Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обзор литературы 8
1.1. Физическая модель 8
1.2. Аппроксимации формы эмиттера 16
1.3. Методы расчёта потенциала 18
1.3.1. Постановка задачи 18
1.3.2. Математические методы расчёта потенциала 20
1.3.3. Физические методы расчёта потенциала 22
1.3.4. Выводы 24
1.4. Методы расчёта электронных траекторий 25
1.5. Выводы 27
1.6. Постановка задачи 28
Глава 2. Математическое моделирование потенциала между электродами 31
2.1. Проведение оценки плотности объёмного заряда 31
2.2. Моделирование потенциала для различных аппроксимаций конфигурации системы 34
2.2.1. Расчёт потенциала в ортогональной системе координат 34
2.2.2. Аппроксимации эмиттера гиперболоидом вращения 36
2.2.3. Аппроксимация эмиттера параболоидом вращения 39
2.3. Выводы 42
Глава 3. Математическая модель потенциала, создаваемого силами зеркального изображения 43
3.1. Постановка задачи 43
3.2. Построение двумерной математической модели 44
3.2,1. Построение кривой зеркального изображения методами теории исключений 44
3.2.2. Кривая зеркального изображения 48
3.2.3. Метод кривой зеркального изображения 50
3.3. Построение трёхмерной математической модели 53
3.3.1. Построение поверхности зеркального изображения методами аналитической геометрии 53
3.3.2. Поверхность зеркального изображения 56
3.3.3. Метод поверхности зеркального изображения 58
3.4. Проверка метола на примере сферической модели острия , 61
3.5. Применение метода для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа 73
3.6. Применение метода дли конфигурации классического нолевого диода 78
3.7. Выводы 83
Глава 4. Моделирование электронных траекторий... 85
4.1. Расчёт траекторий точечных зарядов для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа 85
4.2. Расчёт устойчивости электронных траекторий при вариациях граничных условий дли конфигурации электронно-оптической системы 89
4.3. Расчет траекторий электронов с учетом сил зеркального изображения 94
4.4. Выводы 96
Заключение 97
Литература 99
Приложение 105
- Математические методы расчёта потенциала
- Моделирование потенциала для различных аппроксимаций конфигурации системы
- Построение кривой зеркального изображения методами теории исключений
- Расчёт устойчивости электронных траекторий при вариациях граничных условий дли конфигурации электронно-оптической системы
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена построению математической модели полевой электронной эмиссии для острийных эмиттеров сложной конфигурации методами математического моделирования и численного эксперимента. В рамках модели решаются проблемы взаимодействия точечного заряда с электродом сложной конфигурации и расчёта траекторий зарядов для острийных структур.
Рассматриваемые в диссертационной работе задачи связаны с возросшим интересом к полевой эмиссии в связи с разработками некоторых типов плоских дисплеев, а так же различных приборов, использующих полевую электронную эмиссию [1]. Полевые источники электронов широко используются в вакуумных приборах, электронно-лучевых трубках, высокочастотных генераторах и т.д. Интерес к полевой эмиссии связан и с исследованиями поверхностей на молекулярном уровне с помощью электронных микроскопов на основе полевых электронных катодов, в частности, со сканирующим туннельным микроскопом (СТМ) и атомным силовым микроскопом (АСМ) [2-5]. На основе принципа действия СТМ создаются новые технологии, например, технология производства компьютерных жёстких дисков "millipede".
Существующие методы проектирования и оптимизации электронно-оптических систем, как правило, используют модели, не учитывающие свойств
источника электронов, что существенно ограничивает их возможности. Создаются и используются модели полевой эмиссии для плоских структур, т.е. электроды аппроксимируются плоскими идеальными проводниками [6,7]. Построение математических моделей полевой электронной эмиссии для острииных эмиттеров сложной конфигурации позволит на качественном и количественном уровне интерпретировать экспериментальные данные и выработать рекомендации по практической реализации приборов и устройств, основным элементом которых являются острийные структуры. Именно поэтому задача построения математических моделей для исследования используемых на практике острииных систем, а так же нахождения взаимодействия точечного заряда с электродом сложной конфигурации и расчёта траектории заряда является актуальной.
