Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы исследования количественного екстурного анализа и нормальные распределения , 8
1.1. Параметризация ориентации отдельного кристаллита S
1.2. Некоторые сведения о группе SO(3) 12
1.3. Функция распределения ориентации 12
1.4. Экспериментальные подходы к измерению текстуры и полюсные фигуры 14
1.5. Основная задача текстурного анализа. Методы аппроксимации функций распределения ориентации и полюсной фигуры 17
1.6. Основные источники погрешностей при экспериментальном измерешш полюсных фигур и восстановлении функции распределения ориентации 21
1.7. Определение нормальных распределений на SO(3) и их лассификация 25
Выводы 26
Глава 2. Свойства нормальных распределений . 28
2.1. Основные свойства на SO(3) 30
2.2. Модель малых случайных вращений 33
2.3. Центральная предельная теорема (ЦПТ) на SO(m) и теория ПТ-последовательностей 48
2,ЗД. Определения и используемые обозначения 48
2.3.2. Вспомогательные утверждения ...51
2.3.3. Теория ЦПТ-последовательностей. 57
2.3.4. Построение общей ПДТ-последовательности на SO(2) 63
2.3.5. Построение общей ЦПТ-последовательности на SO(3) 65
2.3.6. Построение общей ЦПТ-последовательности на SO(m) 68
Выводы 70
Глава 3. Методы вычисления нормальльных аспределений 72
3.1. Метод рядов Фурье 72
3.2. Метод аналитических приближений 75
3.3. Метод ЦПТ-шследовательностей (Монте Карло) , 78
3.3.1. Моделирование HP на SO(m) 78
3.3.2. Оценка скорости сходимости ..81
3.3.3. Примеры вычисления 84
Выводы , 86
Глава 4. Применение метода Монте Карло к расчету екстурных характеристик и моделирование огрешностей . * ...88
4.1. Вероятностностно статистическая интерпретация полюсных фигур - 88
4.2. Метод статистического моделирования полюсных фигур, соответствующий их кспериментальному измерению 91
4.3. Моделирование полюсных фигур без учета симметрии кристаллитов 97
4.4. Моделирование погрешностей при вычислении полюсных фигур для нормальных аспределений 101
4.5. Моделирование полюсных фигур и вычисление тензора упругой одатливости поликристалла бериллия 111
Выводы... 121
Заключение 122
Список литературы.* .. ... * 124
- Основная задача текстурного анализа. Методы аппроксимации функций распределения ориентации и полюсной фигуры
- Центральная предельная теорема (ЦПТ) на SO(m) и теория ПТ-последовательностей
- Метод ЦПТ-шследовательностей (Монте Карло)
- Моделирование погрешностей при вычислении полюсных фигур для нормальных аспределений
Введение к работе
Актуальность работы
Настоящая работа посвящена исследованию вопросов, связанных с рассмотрением свойств, методов моделирования, а также некоторых применений в текстурном анализе нормальных распределений (HP) на группе вращений евклидового пространства и сфере. Данный класс распределений играет исключительно важную роль в математической статистике и теории вероятностей, в силу наличия целого спектра характерных свойств. Теория и применения нормальных распределений в евклидовом пространстве является достаточно хорошо разработанной научной и инженерной областью, тогда как исследование указанных распределений на объектах несколько иной структуры таких, как компактная группа вращений SO(3) и сфера S2 связано с применением математического аппарата теории представлений компактных групп и характеристических функций, а также специализированных методов математической статистики: и представляется актуальной научной проблемой. Даже непосредственное вычисление HP на группе SO(3) и сфере S2 является непростой вычислительной задачей и для ряда параметров данного класса распределений существующие методы расчета не являются достаточно эффективными. На основе определения и исследования свойств HP на группе SO{3), а также применения центральной предельной теоремы (ЦГГГ) на SO(3) в данной работе разработан новый метод математического моделирования HP на основе построения выражений для статистических реализаций (метод Монте Карло), позволяющий с достаточной точностью моделировать указанные распределения в случае произвольных параметров. Проведено сравнение с уже существующими методами расчета на основе разложений Фурье (МРФ) и методом аналитических приближений (МАП).
