Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Общие принципы математического моделирования гравити рующих скалярных конфигураций 15
1.1 Действие и динамические уравнения 15
1.2 Редукция уравнений для сферически-симметричных конфигураций 18
1.3 Характеристические уравнения и характеристическая функция 25
1.4 Обратная задача для гравитирующих скалярных конфигураций 31
1.5 Выбор координат 36
1.6 Примеры математических моделей 40
1.7 Безмассовое скалярное поле. Классификация решений 44
ГЛАВА 2. Исследование устойчивости относительно малых радиальных возмущений 50
2.1 Динамические уравнения для возмущений в линейном приближении 50
2.2 Выбор калибровочных условий 54
2.3 Постановка и редукция задачи устойчивости 56
2.4 Устойчивость вакуумных черных дыр относительно флуктуации скалярного поля "... 68
ГЛАВА 3. Численное моделирование гравитирующих скалярных конфигураций 72
3.1 Численное моделирование топологического геона
3.2 Аналитическое моделирование в системе символьных вычислений классов точных решений 81
3.3 Аналитическое и численное исследование эффективных потенциалов конкретных решений 83
3.4 Вычисление параметров математической модели галактического гало по данным наблюдений 90
Заключение 95
Литература
- Редукция уравнений для сферически-симметричных конфигураций
- Выбор калибровочных условий
- Аналитическое моделирование в системе символьных вычислений классов точных решений
- Вычисление параметров математической модели галактического гало по данным наблюдений
Введение к работе
Актуальность темы диссертации обусловлена той важнейшей ролью, которую играют скалярные поля в современной физической картине мира. Модели физики элементарных частиц, космологические теории эволюции ранней Вселенной, а также математические модели некоторых наблюдаемых гравитируюгцих систем в астрофизике не в состоянии обойтись без включения на фундаментальном или феноменологическом уровне скалярного поля: бозон Хиггса, инфлатон, аксион, модель холодной темной материи и т. д. В настоящее время скалярные поля не обнаружены явно ни в одной из теорий, но если они существуют в природе на фундаментальном уровне, то одним из наиболее перспективных экспериментальных указаний на их существование является именно темная материя, присутствие которой во Вселенной надежно установлено. Взаимодействие темной материи с частицами, составляющими обычное вещество, или отсутствует, или имеет сечение ниже предела точности экспериментов, т. е. частицы или поле, составляющие темную материю, участвуют заметным образом только в гравитационном взаимодействии. В связи с этим вещественное скалярное поле рассматривается как наиболее перспективная основа для описания темной материи, поскольку вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом является чисто гравитационным. Поэтому интерпретация наблюдений в галактической и субгалактической астрономии требует построения адекватных математических моделей гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени.
В более общем плане математическое моделирование самогравитиру-ющих скалярно-полевых конфигураций непосредственно связано с вопросом о том, какова роль гравитации среди трех других фундаментальных взаимодействий в микромире. Математическое моделирование самограви-тирующих конфигураций, построенных из нелинейных скалярных полей, позволит лучше понять пределы применимости современной теории гравитации в микромире, а также осознать совместную роль всех фундаментальных взаимодействий в макроэволюции Вселенной.
Диссертация посвящена решению принципиальных и практически значимых задач, относящихся к одной из важнейших проблем современного естествознания — математическому моделированию экзотических гравитирующих конфигураций, проявляющих себя на галактическом и субгалактическом уровнях, с целью распознавания их природы (совре-
менное состояние исследований отражено в обзорах ).
Цель работы — построение математических моделей статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций, исследование с их помощью характеристик как наблюдаемых, так и предполагаемых гравитирующих объектов галактического и субгалактического уровня, а также исследование устойчивости относительно линеаризованных возмущений.
Достижение поставленной цели требует решения ряда промежуточных математических задач: развитие новых математических методов исследования гравитирующих конфигураций (в том числе, развитие метода обратной задачи), получение модельных аналитических и численных решений полной системы уравнений Эйнштейна, классификация решений по геометрическим и топологическим типам, редукция линеаризованной самосогласованной задачи устойчивости для гравитирующих скалярно-полевых конфигураций к одному стационарному уравнению Шредингера для квазинормальных мод с приведенным эффективным потенциалом, разработка программ для математического моделирования гравитирующих скалярных конфигураций специального вида.
