Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Постановка задачи 10
1.1 Электронный циклотронный резонанс в физике плазмы. Обзор исследований, экспериментальная установка 10
1.2 Физическая и математическая модель. Основное уравнение . 20
Глава 2 Устойчивое решение обратной задачи 25
2.1 Устойчивые методы решения уравнений первого рода 25
2.2 Построение сглаживающего функционала Тихонова и уравнения Эйлера 36
2.3 Краевые задачи для стабилизаторов нулевого, первого, второго и третьего поряков 41
2.3.1 Краевые задачи для стабилизаторов первого порядка . 41
2.3.2 Краевые задачи для стабилизаторов второго порядка. 42
2.3.3 Краевые задачи для стабилизаторов третьего порядка. 42
2.4 Дискретизация уравнения Эйлера 43
2.4.1 Дискретизация интегрального оператора и правой части уравнения Эйлера 43
2.4.2 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка 45
2.4.3 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором второго порядка 47
2.4.4 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором третьего порядка 52
2.5 Дискретизация уравнения Эйлера с порядком 0(h2) 57
2.5.1 Первый порядок стабилизатора 57
2.5.2 Второй порядок стабилизатора 60
Глава 3 Численное исследование задачи 66
3.1 Тестирование алгоритма на модельных примерах 66
3.2 Решение задач диагностики плазмы с экспериментальными данными 79
Заключение 82
Литература 84
- Физическая и математическая модель. Основное уравнение
- Краевые задачи для стабилизаторов первого порядка
- Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка
- Решение задач диагностики плазмы с экспериментальными данными
Физическая и математическая модель. Основное уравнение
Изучение фундаментальных процессов резонансного взаимодействия магнитоактивной плазмы с электромагнитными волнами СВЧ диапазона тесно связано с проблемами генерации, нагрева плазмы и ее удержания, исследование которых необходимо для решения широкого спектра фундаментальных и прикладных задач.
Особое место в ряду этих исследований занимает изучение электронного циклотронного резонанса (ЭЦР). Интенсивное изучение этой проблемы началось в 60-х годах, когда в работе [166] было изучено движение электронов в стационарном однородном магнитном поле при наличии бегущей электромагнитной волны, когда обеспечивается условие электронно-циклотронного резонанса иосе = ш, где иосе = еВ/гпоС - циклотронная частота электрона в магнитном поле, ш - частота осциллирующего электрического поля. Исследования позволили определить условия резонансного взаимодействия электронов с электромагнитной волной и динамику частиц с учетом релятивистских эффектов.
Явление электронного циклотронного резонанса (ЭЦР) играет фундаментальную роль в физике плазмы [65]. Оно широко используется для нагрева плазмы и генерации тока в установках для термоядерного синтеза, для генерации многозарядных ионов и сгустков плазмы, генерации электромагнитного излучения различных диапазонов и в различных плазменных технологиях, [120].
Первые экспериментальные исследования ЭЦР проводились в рамках программ по термоядерному синтезу с целью изучения нагрева и удержания плазмы в магнитных ловушках разного типа [12,22,88,103,130].
Результаты фундаментальных исследований по ЭЦР-взаимодействию в области УТС были положены в основу практического приложения такой плазмы как источника частиц и излучений.
Наиболее распространенное использование ЭЦР-плазмы, как источника многозарядных ионов [116], далеко не исчерпывает ее возможности. Ввиду того, что ЭЦР-плазма устойчиво реализуется в широком диапазоне давлений 10-3 - 10-5 Торр, достигает высоких степеней ионизации (до 10) и диссоциации (до 100) и чистоты плазмообразующего газа, обладает высокими значениями электронной температуры по сравнению с другими типами разрядов, сфера ее применения достаточно обширна.