Необходимо заметить, что в общемировой практике возрастает интерес к моделям Монте Карло в текстурном анализе. Указанные математические модели
позволяют более адекватным образом описать процессы формирования и измерения текстуры, а также изучать статистические закономерности этих процессов. Основной задачей количественного текстурного анализа (КТА) является восстановление функции распределения ориентации (ФРО), характеризующей распределение кристаллитов поликристаллического образца (ПО) в ориентационном пространстве SO(3), по набору экспериментально
измеряемых полюсных фигур (ПФ), которые являются функциями на сфере S2. В связи с этим актуальной является задача вычисления ФРО и ПФ. Существуют различные способы решения этой задачи. Одним из широко распространенных способов решения является аппроксимация ФРО и ПФ с использованием стандартный функций. В данной работе развивается подход к решению указанной задачи на основе использования в качестве стандартных функций нормальных распределений на SO(3) и S2. Проводится построение статистической модели ПФ, соответствующей процессу экспериментального измерения этой величины. С применением данной модели проводятся вычисления ПФ и исследуется вопросы погрешностей вычислений ПФ,
Целью диссертационной работы являлось;
1. Разработка специализированного метода Монте Карло моделирования HP на
SO(3) на основе исследования свойства безграничной делимости и
применения центральной предельной теоремы на группе SO(3), позволяющего с произвольной точностью аппроксимировать любое распределение из указанного семейства. Обобщение построенного метода на случай группы SO(ni).
2. Сравнение разработанного метода Монте Карло расчета HP на SO(3) с
альтернативными методами путем проверки гипотезы о совпадении распределений, соответствующих некоторым проекциям HP.
3. Построение математической модели расчета ПФ, адекватной их
экспериментальному измерению с использованием сеточно-вероятностного
метода на основе алгоритма разработанного метода Монте Карло. Расчет ПФ для ряда значений параметров с помощью данной модели. Оценка погрешностей при расчете ПФ.
Научная новизна
На основе формулировки ЦПТ на группе вращений SO(m) Паргасарати
разработана новая теория последовательностей вероятностных мер на группе SO(m), сходящихся к нормальному распределению с произвольными параметрами (ЦПТ-последовательностей). Содержанием этой теории является описания вида и свойств таких последовательностей. Данная теория включает в себя также доказательство некоторых утверждений о скорости сходимости таких последовательностей.
Впервые разработан специализированный метод моделирования HP на SO(3) для произвольных значений параметров. Данный метод обобщен на случай группы вращений произвольной размерности SO(m). Для случая группы SO(m) при ш>3 альтернативных методов вычисления HP не существует. В случае m = 3 для широкой области параметров разработанный метод дает значительный вычислительный выигрыш по сравнению с альтернативными методами вычисления.
Впервые построен метод статистического моделирования полюсных фигур, адекватный их экспериментальному измерению. Данный метод основан на применении вероятностно-сеточных методов с использованием равномерных и неравномерных сеток. ПФ интерпретируется при этом как функция плотности вероятности и моделируется методом Монте Карло. Затем вся совокупность реализаций проектируется на сетку разбиения верхней полусферы. В работе использованы несколько вариантов сеток разбиения^ которые являются наиболее близкими к сетке экспериментального разбиения.
На защиту выносится
Теоретическое исследование некоторых свойств последовательностей вероятностных мер на группе SO(3) специального вида (ЦПТ-последовательностей), сходящихся к HP на SO(3) с произвольными параметрами.
Метод Монте Карло математического моделирования HP с произвольными параметрами на группе SO(3) на основе приближения данного класса распределений с помощью НПТ-последовательностей.
Статистическая модель ПФ, соответствующая их экспериментальному измерению.
Результаты математического моделирования ПФ с применением равномерных и неравномерных сеток в случае поликристаллического образца без симметрии и при наличии гексагональной симметрии составляющих кристаллитов; результаты математического моделирования погрешностей при вычислении ПФ,
Апробация и публикации
Основные результаты диссертации были доложены на научных сессиях МИФИ (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004), конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 2001), конференции International Conference of Texture of Materials (Seoul, 2003). Результаты проведенных исследований изложены в 9 работах (публикации 1, 2, 3, 4, 32, 34, 68, 76, 86 в списке литературы).
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, 4 глав, 1 приложений и заключения. Работа изложена на 133 страницах. Включает 31 рисунок, 6 таблиц, 88 наименований литературы.
