Содержание к диссертации
Введение
1. Исследование устойчивости по ляпунову по ложений равновесия профиля в потоке 13
1.1. Необходимое условие неустойчивости для систем с одной степенью свободы 13
1.2. Достаточные условия потери устойчивости для моделей с одной и тремя степенями свободы 15
1.3. Расчетная схема и вывод уравнений движения профиля в потоке с тремя степенями свободы. Наличие положений равновесия 17
1.4. Линеаризация уравнений движения профиля. Критическая скорость потока 21
1.5. Исследование устойчивости по Ляпунову для системы с идеально упругими связями 26
1.6. Исследование устойчивости по Ляпунову для системы с вяз-коупругими связями 35
1.7. Анализ полученных критериев устойчивости 41
1.8. Выводы ' 44
2. Математическое моделирование обтекания профиля и вычисление аэродинамических нагрузок методом вихревых элементов 45
2.1. Постановка задачи 45
2.2. Краткое описание метода вихревых элементов 46
2.3. Расчетная схема метода вихревых элементов 54
2.4. Программная реализация метода вихревых элементов 58
2.5. Верификация метода вихревых элементов 64
2.5.1. Обтекание кругового профиля 65
2.5.2. Обтекание полукруглого профиля 68
2.5.3. Обтекание крылового профиля 72
2.5.4. Определение распределения давления по поверхности профиля 74
2.6. Выводы 75
3. Анализ устойчивости положений равновесия профиля в потоке 77
3.1. Алгоритм численно-аналитического метода исследования устойчивости 77
3.2. Примеры применения численно-аналитического метода . 79
3.2.1. Исследование устойчивости профиля с сечением в форме ромба 79
3.2.2. Исследование устойчивости профиля с сечением в форме квадрата 87
3.2.3. Исследование устойчивости профиля обледенелого провода ЛЭП 91
3.3. Выводы 99
Общие выводы 100
Литература
- Достаточные условия потери устойчивости для моделей с одной и тремя степенями свободы
- Линеаризация уравнений движения профиля. Критическая скорость потока
- Краткое описание метода вихревых элементов
- Примеры применения численно-аналитического метода
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию поведения элементов конструкций, помещенных в дозвуковой поток жидкости или газа. Особенность таких задач заключается в необходимости учета взаимодействия движущегося элемента конструкции со средой. Движение тела в потоке вызывает изменение характера его обтекания и, следовательно, изменение аэродинамических сил, действующих со стороны потока. В свою очередь, изменившиеся нагрузки определяют движение тела. Таким образом, для полного решения задачи о моделировании движения элемента конструкции, находящегося в потоке среды, необходимо решать связанную задачу аэроупругости, рассчитывая как параметры движения тела, так и течение вокруг него. Во многих случаях рассматриваемые элементы конструкций имеют значительное удлинение, поэтому возможно рассмотрение двумерной задачи об обтекании профиля исследуемой конструкции плоскопараллельным потоком. Постановка задачи позволяет перейти к приближенным моделям среды и рассматривать обтекание профиля несжимаемым потоком с постоянной плотностью. На правомерность такого упрощения указано в монографии Г.Г. Черного [51].
Выделяют два основных класса задач аэроупругости [3,5,48,50]: задачи статической аэроупругости и задачи динамической аэроупругости. К последним относят задачи исследования устойчивости конструкций в потоке, а также задачи расчета движения элементов конструкций под действием нестационарных аэродинамических нагрузок.
Исследование устойчивости положений равновесия профиля в потоке актуально при проектировании элементов строительных конструкций, подверженных ветровым нагрузкам [36,37,42,44], прямолинейных участков трубопроводов, находящихся в поперечном потоке жидкости или газа [18,40], трубчатых элементов систем охлаждения и теплообменников энергетических установок [16], отдельных проводов и расщепленных фаз линий электропередачи [56].
