Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Постановка задачи 10
1.1 Электронный циклотронный резонанс в физике плазмы. Обзор исследований, экспериментальная установка 10
1.2 Физическая и математическая модель. Основное уравнение . 20
Глава 2 Устойчивое решение обратной задачи 25
2.1 Устойчивые методы решения уравнений первого рода . 25
2.2 Построение сглаживающего функционала Тихонова и уравнения Эйлера 36
2.3 Краевые задачи для стабилизаторов нулевого, первого, второго и третьего поряков 41
2.3.1 Краевые задачи для стабилизаторов первого порядка. 41
2.3.2 Краевые задачи для стабилизаторов второго порядка. 42
2.3.3 Краевые задачи для стабилизаторов третьего порядка. 42
2.4 Дискретизация уравнения Эйлера 43
2.4.1 Дискретизация интегрального оператора и правой части уравнения Эйлера 43
2.4.2 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка 45
2.4.3 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором второго порядка 47
2.4.4 Дискретизация уравнения Эйлера для функционала Тихонова со стабилизатором третьего порядка 52
2.5 Дискретизация уравнения Эйлера с порядком 0(h2) 57
2.5.1 Первый порядок стабилизатора 57
2.5.2 Второй порядок стабилизатора 60
Глава 3 Численное исследование задачи 66
3.1 Тестирование алгоритма на модельных примерах 66
3.2 Решение задач диагностики плазмы с экспериментальными данными 79
Заключение 82
Литература
- Физическая и математическая модель. Основное уравнение
- Краевые задачи для стабилизаторов нулевого, первого, второго и третьего поряков
- Дискретизация интегрального оператора и правой части уравнения Эйлера
- Решение задач диагностики плазмы с экспериментальными данными
Физическая и математическая модель. Основное уравнение
Изучение фундаментальных процессов резонансного взаимодействия магнитоактивной плазмы с электромагнитными волнами СВЧ диапазона тесно связано с проблемами генерации, нагрева плазмы и ее удержания, исследование которых необходимо для решения широкого спектра фундаментальных и прикладных задач.
Особое место в ряду этих исследований занимает изучение электронного циклотронного резонанса (ЭЦР). Интенсивное изучение этой проблемы началось в 60-х годах, когда в работе [166] было изучено движение электронов в стационарном однородном магнитном поле при наличии бегущей электромагнитной волны, когда обеспечивается условие электронно-циклотронного резонанса иосе = ш, где иосе = еВ/гпоС - циклотронная частота электрона в магнитном поле, ш - частота осциллирующего электрического поля. Исследования позволили определить условия резонансного взаимодействия электронов с электромагнитной волной и динамику частиц с учетом релятивистских эффектов.
Явление электронного циклотронного резонанса (ЭЦР) играет фундаментальную роль в физике плазмы [65]. Оно широко используется для нагрева плазмы и генерации тока в установках для термоядерного синтеза, для генерации многозарядных ионов и сгустков плазмы, генерации электромагнитного излучения различных диапазонов и в различных плазменных технологиях, [120].
Первые экспериментальные исследования ЭЦР проводились в рамках программ по термоядерному синтезу с целью изучения нагрева и удержания плазмы в магнитных ловушках разного типа [12,22,88,103,130].
Результаты фундаментальных исследований по ЭЦР-взаимодействию в области УТС были положены в основу практического приложения такой плазмы как источника частиц и излучений.
Наиболее распространенное использование ЭЦР-плазмы, как источника многозарядных ионов [116], далеко не исчерпывает ее возможности. Ввиду того, что ЭЦР-плазма устойчиво реализуется в широком диапазоне давлений 10-3 - 10-5 Торр, достигает высоких степеней ионизации (до 10) и диссоциации (до 100) и чистоты плазмообразующего газа, обладает высокими значениями электронной температуры по сравнению с другими типами разрядов, сфера ее применения достаточно обширна.