Основная задача текстурного анализа. Методы аппроксимации функций распределения ориентации и полюсной фигуры
Если рассматривать соотношение (1.7) как систему уравнений для нахождения ФРО при заданном известном наборе ПФ Pfi f , то такая задача называется основной задачей текстурного анализа и является некорректно поставленной [83, 84]. Сутью некорректности данной задачи является неоднозначность ее решения, что непосредственно связано с симметрией текстурного дифракционного эксперимента, рассмотренного в разделе 1.4.
Существует целый ряд методов решения основной задачи текстурного анализа. Гармонический метод [22, 59, 51] основан на разложении ФРО в ряд по системе (1.6) при этом структура решения имеет вид где 0(2} обозначает суммирование по четным значениям индекса 0,2,4,...,«з; при этом первое слагаемое представляет собой ряд по четным / и называется четной частью ФРО, второе слагаемое представляет собой ряд по нечетным / и называется нечетной частью ФРО.
Нечетная часть ФРО не может быть принципиально восстановлена при использовании любого набора экспериментальных ПФ, так как любая ПФ, как было замечено выше, представляет собой четную функцию на сфере и не содержит информацию о четных коэффициентах разложения ФРО (1.8). Сутью гармонического метода является аппроксимация ФРО на основе частичных сумм в выражении (1.8) с последующим нахождением неизвестных коэффициентов исходя из соотношения (1,7). Данный метод аппроксимации ФРО рассматривается в главах 3,4 данной работы.
Таким образом, используя только информацию экспериментального набора ПФ, ФРО не может быть полностью восстановлена. Структура полной восстановленной ФРО может быть представлена в виде суммы [59]
Первое слагаемое оиределяется по набору экспериментальных полюсных фигур с использованием какого-либо из методов восстановления. Второе слагаемое является неизвестной функцией, іфинаддежащей ядру линейного интегрального оператора (1.7) , т.е. переводится этим оператором в тождественный нуль и не может быть восстановлена без внесения дополнительных предположений о структуре восстанавливаемой ФРО. Таким образом, даже из простого анализа вида решения становится очевидной неединственность решения задачи (1.7), В настоящее время общим методом решения данной проблемы является следующий. Рассматривается некоторый функционал на решении основной задачи текстурного анализа ФРО вида (1.9), характеризующий меру расхождения между экспериментальными ПФ и ПФ, вычисленными по восстановленной ФРО где VffCj)/ - система экспериментально измеренных ПФ, 1 ,(59( соответствующая система ПФ вычисленных по восстановленной ФРО
В качестве решения задачи рассматривается неотрицательная функция F(g) минимизирующая функционал (1.10) где Н - пространство возможных решений основной задачи текстурного анализа (в гармоническом методе рассматривается L2(SO(3)))s / =M(F/)(g)) - значение функционала на этом решении. Данная задача решается с использованием специализированных методов решения экстремальных задач [56]. Как правило, используются итерационные методы с использованием минимизирующей последовательности F (g)- F(g\ которая сходится к решению. Некоторые примеры решений аналогичного класса некоректних задач рассмотрены в [5, 11, 18]. В общемировой практике в качестве функционала (1.10) обычно рассматривается RP -фактор [59]. В данной работе RP -фактор используется для оценки погрешности статистического метода Монте Карло моделирования ПФ от HP на S0(3) (см раздел 4.4). Необходимо заметить, что выше указанный метод решения основной задачи текстурного анализа требует значительных вычислительных ресурсов,
Основной проблемой гармонического метода восстановления ПФ является необходимость коррекции восстановленной ФРО (1.9), исходя из требования ее неотрицательности как функции плотности вероятности. Для решения данной проблемы разработаны специализированные методы. В частности, в данной работе описан специализированный метод Монте Карло вычисления частного вида ФРО (см. главы 3,4) в виде суммы HP на SO(3). Данный метод является дискретным статистическим методом моделирования, по своей сути сходным с процессом экспериментального измерения ПФ и формированием текстуры в ПО. Результатом данного метода, по сути его построения, является неотрицательная сеточная функция.