Первые исследования в области устойчивости положения равновесия профиля в потоке связаны с бурным развитием авиации в начале XX века, когда перед исследователями встала задача анализа устойчивости горизонтального полета аэроплана. В экспериментальной работе [67] исследовалась устойчивость положения равновесия модели аэроплана в потоке воздуха и было отмечено наличие интервала углов атаки, при которых наблюдалось явление авторотации — вращение модели вокруг продольной оси с большими углами поворота. В результате обработки этих экспериментальных данных Глауэртом [57] было получено необходимое условие больших крутильных колебаний (авторотации) профиля.
С развитием средств передачи электроэнергии на большие расстояния на линиях электропередачи (ЛЭП) стали отмечаться явления больших (с амплитудой до 10 м) колебаний проводов между опорами. Такие колебания были названы галопированием ^пляской) проводов. Ден-Гартог [55], изучая поведение плохообтекаемого профиля в форме полукруга с одной степенью свободы (колебания поперек потока), вывел необходимое условие галопирования, которое имеет тот же вид, что и условие Глауэрта.
В монографии К.К. Федяевского и Л.Х. Блюминой [47] исследована авторотация уголкового профиля, и в качестве необходимого условия неустойчивости получено довольно сложное неравенство, включающее моментный аэродинамический коэффициент. Однако на основании экспериментального материала авторы пришли к выводу, что условие, полученное Ден-Гартогом, может быть использовано и при исследовании крутильных колебаний, т.е. подтвердили вывод Глауэрта.
Таким образом, условие Глауэрта-Ден-Гартога есть необходимое условие возбуждения больших колебаний профиля с одной степенью свободы.
Объяснение механической причины галопирования на основе условия Глауэрта-Ден-Гартога является в настоящее время общепринятым,
его приложению к исследованию устойчивости различных конструкций посвящено большое количество работ, например, [33,35-37,42,47,62,63]. Особое внимание обеспечению устойчивости профиля в потоке уделяется при проектировании линий электропередачи, поскольку возбуждение колебаний проводов ЛЭП под действием ветра вызывает существенное увеличение нагрузок на опоры и может приводить к обрыву проводов и разрушению опор. В настоящее время теоретическое объяснение неустойчивости положений равновесия проводов ЛЭП связывается лишь с выполнением условия Глауэрта-Ден-Гартога [56,61], при этом не учитывается, что реальная конструкция имеет 3 степени свободы.
В ряде работ рассматриваются и другие причины потери устойчивости положения равновесия профиля в потоке, в частности, в работе [17] предпринята попытка связать развитие неустойчивости провода ЛЭП с переменной по высоте скоростью ветра, в работах [64, 65] исследуется влияние турбулентности потока на аэродинамическую неустойчивость профиля. Возможно также развитие колебаний типа дивергенции либо флаттера [33,42,48,50], проявление которых связано с тем, что при возрастании скорости набегающего потока действующие на профиль аэродинамические силы быстро увеличиваются, в то время как жесткость конструкции при ее фиксированном положении относительно потока остается неизменной. Поэтому может существовать критическая скорость набегающего потока, при которой конструкция теряет устойчивость [13,20].
В работе В.И. Ванько [8] рассмотрена модель движения профиля с тремя степенями свободы (движения в направлении набегающего потока и поперек потока, а также вращение вокруг центра масс профиля) под действием аэродинамических сил и сил со стороны упругих либо вязкоупругих связей. В ней доказано существование положения равновесия профиля и поставлена задача об исследовании его устойчивости по Ляпунову. В результате получено достаточное условие неустойчивости положения равновесия профиля с тремя степенями свободы.
Условия неустойчивости Глауэрта-Ден-Гартога и условие В.И. Вань-ко зависят только от стационарных аэродинамических характеристик профиля, что делает их удобными для практического использования. Такие условия далее будем называть инвариантными относительно механических и геометрических характеристик профиля.
Следует отметить, что применение инвариантных условий неустойчивости при практических расчетах может быть затруднительным, поскольку требуется знать зависимости стационарных аэродинамических характеристик профиля от угла атаки.