Основные методы исследования
В работе используется метод структурных уравнений в ортонормиро-ванной тетраде, аналитические методы анализа симметрии и преобразований для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, метод обратной задачи для полевых дифференциальных уравнений с неизвестным потенциалом, методы асимптотического и топологического анализа решений; применяется система аналитических вычислений MAPLE и вычислительная среда Fortran с реализованными апробированными численными методами и алгоритмами решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Положения, выносимые на защиту
1. Интегральные формулы метода обратной задачи для математического моделирования статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций.
^ronnikov К.А., Fabris J.С. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).
2Новиков И.Д., Кардашев Н.С., Шацкий А.А. Многокомпонентная Вселенная и астрофизика кротовых нор // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. С. 1017-1023.
3Berti Е., Cardoso V., Starinets А.О. Quasinormal modes of black holes and black branes // Class. Quant. Grav. 2009. no. 26. 163001 (arXiv: gr-qc 0905.2975).
2. Вывод явных формул эффективного потенциала в линеаризованной
задаче устойчивости гравитирующих скалярных конфигураций.
3. Математические модели сферически-симметричных гравитирую
щих скалярных конфигураций.
4. Комплекс программ для численного моделирования топологических
геонов.
Научная новизна
В работе развит метода математического моделирования — метод обратной задачи — для статических сферически-симметричных скалярных конфигураций, заключающийся в получении нового решения уравнения гравитации в виде квадратурных формул для метрических функций и скалярного поля.
Построение новых математических моделей скалярных конфигураций новыми методами, когда в основе моделей лежат точные решения уравнения гравитационного поля, полученные методом обратной задачи.
При построении математических моделей гравитирующих скалярных конфигураций в диссертации развит новых подход исследования устойчивости, заключающийся в том, что метрические и полевые возмущения взаимно индуцируют друг друга, т. е. считаются зацепленными друг с другом в нестационарной линеаризованной и самосогласованной системе уравнений Эйнштейна для возмущений на фоне известного статического решения.
Для радиальных возмущений в математических моделях скалярных конфигураций задача устойчивости редуцирована к одному волновому уравнению, на основе метода обратной задачи получен явный вид формул для выражения эффективного потенциала.
Достоверность и обоснованность
Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов базируется на использовании строгих аналитических и численных математических методов исследования, апробированных методов математического моделирования. Полученные результаты удовлетворяют принципу соответствия, совпадая с известными ранее при предельных переходах в соответствующие области значений параметров, в частности, при переходе к вакуумным конфигурациям.
Теоретическая и практическая значимость
Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что общее решение обратной задачи и метод редукции уравнений
Эйнштейна, который может быть применён для широкого класса само-гравитирующих систем физических полей, имеют общетеоретическое и методологическое значение в математическом моделировании гравитиру-ющих систем. Построенные на основе решения обратной задачи математические модели, в частности, частицеподобные, являются вкладом в теорию гравитирующего скалярного поля, моделирующего темную материю и возможные, экзотические объекты субгалактической астрономии.
Практическая значимость результатов диссертации обусловлена тем, что они позволяют вычислить параметры наблюдаемых объектов на основе построенных математических моделей. Возможно и целесообразно использование полученных в работе результатов при планировании наблюдательных экспериментов и интерпретации данных в области астрономии, в том числе в рамках проектов поиска экзотических гравитирую-щих объектов на галактических и субгалактических масштабах.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных научных конференциях «Синергетика в естественных науках» (ТвГУ, Тверь, 2007), «Современные проблемы математики, механики и их приложений» (МГУ, Москва, 2009), на Второй Российской школе-конференции с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (ТвГУ, Тверь, 2010), а также на научных семинарах механико-математического факультета МГУ и математического факультета ТвГУ.
Публикации
Основные результаты диссертации отражены в 7 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1] - [3] опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, а [4], [5] — в трудах международных конференций.
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 99 наименований. Диссертация изложена на 106 страницах, включает 39 рисунков и одну таблицу.
Редукция уравнений для сферически-симметричных конфигураций
В общей теории относительности гравитирующие конфигурации подчиняются связанной системе уравнений Эйнштейна и динамических уравнений для источника гравитационного поля [70, 71, 72]. Корректная постановка задач в рассматриваемой теории гравитации связана, чаще всего, с наложением дополнительных условий па геометрию пространственно-временного многообразия: асимптотического, топологического и симмет-рийного типа, так как использование граничных и начальных условий сильно ограниченно. Исследование алгебраических и дифференциальных симметрии системы уравнений Эйнштейна является одним из основных направлений в развитии базовых принципов и методов математического моделирования в теории самогравитирующих систем вещества и материальных полей.