Так исследования последних 30 лет, показали, что достаточно простое управление параметрами ЭЦР - плазмы (плотность и температура) позволяет избирательно осуществлять наперед заданные физические и плазменно-химические процессы приводящие к генерации атомов, ионов и радикалов, широко используемых в технологиях тонкопленочного покрытия, обработки готовых полупроводниковых структур и создании многослойных структур. Явление ЭЦР широко используется при генерации высокотемпературной плазмы [87, 91] являющейся интенсивным источником излучения различной природы [102] синхротронное [55] и тормозное [7] а также в технике создания мощных генераторов СВЧ -диапазона [17,97] и ускорительной технике [114].
Магнитное удержание высокотемпературной плазмы сопровождается мощными радиационными процессами. Тормозное излучение является одним из основных механизмов радиационных потерь, возникающее при кулоновском рассеянии энергичных электронов на ионах присутствующих в плазменной фазе. Так, мощность тормозного излучения тормозного излучения из единицы объема плазмы с концентрацией электроновпе, М-3, эффективным зарядом ионов Z, температурой электронов Teh: , может быть оценена согласно [80]. Pbr = 1.42 х 10-40гЧлгыу/Т К(Тл) Уже в ранних работах по УТС было обнаружено, что под действием ВЧ волн в зеркальных магнитных ловушках в условиях резонанса возникает жесткое тормозное рентгеновское излучение [38].
Одночастинная теория ЭЦР-взаимодействия показывает, что в ЭЦР-плазме низкого давления в распределении электронов по энергиям наблюдаются два максимума, свидетельствующие о наличии двух электронных компонент холодной (тепловой) и горячей (надтепловой). Холодные и горячие электроны существенно разнесены по энергетической шкале, что свидетельствует о разном механизме их взаимодействия с резонансным полем, холодные без энергообмена с СВЧ-полем, в то время, как нагрев электронов горячей компоненты обеспечивается в результате их взаимодействий с СВЧ-полем, и плохом тепловом контакте.
Изучение поведения свойств и параметров такой плазмы, как было сказано выше, представляет интерес с точки зрения создания высокоэффективных источников излучения и разработки новых методов ускорения компонент плазмы. Основными задачами диагностики плазмы является определение поведения основных параметров (концентраций, температур) ее компонентного состава, а также функций распределения различных компонент плазмы по энергиям.
Однако, при экспериментальных исследованиях, необходимо учитывать, что практически любой диагностический метод является косвенным, т.к. строится на определенной физической модели. Одним из наиболее эффективных методов определения параметров плазмы и функций распределения электронной компоненты плазмы по энергиям в условиях локального термодинамического равновесия является изучение спектра излучения в континууме. В случае высокотемпературной плазмы это спектр тормозного излучения, возникающего при рассеянии электронов на ионах плазмы.
Краевые задачи для стабилизаторов нулевого, первого, второго и третьего поряков
Известно [73] что уравнение Фредгольма первого рода (в том числе уравнение (1.2.8)) представлает собой некорректно поставленную задачу. Методы решения некорректно поставленных задач, получивших статус не имеющих смысла, в работах Адамара Ж. [5], интенсивно развивались в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева и их учеников и ряда зарубежных ученых. Эталонными задачами для применения этих методов стали задача Коши для уравнения Лапласа [33, 48-51] и обратная задача потенциала [36,58,59,67,72,74], возникающие во многих прикладных задачах, прежде всего в геофизике, а также - уравнение Фредгольма первого рода., к которому сводятся эти, а так же многие другие прикладные проблемы. В работах в основном советских, российских математиков, построена теория и методы решения некорректно поставленных задач, которые с достаточной полнотой изложены во многих монографиях [15,16,37,44,46,47,56,69,70,73] и учебниках [24,29,32,39,40,63,86]. Эти методы позволили решать многие важные прикладные задачи. В настоящее время круг рассматриваемых задач расширяется [6,30,31,43,53,54,60,62], методы и качество получаемых решений совершенствуются. Задача (1.2.8) решалась в работе [66] в условиях конкретного физического эксперимента с конкретными параметрами установки и рабочего материала. Получение устойчивого приближенного решения достигалось применением метода сглаживающего функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка. В данной диссертации рассматривается физический эксперимент, проводимый на установке лаборатории Физики плазмы кафедры прикладной физики РУДН и исследуются возможности улучшения качества приближенного решения интегрального уравнения путем повышения порядка стабилизатора в функционале Тихонова. Ниже приведен краткий обзор результатов по устойчивому решению уравнения Фредгольма первого рода, полученных в последнее время.
