем, лемм и ссылок на них. Первый индекс соответствует номеру главы, второй - номеру пункта главы, третий - номеру формулы или утверждения данной главы.
Известно, что параболические системы (к которым относятся и системы, описывающие процессы диффузии-реакции) относятся к жестким системам дифференциальных уравнений, для решения которых и строится предложенная в работе схема. С литературой по жестким системам можно ознакомиться в [38], [40], [45], [46], [56]. В Главе 1 (пункт 1.1) данной диссертации предлагается двухуровневая явная схема с временной аппроксимацией второго порядка по одной из групп переменных и первого по другой. Выбор явной схемы обусловлен тем, что для процессов и явлений со значительной пространственно-временной разномасштабно- стью лимитирующим фактором при построении разностных схем являет- ся не устойчивость алгоритма, а его точность. Данное соображение легло в основу развития так называемых многоуровневых явных схем [50]. Центральным моментом в конструировании методов этого класса является щ использование различных шагов по времени в разных пространственных подобластях. Первой работой по таким явным методам является статья [25], в которой предложены двухуровневые схемы первого порядка точности и показана возможность локализации условий устойчивости. Там же цитируется литература по методам с различными временными шагами в подобластях. Здесь лишь еще раз упомянем работу [37], которая,
,1г по-видимому, является первой на эту тему, и монографию [44], содержа- щую достаточно полный список литературы по данному вопросу. Скажем также о подходе конструирования явных схем, который состоит в использовании неявной схемы для части переменных и итерационном решении возникающей системы . Конечное число шагов итерационного процесса порождает, по сути дела, двухуровневую явную схему [2]. Похожая методика использовалась в работе [23], однако там и по первому набору переменных используется неявная схема, в то время как в дан-ной работе по первому набору переменных мы используем явную схему. Явно-неявные схемы, которые конструируются в разных пространственных подобластях, рассматриваются в работах [75], [26]. Кроме того, существуют схемы с переменным внутренним шагом. При этом одно из условий устойчивости, или, что то же самое, условие на количество внутренних шагов существенно ослаблено, и связано это с использованием полиномов Чебышева для определения переменного шага. Явные схемы такого типа для решения параболических уравнений были представлены в работах [27], [28], [31], [38], [74]. Вместо полиномов Чебышева можно использовать полиномы Ланцоша, введенные в [73]. Алгоритмы, использующие полиномы Ланцоша, можно найти в работах [26], [70]. При этом, если в [70] применение полиномов Ланцоша демонстрировало лишь еще одну возможность конструирования явных схем с расширенной областью устойчивости, то в работе [26] они используются по существу, без них не удается получить устойчивый алгоритм.
В пункте 1.6 рассмотрена модификация схемы, предложенной в пункте 1.1. Это явно-неявная схема с расширенной областью устойчивости, позволяющая сосредоточить особенности алгоритма в некотором операторе.
Полученный в главе основной результат состоит в локализации условий устойчивости по каждой из групп переменных (пункты 1.3 и 1.4). Исследование устойчивости при этом базируется на общей теории устойчивости разностных схем [42]. Численный эксперимент (пункт 1.5) показал сходимость метода с предполагаемым порядком (второй и первый в областях с коррекцией и без коррекции). Результаты, полученные в данной главе, являются методической основой для моделирования процесса, которому посвящена 3 глава диссертации.
Итак, какой бы мелкой мы не делали сетку во второй подобласти, это не влияет на построение сетки в первой подобласти. Правильный выбор расчетной сетки в задачах математической физики всегда был важнейшим компонентом численного решения. Более грубую сетку по пространству имеет смысл использовать в местах достаточно плавного поведения решения и коэффициентов, а более мелкую - вблизи особых точек [3], [8], [36]. Для решения задач с особенностями традиционно применяют неравномерные, сгущающиеся вблизи особенностей сетки. При рассмотрении нестационарных задач можно ориентироваться на использование методов со сгущением сеток отдельно по времени или по пространству. В более общей ситуации сетки сгущают одновременно как по пространственным переменным, так и по времени. В работах [32], [33], [34], [35], [36], [37] для повышения точности приближенного решения в части расчетной области, в которой решение имеет особенность, используются разностные схемы с более мелким шагом по времени. Однако, в этих работах рассматриваются неявные схемы. В частности, это объясняется тем, что зачастую ставят задачу построения безусловно устойчивых методов, к каким, как известно не относятся явные методы.