Цель работы. Целью диссертационной работы является создание математических моделей, адекватно описывающих явление полевой электронной эмиссии из острииных эмиттеров. Важнейшей составляющей моделирования стало нахождение взаимодействия точечного заряда с электродом сложной конфигурации и расчёт электронных траекторий.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
Разработать математическую модель распределения потенциала с учётом сил зеркального изображения для острийных полевых эмиттеров сложной конфигурации.
На основе математической модели рассчитать электронные траектории для конфигурации сканирующего туї і цельного микроскопа.
Методы исследования. Основными методами исследования являются методы математического моделирования и численного эксперимента.
Положения, выносимые на зашиту:
Математическая модель распределения потенциала с учётом сил зеркального изображения для острийных полевых эмиттеров сложной конфигурации.
Расчёт электронных траекторий для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа с учётом сил зеркального изображения.
Комплекс программ для решения прикладных задач моделирования потенциала и электронных траекторий для полевых источников электронов.
Научная новизна работы. Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы, получены впервые и являются новыми.
Практическая значимості.. Разработанные математические модели, учитывающие сложную форму полевого эмиттера электронов, позволят проводить сравнение экспериментальных данных с выводами теории как на качественном, так и на количественном уровне, в то время как при использовании теории полевой эмиссии из эмиттеров плоской конфигурации сравнение может осуществляться только качественно. Предложенные модели позволят усовершенствовать работу приборов, для которых острийные структуры являются основным элементом (СТМ, АСМ, высокочастотные генераторы, плоские дисплеи и т.д.).
Опубликованные работы. По теме диссертации опубликовано 6 работ [8-13].
Апробации результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на VII и VIII международных конференциях Beam Dynamics and Optimization (Санкт-Петербург, 2000г, Саратов, 2001г), на XXX и XXXI всероссийских конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 1999, 2000гг), а также на научных семинарах кафедры Моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной Математики - Процессов Управления Санкт-Петербургского Государственного Университета.
Математические методы расчёта потенциала
Основоположники теории расчёта потенциала, создаваемого силами зеркального изображения, II.Д. Ланг и В. Кон использовали теорию функционала электронной плотности [30, 31]. Эта теория расчета потенциала достаточно сложна, но до сих пор многие учёные используют её результаты и предлагают свои, более простые, теории расчёта потенциала для конкретных конфигураций [32]. Авторы рассчитывают положение плоскости (или поверхности) изображений, которая является аналогом зеркального заряда для случая сложной конфигурации острия. Авторы Г.В. Вольф и Д.В. Фёдоров предлагают новый метод самосогласованных решений уравнений теории функционала электронной плотности для нахождения плоскости изображений, т.е. для поиска распределения экранированных зарядов [33].
Некоторые авторы решают уравнение Лапласа с учётом сил зеркального изображения аналитически методами математической физики. Методом разделения переменных трёхмерное уравнение Лапласа в соответствующих криволинейных координатах распадается на три уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной. Решения этих уравнений могут быть записаны как конечные суммы функций Лежандра с коэффициентами, выраженными через Гамма-функции. Подобные решения рассмотрены для аппроксимации острия вытянутым эллипсоидом вращения [34] и гиперболоидом вращения [35]. Предлагается так же метод решения уравнения Пуассона разложением потенциала в ряд Тейлора по какой-либо из координат [36]. Полученный вид потенциала во всех этих решениях достаточно сложен и труден для реализации. Эти решения более правильны для применения в математических моделях, но жёсткая привязанность к форме острия и сложная реализация делают их не очень удобными для сравнения с экспериментом.
Наиболее интересен метод, представленный Г. Меза и Дж.Дж. Саенс [37]. Взаимодействие заряженной частицы с поверхностью представляется, как взаимодействие с системой точечных зарядов и заряженных сегментов, при этом должны сохраняться граничные условия на поверхности. Поверхность острия описывается некоторым набором точек. Если поверхность имеет сложную конфигурацию, количество точек возрастает, и, соответственно, возрастает количество вычислений. Время, затрачиваемое на вычисления в случае сложной конфигурации достаточно велико. При продолжении работы с вычисляемым потенциалом (например, вычисление электронных траекторий), оно становится настолько велико, что использование этого метода мы считаем недопустимым.