В работе [52]рассматриваются особенности применения многопроцессорных систем для решения обратных задач, сводящихся к многомерным уравнениям Фредгольма 1-го рода для векторной функции. Предлагается параллельный алгоритм решения такого типа задач на примере наиболее общих с практической точки зрения двумерного и трехмерного случаев. Эффективность данного подхода демонстрируется на примере решения обратной задачи восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне его корпуса.
Для разрывных функций и функций с особенностями методы решения уравнений I рода разработаны в [1-4]. В работе [159] рассмотрены вариационные методы для неограниченных замкнутых операторов. В [157] предложен метод и исследована его сходимость (получены оценки) регуляризации уравнения первого рода со стабилизатором нулевого порядка.
В [163] получено приближенное численное решение системы интегральных уравнений Фредгольма. В данной работе система линейных интегральных уравнений Фредгольма решается с помощью метода Sine Collocation. Доказана экспоненциальная скорость сходимости метода. Оптимальные аппроксимации для решения линейных некорректных задач рассмотрены в [173] Построены новые проекционные дискретные схемы для некорректных задач.
В [128] решается проблема идентификации коэффициента диффузии в уравнении в частных производных. Используя последние результаты теории регуляризации, предлагается стратегию выбора регуляризации и дискретизации параметров, которые автоматически адаптируется к неизвестной гладкости коэффициента.
В [176] рассмотрены регуляризованные методы коллокаций для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В этом случае количество точек коллокаций играет роль параметра регуляризации. Сочетание коллокаций с Тихоновской регуляризацией может быть методом выбора параметра.
В работе [98] рассмотренны различные критерии выбора параметра регуляризации при решении плохо обусловленной линейных систем алгебраических уравнений итерационными методами. Некоторые модификации метода Тихонова для линейных систем рассмотрены в [98]. Здесь рассмат риваются варианты стабилизаторов нулевого порядка.
В работе [127] рассматриваются приближенное решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода в пространствах специального вида reproducing kernel Hilbert space (RKHS). Аналогичные вопросы рассматриваются в [167].
В [162] для интегральных уравнений Фредгольма разработаны методы коллокации на основе кубического В-сплайна.
В [146] предложен вариант адаптивного метода конечных элементов для решения линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода в неодномерном случае и его проверке на экспериментальных данных.
В [94] исследуются вопросы применения метода регуляризации Тихонова к решению линейных и нелинейных уранений первого рода. Получены оценки точности для приближенных решений.
В [133]рассмотрены неявные итерационные методы решения линейных некорректных задач с возмущенными операторов. Доказано, что опи-мальная скорость сходимости может быть получена после выбора подходящего числа итераций.
Дискретизация интегрального оператора и правой части уравнения Эйлера
На рисунке (3.1.2) представлен график невязки, рассчитанной в зависимости от величины параметра регуляризации при стабилизаторе первого порядка. График имеет характерный минимум. Слева от него при малых значениях параметра происходит разрушение решения и рост невязки при уменьшении параметра. Справа от минимума при больших значениях происходит сильное сглаживание решения и невязка растет с ростом параметра. Значение параметра, соответствующее минимуму невязки, принимается за искомое оптимальное.
График невязки. На рисунке (3.1.3) приведены графики точного решения интегрального уравнения - точная функция распределения электронов по энергиям (в виде тонкой линии) и приближенного решения (жирная линия), полученного при оптимальном значении параметра регуляризации, соответствующем регуляризации первого порядка. На графике хорошо виден дефект приближенного решения в виде характерного изгиба с выходом на нулевое значение производной в крайней левой точке интервала, а также колебания приближенного решения около значений точной функции.
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе первого порядка. На рисунке (3.1.4) также как и на рисунке (3.1.3) приведены графики точного решения интегрального уравнения - точная функция распределения электронов по энергиям (в виде тонкой линии) и приближенного решения (жирная линия), полученного при оптимальном значении параметра регуляризации, соответствующем регуляризации второго порядка. На графике видно отсутствие дефекта приближенного решения в виде нулевого значения производной. Видно практически полное совпадение точного и приближенного решения
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе второго порядка. На рисунке (3.1.5) тот же график представлен при меньшем значении параметра регуляризации а, видно, что в области у 100 колебания больше, чем на предыдущим рисунке. Это связно с тем, что в задаче при вычислениях накапливается неточность вычислений и реальное значение 5 не равно нулю и требует выбора параметра а большего по величине.