Аналогичные методики, использующие в зоне адаптации шаг по времени существенно более мелкий, чем вне зоны, можно найти, например, в работах [57], [78], [79], [58], [11]. Схемы с адаптацией по времени можно рассматривать как схемы на существенно неравномерных сетках по времени. В этой интерпретации вне зоны адаптации используют схемы с фиксированными (равными нулю) шагами по времени. На этой методологической основе адаптивные по времени схемы для параболических задач рассмотрены в работах [1], [5], [76]. Традиционно (см. например [10], [59]) широко применяются алгоритмы с интерполированием на границе зоны адаптации. В работе [4] исследуются схемы на локально сгущающихся сетках по времени на основе декомпозиции (разделения) расчетной области на каждом временном шаге. Такой же подход с интерполированием на границе зоны адаптации часто используется при сгущении сеток как по времени, так и по пространству [60], [61]. При этом в [62] удается установить условную сходимость таких методов.
В пункте 2.1 главы 2 описано собственно построение сетки, сгущающейся в области разрыва производных функции критерия. В настоящее время могут быть выделены два основных направления построения адаптивных сеток для нестационарных задач: метод динамических локально-сгущающихся сеток (который состоит в добавлении узлов сетки в областях низкой точности решения и их возможном изъятии в других областях) и метод подвижных сеток [8]. Преимущества и недостатки прямоугольных и подвижных сеток обсуждались, например, в работах [63], [65]. Одна из первых работ, посвященных движущимся сеткам для МКЭ - это работа [69]. В ней были использованы так называемые пространственно-временные конечные элементы. Такие элементы были применены и в работе [48], где построение сетки ведется в соответствии с градиентами решения как по пространственным, так и по временной переменным. Такой подход, по утверждению авторов статьи, решает проблемы с устойчивостью и дискретизацией оценки ошибки, а также позволяет контролировать общую ошибку. Необходимо отметить работу [52], посвященную МКЭ на составных областях; основная идея здесь заключается в решении уравнений MMPDE (moving mesh partial differential equations) отдельно в каждой подобласти. В работе [64] для построения сетки используется апостериорная оценка ошибки, а именно, в исходную непрерывную задачу подставляется дискретное решение, далее минимизируется полученный функционал. Применение динамически адаптивных сеток для исследования течений с многомасштабной структурой потока описано в работе [7]. Представляют несомненный интерес также методы построения адаптивных сеток, предлагаемых в [29]. Кроме того, существует ряд программных пакетов, использующих адаптивные сетки, такие как [80] и [84]. Отметим работу [81]. Сетка, описанная в данной работе, в значительной степени опиралась на идеи ее автора. Нужно сказать, что идеи, легшие в основу построения сетки, описанной в главе 2, просты и встречаются во многих работах, посвященных как стационарным, так и движущимся сеткам: [77, 48, 53, 68, 54, 55, 66, 47]. Каким образом организовано движение сетки, описано в пункте 2.2. Наиболее полный обзор методов построения структурных адаптивных сеток содержится в [30].
Каноническая форма двухуровневой явной схемы
В данной главе рассматриваются двухуровневые явные и явно-не явные схемы с аппроксимацией по времени второго порядка по одной из групп переменных и первого по другой для решения параболических задач вида
Выбор явной схемы обусловлен тем, что для процессов со значительной пространственно-временной разномасштабностью лимитирующим фактором при построении разностных схем является не устойчивость алгоритма, а его точность. Центральным моментом в конструировании методов этого класса является использование различных шагов по времени в разных пространственных подобластях. Глава организована следующим образом. В п.1.1 вводятся необходимые обозначения и формулируется метод. П. 1.2 посвящен приведению схемы к каноническому виду, позволяющему применить теорию устойчивости А.А. Самарского [41]. Далее, в пп. 1.3,1.4 исследуется устойчивость метода. При этом изложение предваряется необходимым для исследования набором некоторых известных фактов. В п. 1.5 приводятся численные результаты, указывающие иа второй порядок точности. И, наконец, в п.1.6 рассмотрена явно-неявная схема с расширенной областью устойчивости.