Определение этих зависимостей для произвольного профиля возможно либо экспериментальным, либо расчетным путем. Экспериментальное определение аэродинамических нагрузок, действующих на профиль, сопряжено со значительными материальными затратами и не всегда возможно, поэтому важно использовать эффективный метод численного моделирования обтекания профиля потоком, позволяющий с достаточной точностью определять стационарные значения сил, действующих на профиль со стороны потока. Применяемые численные методы делятся на два класса: конечно-разностные (конечно-элементные) методы, и бессеточные вихревые методы, подробные обзоры которых имеются в работах Т. Сарпкайи [39] и А. Леонарда [58]. Вихревые методы основаны на лагранжевом описании эволюции завихренности в области течения и позволяют получить приемлемые для инженерных расчетов результаты при минимальных требованиях к мощности компьютеров и затратах машинного времени. Эффективность вихревых методов основана на том, что завихренность в области течения обычно локализована в достаточно компактной области вблизи и позади обтекаемого профиля, что позволяет сосредоточить вычислительные ресурсы на исследовании именно этой области.
Метод вихревых элементов в различных модификациях получил широкое развитие в последнее время как в работах отечественных, так и
зарубежных исследователей [1,59,60]. Его можно рассматривать как значительное развитие и обобщение идей метода дискретных вихрей, предложенного и развитого в трудах, прежде всего, научной школы СМ. Бе-лоцерковского [4,7,29,30].
Метод дискретных вихрей позволяет моделировать отрывное обтекание профиля, имеющего угловые точки, потоком идеальной несжимаемой среды. В основу метода положена гипотеза Чаплыгина-Жуковского о сходе вихревой пелены с острых кромок и угловых точек на профиле. Это позволяет моделировать- обтекание таких профилей с минимальными вычислительными затратами. К недостаткам "классического" метода дискретных вихрей следует отнести невозможность моделирования обтекания гладких профилей, а также отрыва потока с гладких участков профилей.
Предложенные модификации метода дискретных вихрей, основанные на нахождении точек отрыва потока с профиля исходя из анализа уравнений пограничного слоя [46] или вариационных принципов [14], сложны в реализации и не обладают универсальностью.
Иной подход предложен в работах А. Чорина [54], а также Г. А. Пав-ловца и А.С. Петрова [31,32]. В рамках такой модификации можно проводить моделирование обтекания гладких профилей, однако для этого требуется привлечение значительных вычислительных ресурсов. Аналогичный подход получил развитие и обоснование в работах [1,66], в которых показано, что вихревые методы могут эффективно применяться для моделирования двумерных течений вязкой несжимаемой, среды, описываемых уравнениями Навье-Стокса.
Существует несколько способов определения нагрузок, действующих на профиль [1,29,68]. Наиболее удобным для применения в расчетах является аналог интеграла Коши-Лагранжа [1], полученный в работе Г.Я. Дынниковой [15], который позволяет по известному распределению завихренности определить давление в любой точке области течения. По
известному распределению давления на профиле определяются нагрузки, действующие на профиль. Эти нагрузки являются нестационарными. Для получения стационарных аэродинамических нагрузок производится расчет обтекания в течение длительного промежутка времени, пока обтекание не станет квазистационарным, а нагрузки — близкими к периодическим. Стационарные аэродинамические нагрузки получаются в результате осреднения нестационарных по большому количеству временных шагов.
В экспериментах с плохообтекаемыми профилями и в расчетах наблюдается периодический срыв вихрей с циркуляциями разных знаков, что вызывает периодическое изменение сил, действующих на профиль. Если собственная частота колебаний конструкции близка к частоте схода вихрей, могут возникать резонансные колебания профиля [48].
Использование для решения такого класса задач сеточных методов вычислительной гидродинамики затруднительно, поскольку изменение положения профиля на каждом шаге расчета требует перестроения сетки.
