Математическое моделирование линейно-упругих систем сложной конфигурации Матросов, Александр Васильевич

Введение к работе

Актуальность темы

В практике расчета сложных сооружений или конструкций превалирует тенденция к рассмотрению их как единого целого без декомпозиции на простые составляющие элементы, расчет которых может быть выполнен независимо друг от друга на основе простых моделей. Такой подход предполагает разработку математических моделей, адекватно отражающих работу всей конструкции, а не отдельных ее частей. Он основывается на дискретизации сложной конструкции на элементы небольших размеров и аппроксимации в них компонентов напряженно- деформированного состояния на базе различных критериев, приводя к численным схемам расчета сооружений. В настоящее время широко используются три способа дискретизации конструкции: в виде сетки, конечных элементов и граничных элементов. Предполагается, что уменьшение размеров ячеек сетки, конечных и граничных элементов приводит к уточнению напряженно-деформированного состояния конструкции, в пределе сходясь к аналитическому решению на основе подходов механики деформируемого твердого тела.

В настоящее время наибольшую популярность получили программные комплексы на основе конечных элементов как предметно-ориентированные, например, SCAD для расчета строительных конструкций, так и универсальные, предназначенные для расчеты различных физических полей, например, ANSYS. Однако и они имеют недостатки, например, пользователь должен заранее выделять области с резким изменением характера напряженно-деформированного состояния, разбивать их на элементы малых размеров, и, для достижения заданной точности, использовать конечные элементы высокого порядка, что априори может оказаться не очевидным. Подобные «проблемы» могут быть решены, если для моделирования сложных конструкций использовать системы, основанные на численно- аналитических решениях теории упругости, которые не требуют от расчетчика знаний о характере напряженно-деформированного состояния конструкции в различных ее частях.

С появлением систем компьютерной математики (Maple, Mathematica и др.) разработка и реализация аналитических и численно-аналитических методов расчета поднялась на новый уровень. Возможность в этих системах манипулировать аналитическими выражениями, производить вычисления с вещественными числами с

мантиссой практически неограниченной длины позволила преодолеть недостатки некоторых алгоритмов построения аналитических решений задач механики твердого тела.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации. Данная проблема актуальна, поскольку:

1. численно-аналитические решения плоской и пространственной теории упругости позволяют получить решение в виде рядов по определенной системе функций, не прибегая к дискретизации ни оператора задачи, ни области, в которой оно ищется;

2. численно-аналитические решения задач механики деформируемого твердого тела могут выступать в качестве тестовых для различных численных методов и приближенных теорий.

Цели и задачи работы

Целью работы является разработка универсального подхода к построению численно-аналитического решения широкого класса линейно-упругих систем сложной конфигурации, образованных из соприкасающихся анизотропных прямоугольных областей с различными условиями контакта по граничным линиям.

Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:

2. 1. Разработан алгоритм построения общего решения для анизотропной упругой прямоугольной области на основе решений, получаемых методом начальных функций.

   2. Исследована вычислительная устойчивость алгоритма метода начальных функций.

   3. Разработан алгоритм расчета упругих систем, представимых в виде множества соприкасающихся прямоугольных областей произвольных конечных размеров.

   4. Разработано программное обеспечение в системе аналитических вычислений Maple.

   5. Решен ряд задач прикладного характера с помощью разработанного программного обеспечения .

   Методы исследования

   В работе используются идеи метода суперпозиции построения общего решения уравнений статики линейной теории упругости, метода начальных функций и символического способа построения решений дифференциальных уравнений в частных производных.

   Научная новизна

   Новыми результатами являются следующие:

   2. 5. 1. Разработан и реализован алгоритм построения общего решения для упругой анизотропной прямоугольной области, позволяющий удовлетворять не только граничным условиям, заданным в виде смещений и внешних напряжений, но и смешанным граничным условиям (нормальная составляющая смещения и касательная составляющая внешнего напряжения или нормальная составляющая внешнего напряжения и касательная составляющая смещения).

         2. Исследована вычислительная устойчивость алгоритма метода начальных функций в зависимости от используемой при расчетах длины мантиссы в представлении вещественных чисел.

         3. Разработан и реализован алгоритм расчета линейно-упругой неоднородной системы сложной конфигурации на основе ее разбиения на составляющие прямоугольные области конечных размеров.

         4. Численно-аналитические решения можно использовать в качестве эталонных при тестировании численных методов расчета (методы конечных разностей, граничных элементов, конечных элементов).

         5. Создан и апробирован комплекс программ «MIFSuperposition» для моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации.

         Практическая значимость

         Полученные в диссертации результаты имеют практическое значение:

         2. 5. 5. 1. Решены практические задачи механики: растяжение и изгиб прямоугольной полосы с трещиной, изгиб балочных перекрытий, расчет напряженно- деформированного состояния балки-стенки на двухслойном основании и головы шлюза на скальном основании.