В данной работе математическое моделирование гравитирующих скалярных конфигураций подразумевает, в частности, поиск частицеподобно-го решения в аналитическом или численном виде для связанной системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения для скалярного поля со сферической симметрией. При поиске частицеподобиого решения так же учитываются дополнительные асимптотические условия для метрических функций.
Принимая во внимание, что в настоящей работе рассматривается нейтральное (вещественное) скалярное поле, участвующее только в гравитационном взаимодействии с минимальной связностью, полное действие можно записать в виде где, как указано ранее, использована геометрическая система единиц (G — 1, с = 1), S — скалярная кривизна, угловые скобки ( , ) обозначают скалярное произведение относительно метрики д, У{ф) — потенциал самодействия скалярного поля. Параметр є = ±1 вводится для унификации действия в математических моделях с положительным и отрицательным кинетическим членом в лагранжиане скалярного поля. Уравнения Эйнштейна имеют вид
Уравнения (1.2) и (1.4) образуют полную систему уравнений Эйнштейна для описания гравитирующего скалярного поля. В соответствии с общей теорией уравнений Эйнштейна число независимых уравнений, с учетом тождеств Биапки, равно числу неизвестных метрических функций, с учетом конкретных калибровочных (координатных) условий. Постановка задач для полной системы должна содержать дополнительные условия: топологические условия, асимптотические условия, условия симметрии, ограничивающие форму метрики, а также, в некоторых задачах, начальные условия. Для дальнейшего важнейшим является вопрос о возможности существования статических конфигураций в сферически-симметричном случае.
Сравнивая тензорное поле энергии-импульса скалярного поля с соответствующим выражением для поля энергии-импульса идеальной жидкости (Tij) = diag(/9, Р, Р, Р), где р — плотность вещества, а Р — давление, можно увидеть, что статическая конфигурация возможна — как в звездах — только в случае равновесия между отталкивающим самодействием скалярного поля и гравитационным притяжением к центру конфигурации; в частности, чтобы пространственные компоненты поля энергии-импульса обеспечивали (как обычное давление в жидкой среде) отталкивание на пространственной бесконечности, величина кинетического члена в лагранжиане должна превосходить по абсолютной величине значение потенциала для обычного (є = 1) скалярного поля и, наоборот, быть меньше для фантомного (є = —1). 1.2 Редукция уравнений для сферически-симметричных конфигураций
Пространственно-временное многообразие называют сферически-симметричным, если группа его изометрий содержит подгруппу 50(3, К), действующую транзитивно на двумерных сферах.
Для наших целей удобно записать метрику сферически-симметричного пространства-времени в следующем виде д = A2dt dt- B2dr dr - С2 (d9 dO + sin2 9 dip dtp) , (1.5) а так же в координатах кривизны ds2 = A2dt2 - B2dr2 - C2{d92 + sin2 в dip2). (1.6) сохраняя свободу в выборе калибровочного условия. Функции А, В и С зависят только от координат t и г . Следуя технике работы со сферически-симметричными многообразиями, развитой в j 13, 14], будем использовать ортонормированный базис векторных полей
Выбор калибровочных условий
При исследовании устойчивости черных дыр относительно малых внешних возмущений достаточно рассматривать область вне горизонта событий, которая целиком покрывается статической координатной картой; в этой карте метрические функции и поле не зависят от времени. Для регулярных решений ситуация аналогична, по статическая карта покрывает все пространство-время. Поэтому далее будем рассматривать статическую калибровку, в которой С (г) = г . В таком случае возмущенные метрические функции и функцию поля будем представлять в следующем виде А = Л0(г) + хсц{г, г), В = JB0(r) + жЬі(і, г), С = г, Ф = Фо(г) + хфІЇ, г), (2.13) где Ло(г), Во(г) и фо(г) — решения полной связанной системы уравнений Эйнштейна (1.17) - (1.21); a\(t, г), bi(t, г) и ф\(і, г) — возмущения. Параметр х вводится для тех же целей что и ранее. Отметим, что возмущение функции С (г) = г не рассматривается, выбор сі (, г) = 0 не приводит к потере качественной общности. Соотношение между метрическими функциями А, В , а точнее между Ао(г), Во(г) и /(г), будут учтены позже.