Существуют и другие дискретные методы решения задачи (1.7). Векторный метод восстановления ФРО [59] состоит в первоначальной дискретизации системы уравнений (1.7) и последующего решения системы линейных алгебраических уравнений с использованием итерационных алгоритмов. В качестве начального приближения данного метода рассматривается функция ФРО в виде равномерного распределения, т.е. F(gT) = 1. Итерационный алгоритм построен таким образом, что решение F (gT) 0 на каждом шаге.
W1MV метод (Williams Inhof Mathies Vitiel method) аппроксимации ПФ [59] основан на использовании функций вида где g,gB eSO(3), Gb - подгруппа вращений точечной подгруппы симметрии кристаллитов (см. главу 4).
Данный метод является итерационным сеточным методом аппроксимации ПФ. Имеет некоторые сходства с методом статистического моделирования ПФ, который подробно рассматривается в главе 4 данной работы. Как. при математическом моделировавши так и при восстановлении ПФ и ФРО часто возникает необходимость в сглаживании результирующей функции. Особенно Это необходимо в случае недостаточной статистики частиц при измерении ПФ на фиксированной сетке экспериментального измерения. Метод сглаживания, основанный на применении центрального нормального распределения (ПНР) подробно рассмотрен в работе [73]. В данной работе при математическом моделировании; ПФ вместо алгоритмов сглаживания в частном случае вычисления ПФ рассматривается специальный подбор неравномерной сетки разбиения верхней полусферы (см. раздел 4.3),
Центральная предельная теорема (ЦПТ) на SO(m) и теория ПТ-последовательностей
В данной главе была изложена задача вычисления HP на группе SO(3). Из рассмотрения видно, что эта задача может быть решена различными способами. Вычисление HP на основе определения, т. е. МРФ приемлемо только в ограниченной области параметров HP, близких к единице. Вычисление данным методом HP с малыми параметрами приводит к большим вычислительным затратам, так как при этом быстро растет число членов ряда Фурье, которые надо суммировать для обеспечения заданной точности. Оценка необходимого количества членов ряда (в случае ПНР) и асимптотика коэффициентов КНР для случая малых параметров рассмотрены в (14].
В случае малых параметров КНР {аа 0.5) они с достаточной точностью могут быть вычислены с помощью аппроксимирующих формуя (3.4), (3,5) МАП. Хотя этого полуинтервала параметров вполне достаточно для решения задач текстурного анализа и метод является простым с точки зрения вычислительных затрат, но все-таки по своей сути он является асимптотическим методом.
Метод ЦПТ-последоватедьностеЁ является статистическим подходом к вычислению HP, использующим свойство безграничной делимости этих распределений. Указанный метод является методом моделирования HP с помощью статистических испытаний (метод Монте-Карло) по расчетным формулам для реализаций (3.7) случайной величины, аппроксимирующей; HP на SO(m). Этот метод применим для вычисления HP с произвольными параметрами на группе вращений SO(m)9 тогда как методы МРФ и МАП реализованы только в случае группы SO(3). Конечно, с точки зрения реализации и вычислительных затрат, этот метод является более сложным чем МАП, но он позволяет не только вычислять HP, но и изучать их статистические свойства, а также строить математические модели (модели Монте-Карло) физических и иных процессов, в которых используются HP на SO(m), например, моделировать текстурный дифракционный эксперимент.