Так исследования последних 30 лет, показали, что достаточно простое управление параметрами ЭЦР - плазмы (плотность и температура) позволяет избирательно осуществлять наперед заданные физические и плазменно-химические процессы приводящие к генерации атомов, ионов и радикалов, широко используемых в технологиях тонкопленочного покрытия, обработки готовых полупроводниковых структур и создании много слойных структур. Явление ЭЦР широко используется при генерации высокотемпературной плазмы [87, 91] являющейся интенсивным источником излучения различной природы [102] синхротронное [55] и тормозное [7] а также в технике создания мощных генераторов СВЧ -диапазона [17,97] и ускорительной технике [114].
Магнитное удержание высокотемпературной плазмы сопровождается мощными радиационными процессами. Тормозное излучение является одним из основных механизмов радиационных потерь, возникающее при кулоновском рассеянии энергичных электронов на ионах присутствующих в плазменной фазе. Так, мощность тормозного излучения тормозного излучения из единицы объема плазмы с концентрацией электроновпе, М-3, эффективным зарядом ионов Z, температурой электронов Teh: , может быть оценена согласно [80]. Pbr = 1.42 х 10-40гЧлгыу/Т К(Тл) Уже в ранних работах по УТС было обнаружено, что под действием ВЧ волн в зеркальных магнитных ловушках в условиях резонанса возникает жесткое тормозное рентгеновское излучение [38].
Одночастинная теория ЭЦР-взаимодействия показывает, что в ЭЦР-плазме низкого давления в распределении электронов по энергиям наблюдаются два максимума, свидетельствующие о наличии двух электронных компонент холодной (тепловой) и горячей (надтепловой). Холодные и горячие электроны существенно разнесены по энергетической шкале, что свидетельствует о разном механизме их взаимодействия с резонансным полем, холодные без энергообмена с СВЧ-полем, в то время, как нагрев электронов горячей компоненты обеспечивается в результате их взаимодействий с СВЧ-полем, и плохом тепловом контакте.
Краевые задачи для стабилизаторов первого порядка
В [158] рассматривается непрерывный аналог итерационного метода минимизации функционала Тихонова нулевого порядка для уравнения первого рода, рассматривается модификация принципа невязки.
В [ПО] решаются методом регуляризации Тихонова уравнения первого рода с самосопряженным интегральным оператором методом Фурье.
[156] Рассмотривается конечномерная схема аппроксимации в сочетании с Тихоновской регуляризацией для решения некорректных задач. Результаты показывают, что количество дискретной информации, необходимой для решения проблемы гораздо меньше, чем традиционного конечномерном подхода.
В [129] решается конкретная прикладная задача астрофизики, сводящаяся к интегральному уравнению первого рода. Для получения устойчивого численного решения используется метод сглаживающего функционала Тихонова со стабилизатором нулевого порядка.
В [161] решается операторное уравнение первого рода, приближенно-решение которого строится методом сглаживающего функционала Тихонова со стабилизатором нулевого порядка. В [164] рассматриваются численные методы для решения линейных систем большой размерности с помощью модификаций метода Тихонова со стабилизатором нулевого порядка. В [141] разработаны регуляризирующие алгоритмы со стабилизатором, включающем матрицу, которая в принципе может иметь вид разностного оператора, но в работе эта связь с производной , тем более высокого порядка не проведена. В [169] рассматриваются операторные уравнения первого рода. Получены оценки для приближенного решения, полученного методом Тихонова и его модификациями. В [104] разработаны регуляризирующие алгоритмы со стабилизатором, включающем матрицу, которая в может иметь вид разностного оператора приведены примеры в том числе для разностного оператора первого и второго порядка. В [108] рассматривается один из возможных итерационных методов на основе метода Тихонова со стабилизатором нулевого порядка. В [148] реализован вероятностный подход к решению линейных систем методом Тихонова со стабилизатором нулевого порядка. В [152] предлагается стратегия выбора параметров регуляризации в регуляризации Тихонова для стабилизитора нулевого порядка. Работа [119] посвящена принципу выбора параметра регуляризации для стабилизатора нулевого порядка. В [125] предложен алгоритм для решения линейных интегральных уравнений первого рода со стабилизатором нулевого порядка.
