Введение к работе
Актуальность работы. В последние десятилетия активно изучались наноструктуры с магнитными нанослоями. Это связано с обнаружением в них новых эффектов, связанных с электронным транспортом, например, гигантского магнетосопротивления, и возможностью их эффективных технических приложений, в частности, в устройствах памяти компьютеров, приборов магнитной записи, детекторов и т.п. С математической точки зрения задача баллистического электронного транспорта в подобной системе сводится к решению уравнения Гельмгольца в сложной области с граничными условиями, зависящими от параметров системы. Резонанс является важным эффектом, влияющим на распространение электрона в системе. Его возникновение связано с наличием квазисобственных значений (полюсов аналитического продолжения функции Грина рассматриваемого оператора на нефизический лист спектрального параметра) с малой мнимой частью у соответствующего оператора. Поэтому проблема их существования и локализации важна в физических задачах.
Целью исследования является асимптотический анализ задачи о квазисобственных значениях, построение и анализ амплитуды рассеяния и приложение полученных результатов к изучению поведения электрона в математической модели слабо связанных структур с магнитными нанослоями, поиск возможности применения изученных эффектов для построения элементов квантового компьютера и устройств для управления спинами электронов.
Объектом исследования является оператор Гельмгольца для системы трехмерных слоев с граничными условиями Неймана
(магнитные слои), соединенных через отверстия малого размера (по сравнению с длиной волны).
Научная задача работы - развитие метода согласования асимптотических разложений решений краевых задач для получения асимптотического разложения решений уравнения Гельмгольца в моделируемой системе нанослоев, изучение рассеяния электрона на отверстиях связи.
Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских (А.М.Ильин, Р.Р.Гадылыпин) и зарубежных исследователей (П.Экснер, К.Кунце, П.Дюкло) в области теории резонансов и изучения эффектов, наблюдаемых в полупроводниковых наноструктурах.
Основные результаты, выносимые на защиту
Доказательство теоремы существования резонанса, близкого к границе ветви непрерывного спектра для оператора Лапласа с граничными условиями Неймана в слоях, соединенных через малые отверстия.
Построение асимптотического разложения резонанса (квазисобственного значения), близкого к нижней границе второй ветви непрерывного спектра, для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Неймана в слоях, соединенных через малые отверстия.
Построение асимптотического разложения резонанса при влиянии на электрон внешнего поперечного электрического ПОЛЯ в слоях с граничными условиями Неймана, соединенных через малые отверстия.
Изучение задачи рассеяния волны на нескольких отверстиях связи.
Построение и анализ функции Грина для двух
невзаимодействующих частиц в волноводе.
Научная новизна исследования - результаты, вынесенные на защиту, являются новыми.
Обоснованность и достоверность результатов, приведенных в диссертационной работе, подтверждается корректностью использованного математического аппарата и имеющимся соответствием между полученными результатами и результатами других авторов.
Практическая значимость. Разработанные методы могут быть применены для изучения различных комбинаций слоев и трехмерных волноводов, конфигураций отверстий связи и форм волноводов. Результаты могут быть использованы при разработке новых наноэлектронных устройств в физике низкоразмерных квантовых систем.
Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях: 32 научная и учебно-методическая конференция СПб ГИТМО (ТУ), 2003; The Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modeling", 2003; Days on Diffraction-2003; Fourth European Congress of Mathematics, 2004; 34 научная и учебно-методическая конференция СПб ГУ ИТМО, 2005; Day on Diffraction'2005; QPC2005; Политехнический симпозиум, 2005; 35 научная и учебно-методическая конференция СПб ГУ ИТМО, 2006; III межвузовская конференция молодых ученых, 2006; Day on Diffraction'2006; Euromech Fluid Mechanics Conference 6, 2006; International Scholl "Few-Body Problem in Physics", 2006; ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics 2006; Конференция «Индустрия наносистем и материалы», 2006 г.; 36 научная и учебно-методическая конференция профессорско-преподавательского и научного состава СПб ГУ ИТМО, 2007;
IV межвузовская конференция молодых ученых, 2007 г.
Публикации. Материалы диссертационной работы представлены в 15 статьях и 7 тезисах конференций, в том числе в 4 статьях, опубликованных в журналах из перечня ВАК для публикации результатов, представленных в диссертациях на соискание ученой степени доктора и кандидата наук («Акустический журнал», «Physica Е», «Научно-технический вестник СПб ГУ ИТМО», «Письма в ЭЧАЯ»). Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертационная работа объемом 97 машинописных страниц, содержит введение, шесть глав и заключение, список литературы, содержащий 114 наименований, 10 рисунков.