                  2. Разработанный комплекс программ «MIFSuperposition» проще в использовании по сравнению с традиционными пакетами на базе метода

                  конечных элементов: сложная система естественно и просто разбивается на составляющие ее конечные прямоугольные области, отсутствует необходимость предварительного анализа системы на наличие сингулярных точек и «подбора» высокоточных конечных элементов в окрестностях этих точек.

                  3. Комплекс программ «MIFSuperposition» использовался для расчета балочных перекрытий, определения коэффициентов податливости листовых конструкций специальных подкреплений в разработанной на кафедре конструкций корпуса Санкт-Петербургского государственного морского технического университета системы проектирования и оценки технического состояния судовых конструкций «SYSCHECK».

                  Основные результаты, выносимые на защиту

                  2. 5. 5. 2. 1. Алгоритм моделирования напряженно-деформированного состояния анизотропной прямоугольной области, находящейся в условиях плоской задачи линейной теории упругости. Он основан на двух решениях, построенных с помощью метода начальных функций.

                              2. Доказательство регулярности операторов метода начальных функций для анизотропного тела.

                              3. Замкнутые формы операторов метода начальных функций на основе подхода на базе уравнений теории упругости в перемещениях для случаев ортотропного и изотропного тела.

                              4. Доказательство сходимости степенных рядов решений метода начальных функций в случае произвольной анизотропии при использовании в качестве начальных функций тригонометрических синусов и косинусов.

                              5. Алгоритм расчета плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации, представимых в виде совокупности соприкасающихся анизотропных прямоугольных областей с различными условиями сопряжения на гранях.

                              6. Области вычислительной устойчивости разработанных алгоритмов математической модели.

                              7. Комплекс программ MIFSuperposition в системе аналитических вычислений Maple для моделирования и визуализации получаемых результатов поведения линейно-упругих систем сложной конфигурации.

                              Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректным применением методов математического моделирования, теории упругости анизотропных тел и вычислительной математики. Результаты расчетов тестовых задач с помощью разработанного комплекса программ «MIFSuperposition» совпадают с результатами их численного моделирования методом конечных элементов.

                              Апробация результатов диссертации

                              Результаты диссертации докладывались и обсуждались на различных конференциях и семинарах: First International Conference on Composite Science and Technology (ICCST/1), Durban, South Africa, 1996; 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference, Stockholm, Sweden, 1997; Second International Conference on Composite Science and Technology (ICCST/2), Durban, South Africa, 1998; 12th International Conference on Composite Materials, Paris, France, 1999; постоянный семинар «Строительная механика» Санкт-Петербургского дома ученых (2002-2003); 22, 23 и 24 Международные конференции по математическому моделированию в механике деформируемых тел и конструкций, методы граничных и конечных элементов, BEM- FEM 2005, 2009 и 2011, Санкт-Петербург; III и IV Международные научно- практические конференции «Современные информационные технологии и ИТ- образование» (Москва, МГУ, факультет ВМиК, 2005, 2009); Международная научно- практическая конференция «Информационные технологии в образовании и науке» (ИТО-Поволжье-2007, Казань, 2007); Международная конференция «Научно- технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (RELMAS'2008, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2008); Международная конференция «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленский государственный университет, 2009, 2010); семинар кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела, факультет прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, рук. проф. Ю. М. Даль, (2006, 2009, 2011); семинар кафедры теоретической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, рук. проф. П. Е. Товстик (2009); семинар под руководством акад. Н. Ф. Морозова, институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург (2009); Российская летняя школа «Математическое моделирование в системах компьютерной математики», Казань- Яльчик, 2010.

                              Публикации

                              По теме диссертации опубликовано 33 работы, из которых 10 в изданиях, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций.

                              Структура и объем работы

                              Похожие диссертации на Математическое моделирование линейно-упругих систем сложной конфигурации

                              

                              Символьные и численные методы в математическом моделировании гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состоянияБеспалько Евгений Валерьевич

                              Математическое моделирование процессов тепломассопереноса в каналах разной конфигурацииШепталин, Николай Викторович

                              

                              Математическое моделирование эмиссии электронов из острийных катодов сложной конфигурации Ермошина Марина Сергеевна

                              

                              Математическое моделирование и исследование устойчивости сферически-симметричных гравитирующих склярных конфигурацийНиконов, Василий Владимирович

                              

                              Математическое моделирование и символьно-численные методы исследования гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации в постньютоновском приближенииМихеев Сергей Александрович

                              

                              Моделирование распространения загрязняющих веществ при напорной фильтрации воды в области сложной конфигурацииЗиннатуллина Алсу Наилевна

                              

                              Логическое моделирование систем с последовательно-параллельной структурой Близнова Ольга Владимировна

                              

                              Математическое моделирование систем обеспыливания промышленных объектов с учетом явлений переноса в гетерогенных средах Шаптала Владимир Григорьевич

                              

                              Моделирование системы комбинированного охлаждения лопаток турбомашин с вихревым энергоразделителем Цынаева Анна Александровна

                              

                              Разработка системы моделирования и оптимизации термических процессов для объектов с переменным состоянием средыБезгубов Михаил Анатольевич