Не затрагивая здесь вопрос об аппроксимации пространственного оператора, рассмотрим разностную схему первого порядка точности по At и г вида где Ді = тт. Подробные пояснения для использованных здесь обозначений будут даны в дальнейшем. Для группы переменных и" используется явная схема с большим шагом At. Ниже предлагается увеличить порядок точности по этой группе переменных. Тем самым мы предлагаем схему не только с различными свойствами устойчивости по разным группам переменных, но и с различными порядками точности. Для такого повышения точности будет использована предложенная в [39] явная схема предиктор-корректор, замечательным отличием которой от других явных схем второго порядка точности является возможность ее реализации только с одним вычислением правой части на шаге интегрирования (как в явной схеме Эйлера). Указанная схема может быть записана в виде
Собственно, описываемый метод является комбинацией двух вышеупомянутых схем, когда вторая схема применяется к первой группе переменных.
Необходимо отметить, что при этом все наше рассмотрение осуществляется в абстрактной форме в конечномерных гильбертовых пространствах.
Введем вещественные конечномерные гильбертовы пространства Я , і = 1,2 и Я = Ні х #2 со скалярными произведениями ( , ) и ( , ) соответственно и нормами { и . При этом ( , ) = ( , )i + ( , )г- Далее, пусть Агі : НІ — НІ, Ї = 1,2 и А12 : Я2 — Hi - линейные непрерывные операторы, причем Аг{ являются самосопряженными и положительно определенными в Нг. Далее, Af2 : Hi —У Я2 - оператор, сопряженный к Л12 относительно соответствующих скалярных произведений: При этом будем предполагать, что
Здесь и далее через (t) обозначаются нормы операторов, действующих из НІ в Н{. Условие (1.1.1) соответствует разномасштабности процессов. Далее, определим оператор А : Я — Я как матричный оператор вида
Нетрудно заметить, что А является самосопряженным в Н. Будем предполагать, что оператор А является положительно полуопределенным. Хорошо известно, что для этого необходимо и достаточно положительной полуопределенности дополнения Шура 22( ) = А22 — А АїїАю В пространствах Н\ и Н? рассмотрим следующую двухуровневую раз 71+1. _I_JL ностную схему: по заданным элементам /" є Ні, Д 2 є Яі, /2 m Є If2, к = 0,..., m — 1, m 2 и «f Є if,-, г = 1, 2 найдем элементы и" Є #і, и и2 т Є Н-2 такие, что где Д = m г и г»? = и\. В дальнейшем шаг г будем называть внутренним. Таким образом, на первом шаге (1.1.3) осуществляется прогноз по явной схеме Эйлера для первой группы переменных. На втором шаге (1.1.4) по результатам прогноза линейной интерполяцией находим внутренние значения переменных первой группы. Далее, по явной схеме Эйлера (1.1.5) с внутренним шагом г вычисляем значения второй группы переменных. И наконец, на четвертом шаге (1.1,6) осуществляется коррекция решения первой группы. Отметим, что на одном шаге интегрирования At только один раз вычисляется элемент Лц-у 1, а Лцг берется с предыдущего шага. Единственным исключением является первый шаг, на котором вычисляются два элемента АЦЬ И -Дцг»}.
Собственно, данная схема позволяет использовать меньший шаг по времени в некоторой подобласти (например, с большими градиентами решения) исходной области.
Не рассматривая пока вопрос об аппроксимации, рассмотрим далее вопрос об устойчивости предложенного алгоритма.
Данный пункт посвящен приведению метода (1.1.3)-(1.1.6) к канони ческой форме двухслойной схемы [43]:
Для этой цели, во-первых, вместо переменных первой группы Ui И Vi будут введены другие переменные дп Є Ні и hn Є Ні, и для них получены соответствующие равенства, а затем будут исключены внутренние шаги во второй группе переменных. Пусть
Из равенства (1.1.6) на n-м шаге вычтем полусумму равенств (1.1.3) на на тг-м и п + 1-м шагах. В результате получим
Использование обозначений (1.2.1) приводит это равенство к виду С другой стороны, в обозначениях (1.2.1) равенство (1.1.3) может быть переписано в виде Из этого равенства и (1.2.2) немедленно следует, что Здесь и далее /, - тождественные операторы в Нг.
Теперь исключим из (1.1.5) элементы с дробными индексами, учитывая при этом равенства (1.1.4).