Физические модели расчёта потенциала рассматривают модель "желе", где электрон «размазан» в пространстве, и различные уточнения этой физической модели [38]. Большинство экспериментальных работ, посвященных расчёту потенциала, создаваемого силами зеркального изображения, связано с нахождением плоскости изображений для модели "желе" [39-42]. Целью этих работ является более точное приближение теоретически рассчитанного потенциала к полученному экспериментально. Местонахождение зеркальной плоскости определяется различными способами. Результаты работ, учитывающих кристаллическую структуру острия, существенно отличаются от результатов для модели "желе" [33], но являются более сложными для реализации в связи с большим объёмом вычислений.
Б качестве физической модели авторы М. Гарсиа-Гернандез, П. Багус и Ф. Иллас рассматривают кластерную модель поверхности, которая описывает металлическую поверхность с учётом атомного характера [39, 43, 44]. В статье рассчитываются и анализируются кривые дипольного .момента для модели "желе". Наклон кривой дипольного момента предполагается определяющим фактором при изучении взаимодействия заряженной частицы с поверхностью. Интересен принцип разделения области между катодом и анодом на три области, где поведение наклона кривой дипольного момента различно. Оригинальным является выделение ближней области, в которой точечный заряд находится настолько близко к поверхности, что влияет на внутреннее распределение зарядов. Экспериментальное определение наклона кривой дипольного момента позволяет найти местоположение плоскости изображений.
Для расчёта сил зеркального изображения существует так же теория электрического центроида [45]. Правило электрического центроида является теоретическим результатом и гласит, что электрическая поверхность совпадает с центроидом создаваемого поверхностью заряда. Здесь электрическая поверхность — это плоскость, где иоле появляется и начинает расти, В случае взаимодействия заряда с плоскостью это то "же, что и поверхность изображения, но автор работы утверждает, что это принципиально разные вещи. Основной целью работ, ведущихся в этом направлении, является объяснение и обобщение правила электрического центроида.
Все рассмотренные методы расчёта потенциала жёстко привязаны к конфигурации острия. Для каждого определяемого типа кривой строится свой метод расчёта потенциала с учётом сил зеркального изображения. Для практического применения это очень неудобно, так как форма реального острия сложна и требует точной аппроксимации. Экспериментально обнаружено, что в процессе полевой эмиссии форма острия изменяется [46], поэтому необходим метод, подходящий для любой аппроксимации острия. Если бы существовал достаточно простой для расчёта метод вычисления потенциала с учетом сил зеркального изображения, проведение сравнения экспериментальных и теоретических данных было бы более эффективным.
Моделирование потенциала для различных аппроксимаций конфигурации системы
В случае аппроксимации эмиттера гиперболоидом вращения осуществляется переход в криволинейную систему координат , //, ц вытянутого эллипсоида вращения: Координатными поверхностями при т] = const являются двуполостные гиперболоиды вращения. Полученный при = 0 и г/ - ;/0 = const гиперболоид вращения представляет собой математическую модель острия (рис. 2.2.1). При ж значении // = ?!= — , поверхность вращения вырождается в плоскость, аппроксимирующую поверхность анода (рис. 2.2.2). полости гиперболоида вращения) — анод (плоскость). Два неизвестных числовых параметра //0 и фокальный радиус а могут быть вычислены на основе двух экспериментально определённых значений: расстояния между катодом и анодом d и радиуса кривизны вершины острия г0, соответствующего = 0. Выражая в криволинейных координатах параметры d и г0, и решая систему уравнений: где V0 — напряжение, приложенное между катодом и анодом. Таким образом, решение уравнения Лапласа (2.2.1) в системе координат вытянутого эллипсоида вращения (2.2.6) с граничными условиями (2.2.9) записывается в виде:
В зависимости от того, какая из координат (Л или /і) постоянна, получаем аксиально симметричные параболоилы вращения (рис. 2.2.3). Пусть для определённости ju = const. Подставляя значение /.i = jtt0, получаем поверхность эмиттера в виде параболоида вращения. Так как расстояние между катодом и анодом в случае классического полевого диода d достаточно велико (=2хЮ"2м), а радиус кривизны вершины острия г0 — мал ( 1х Ю"6м), то при некотором заданном значении ft = f.i\ (при расчётах было взято //,=0.2) можно считать, что полученная поверхность представляет собой плоскую поверхность анода (рис. 2.2.4). Выражая в криволинейных координатах радиус г0, соответствующий Л = 0 можно найти неизвестный числовой параметр //0: Решение уравнения Лапласа для потенциала V в параболической системе координат представимо в виде: Постоянные С С2 определяются из граничных условий: Таким образом, решение уравнения Лапласа (2.2.1) в параболической системе координат (2.2.11) с граничными условиями (2.2.14) записывается в виде: В результате моделирования потенциала для различных конфигураций системы: 1.