Выполним линеаризацию связанной системы уравнений Эйнштейна в основной форме (2.1) - (2.5) проведя замену метрических функций А, В, С и функции поля ф в соответствии с выбранной калибровкой С (г) = г и возмущением (2.13), а также будем использовать сокращенные обозначения (2.7). Система имеет вид:
В континуальной механике изучение линейных возмущений компактной системы (например, струны с закрепленными концами, мембраны, грави-тирующей звезды) вблизи положения равновесия дает важную информацию об устойчивости и некоторых характеристических свойствах системы, вплоть до ее геометрической формы. Для системы в общем положении, находящейся вдали от точек бифуркации, малые возмущения удовлетворяют уравнению колебаний с компактной областью изменения пространственных переменных, причем решение соответствующей спектральной задачи определяет полный набор собственных функций, называемых нормальными модами. Изучение малых возмущений метрики асимптотически плоского пространства-времени и гравптирующих полей в общей теории относительности также приводит нас к спектральным задачам, собственные функции которых, однако, не образуют полной системы и поэтому называются квазинормальными модами [1, 78]. Неполнота системы собственных функций связана с иекомпактпостыо области пространства и диссипатив-ным характером задачи [47, 48], поскольку уходящие волны рассеиваются на пространственной бесконечности. В последние годы интерес к изучению квазинормальпых мод существенно возрос, во-первых, в связи с реальной возможностью в ближайшем будущем наблюдений собственных колебаний релятивистских астрофизических объектов как в электромагнитном, так и в гравитационно-волновом диапазоне. Во-вторых, критерии устойчивости гравитирующей конфигурации относительно линеаризованных возмущений также тесно связаны с исследованием спектра квазинормальных мод. Вывод о неустойчивости или, наоборот, устойчивости вытекает из присутствия или, соответственно, отсутствия в спектре колебаний частот с отрицательной мнимой частью (при нашем выборе временной зависимости егші), причем в некоторых случаях этот вывод может быть сделай только на основании свойств эффективного потенциала без явного решения спектральной задачи. Несмотря на неполноту системы квазинормальных мод, а также наличие чисто степенного закона затухания при больших значениях времени, в настоящее время обтцепринята и хорошо обоснована точка зрения [1, 47, 48, 49], что спектр квазинормальных мод содержит полную информацию об устойчивости сферически-симметричной конфигурации, если начальные условия для возмущений ограничены и локализованы. Современное состояние теории устойчивости черных дыр и метода квазинормальных мод, вместе с полной библиографией по проблеме скалярных возмущений, отражено в обзорах [33, 49, 50].
Нашей целью является исследование устойчивости для сферически-симметричных самогравитирующих скалярных конфигураций. Для этого рассматриваются линеаризованные радиальные возмущения скалярного поля вблизи статической скалярной конфигурации, но не в фоновой геометрии пространства-времени, а в рамках самосогласованной системы уравнений Эйнштейна, в которой метрические и полевые возмущения зацеплены друг с другом; проведена редукция задачи к одному волновому уравнению и ассоциированному с ним уравнению Шредипгера для квазинормальных мод, получено удобное выражение для эффективного потенциала. Отметим, что ранее [17, 49, 51, 52, 53] устойчивость и квазипормальные моды для возмущений скалярного поля рассматривались исключительно на фоне фиксированной геометрии статической скалярной конфигурации, что оправдано при условии, что интенсивность скалярного поля невелика и массивная черная дыра близка к вакуумной. Возможность преобразования эффективного потенциала в самом общем случае, т. е. при произвольном потенциале самодействия скалярного поля, является следствием ранее полученного общего решения обратной задачи для сферически-симметричного самогравитирующего скалярного поля [56]. Выражение для эффективного потенциала только через полевую функцию статического решения и ее производные придает качественно иной смысл проведенной редукции задачи.