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе второго порядка при меньшем значении параметра, чем на предыдущей рисунке . На рисунке (3.1.6) та же ситуации,что и на рис. (3.1.3) но здесь в правую часть внесена погрешность (относительная погрешность 1 процент), это приводит к увеличению использованного значения параметра регуляризации. За счёт этого в области у 100 меньше колебаний но эффект нулевой производной хорошо виден. Погрешность аппроксимации в данном случае - о (К)
Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе первого порядка с возмущенной правой частью. На рис.(3.1.7) приведены результаты расчетов с матрицей соответствующей аппроксимация уравнения Эйлера с порядком О (К2) По рисунке видно, что и существенным измененных это на проводит по сравнению с рисунком (3.1.6) где аппроксимация О (К).
Результат, аналогичный результату на предыдущем рисунке, но с аппроксимацией 0(h2). Эффект нулевой производной можно уменьшить, уменьшая параметр регуляризации а, но это ведёт к усилению колебаний решения в области у 60 это видно из рисунка (3.1.8).
Результат, аналогичный результату на рисунке 3.1.3, но с меньшем параметром регуляризации а. Приведем также результат для функционала Тихонова со стабилизатором первого порядка с весом [73]. На рисунке видно что эффект нулевю производно уменьшается и менше становятся колебания а области у 60 чем не предыдущем рисунке.
Алгоритмы, разработанные во второй главе, и проверенные на модельных примерах в параграфе 3.1 были использованы при обработке данных эксперимента, полученных на экспериментальной установке в лаборатории физики плазмы кафедры прикладной физики РУДН. Описание установки и ее основные параметры приведены в параграфе 1.1. Установка и эксперимент соответствовали математическим конструкциям (2.4.17)-(2.4.20) в описании ядра интегрального уравнения. При этом функции j1 в (2.4.18) и о" в (2.4.20) моделировались в соответствие с параметрами установки и получены в виде полиномиальных приближений результатов измерений при тестировании установки. В рассчетах использовались функции /1 и о" в виде приведенных ниже многочленов 3-ей степени
На рисунках (3.2.13), (3.2.14) представленна ситуация с восстановлением функции распределения электронов в многокомпонентной плазме. На рисунке (3.2.13) изображения правая часть интегрального уравнения при 3:\plasmaRes\i]iput\Aj"hs_42-151 ) 605.dat u 1:3 )_605.dat u 1:5 \ д VI : Ч г- — і различных температурах. На рисунке (3.2.14) приведены соответствующие приближенные регуляризованные решения, полученнвіе со стабилизатором второго порядка при аппроксимации уравнения 0(h2). Параметр регуляризации выборам такой же как и на рис. (3.1.4) Максимумы функций на графиках на рисунке (3.2.14) указывают на относительное преобладание электронов соответствующей энергии что позволяет говорить о двухком-понентной плазме. 2500
Проведенное в диссертации исследование показывает эффективность использования стабилизаторов повышенного порядка с весом при построении устойчивых численных алгоритмов решения интегральных уравнений первого рода.
1. Разработаны устойчивые численные алгоритмы решения интегрального уравнения первого рода на основе метода сглаживающего функционала Тихонова со стабилизатором повышенного порядка в приложении к задаче восстановления функции распределения электронов по энергиям по интенсивности тормозного излучения.
2. Получены схемы дискретизации краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Эйлера для функционала Тихонова, обеспечивающих второй порядок аппроксимации по шагу дискретизации.