Проведена оценка плотности объёмного заряда, которая показала, что для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа величина плотности объёмного заряда является незначительной. Таким образом, для нахождения потенциала необходимо решать уравнение Лапласа, а не уравнение Пуассона, учитывающее объемную плотность заряда. 2. Введена ортогональная система координат, поверхности эмиттера в которой соответствует геометрическое место точек, где одна из координат постоянна. Решено уравнение Лапласа для ортогональной системы координат в общем случае. 3. Рассмотрена система координат вытянутого эллипсоида вращения. Найден вид потенциала для аппроксимации эмиттера гиперболоидом вращения, 4. Рассмотрена параболическая система координат. Найден вид потенциала для аппроксимации эмиттера параболоидом вращения.
Построение кривой зеркального изображения методами теории исключений
Для более точного расчёта математических моделей полевой острийной эмиссии необходимо учитывать силы зеркального изображения, а это невозможно в полной мере без разработки нового метода расчёта электростатического потенциала для эмиттеров сложной конфигурации.
Предлагается новый метод расчёта потенциала, исходя из методов, предоставляемых теорией исключения и классической физикой, — как интеграл по кривой зеркального изображения.
Теория исключения является одним из разделов высшей алгебры, возрождённым благодаря интересу к компьютерной алгебре. Данная теория представляет интерес, если в поставленной задаче необходима абсолютная достоверность результатов, а так же, если нужно провести исследования при динамических изменениях параметров, входящих в рассматриваемую задачу. Теория исключения применяется к многочисленным задачам решения системы алгебраических уравнений от двух переменных, поиска максимума полиномиальной функции, построения эквидистанты алгебраической кривой. Для подобных задач аналитическое представление решений или преобразование задачи к эквивалентной, но более простого вида, незаменимо. Компьютерная алгебра, оперирующая точными числами и алгебраическими выражениями и их символьном представлении, применяется при создании таких математических пакетов, как Maple, Mathematica и др.
Для решения некоторых физических задач особенно важно учитывать динамику процесса; достоверность результата играет решающую роль при моделировании физических процессов. Таким образом, теория исключений, как одна из составляющих компьютерной алгебры, незаменима при нахождении аналитических решений некоторых физических задач [53].
Считая рассматриваемую физическую модель «катод-анод» аксиально-симметричной, рассмотрим двумерный случай, для которого разработана теория исключений.
Кривой зеркального изображении называется геометрическое место точек, являющихся зеркальными изображениями источника излучения (х0,г0), относительно касательных к точкам гладкой кривой К. Использование методов теории исключения накладывает некоторые ограничения на функцию, аппроксимирующую эмиттер. Выведем уравнение кривой зеркального изображения для гладкой кривой К: = /(х), где Пусть точка (x,z) является зеркальным изображением источника {xQ,z0) относительно касательной к кривой К, проведённой в точке (X,Z). Согласно определению кривой зеркального изображения, расстояние от источника излучения до кривой К равно расстоянию от К до кривой зеркального изображения. Следовательно: Тангенс угла наклона касательной к графику равен f {X). Вектор (x x0 z zQ) должен быть перпендикулярен направляющему вектору касательной: Уравнение (3.2.2) позволяет исключитьпеременную Z из (3.2.1): Теперь необходимо исключить неременную X из системы (3.2.3), (3.2.4), но, очевидно, что (3.2.3) является (с точностью до множителя) производной (3.2.4) по X. Таким образом, кривая зеркального изображения определяется уравнением: —дискриминант полинома по переменной X, остальные переменные считаются параметрами. Для случая аппроксимации эмиттера параболоидом вращения кривая К задаётся функцией f(X) = а-Х2 +Ь, и выражение (3.2.5) может быть представлено в виде: Дискриминант функции для квадратного трёхчлена по определению равен [53]: Таким образом, уравнение кривой зеркального изображения для параболической аппроксимации эмиттера имеет вид: Таким образом, методами теории исключений получено аналитическое представление кривой зеркального изображения в общем виде. Для параболической аппроксимации эмиттера получено выражение для переменных кривой зеркального изображения хиг. Для расчёта и построения кривой зеркального изображения была написана профамма на Maple 8 (см. приложение). Начальными значениями и профамме являются местонахождение точечного заряда в декартовой системе координат и форма острия (его двумерная аппроксимация, например, парабола, гипербола, эллипс). Результатом работы профаммы является кривая зеркального изображения. Для случая гиперболической аппроксимации острия кривая зеркального изображения выглядит следующим образом
Расчёт устойчивости электронных траекторий при вариациях граничных условий дли конфигурации электронно-оптической системы
В приборах, основанных на применении полевой остри иной эмиссии, невозможно абсолютно точно установить остриё, всегда существуют некоторые отклонения. Именно поэтому необходимо рассчитать изменения потенциала при вариациях граничных условий. Это позволит рассчитать электронные траектории и доказать их устойчивость. В литературных источниках рассчитываются аксиально симметричные системы, изменения взаимодействия при вариациях граничных условий не исследуются.