Пространственная аппроксимация системы дифференциальных уравнений
В дальнейшем набор прямоугольников одного размера будем называть уровнем, а нумерация уровней будет начинаться с О, то есть уровень, имеющий прямоугольники с самой большой площадью, есть нулевой уровень. Прямоугольники, составляющие уровень, будем называть ячейками. Каждый уровень описывается 2 частями, каждая из которых описывается при помощи структуры где mVect есть вектор типа int: typedef vector int mVect. Тип vector есть элемент STL(Standart Template Library), включенной в стандарт языка C++. Одна из частей, описывающих уровень, отвечает за стандартные ячейки, то есть, за прямоугольные ячейки, которые условно разбиты на 2 одинаковых треугольника (говорим здесь условно, так как информацию об этой ячейке мы можем использовать как угодно, например, считать, что прямоугольник разбит на 4 треугольника). Вторая часть отвечает за нестандартные ячейки восьми типов (см. Рис.2.1). Нестандартные ячей ки описывают соединения между уровнями к и НПТоольшая разница между уровнями на соединениях запрещена.
Строка есть номер ячейки по горизонтали, столбец - по вертикали. Нумерация начинается с нуля. Номер считается при условном разбиении исходной области только на ячейки соответствующего уровня. Нумерация для всех уровней начинается из одной произвольной угловой точки. То есть, если для нулевого уровня номер строки есть 1, то для первого это будут строки 2 и 3.
Далее опишем более подробно структуру MESH. Для обеих частей вектор Index есть упорядоченный набор номеров строк, в которых содержатся ячейки соответствующего уровня. Для стандартных ячеек вектор Level есть упорядоченный набор пар чисел. Каждая пара описывает набор прямоугольников, находящихся рядом, например, пара (2,5) опишет 4 прямоугольника, находящихся во 2, 3, 4 и 5 столбцах. Для нестандартных ячеек вектор Level есть упорядоченный по первому элементу пары набор пар чисел. Первый элемент пары описывает столбец, в котором находится ячейка, а второй ее тип. Описанная процедура задает разбиение области одинаковыми прямоугольниками в количестве dX dY. Нестандартных ячеек здесь нет. Для dX—dY=5 структура будет иметь следующий вид. Вектор Index: (0 12 3 4) и 5 одинаковых векторов Level: (04).
Здесь и далее в программе с целью избежать громоздких цитат будет приводиться примерный код, дающий представление о работе программы.
Опишем теперь критерий, в соответствии с которым происходит изменение сетки. Для этого в явном виде должна быть задана некоторая функция F. Пусть для некоторой ячейки значения этой функции в ее вершинах есть F1,F2, FZ и F4, а значение функции в центре ячейки есть Fc. Критерием разбиения ячейки уровня к на 4 ячейки уровня к+1 является условие Fl+F2+F3+Fi — ]?с\ Єь Критерием же соединения 4 ячеек одного уровня в 1 ячейку другого является условие непревышения аналогичной разностью некоторого єч для всех 4 ячеек. Для параметров єі и 2 экспериментальным путем было найдено оптимальное соотношение, позволяющее наилучшим образом отслеживать при движении сетки вид функции F : 4:1.
Далее, чтобы изменить исходную грубую сетку в соответствии с нашим критерием, начиная с 0 уровня мы производим процедуру изменения каждого уровня. Напомним, что нестандартных ячеек в сетке пока нет, она еще не приняла окончательный вид. Код соответствующей процедуры для каждого уровня приведен ниже:
После вышеупомянутых процедур необходима коррекция структуры сетки таким образом, чтобы только уровни последующих номеров могли соседствовать друг с другом. Не приводя здесь код по причине его громоздкости, скажем лишь, что перестройка начинается с уровня с максимальным номером maxNL) при этом добиваемся того, чтобы с ячейками этого уровня соседствовали лишь ячейки уровня maxNL — 1. То есть, в случае соседства ячеек других уровней происходит их разбиение на ячейки уровней с большими номерами вплоть до maxNL — 1. Таким образом доходя до уровня 1, добиваемся желаемого результата.
Построенная таким образом сетка триангулируется, то есть, ячейки-прямоугольники разбиваются на треугольники. Ясно, что ячейки, которые не соседствуют с ячейками других уровней, либо соединяются с ними только по вершинам стандартные. Информация о ячейках, отвечающих за стыки между уровнями, заносится в набор данных структуры MESH (2я часть набора данных, описывающего уровень), где хранятся упомянутым выше образом.
