Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время технологии электроники позволяют производить полупроводниковые устройства наномасштаба с различной геометрией, включая транзисторы на основе квантовых проволок. Проектирование таких устройств невозможно без предварительного численного и компьютерного моделирования и требует учёта квантовых эффектов высшего порядка в физических уравнениях, а также повышения точности численных методов их решения.
Электрон-фононное рассеяние оказывает существенное влияние на явления электронного транспорта в системах низкой размерности. В частности, от взаимодействия с продольными оптическими фононами зависит подвижность носителей и скорость насыщения, которые определяют время отклика устройства, рабочие частоты конструируемых микросхем, вольт-амперные характеристики приборов.
Учёт столкновительного уширения спектра и взаимного влияния механизмов рассеяния приводит к необходимости приближённо решать нелинейные алгебраические уравнения относительно столкновительного уширения. Выражения коэффициентов данных уравнений включают волновые функции и уровни энергии размерного квантования, которые приближённо вычисляются в ходе численного решения самосогласованной системы уравнений Шрёдингера и Пуассона. При решении такой системы спектральным методом Галёркина она сводится к системе матричных равенств, а именно, к полной проблеме собственных значений и системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). При этом элементы матриц и коэффициенты нелинейного уравнения суть двойные интегралы по области, совпадающей с поперечным сечением моделируемого устройства.
Устойчивость и границы погрешности численных методов решения данных задач прямо зависят от возмущений элементов матриц и коэффициентов уравнений, то есть непосредственно от погрешности вычисления двойных интегралов.
Большой объём вычислений, возникающий при усложнении моделируемых электронных элементов и структур, требует использования параллельных вычислительных систем.
Таким образом, актуальна задача построения распараллеливаемых компьютерных схем приближённого вычисления с высокой точностью подынтегральных функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов в качестве вычислительной и алгоритмической базы моделирования электронного транспорта в GaAs нанопроволоках.
Целью диссертационной работы является разработка и исследование варьируемых компьютерных кусочно-полиномиальных схем приближённого вычисления с высокой точностью и малой временной сложностью действительных функций одной и двух действительных переменных, производных, частных производных, а также определённых и двойных интегралов с построением на этой основе программного комплекса для моделирования электрон-фононного рассеяния в нелегированной GaAs нанопроволоке.
Для достижения поставленной цели в диссертационном исследовании поставлены следующие задачи:
1. Построить программно варьируемую кусочно-полиномиальную схему вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усредненной суммы интерполяционных полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале. На этой основе разработать видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов. Обосновать сходимость и оценить скорость сходимости данного приближения функций и определённых интегралов.
2. Разработать программно варьируемую кусочно-полиномиальную схему аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с варьируемыми степенью и числом подобластей. На этой основе разработать методы аппроксимации частных производных и приближения двойных интегралов по прямоугольной области. Доказать сходимость и оценить скорость сходимости данных приближений функций и двойных интегралов.
3. Оценить временную сложность предложенных варьируемых кусочно-полиномиальных вычислительных алгоритмов на модели неветвящихся параллельных программ.
4. На основе предложенных кусочно-полиномиальных схем вычисления двойных интегралов, а также схем вычисления корней полиномов при помощи сортировки выполнить моделирование электронного транспорта в нелегированной GaAs нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка. Уточнить известные численные значения экстремумов скоростей электрон-фононного рассеяния, а также значения уровней энергии размерного квантования GaAs нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний.
5. Создать программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности. На основе комплекса провести численный эксперимент по приближению рассматриваемых функций, производных и интегралов. На этой же основе разработать программный комплекс по моделированию GaAs нанопроволок и сравнить полученные результаты моделирования с результатами моделирования на базе других схем вычислений.
Методы исследования включают теорию и численные методы интерполяции, методы вычислительной алгебры и математического анализа, методы приближённого решения нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, методы теории сложности, методы математического, численного и компьютерного моделирования объектов и устройств наноэлектроники с двумерным квантованием, методы объектного и многопоточного программирования.
Достоверность результатов диссертации вытекает из их корректного математического обоснования, аналитических оценок скорости сходимости и погрешности предложенных методов, подтверждается результатами численного и программного эксперимента, а также результатами компьютерного моделирования.
Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:
1. Предложена модификация компьютерной варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной, отличающаяся от аналогов построением на основе усреднения полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет существенно повысить точность при минимизированной временной сложности вычисления. На этой основе даны видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида. Показана сходимость данных приближений функций и определённых интегралов со скоростью геометрической прогрессии (С. 36 – 45, 46 – 52, 152 – 155).
2. Разработана компьютерная кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных, отличающаяся от известных по построению на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной в рамках числового диапазона языка программирования границы погрешности вычисления функции. На этой основе предложены компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области. Показана сходимость данных приближений функций и интегралов со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой из двух переменных (С. 64 – 74, 77 – 80, 82 – 85, 177 – 181).
3. Показан параллелизм предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных алгоритмов вычисления функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов, даны оценки временной сложности на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамический синтез данных алгоритмов можно осуществить с логарифмической временной сложностью (С. 52 – 56, 85 – 88).