Метод вихревых элементов позволяет проводить прямое численное моделирование для исследования подобных явлений, при этом расчет обтекания движущегося профиля лишь незначительно сложнее по сравнению со случаем неподвижного профиля. Общий метод решения таких задач описан в [1].
Целью настоящей работы является получение условий устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке и определение неустойчивых положений равновесия профиля путем совместного использования аналитических условий устойчивости и численного метода определения аэродинамических характеристик профиля.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:
10 s
Построение математической модели движения профиля с тремя степенями свободы. На профиль наложены идеально упругие или вяз-коупругие связи с линейной диссипацией.
Исследование устойчивости по Ляпунову и получение условий устойчивости положений равновесия профиля в потоке.
Разработка и программная реализация модификации метода вихревых элементов для численного моделирования обтекания профилей и определения аэродинамических нагрузок.
Построение и верификация численно-аналитического метода исследования устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке.
В главе 1 настоящей диссертации исследована устойчивость по Ляпунову положений равновесия профиля с тремя степенями свободы, находящегося в потоке среды, при наличии упругих либо вязкоупругих связей. Аэродинамические силы считаются стационарными и зависящими только от положения профиля в потоке и его скорости. Показано, что при любой скорости потока существует положение равновесия профиля и поставлена задача об исследовании его устойчивости по Ляпунову. В частных случаях рассмотрены задачи об исследовании устойчивости профиля с одной и двумя степенями свободы.
Для анализа нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение профиля в потоке, используется метод исследования устойчивости по первому приближению [52]. Предположение о том, что профиль является достаточно тяжелым (средняя плотность профиля много больше плотности набегающего потока), позволяет ввести в уравнения малый параметр. Это предположение во многих случаях является естественным, поскольку такая ситуация характерна для большинства рассматриваемых на практике задач. Введение малого
параметра упрощает аналитические выкладки, а учет в окончательных результатах лишь слагаемых с младшими степенями малого параметра позволяет получить достаточно простые и пригодные для практического применения условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия профиля.
Полученные автором критерии устойчивости [27] обобщают ранее известные результаты, поскольку из них следуют в качестве достаточных условий неустойчивости как условие Глауэрта-Ден-Гартога, так и условие В.И. Ванько. Из найденных критериев следует также условие существования критической скорости набегающего потока, т.е. скорости, способной вызвать потерю устойчивости равновесия типа флаттера.
В главе 2 диссертации описана модификация метода вихревых элементов [28] и представлена общая схема его программной реализации. Рассматривается обтекание профилей потоком среды с малой вязкостью, что позволяет применить упрощенную модификацию вихревого метода [1], основанную на использовании подхода Прандтля [26]: течение разделяется на тонкий пристеночный слой вблизи профиля, в котором влияние вязкости учитывается путем генерации завихренности, и область внешнего течения, в которой жидкость считается идеальной. Это позволяет существенно снизить вычислительные ресурсы, необходимые для проведения расчетов. Такой подход позволяет с достаточной точностью определять нагрузки, действующие на профиль.
Приведенные в диссертации результаты расчетов стационарных и нестационарных аэродинамических коэффициентов и сравнение их с экспериментальными данными позволяют сделать вывод об адекватности применяемых подходов.
В главе 3 настоящей диссертации описывается численно-аналитический метод исследования устойчивости положения равновесия профиля в потоке. Отличительной особенностью рассматриваемого подхода является то, что стационарные аэродинамические коэффициенты профи-
ля определяются численно в результате расчетов методом вихревых элементов, а неустойчивые положения равновесия профиля находятся с использованием полученных аналитически достаточных условий неустойчивости [27]. Адекватность предложенного численно-аналитического метода подтверждена путем сравнения результатов расчета с результатами экспериментальных исследований устойчивости положений равновесия некоторых профилей, описанными в [10,11,47].
Для примера проведено исследование устойчивости положения равновесия профиля обледенелого провода ЛЭП численно-аналитическим методом и показано, что естественное равновесное положение такого профиля находится в области неустойчивости.