То есть, для хранения сетки достаточно хранить наборы целых чисел структуры MESH. Всю информацию о координатах узлов можно узнать из этой структуры, ее номера в массиве структур, 2х длин сторон прямоугольника 0 уровня, а также 2х координат некоторой точки, принятой за начало отсчета номеров строк и столбцов.
Теперь приведем несколько примеров. На Рис.2.2 и Рис.2,3 на квадрате [0,1] х [0,1] в качестве функций, по которым строится сетка, были использованы ехр( =—ооэ ) и Ф-1 + 0.3 sin 4#). Точность интерпо ляции е\ = 0.001. В качестве исходного разбиения были взяты квадраты со стороной равной .
Процесс без теплопотерь и подогрева. Выбор оптимальных шагов по пространству и времени
Данная работа посвящена численному моделированию нестационарных процессов со значительной пространственно-временной разномасштаб-ностью, когда лимитирующим фактором при построении численного алгоритма является не его устойчивость, а точность. Ярким примером задач такого типа являются математические модели в теории горения. Процессы горения весьма разнообразны и играют существенную роль как в промышленном применении, так и в обыкновенной жизни; достаточно упомянуть двигатели внутреннего сгорания, теплоэнергостанции, сжигание бытовых отходов. Вычислительные сложности при моделировании обуславливаются наличием процессов с сильно различающимися характерными временами: малым временем химической реакции и большим временем диффузионного механизма тепловой релаксации. Высокая скорость превращения вещества вкупе с медленным распространением тепловых возмущений и диффузионного перемешивания реагирующей смеси приводят к формированию очень узкой зоны химической реакции с большими градиентами температуры Т и плотности т/. Попытка моделирования таких процессов с помощью простых математических инструментов, таких, как, например, равномерная сетка приведет либо к некорректности полученных результатов по причине недостаточного количества узлов сетки либо к огромным вычислительным затратам. Частичньш решением этой проблемы может быть использование адаптивной структурированной пространственной сетки, которая в соответствии с подходящим критерием имеет большее количество узлов в зоне горения. Такая сетка дает возможность не производить лишние вычисления в области с небольшими градиентами вкупе с достаточным количеством узлов в области существенного изменения решения. Но только использование хорошей пространственной аппроксимации при помощи адаптивной сетки не решает вопроса построения эффективного алгоритма. Особенно это касается 2-х и 3-х мерных моделей. Так, автору не известна ни одна работа по численному моделированию распространения фронта неодномерного ламинарного пламени, в которой бы не качественно, а количественно воспроизводилась бы скорость распространения пламени..
Как уже говорилось, лимитирующим фактором является также точность по временной переменной. При этом применение неявных схем не спасает положение, поскольку шаг по времени, требуемый для обеспечения точности, соответствует шагу явной схемы. Но только (и это самое важное) в очень небольшой пространственной области. В обычных однородных явных схемах условие устойчивости является глобальным - ориентируется на самый мелкий пространственный шаг. В данной работе мы ориентируемся на новый класс "составных"явных и явно-неявных схем, в которых условие устойчивости локализуется по пространству. Помимо простоты реализации такие схемы допускают очевидное естественное распараллеливание вычислений.
Собственно, данная диссертация посвящена численному моделированию процессов диффузии-реакции при помощи составных схем. Моделирование производилось при помощи адаптивной структурированной сетки. В качестве инструмента моделирования был использован пакет MS Visual C++ 6.0.
Далее будут приведены некоторые соображения по поводу актуальности данной тематики, цель исследования, а также будут сказаны слова о научной новизне результатов; будет описана структура диссертации.
Актуальность данной тематики обусловлена следующими факторами: Во-первых, это практическая потребность в моделировании процессов химической кинетики, нестационарной диффузии и теплопроводности в реальных объектах. В такого сорта задачах особенность решения реализуется лишь в небольшой области. Именно на такие задачи и ориентирован предложенный в данной работе алгоритм. Во-вторых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных системах. А явные методы, как уже упоминалось, обладают универсальными возможностями для распараллеливания. В-третьих, алгоритмы должны быть надежными, а для этого необходима теоретическая обоснованность используемых методов. Перечисленные факторы говорят об актуальности рассматриваемой проблематики.