4. На основе предложенных компьютерных схем вычисления двойных интегралов и нахождения корней полиномов при помощи сортировки модернизирована математическая модель электронного транспорта в уединённой нелегированной GaAs нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка, что позволило уточнить значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования GaAs нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний (С. 99 – 134).
5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности. С помощью данного комплекса выполнен численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, включая тестовые наборы, который подтвердил существенное повышение точности предложенного метода по сравнению с известными аналогами. На данной основе разработано расширение программного комплекса для моделирования GaAs нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния (С. 56 – 62, 88 – 96, 115 – 134).
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Предложена модификация варьируемой компьютерной кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усреднения интерполяционных полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет на порядок снизить границы абсолютной погрешности аппроксимации. На этой основе разработаны видоизменения варьируемых кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов. Даны оценки сходимости и скорости сходимости предложенных схем.
2. Разработана программно варьируемая кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной границы погрешности вычисления функции. На этой основе построены методы аппроксимации частных производных и приближения двойных интегралов по прямоугольной области. Доказана сходимость процесса приближения функций и двойных интегралов сконструированных схем со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой переменной.
3. Даны оценки временной сложности предложенной модификации кусочно-полиномиального метода на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамическое построение базового алгоритма кусочно-полиномиальной аппроксимации можно выполнить с логарифмической временной сложностью.
4. Модернизация математической модели электронного транспорта в уединённой нелегированной GaAs нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка на основе предложенных кусочно-полиномиальных методов вычисления двойных интегралов с применением схем вычисления корней полиномов при помощи сортировки. В результате получены уточнения известных значений пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уточнения уровней энергии размерного квантования GaAs нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний. Показано влияние аппроксимаций обменно-корреляционного взаимодействия на соотношение вкладов механизмов рассеяния.
5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности, а также существенное повышение точности предложенных варьируемых кусочно-полиномиальных схем по сравнению с известными методами. Построен программный комплекс по моделированию GaAs нанопроволок, позволяющий рассчитать уточнённые численные значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования GaAs нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний. Согласно численным и программным экспериментам на основе данных комплексов точность расчетов таких параметров математической модели диффузионного электронного транспорта как скорость электрон-фононного рассеяния и столкновительное уширение спектра более чем на порядок превышает точность расчетов известными методами.
Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных численных методов варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации действительных функций одной и двух действительных переменных, соответствующих прямых и частных производных, а также определённых и двойных интегралов, которые используются в качестве численной и алгоритмической базы для компьютерной реализации математического моделирования GaAs нанопроволок прямоугольного поперечного сечения. Результаты моделирования применимы для конструирования полевых транзисторов с высокой подвижностью электронов (HEMT – high electron mobility transistor) на основе нанопроволок, уточнённого расчёта их электронной структуры, электрон-фононного рассеяния и, в конечном счёте, для моделирования высокоскоростных устройств наноэлектроники. В частности, повышение точности моделирования критически важно при расчёте электронного транспорта с учётом квантовых эффектов высокого порядка. Предложенные варьируемые кусочно-полиномиальные методы доведены до реализации в виде программного комплекса аппроксимации функций, производных и интегралов, который минимизирует одновременно временную сложность и абсолютную погрешность. На этой основе разработан расширенный программный комплекс для компьютерного моделирования электронной структуры и электрон-фононного рассеяния нанопроволок и транзисторных структур, ориентированный на создание высокоскоростных устройств наноэлектроники.
Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы:
1. В НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. ЮФУ приняты к использованию модификации варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усреднения полиномов Ньютона; кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей; метод численного моделирования электронного транспорта в уединённой нелегированной GaAs нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка; разработанный в диссертации программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности, с помощью которого осуществляется численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, также принято к использованию разработанное расширение программного комплекса для моделирования GaAs нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния.
2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».
3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на 52-й научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2009), III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2009), IV Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2010), 53-й научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2010), Всероссийской научно-технической конференции с международным участием: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» «КомТех-2011» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2011), XII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи-Адлер, 2011), VIII Международной научно-практической конференции «Aplikovan vdeck novinky – 2012» (Czech, Praha, 2012), VI Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем (МК-70-912)» (Пенза, ПГУ, 2012), XIII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука ХХI века» (Красноярск, КГПУ им. В.П. Астафьева, 2012), XIII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (летняя сессия) (Петрозаводск, 2012), XV Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотхнологии и микросистемы» (Ульяновск, УлГУ, 2012), Международной молодежной конференции в рамках фестиваля науки «Микроэлектронные информационно-управляющие системы и комплексы» (Воронеж, ВИВТ, 2012), Международной молодежной научной школе в рамках фестиваля науки «Летняя Суперкомпьютерная Академия» (Воронеж, ВИВТ, 2012), XIII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи-Вардане, 2012).
Публикации. По материалам работы опубликовано 20 печатных работ, из них 3 в реферируемых журналах из перечня рекомендуемых ВАК РФ.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений к трём главам. Основное содержание изложено на 158 стр., включая список литературы из 139 наименований, приложение изложено на 67 стр., включает коды программ, реализующих математические модели, а также результаты численных и программных экспериментов.