В [139] рассматриваются стабилизаторы, допускающие вариант разностных производных, но примеры приведены для регуляризации нулевого порядка.
В [171] рассматриваются стабилизаторы пониженного порядка (условные стабилизаторы [29]), в том числе для неодномерных интегральных уравнений первого рода. В качестве примеров рассматриваются искомые решения "практически"равные нулю на границе.
В работе [25] рассматривается двумерное интегральное уравнение первого рода. Изучаются возможности распараллеливания алгоритмов решения. Характер искомых решений предполагает нулевые граничные условия.
В [42] решается задача восстановления профиля концентрации примеси по регистрируемогу излучению, которая сводится к уравнению первого рода. Используется регуляризация нулевого порядка. По тестовым примерам видны искажения решения, не обращающегося в нуль на конце отрезка.
В работе [121] изучается функция распределения электронов по энергиям (ФРЭЭ) на основе решения соответствующего интегрального уравнения. Используется регуляризация нулевого порядка.
В [181] рассматривается решение матричных систем высокой размерности с регуляризацией, соответствующей первому порядку. В [92] рассматриваются уравнения первого рода (линейные системы уравнений) с приближенно заданной правой частью и приближенно заданной матрицей. Используется фактически регуляризация нулевого порядка.
В [27] рассмотрен метод решения обратной задачи спектроскопии, основанный на решении операторных уравнений первого рода. Регуляризация соответствует нулевому порядку. [26] для уравнений первого рода рассматривается регуляризация в пространствах функций с ограниченной вариацией, которая сводится к ре 35 гуляризации первого порядка.
В [134] для ядер, заданных аналитически, используется регуляризация, соответчтвующая нулевому порядку. В [99] построен итерационный алгоритм для регуляризованной по Тихонову системы линейных уравнений с естественной стабилизацией нулевого порядка. В [144] для линейных систем построены методы со стабилизацией нулевого, первого и второго порядков, однако без анализа соответствующих краевых условий. В [174] рассматриваются нелинейные уравнения. Применяется регу-лиризация нулевого порядка. В [140] задача спектроскопии решается в том числе методом Фурье со стабилизацией нулевого и первого порядка. В [106] для модельных задач используется метод Тихонова со стабилизатором нулевого порядка. В [126] исследуется погрешность регуляризованного решения для стабилизатора нулевого порядка. Приведенный обзор показывает, что практически все результаты по устойчивому решению уравнений первого рода при применении метода Тихонова со стабилизатором нулевого и первого порядка.
Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка
На рисунке (3.1.2) представлен график невязки, рассчитанной в зависимости от величины параметра регуляризации при стабилизаторе первого порядка. График имеет характерный минимум. Слева от него при малых значениях параметра происходит разрушение решения и рост невязки при уменьшении параметра. Справа от минимума при больших значениях происходит сильное сглаживание решения и невязка растет с ростом параметра. Значение параметра, соответствующее минимуму невязки, принимается за искомое оптимальное.
График невязки. На рисунке (3.1.3) приведены графики точного решения интегрального уравнения - точная функция распределения электронов по энергиям (в виде тонкой линии) и приближенного решения (жирная линия), полученного при оптимальном значении параметра регуляризации, соответствующем регуляризации первого порядка. На графике хорошо виден дефект приближенного решения в виде характерного изгиба с выходом на нулевое значение производной в крайней левой точке интервала, а также колебания приближенного решения около значений точной функции.
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе первого порядка. На рисунке (3.1.4) также как и на рисунке (3.1.3) приведены графики точного решения интегрального уравнения - точная функция распределения электронов по энергиям (в виде тонкой линии) и приближенного решения (жирная линия), полученного при оптимальном значении параметра регуляризации, соответствующем регуляризации второго порядка. На графике видно отсутствие дефекта приближенного решения в виде нулевого значения производной. Видно практически полное совпадение точного и приближенного решения
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе второго порядка. На рисунке (3.1.5) тот же график представлен при меньшем значении параметра регуляризации а, видно, что в области у 100 колебания больше, чем на предыдущим рисунке. Это связно с тем, что в задаче при вычислениях накапливается неточность вычислений и реальное значение 5 не равно нулю и требует выбора параметра а большего по величине.