Теплопотери, граничные условия справа, концентрация
В настоящее время могут быть выделены два основных направления построения адаптивных сеток для нестационарных задач: метод динамических локально-сгущающихся сеток (который состоит в добавлении узлов сетки в областях низкой точности решения и их возможном изъятии в других областях) и метод подвижных сеток [8]. Преимущества и недостатки прямоугольных и подвижных сеток обсуждались, например, в работах [63], [65]. Одна из первых работ, посвященных движущимся сеткам для МКЭ - это работа [69]. В ней были использованы так называемые пространственно-временные конечные элементы. Такие элементы были применены и в работе [48], где построение сетки ведется в соответствии с градиентами решения как по пространственным, так и по временной переменным. Такой подход, по утверждению авторов статьи, решает проблемы с устойчивостью и дискретизацией оценки ошибки, а также позволяет контролировать общую ошибку. Необходимо отметить работу [52], посвященную МКЭ на составных областях; основная идея здесь заключается в решении уравнений MMPDE (moving mesh partial differential equations) отдельно в каждой подобласти. В работе [64] для построения сетки используется апостериорная оценка ошибки, а именно, в исходную непрерывную задачу подставляется дискретное решение, далее минимизируется полученный функционал.
Применение динамически адаптивных сеток для исследования течений с многомасштабной структурой потока описано в работе [7]. Представляют несомненный интерес также методы построения адаптивных сеток, предлагаемых в [29]. Кроме того, существует ряд программных пакетов, использующих адаптивные сетки, такие как [80] и [84]. Отметим работу [81]. Сетка, описанная в данной работе, в значительной степени опиралась на идеи ее автора. Нужно сказать, что идеи, легшие в основу построения сетки, описанной в главе 2, просты и встречаются во многих работах, посвященных как стационарным, так и движущимся сеткам: [77, 48, 53, 68, 54, 55, 66, 47]. Каким образом организовано движение сетки, описано в пункте 2.2. Наиболее полный обзор методов построения структурных адаптивных сеток содержится в [30]. посвящена результатам моделирования ламинарного пламени в прямоугольной области при различных начальных условиях и условиях на границах. В пункте 3.1 описана математическая модель ламинарного пламени [13] и сказано несколько слов о критерии построения сетки. Определение критерия построения сетки является важной проблемой, неправильный выбор критерия может усложнить вычисления и существенно исказить не только количественную, но и качественную картину процесса. В различных работах предлагаются различные способы построения сетки для моделирования ламинарных пламен. Распространение метода динамической адаптации [8] для моделирования различных режимов ламинарного горения в одномерном случае предложено в [9]. В этом методе применяется функция скорости движения некоторой нестационарной системы координат. Выбор функции скорости происходит в соответствии с принципом квазистационарности (в его основе лежит утверждение, что существует нестационарная система координат, в которой все процессы происходят стационарно), В работе [47] проводится анализ метода локальной коррекции ошибки (LDC: Local Defect Correction) в применении к стационарным ламинарным пламенам.
Дискретизация на составной сетке основана на комбинации стандартных дискретизаций на нескольких однородных сетках, покрывающих различные части области. Размеры таких локальных сеток выбираются а соответствии с поведением решения в соответствующей части области. В работе [67], посвященной численным аспектам моделирования ламинарного пламени, предлагается схема пространственной аппроксимации второго порядка на равномерной сетке и применяется многосеточный метод, который заключается в нахождении решения в части области на более грубой сетке, являющейся частью исходной "хорошей"сетки. Также рассмотрен метод конечных объемов на нескольких однородных сетках, покрывающих различные части области (как и в предыдущей работе), то есть при построении сетки также использован метод локальной коррекции ошибки LDC. По временной переменной используется неявный метод, так как в случае явного метода условия устойчивости здесь повлекут за собой требование слишком маленького шага по времени. Однако сам автор в заключении 3 главы признает, что неявный метод на каждом временном слое приводит к очень сложной для решения системе уравнений,
Пространственная аппроксимация системы уравнений, описанная в пункте 3.2, строится при помощи метода конечных элементов на линейных базисных функциях на сетке, описанной в главе 2. По математическим аспектам МКЭ имеется ряд монографий, содержащих обширную литературу. Здесь хотелось бы отметить монографию Ю.М. Лаевского [20], а также работы [21] и [22].