Таким образом, в зависимости от конкретной ситуации;, HP на SO(3) могут бьпъ вычислены тем или иным способом. В данной Главе был проведен обзор существующих на сегодняшний день методов расчета HP на SO{3), приведены примеры конкретных численных расчетов для каждого метода. Глава 4. Применение метода Монте Карло к расчету текстурных характеристик и моделирование погрешностей
Одной из основных характеристик поликристаллического образца является ПФ. В общепринятых определениях ПФ рассчитьгаается как интегральная проекция вида (1.7) Данное соотношение получено из условия параллельности кристаллографического вектора h,, заданного в системе координат кристаллита, и вектора у, характеризующего направление измерения в лабораторной системе координат. Имея ввиду закон преобразования координат векторов (1.1), данное соотношение можно записать в следующем виде Геометрическая интерпретация выражения (4.1) представлена на рис. 27. Связь векторов (4.1) можно переписать в следующем виде
ЕСЛИ рассматривать вращение g как случайную величину и фиксировать вектор кристаллографического направления ht из выражения (4.2), получается связь случайных величин у и g. Соотношение (4.2) представляет собой отображение
SO(3) - S2. Получим выражение для вероятностной меры dPFr (f) = Д (f )d% распределения случайной величины , соответствующей случайному вектору у, где d% - дифференциал телесного угла на S2. Для этого вычислим вероятность того, что случайная величина принадлежит бесконечно малой окрестности вектора у Соотношение 3) элементарно проверяется, используя свойство Vy є S2 =і {.У ,0)3 = z- Параметр / представляет собой поворот вокруг некоторой промежуточной оси. Введем обозначение Ор малой окрестности элемента у є S2. Запишем вероятность того, что случайная величина принадлежит данной окрестности Если стягивать малую окрестность С - j 5 то из соотношения (4.3) следует, что рассматривая аналогичные преобразования для вектора - у. Данное выражение представляет собой связь плотностей распределений случайных величин g є SO(3) и у є S2, при этом связь самих случайных величин дается формулой (4.2). Из этого соотношения следует, что одному случайному вращению g є SO(3) соответствуют два вектора у и - у единичной сферы, следовательно, сама полюсная фигура (4.9) является четной функцией на S2. Как было описано ранее, ПО описывается ФРО, которая в свою очередь передает статистический характер распределения кристаллитов в образце (рис 2). Любой ПО состоит из достаточно большого, но конечного числа кристаллитов. Обозначим их числом к. При этом на практике измеряют не саму ФРО, а набор ее проекций на S2, т.е. несколько ПФ. В общем случае без предположения наличия симметрии образца и кристаллитов для полного восстановления ФРО оказывается достаточно иметь набор из трех ПФ [33], соответствующий некомпланарной тройке векторов кристаллографического направления (Я15[Л2,4]) 0. В случае наличия симметрии их число может быть уменьшено. Таким образом, ПО может быть представлен (рис 2) в виде некоторого конечного набора (множества) ориентации (вращений) вида
Графически проинтерпретировать этот факт можно следующим образом (рис. 19). Множество PS представляется в виде совокупности точек, принадлежащих шару радиуса 2ж. Вращению gt ={ЙГМД, }Є80(3) соответствует вектор g, ={К;, (!, }ей3 со сферическими координатами, связанными с эйлеровыми углами вращения следующим образом
Фактически, таким образом, можно описать произвольный текстурный образец. Далее будем считать, что вся совокупность ориентации кристаллитов PS описывается ФРО /). Таким образом, очевидно, предполагая той или иной вид распределения F(g) можно статистически моделировать сам текстурный образец и процессы формирования углового распределения в нем. Существует целый ряд математических моделей статистически описывающих как сам поликристаллический образец, так и процессы формирования текстуры [38, 39]. Основой данных математических моделей служит метод Монте-Карло [49, 50]. С помощью данного метода моделируется ориентация каждого отдельного кристаллита составляющего поликристаллический образец в предположении об определенном характере распределения изменения его ориентации.
В данном разделе работы рассматривается схожая статистическая модель ПФ, адекватным образом описывающая процесс их экспериментального измерения. Краткое описание соответствующего алгоритма моделирования приведено в работе [32]. Далее приводится его развернутое описание. Используя математическое описание ПО в виде (4.10) и внося априорные предположения о количестве кристаллитов к, составляющих образец, и виде их распределения по ориентациям (ФРО), проводится моделирование образца методом Монте Карло. Результатом данного моделирования является массив реализаций PS на SO(3) вида (4.10). Далее, в соответствии с выражением для связи случайных величин (4.2), осуществляется проектирование множества реализаций PS на верхнюю
Метод ЦПТ-шследовательностей (Монте Карло)
В предыдущих разделах была рассмотрена математическая модель вычисления ПФ соответствующая их экспериментальному измерению, Основным предположением данной модели являлось утверждение о статистическом характере распределения кристаллитов в экспериментальном образце. Помимо самого моделирования или измерения ПФ актуальным является вопрос исследования погрешностей как математического моделирования так и экспериментального измерения ПФ, а также их соотношения. Надо заметить, что на величину погрешности при восстановлении ПФ имеет влияние множество факторов. Фактически данные факторы влияния можно разделить на две группы. Первая группа факторов связана с параметрами и видом текстурного эксперимента по измерению ПФ, вторая группа факторов связана с математическими методами, использованными при обработке экспериментальных результатов.