3. Показана эффективность разработанных алгоритмов на модельных примерах максвелловского распределения электронов по энергиям. 4. Проведены расчеты функции распределения по реальным данным эксперимента на плазменном ускорителе.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Ланееву Евгению Борисовичу за руководство над работой, создание условий для ее проведения, постоянную поддержку и внимание. Автор признателен - кандидату физико-математических наук, Муратову Михаилу Николаевичу и сотрудникам кафедры нелинейного анализа и оптимизации за помощь и поддержку. Особую благодарность автор выражает кандидату физико-математических наук доценту В.В. Андрееву за предоставленную возможность обработки данных, снятых с экспериментальной установки, постоянные обсуждения результатов и внимание к работе.
Решение задач диагностики плазмы с экспериментальными данными
Математическое моделирование - мощный инструмент исследования задач прикладного характера. Сочетание строгого математического исследования и вычислительного эксперимента позволяет эффективно решать широкий круг новых и классических задач [13,21,28,41,64,76-78,82-85,113, 147].
В данной диссертации в основе решения прикладной задачи - изучение характеристик ЭЦР -плазмы низкого давления в диапазоне рабочих параметров плазменного ускорителя.
Целью экспериментальных исследований являось изучение характеристик исходной плазмы, создавсмой в магнитной ловушке пробочного типа в диапазоне рабочих параметров, обеспечивающих функционирование экспериментального стенда для изучения механизма гиромагнитного авторезонанса.
Несмотря на длительную историю изучения циклотронно - резонансного взаимодействия частиц плазмы с сверхвысокочастотными полями в неоднородном магнитном поле, изучение плазмы эцр - разряда низкого давления продолжает представлять интерес, как с фундаментальной, так и прикладных точек зрения.
Основное внимание в настоящей работе уделено определению одного из основных параметров исходной плазмы: функции распределения электронов по энергиям. Функция распределения электронов не может быть измерена непосредственно и это обстоятельство диктует необходимость совершенствования косвенных методов определения этой функции, что и представляет собой актуальную задачу.
В работе [66] показано, что функция распределения электронов по энергиям может быть получена как решение интегрального уравнения первого рода, представляюшего собой некорректно поставленную задачу. Устойчивое решение может быть получено применением метода регуляризации Тихонова, то есть минимизацией некоторого функционала. В то же время остается актуальной задача построения стабилизатора в функционале, учитывающего специфику поведения искомого решения.
Целью диссертационной работы является повышение качества устойчивого приближенного решения интегрального уравнения первого рода в приложении к задаче диагностики высокотемпературной плазмы применением различных конструкций стабилизаторов в функционале Тихонова, в частности, применением стабилизаторов повышенного порядка.
Научная новизна и значимость. Получены новые устойчивые вычислительные алгоритмы решения уравнения Фредгольма первого рода, в частности, связанного с обратной задачей физики плазмы, основанные на использовании стабилизаторов повышенного порядка в функционале Тихонова и специальном выборе граничных условий, а также - дискретизации задачи, приводящей к повышен 6 ному (второму) порядку по шагу дискретизации. Разработанные вычислительные алгоритмы применены к решению обратной задачи физики плазмы в новой экспериментальной постановке. Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в исследованиях по физике плазмы при изучении параметров состояния плазмы косвенными методами, а также для решения различных обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Основное содержание диссертации Первая глава содержит материалы к постановке задачи и анализу поставленной задачи. В первом параграфе дан краткий обзор исследований по электронному циклотронному резонансу в плазме и приведено описание экспериментальной установки, с которой снимались данные для математической обработки, методами, разработанными в данной диссертации. Как известно ЭЦР - разряд в условиях низких давлений является высокоэффективными источником плазмы, области практического применения которого весьма разнообразны.
Компонентный состав такой плазмы в магнитном поле ловушки пробочного типа состоит из популяции холодных и горячих электронов и ионов с различной степенью ионизации, а температура холодной электронной компоненты намного превышает температуру ионов и атомов газа. В виду малой эффективности энергообмена между компонентами плазма разряда такого типа далека от состояний термодинамического равновесия, а ФРЭЭ отлична от максвелловской.
В условиях проводимых экспериментальных исследований плазма ЭЦР - разряда является исходной для функционирования гирорезонанс-ного плазменного ускорителя. Влияние параметров исходной плазмы на выходные характеристики ускорителя ставят задачу изучения изменения характеристик и параметров плазмы при варьировании разрядных условий для оптимизации режима захвата электронной компоненты исходной плазмы в процесс ускорения.