Для сферически-симметричных скалярных конфигураций линеаризованные возмущения инвариантным образом разделяются на полярные и аксиальные так же, как в случае вакуумных черных дыр. Предлагаемый подход к исследованию устойчивости заключается в изучении на первом этапе спектра радиальных или, другими словами, монопольных полярных возмущений, сохраняющих сферическую симметрию и нулевой момент импульса конфигурации. На втором этапе конфигурации, устойчивые относительно радиальных квазинормальных мод, могут быть исследованы на устойчивость относительно аксиальных возмущений, в которых возмущения скалярного поля не входят явно, так что они сводятся к чисто метрическим возмущениям при любом потенциале поля [17]; в последнюю очередь изучаются мультипольные полярные возмущения с нетривиальной зависимостью от угловых координат. Такой подход оправдан тем, что в известных к настоящему времени практических исследованиях устойчивости сферически-симметричных полевых конфигураций обнаружено затухание всех мод полярного типа, если радиальные моды затухают. Для полей спина ноль, в частности, скалярных полей, это наблюдение справедливо и в отношении аксиальных возмущений, однако строгое математическое доказательство данных фактов отсутствует. Для уточнения аналогий и сравнения с результатами авторов, впервые применивших метод квазинормальных мод к изучению чисто гравитационных возмущений вакуумных черных дыр, отметим, что уравнения для полярных п аксиальных возмущений называются соответственно уравнением Зерилли [45] и уравнением Редже-Уилера [44].
Аналитическое моделирование в системе символьных вычислений классов точных решений
Как отмечалось ранее, в рассуждениях и в расчетах используется геометрическая система единиц, так как это значительно упрощает запись уравнений и восприятие. Для оценки значений массы и размеров квазичастицы в обычной системе единиц, необходимо умножить ф и р на х"1 2 а G С, a, s, го на XIх гДе X — — Ю- 19 см/эрг ( 10 54 см/Мэв), /І — ко эффициент самодействия в потенциале (3.4), который является свободным параметром вследствие масштабной инвариантности уравнений. Из разложения (3.10) следует b = В2 = 1 + — + См - 1 при г — оо, но мы так же предполагаем, что калибровочные условия имеют 2т ( 1 \ обычную (шварцшильдову) асимптотику В2 = 1 4- — -Ь О ( — ] при 2mG г - оо, поэтому а = 2т или, в обычных единицах, а — —г—, где с1 т гравитационная масса квазичастицы. Полученные значения параметров даны в (3.11), причем а 1, а в обычных единицах а XI2 зна 2гаС? чит хм —о откуда /І 2тс2. Из разложения (3.9) следует, что сг Стгп = s (при г — 0), причем в (3.11) получено значение 5 2, соответственно в обычных единицах размер квазичастицы Стгп = s 2%/J, . Обсуждение космологических следствий выходит за рамки данной работы, однако представляет интерес сравнение квазичастицы с ипфлато-пом — квантом вещественного скалярного поля, которое феноменологи 80 чески вводится в одной из наиболее привлекательных моделей инфляции в ранней Вселенной [85, 86, 87]. Предполагаемая масса инфлатона равна плаиковской массе, трс2 1022Мэв, поэтому для т = тр мы имеем s 10_32см. Таким образом, размер «топологической сердцевины» квазичастицы оказывается порядка плаиковской длины. Это весьма существенное обстоятельство косвенно указывает на внутреннюю согласованность модели.
Реалистичность построенной модели квазпчастицы гравитирующего вещественного скалярного поля может быть установлена только в рамках космологической теории в целом. Однако один из основных результатов не зависит от меняющихся представлений современных космологических моделей о содержании и свойствах экзотической материи во Вселенной и состоит в демонстрации существования чаетицеподобных решений с нетривиальной топологией. В принципе аналогичную задачу можно рассматривать для гравитирующих полей любого типа, в том числе и спинорных, поскольку два первых класса Штпфсля-Уитни пространственно-временного многообразия М равны нулю (это легко проверяется) и оно допускает спинорную структуру. Еще раз подчеркнем принципиальное отличие квазичастицы от решений типа топологических ручек (см., например, [88] и цитируемые там работы), ассоциируемых с «пенообразной структурой» пространства-времени и другими гипотезами, лежащими вне рамок математической физики. Очень важно также, что рассмотренная топология многообразия М допускает существование нетривиальных векторных расслоений над М, поскольку среди известных решений только мононоли обладают такими свойствами, но они содержат сингулярность в центре. Это дает основания считать, что использованный метод обладает определенной перспективой для изучения как иных топологических решений, например топологические чёрные дыры [89, 90, 91, 92, 93], с отказом от сферически-симметричной геометрии, так и гравитирующих полей других типов. 3.2 Аналитическое моделирование в системе символьных вычислений классов точных решений
Математические модели гравитирующих скалярных конфигураций, полученные на основе точных аналитических решений уравнений Эйнштейна, играют особенно важную роль в изучении экзотических объектов. В этом разделе построена математическая модель гравитирующей скалярной конфигурации на основе двухпараметрического семейства точных решений, включающая в себя голые сингулярности, регзшярные конфигурации и чёрные дыры. В последние годы этим вопросом в теории гравитирующих конфигураций уделяется большое внимание. Сравнительно недавно найден ряд статических асимптотически плоских решений связанной системы уравнений Эйнштейна, описывающих черные дыры и частицеподобные конфигурации с отрицательным кинетическим членом [16, 17, 18]. Все известные решения с положительным кинетическим членом [19, 20] обладают неограниченным, всюду отрицательным потенциалом.