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе второго порядка при меньшем значении параметра, чем на предыдущей рисунке . На рисунке (3.1.6) та же ситуации,что и на рис. (3.1.3) но здесь в правую часть внесена погрешность (относительная погрешность 1 процент), это приводит к увеличению использованного значения параметра регуляризации. За счёт этого в области у 100 меньше колебаний но эффект нулевой производной хорошо виден. Погрешность аппроксимации в данном случае - о (К)
Рис. 3.1.6. Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе первого порядка с возмущенной правой частью. На рис.(3.1.7) приведены результаты расчетов с матрицей соответствующей аппроксимация уравнения Эйлера с порядком О (К2) По рисунке видно, что и существенным измененных это на проводит по сравнению с рисунком (3.1.6) где аппроксимация О (К).
Результат, аналогичный результату на предыдущем рисунке, но с аппроксимацией 0(h2). Эффект нулевой производной можно уменьшить, уменьшая параметр регуляризации а, но это ведёт к усилению колебаний решения в области у 60 это видно из рисунка (3.1.8).
Результат, аналогичный результату на рисунке 3.1.3, но с меньшем параметром регуляризации а. Приведем также результат для функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка с весом [73]. На рисунке видно что эффект нулевю производно уменьшается и менше становятся колебания а области у 60 чем не предыдущем рисунке.
Алгоритмы, разработанные во второй главе, и проверенные на модельных примерах в параграфе 3.1 были использованы при обработке данных эксперимента, полученных на экспериментальной установке в лаборатории физики плазмы кафедры прикладной физики РУДН. Описание установки и ее основные параметры приведены в параграфе 1.1. Установка и эксперимент соответствовали математическим конструкциям (2.4.17)-(2.4.20) в описании ядра интегрального уравнения. При этом функции j1 в (2.4.18) и о" в (2.4.20) моделировались в соответствие с параметрами установки и получены в виде полиномиальных приближений результатов измерений при тестировании установки. В рассчетах использовались функции /1 и о" в виде приведенных ниже многочленов 3-ей степени
Решение задач диагностики плазмы с экспериментальными данными
На рисунке (3.1.2) представлен график невязки, рассчитанной в зависимости от величины параметра регуляризации при стабилизаторе первого порядка. График имеет характерный минимум. Слева от него при малых значениях параметра происходит разрушение решения и рост невязки при уменьшении параметра. Справа от минимума при больших значениях происходит сильное сглаживание решения и невязка растет с ростом параметра. Значение параметра, соответствующее минимуму невязки, принимается за искомое оптимальное.
График невязки. На рисунке (3.1.3) приведены графики точного решения интегрального уравнения - точная функция распределения электронов по энергиям (в виде тонкой линии) и приближенного решения (жирная линия), полученного при оптимальном значении параметра регуляризации, соответствующем регуляризации первого порядка. На графике хорошо виден дефект приближенного решения в виде характерного изгиба с выходом на нулевое значение производной в крайней левой точке интервала, а также колебания приближенного решения около значений точной функции.
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе первого порядка. На рисунке (3.1.4) также как и на рисунке (3.1.3) приведены графики точного решения интегрального уравнения - точная функция распределения электронов по энергиям (в виде тонкой линии) и приближенного решения (жирная линия), полученного при оптимальном значении параметра регуляризации, соответствующем регуляризации второго порядка. На графике видно отсутствие дефекта приближенного решения в виде нулевого значения производной. Видно практически полное совпадение точного и приближенного решения
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе второго порядка. На рисунке (3.1.5) тот же график представлен при меньшем значении параметра регуляризации а, видно, что в области у 100 колебания больше, чем на предыдущим рисунке. Это связно с тем, что в задаче при вычислениях накапливается неточность вычислений и реальное значение 5 не равно нулю и требует выбора параметра а большего по величине.