Некоторыми авторами исследовался вопрос о классификации и описании погрешностей при процедуре восстановления ПФ по экспериментальным данным, а также при их математическом моделировании. В работе [41] рассматриваются главные источники статистических и физических ошибок в количественном текстурном анализе; статистика частиц дифракционного эксперимента и статистика зерен образца. В качестве экспериментальных методик рассматривается нейтронный и рентгеновский текстурный эксперимент. Проводится сравнение экпериментальных ПФ и ПФ, полученных с помощью математического моделирования. В зависимости от условий эксперимента относительные ошибки находятся в диапазоне от 2-29%. В работе [24] также проводится исследование величин погрешностей при экспериментальном измерении ПФ на установке НСВР в процессе нейтронного текстурного дифракционного эксперимента с целью оптимального подбора параметров установки и условий измерения. Особо исследуется зависимость погрешностей восстановленных ПФ от времени измерения на установке, т.е. фактически от статистики частиц. Установлено, что погрешности экспериментальных полюсных фигур убывают обратно пропорционально времени измерения (статистике частиц).
Также хорошо известно, что результаты измерения и восстановления функций ПФ для одного и того же образца при повторном проведении эксперимента либо на той же установке либо на другой аналогичной установке могут значительно отличаться (относительная погрешность может достигать 30-40%). Существование этих отличий обусловлено условиями измерения, а также свойствами самого образца (форма, симметрия и т.д.). Например, при использовании различных экспериментальных методик дифракции нейтронов или рентгеновской дифракции получаются разные результаты вследствие различной проникающей способности этих частиц [40]. Нейтроны имеют значительно большую проникающую способность чем рентгеновские лучи, поэтому на результаты эксперимента влияют различное число кристаллитов одного и того же образца, т.е. в данном случае различается величина экспериментального покрытия образца. Экспериментальное покрытие несимметричного образца может быть азличным и при повторном измерении его ПФ по причине его переориентации в пространстве.
Одним из простейших и верных способов оценить погрешность эксперимента является повторное измерение с последующей количественной оценкой меры расхождения между полученными результатами. В работе [64] при рассмотрении текстурной неоднородности при прокатке листов сплава Zr-2.5%Nb была исследована величина и распределение погрешности измерения в полученных в процессе рентгеновского текстурного дифракционного эксперимента ПФ. В качестве характеристик погрешностей измерения ПФ рассматривались две величины ji и т2. Величина т1 характеризует зависимость величины погрешностей в ПФ от количества рентгеновских импульсов при измерении значения ПФ в некоторой точке экспериментальной сетки измерения. Данная зависимость имеет следующий вид де I - число зафиксированных при измерении нейтронных импульсов. После анализа графиков погрешностей соответствующим экспериментальным ПФ в работе [64] делается следующий вывод; меньшей полюсной плотности (значению ПФ) в точке соответствует большая погрешность. Таким образом, для качественного измерения ПФ в точке необходимо набрать достаточную статистику рентгеновских импульсов.
Величина т2 имеет вид где I,- результат /-го повторного измерения ПФ, Ї - усредненное значение величины ПФ по серии из S измерений. Данная величина используется для оценки величины погрешности измерения ПФ в точке либо по серии повторных идентичных измерений ПФ одного и того же образца либо при измерении величины ПФ в одной и той же точке экспериментальной сетки по разным образцам, вырезанных из основного исследуемого образца, имеющего большие для рентгеновского текстурного эксперимента габариты. При исследовании используется наборы из 8 ПФ и & исследуемых образцов. Для величин ах и т2 производится построение графиков, соответствующих экспериментально измеренным ПФ, на сетке экспериментального измерения. Величина погрешности TV лежит в диапазоне 4-10 %. Величина погрешности а2 лежит в диапазоне 10-40% при использовании одного образца и серий повторных измерений и в диапазоне 10-30% в случае использования нескольких образцов [64]. Таким образом, величины относительных погрешностей при экспериментальном измерении достигают достаточно больших значений.