С помощью метода обратной задачи получим новое семейство точных статических решений связанной системы уравнений Эйнштейна с положительным кинетическим членом, включающее голые сингулярности, чёрные дыры и частицеподобные конфигурации. Для всех решений полученного семейства потенциал самодействия положителен па пространственной бесконечности.
Вычисление параметров математической модели галактического гало по данным наблюдений
Рассмотрим черные дыры, когда а4 бт/тт. В результате исследования поведения функции U мы приходим к выводу, что эффективный потенциал принимает отрицательные значения. Отметим следующую особенность — эффективный потенциал меняет знак в точке С , совпадающей с f(C ) = 0 с максимально достижимой точностью машинного расчета. Для иллюстрации поведения функций / и U построим их графики при различных значениях параметров ант.
Астрономические наблюдения показывают, что в галактиках различного строения тангенциальные скорости звезд и облаков молекулярного водорода, обращающихся по круговым орбитам вокруг центра, почти линейно возрастают до характерных значений 100 - 300 км/с на краю центральной части с радиусом г 5 - 10 кпк, а затем остаются почти постоянными при дальнейшем увеличении радиуса орбиты. В характерном случае это означает, что центральная часть галактики имеет постоянную плотность массы-энергии, а в квазисферическом гало, состоящем из темной материи и простирающемся соответственно до 30 - 100 кпк или более, плотность убывает по закону р I/? 2 [3, 94, 95, 96].
Скалярные поля, в том числе фантомные, могут описывать темную материю в рамках феноменологических моделей упруго взаимодействующего газа классических частиц, в частности, газа Чаплыгина [97]: около ста лет назад С.А. Чаплыгин использовал необычное уравнение состояния в теоретических вопросах аэродинамики. Строгий подход к этим моделям должен основываться на изучении гравитационного взаимодействия скалярно-полевых частицеподобных конфигураций (регулярных конфигураций, черных дыр или топологических геонов). Более простой является модель галактической конденсации скалярного поля, которая предложена в [98] и активно обсуждается в настоящее время [99]. Она предполагает гладкую гравитационную фрагментацию изначально однородного поля. В этом случае соответствующая «частица» обычного (не фантомного) скалярного поля совпадает по размерам с галактическим гало, а построенные в диссертации конфигурации непосредственно применимы к математическом} моделированию темной материи с подгонкой параметров модели по данным астрономических наблюдений.
Все данные наблюдений в Таблице 1 и график распределения скоростей для NGC 6503, представленный па Рис. 3.27, взяты из каталога NGC (New General Catalogue — http://spider.seds.org/ngc, http://www.ngcicproject.org) открытых данных астрономических наблюдений; правила NGC допускают свободное использование данных каталога в некоммерческих целях. спиральная галактика в созвездии Волосы Вероники, также известная как галактика-игла. Расположена в 40 млн. свет, лет от Земли. Имеет характерный поперечный размер около 100 тыс. свет, лет (30 кпк). NGC 3198 — спиральная галактика в созвездии Большая Медведица. Галактика М31 (NGC 224) — Туманность Андромеды: ближайшая к Млечному Пути спиральная галактика, находится на расстоянии 2,5 млн. свет. лет (770 кпк). Параметры а и v определяются астрономическими наблюдениями с хорошей точностью. Масса галактики остается свободным параметром модели и должна быть определена из наблюдений. В настоящее время грубые оценки полных масс галактик, входящих в скопления, получаются из вири-альных соотношений. По результатам вычислений мы находим размер темного гало в галактике в зависимости от ее полной массы: в нашей модели он имеет порядок величины, согласующийся с его оценками из независимых соображений.
Можно сделать вывод, что предлагаемая математическая модель темного гало галактик является перспективной для дальнейшего развития с учетом более слабых эффектов и несферических возмущений.