Практическая ценность полученных в диссертации критериев устойчивости и построенного численно-аналитического метода исследования устойчивости положений равновесия профиля в потоке состоит в возможности проведения эффективного анализа на этапе эскизного проектирования конструкции и организации экспериментов. Рассмотренный метод численного моделирования обтекания позволяет с достаточной точностью определять аэродинамические нагрузки и выполнять расчеты со сравнительно небольшими временными затратами.
Применение для исследования устойчивости профиля аналитически выведенных достаточных условий неустойчивости позволяет уйти от необходимости решения связанной задачи аэроупругости, ограничившись решением более простой задачи определения стационарных аэродинамических коэффициентов неподвижного профиля.
К важным практическим результатам работы следует отнести разработанное автором программное обеспечение, которое может использоваться при исследовании реальных конструкций, взаимодействующих с дозвуковым потоком жидкости или газа.
Достаточные условия потери устойчивости для моделей с одной и тремя степенями свободы
В работе [8] исследована устойчивость по Ляпунову положения равновесия провода воздушной ЛЭП. Для сечения провода, находящегося посередине пролета между двумя опорами ЛЭП предложена расчетная схема, представленная на рис. 1.1.
В отсутствие бокового ветра провисание провода моделируется при помощи пружины, рис. 1.1 а. При наличии ветра на профиле возникают подъемная сила и лобовое сопротивление, вычисляемые по формулам (1.1), а силы, действующие на сечение со стороны провода, заменяются действием двух дополнительных пружин, моделирующих силу, препятствующую отклонению провода, и его сопротивление кручению, рис. 1.1 б. В [8] записаны уравнения движения профиля: тх = Fx(x,y, ptx,y, p), my = Fy(x,y,tp,x,y,(p), (1.3) Jv = Рч {?,у,ч ,х,у%ф). Здесь т — масса профиля, J — момент инерции.
Показано, что при любой скорости набегающего потока существует положение равновесие профиля.
Далее поставлена задача об исследовании устойчивости в смысле Ляпунова положения равновесия. При этом рассмотрены два случая — идеально упругих связей и вязкоупругих связей с линейной диссипацией. Отметим, что в рассмотренной модели жесткости всех пружин считаются одинаковыми.
В результате линеаризации уравнений движения (1.3) в окрестности положений равновесия получается система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, характеристическое уравнение которой имеет вид Л6 + «і А5 + а2Л4 + а3Л3 + а4Л2 + а5А + а6 = 0. (1.4) Достаточным условием неустойчивости положения равновесия будет отрицательность свободного члена а6 0, (1.5) так как при этом уравнение (1.4) гарантированно будет иметь действительный положительный корень. Действительно, если рассмотреть функцию / (Л) = Л6 + ахЛ5 + а2Л4 + а3А3 + а4А2 + а5Х + аб, то при выполнении условия (1.5) получаем: / (0) 0, Ига / (Л) = +оо =» ЗА 0 : / (А ) = 0. Л— +оо Таким образом, получены следующие результаты [8].
Для системы с тремя степенями свободы (движения центра масс по осям Ох и Оу и вращение вокруг центра масс) получено следующее условие: W (а) = Сха (Сха + Суа) + Суа (Суа - С ха) 0. (1.6)
Данное условие является инвариантным относительно механических и геометрических характеристик конструкции, оно, также как и условие (1.2), зависит только от стационарных аэродинамических коэффициентов профиля и их производных.
Для системы с одной степенью свободы (движение поперек потока — галопирование) в отсутствие диссипации показано, что условие Глауэрта-Ден-Гартога (1.2) является необходимым и достаточным условием, т.е. критерием неустойчивости.
Результат исследования условия (1.6) показывает, что интервал углов атаки [ОІ\\ аг), соответствующих неустойчивым положениям равновесия, вычисленный по условию (1.6) при условиях Суа — С ха 0, Суа 0 шире, чем область углов, определяемая по условию (1.2). Это подтверждается результатами ряда экспериментов [8,10].