Рассчитаем устойчивость электронных траекторий при вариациях граничных условий для конфигурации электронно-оптической системы с характерными параметрами: радиус кривизны острия г = 9- \0 7м, расстояние между электродами d = 9-10 7.w. Электронно-оптические системы с такими характерными размерами представляют особый интерес, так как дают возможность получить пучки электронов малого сечения с большой плотностью тока, что обеспечивает большую яркость получаемого изображения. Подобные системы применяются, например, в литографии. Для рассматриваемой электронно-оптической системы применим аппроксимацию эмиттера гиперболоидом вращения. Устойчивость электронных траектории означает, что при малых отклонениях плоскости или острия должны наблюдаться малые отклонения электронных траекторий. Граничные условия задаются на острие и плоскости, следовательно, от оси симметрии может быть отклонено острие или плоскость. Задачу об отклонении острия несложно свести к задаче об отклонении плоскости. На рис. 4.2.1 гипербола представляет собой катод, наклонённая плоскость — анод. Уравнение плоскости, отклонённой от оси абсцисс на угол г, в системе координат вытянутого эллипсоида вращения записывается в следующем виде: Здесь задаваемый угол v между рассматриваемой плоскостью и плоскостью z=0 определяет / следующим образом; Уравнение Лапласа для задачи о взаимодействии электродов в неаксиальном случае (отклонение плоскости) выглядит следующим образом: Будем решать задачу, отталкиваясь от метода Фурье. Выполняются все условия применимости метода; потенциал непрерывен в рассматриваемой области, имеет непрерывные частные производные 1 и 2 порядков в этой области и удовлетворяет 1 краевой задаче по виду граничных условий. При решении уравнения Лапласа с граничными условиями (4.2.3), было получено приближённое аналитическое выражение потенциала: Достоинством полученного решения является аналитический вид потенциала.
Расчёты показали, что при малых углах v изменение взаимодействия заряженных электродов незначительно. Это позволяет сделать вывод об устойчивости взаимодействия проводящих электродов сложной конфигурации при вариациях граничных условий. Полученное решение задачи может быть применено для расчёта систем, конфигурация которых предусматривает достаточно большое отклонение острия или плоскости. На рис. 4.2.3 представлен график для значительных отклонений плоскости от горизонтального положения, угол v был взят равным 30.
Для расчёта траекторий электронов с учётом сил зеркального изображения рассмотрим конфигурацию сканирующего туннельного микроскопа. Для всех видов электронных микроскопов точное определение электронных траекторий играет важную роль: чем точнее будут рассчитаны траектории, тем болыие возможностей для получения изображений исследуемых поверхностей с большим разрешением. На рис. 4.3.1 представлены электронные траектории для конфигурации сканирующего туннельного микроскопа со следующими параметрами: радиус кривизны острия г = 1-10" ,м, расстояние между острием и исследуемой поверхностью / = 2-10-9 л/, приложенный потенциал V0=\0B, проекции начальной скорости вылета электрона по криволинейным координатам равны нулю. Чёрной линией на графике обозначена электронная траектория без учёта сил зеркального изображения, серой линией — с учётом.