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе второго порядка при меньшем значении параметра, чем на предыдущей рисунке . На рисунке (3.1.6) та же ситуации,что и на рис. (3.1.3) но здесь в правую часть внесена погрешность (относительная погрешность 1 процент), это приводит к увеличению использованного значения параметра регуляризации. За счёт этого в области у 100 меньше колебаний но эффект нулевой производной хорошо виден. Погрешность аппроксимации в данном случае - о (К)
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе первого порядка с возмущенной правой частью. На рис.(3.1.7) приведены результаты расчетов с матрицей соответствующей аппроксимация уравнения Эйлера с порядком О (К2) По рисунке видно, что и существенным измененных это на проводит по сравнению с рисунком (3.1.6) где аппроксимация О (К).
Результат, аналогичный результату на предыдущем рисунке, но с аппроксимацией 0(h2). Эффект нулевой производной можно уменьшить, уменьшая параметр регуляризации а, но это ведёт к усилению колебаний решения в области у 60 это видно из рисунка (3.1.8).
Результат, аналогичный результату на рисунке 3.1.3, но с меньшем параметром регуляризации а. Приведем также результат для функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка с весом [73]. На рисунке видно что эффект нулевю производно уменьшается и менше становятся колебания а области у 60 чем не предыдущем рисунке.
Алгоритмы, разработанные во второй главе, и проверенные на модельных примерах в параграфе 3.1 были использованы при обработке данных эксперимента, полученных на экспериментальной установке в лаборатории физики плазмы кафедры прикладной физики РУДН. Описание установки и ее основные параметры приведены в параграфе 1.1. Установка и эксперимент соответствовали математическим конструкциям (2.4.17)-(2.4.20) в описании ядра интегрального уравнения. При этом функции j1 в (2.4.18) и о" в (2.4.20) моделировались в соответствие с параметрами установки и получены в виде полиномиальных приближений результатов измерений при тестировании установки. В рассчетах использовались функции /1 и о" в виде приведенных ниже многочленов 3-ей степени
На рисунках (3.2.13), (3.2.14) представленна ситуация с восстановлением функции распределения электронов в многокомпонентной плазме. На рисунке (3.2.13) изображения правая часть интегрального уравнения при і3:\plasmaRes\input\A_rhs_42-151 3:\plasmaRes\i]iput\Aj"hs_42-151 ) 605.dat u 1:3 )_605.dat u 1:5 \ д VI : Ч г- — і различных температурах. На рисунке (3.2.14) приведены соответствующие приближенные регуляризованные решения, полученнвіе со стабилизатором второго порядка при аппроксимации уравнения 0(h2). Параметр регуляризации выборам такой же как и на рис. (3.1.4) Максимумы функций на графиках на рисунке (3.2.14) указывают на относительное преобладание электронов соответствующей энергии что позволяет говорить о двухком-понентной плазме. 2500
1. Разработаны устойчивые численные алгоритмы решения интегрального уравнения первого рода на основе метода сглаживающего функционала Тихонова со стабилизатором повышенного порядка в приложении к задаче восстановления функции распределения электронов по энергиям по интенсивности тормозного излучения.
2. Получены схемы дискретизации краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Эйлера для функционала Тихонова, обеспечивающих второй порядок аппроксимации по шагу дискретизации.
3. Показана эффективность разработанных алгоритмов на модельных примерах максвелловского распределения электронов по энергиям. 4. Проведены расчеты функции распределения по реальным данным эксперимента на плазменном ускорителе.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Ланееву Евгению Борисовичу за руководство над работой, создание условий для ее проведения, постоянную поддержку и внимание. Автор признателен - кандидату физико-математических наук, Муратову Михаилу Николаевичу и сотрудникам кафедры нелинейного анализа и оптимизации за помощь и поддержку. Особую благодарность автор выражает кандидату физико-математических наук доценту В.В. Андрееву за предоставленную возможность обработки данных, снятых с экспериментальной установки, постоянные обсуждения результатов и внимание к работе.