Отметим, что условие (1.6) является лишь одним из достаточных условий неустойчивости. В данной главе получены критерии устойчивости положений равновесия профиля в потоке при более общих предположениях о механических свойствах рассматриваемой модели.
Линеаризация уравнений движения профиля. Критическая скорость потока
При наличии вязкоупругих связей с линейной диссипацией исследование устойчивости по Ляпунову положений равновесия системы проводится аналогичным образом, при этом безразмерные вязкости связей (1.27) считаются отличными от нуля и предполагается, что
В этом случае коэффициенты характеристического уравнения (1.31) системы дифференциальных уравнений первого приближения имеют вид (1.32), а миноры матрицы Гурвица (1.39) записываются следующим образом: АХ = (Суа + гСха + 2 (jb + fly + (JLm)) , А2 = (ш2у(С уа + Сха + 2Му) + 2и;2х {Сха + /) + 2ш2тцт) + 0(е2), є2 / Аз = у {(Суа + Сха + 2fiy) ((а;2 - и2у)2{цх + Сха) + fim{uj2y - wjj2) + + 2/Лт (Сха + /А,) (о;2 - о4)2) + 0(3), є2 A4 = J \Шу(СУа + Сха + 2Му) тШ Н - Ш2т)2 + хірха + Мх)( - ШІ)2) + + тш2хш2т{и?х - UJ2J2(Cxa + )) + 0(3), є3 А5 = -2 - "І? [шІ - w)2 (о;2 - ш2т)2 {Сха + /) (Суа 4- Сва + 2/іу)+ Д6 = а6А5. (1.45)
В (1.45) выражения / и / в формуле для Л5 не приведены полностью ввиду их громоздкости. Во всех случаях будем предполагать, что ш ф ш2 и ш ф ш2, а коэффициент ( 0. Отрицательность коэффициента 2б, как упоминалось ранее, является достаточным условием неустойчивости; это происходит при выполнении условия (1.36). Как и в разделе 1.5, необходимо отдельно рассматривать случаи OJ2 = ш2 и W2 ф ш2у. 1. Пусть ш2 ф со2. Тогда, пренебрегая в (1.45) слагаемыми с вы сокими степенями є, получаем что для асимптотической устойчивости положения равновесия системы необходимо и достаточно выполнения не равенства С уа + Сха + 2Му 0. 2. Пусть и)2 = ш2 = си2. Тогда (1-45) принимает вид Al = \ {С уа + ЗСМ + 2 {(1Х + Цу + flm)) , Д2 = (У ( ?Уа + ЗСяа + 2 (Му + /ij) + 2u m) + 0(є2), є2 Дз = y/xm( 2 - ш2т)2 (Суа + ЗСха + 2 (Му + Мж)) + 0(є3), є2 Д4 = - (а;2 - ш2т)2 (Суа + ЗСха + 2 (Ма: + мУ)) + 0(є3), Є5 Д5 = -/xmu; V - о4)4 (Суа + ЗСха + 2 (д, + /іу)) х х ((Сжа + С уа + 2Му) (См + ііх) + Суа (Суа - С ха}) + 0(є6), Дб = а6Д5. (1.46) Для асимптотической устойчивости положения равновесия в данном случае необходимо выполнение двух неравенств: Са+ 3(7 + 2(/ + ) 0, (Сха + С уа + 2fly) (Сха + іь) + Суа(Суа - С ха) 0. Далее по аналогии с разделом 1.5 рассмотрим частные случаи, соответствующие движению профиля с 1 и 2 степенями свободы под действием вязкоупругих связей. а) Пусть у = const, ср = const. Система дифференциальных уравнений первого приближения сводится к одному уравнению + 6( + ) + = 0. Характеристическое уравнение в данном случае записывается в виде Л2 + агХ + а2 = 0, его коэффициенты аі= є {Сха + /лх) 0, а2 = w2x 0. Оба корня характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, значит положение равновесия всегда будет асимптотически устойчивым. б) Пусть х = const, р = const. Система дифференциальных уравнений первого приближения приводится к уравнению Н {С уа + Сха + 2/ІУ) і) + wjfr = 0. Коэффициенты характеристического уравнения в данном случае 1 = {С уа + Сха + 2fly) , а2 = cofj 0, поэтому критерием асимптотической устойчивости будет С уа + Сха + 2/2, 0. в) Пусть х = const, у = const.