В качестве величины, характеризующей относительную погрешность при восстановлении ПФ в общемировой практике принято считать RP-Фактор
Моделирование погрешностей при вычислении полюсных фигур для нормальных аспределений
Из анализа приведенных графических и численных данных можно сделать следующие выводы. При увеличении параметра объема выборки разброс значений полюсных фигур убывает. При фиксированных параметрах ЦНР, но для разных кристаллографических векторов поведение графиков зависимостей практически одинаково. Для используемых параметров ЦНР МРФ можно считать почти точным методом расчета. Подробные исследования проведены в [48], следовательно, в данном модельном случае приведенные графики разброса значений показывают характер поведения погрешностей метода ЦПТ в зависимости от параметра объема выборки.
Необходимо заметить, что во всех приведенных случаях графики зависимостей величины разброса значений между ПФ, полученными с помощью метода ЦПТ, и ПФ, рассчитанной с помощью МРФ, довольно близки друг к другу; тогда как график раброса значений между двумя ПФ, вычисленными с помощью метода ЦПТ (повторное моделирование) имеет сходное поведение и по значению всегда превышает значения остальных графиков. Таким образом, из обобщения проведенных исследований можно сделать вывод о том, что при объеме выборки 10000 реализаций уровень относительной погрешности построенного статистического метода моделирования ПФ составляет не более чем 22% и убывает при увеличении объема выборки. Данный уровень погрешностей вполне соответствует уровню погрешностей при экспериментальном измерении ПФ [64], который лежит в диапазоне 5-40%. Зависимости от кристаллографического вектора и параметров ЦНР являются слабовыраженными.
Текстура исследуемого образца поликристалла в зависимости от различного рода факторов может иметь различный вид. Ее конкретный вид зависит не только от рода составляющего поликристалл материала и его симметрии, но и от множества других факторов: чистоты исследуемого материала, физических процессов формирования текстуры (прокатка, деформация, ...), условий измерения и пр. В работе [37] рассматривается процесс изменения текстуры в процессе прокатки для материалов гексагональной симметрии со сходной визуализацией данных в виде совокупности отдельных ориентировок. Математическое описание текстуры в общем случае без внесения каких-либо предположений весьма затруднительно. В данной работе рассматривается количественное описание текстуры в виде ФРО и ПФ. В ряде случаев текстура и, соответственно, ФРО материала может иметь специфический вид. Выделено несколько видов текстур — аксиальные текстуры, компонентные текстуры, непрерывные текстуры. Для решения основной задачи текстурного анализа, т.е. для восстановления ФРО по набору экспериментальных ПФ разработаны различные математические методы. В работе [43] рассматривается метод агтроксимации ФРО с помощью ПНР для случая острой текстуры Ni Ti, имеющей характерный вид нескольких отдельных, максимумов (компонент). ФРО в этом случае аппроксимируется в виде суммы нескольких ПНР со смещенными центрами распределений. Неизвестные параметры аппроксимируемой ФРО восстанавливаются методом итераций. В этом разделе рассматривается пример описания сходного случая компонентной текстуры ленты бериллия 99,95% чистоты, полученной В процессе прокатки. Компонентная модель текстуры также рассмотрена в работах [66,65,67],
Кристаллиты бериллия имеют гексагональную симметрию. Элементы подгруппы вращений D6 точечной группы симметрии кристаллита представлены в таблице 4.2. В случае данной симметрии в соответствии с результатами [33] для полного восстановления ФРО достаточно набора из двух ПФ. На рис. 4.5.1. представлен один из таких наборов экспериментальных ПФ для кристаллографических векторов h = еги h=ey которым соответствуют векторы нормалей к кристаллографическим плоскостям, параметризованные в виде индексов Бравэ [58] {0002} Необходимо заметать, что ФРО и ПФ являются величинами, характеризующими текстуру исследуемого поликристаядического материала, ж могут рассматриваться отдельно. По виду данных функций с учетом априорной информации можно сделать вполне определенные выводы о характере распределения кристаллитов в поликристаллическом образце (текстуре). В случае наличия нескольких острых максимумов у этих функций, например, можно сделать вывод о том, что исследуемый поликристалл состоит из крупных зерен, близких по структуре к монокристаллам, которые ориентированы в некоторых преимущественных направлениях. Такая текстура материала может быть получена, например, в случае физического воздействия на исходный монокристалл.