В этом случае исходная система дифференциальных уравнений (1.17) становится линейной и ее можно записать в виде уравнения 7 + Є ш7 + ( т - С та) 7 = 0.
Коэффициенты характеристического уравнения в данном случае ai = Мт 0, _ 2 -»/ поэтому положение равновесия будет неустойчивым при выполнении условия (1.36), т.е. при С та 0 и Voo VKp. В остальных случаях имеет место асимптотическая устойчивость.
Краткое описание метода вихревых элементов
Для решения задачи (2.3)-(2.7) будем использовать вихревые методы,-достаточно подробный обзор которых содержится в [39,58]. Применяя операцию ротора к обеим частям уравнения (2.4), после преобразований [23] получим уравнение Навье-Стокса, записанное в форме Гельм гольца [24] 9ft —- = rot(Vx ft-і/rot ft), (2.8) С/6 где ft = ft (г, t) = rot V (г, ) — завихренность. Для случая плоского течения справедлива формула [22] j (rot ft х ft) x ft = ft (ft rot ft) - rot ft (ft ft) = - ft2 rot ft, т.к. rot ft в случае плоского течения перпендикулярен ft. Из этого равенства получаем _ (rotft х ft) rot ft = — = X ft , ft2 поэтому уравнение (2.8) можно записать в виде = rot(Vxft + z/r0t" 0) х n =rot((V + W)xn), (2.9) где (rotft х ft) . W = v± 5 }- (2.10) имеет смысл дополнительной (диффузной) скорости, обусловленной влиянием вязкости [1].
Уравнение (2.9) отличается от уравнения Эйлера, описывающего движение идеальной жидкости, наличием скорости W в правой части.
Из анализа уравнения (2.9) следует [1], что для него справедлив аналог теоремы Томсона: циркуляция поля скоростей, вычисляемая по контуру, каждая точка которого движется со скоростью V + W, сохраняется.
Следовательно, в области течения S образования "новой" завихренности нет, а происходит движение имеющейся завихренности со скоростью V + W. Генерация "новой" завихренности происходит лишь на границе области течения, т.е. на контуре К.
Таким образом, решение задачи вихревым методом сводится к моделированию процесса генерации завихренности на контуре и движения имеющейся завихренности в области течения.
Зная распределение завихренности fl(r,t) в области течения, используя закон Био-Савара [26], вычисляем скорость, индуцированную этой завихренностью в любой точке г плоского течения:
Поскольку для плоского течения вектор завихренности перпендикулярен плоскости течения, то в дальнейшем будем использовать проекцию l(r,t) вектора Г2 (г, ) на нормаль к к плоскости течения. Тогда формулу (2.11) можно записать в виде Vn (г, t) = JJ Q (г- О П«, t)dSt, (2.12) s где Q(r) = Z , .,2 (2-13) 1 к х (г - О 27Г г - В соответствии с теоремой Гельмгольца о разложении векторных полей [45], полная скорость течения в любой точке будет вычисляться как сумма V(r,t) Vnir + Voc. (2.14) Для случая потенциальных течений идеальной среды с потенциалом Ф (г,) давление в любой точке может быть вычислено с помощью интеграла Коши-Лагранжа [26]: Yl + p + = Yk + Е22. 2 р dt 2 р В [1] показано, что для непотенциальных течений вязкой жидкости справедлив аналог интеграла Коши-Лагранжа где /n h = J (Q(r - ) (V«,t) + W«,t)) П(0) d% (r, 0- -. 7 2тг к слагаемое, учитывающее движение имеющейся завихренности в I, J.J области течения; А — слагаемое, учитывающее вклад в давление в ре - скорость (di х d2)z dt зультате генерации завихренности на контуре. Здесь генерации завихренности в точке на контуре, (p(r,) = arctg di d2 d\ = r — , d2 = r — го, VQ — произвольная точка внутри контура К,
Отметим особо, что при решении задачи вихревым методом уравнение (2.3) выполняется тождественно, система (2.4), приведенная к виду (2.9), определяет закон движения завихренности в области течения. Граничное условие "на бесконечности" (2.5) выполняется автоматически, а граничное условие (2.6), как будет показано далее, описывает процесс генерации завихренности на контуре.
Примеры применения численно-аналитического метода
Полученные в главах 1 и 2 настоящей диссертации результаты позволяют предложить численно-аналитический метод исследования устойчивости положений равновесия профиля, помещенного в поток жидкости или газа. Этот метод основан на использовании стационарных аэродинамических коэффициентов.
В плоском случае положение профиля по отношению к набегающему потоку однозначно определяется углом атаки профиля, поэтому целью метода является определение углов атаки, соответствующих неустойчивым положениям равновесия профиля в потоке.
Алгоритм метода включает в себя 3 основных этапа:
1. Этап 1. Определение стационарных аэродинамических коэффициентов профиля. Стационарные аэродинамические коэффициенты профиля находятся в результате моделирования обтекания профиля методом вихревых элементов, изложенным в главе 2, для различных углов атаки.
2. Этап 2. Построение гладких зависимостей аэродинамических коэффициентов от угла атаки. По вычисленным значениям стационарных аэродинамических коэффициентов строятся гладкие зависимости Сха (а) и Суа (а) стационарных коэффициентов от утла атаки.
3. Этап 3. Определение неустойчивых положений равновесия профиля. Вычисляются производные аэродинамических коэффициентов С ха (а) и С уа (а) по углу атаки и с помощью инвариантных достаточных условий неустойчивости, полученных в главе 1, находятся углы атаки, соответствующие неустойчивым положениям профиля в потоке. Предлагаемый метод может быть эффективен на этапе эскизного проектирования и предварительного анализа конструкции, когда требуется провести сравнение большого количества возможных вариантов. Для надежного определения зависимостей требуется провести моделирование обтекания профиля и определить аэродинамические нагрузки для большого количества различных углов атаки. Использование предложенной модификации метода вихревых элементов позволяет выполнить эти расчеты со сравнительно небольшими временными затратами.
Применение для исследования устойчивости профиля аналитически выведенных достаточных условий неустойчивости позволяет уйти от необходимости решения связанной задачи аэроупругости с большой точностью в течение значительного временного промежутка, ограничившись решением более простой задачи об определении стационарных аэродинамических коэффициентов неподвижного профиля.
Определенную сложность может представлять этап аппроксимации вычисленных значений аэродинамических коэффициентов гладкими функциями. Расчеты показали, что искомые гладкие функции целесообразно искать в виде линейных комбинации тригонометрических функций или многочленов Чебышева. Использование многочленов Чебышева позволяет получить приемлемую аппроксимацию при меньшем количестве базисных функций по сравнению с тригонометрическими функциями. Коэффициенты линейной комбинации находятся при помощи метода наименьших квадратов. Дальнейшее дифференцирование полученных зависимостей может проводиться как аналитически, так и численно, с использованием разностных аналогов производных. 3.2. Примеры применения численно-аналитического метода
Для проверки работоспособности предложенного численно-аналитического метода и оценки его адекватности и эффективности был проведен ряд тестовых расчетов. Исследовалась устойчивость положений равновесия профилей, для которых известны экспериментальные данные. Экспериментальное исследование устойчивости проводилось в аэродинамической трубе Лаборатории промышленной аэродинамики ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского [10,11]. Исследование устойчивости профиля с сечением в форме ромба Этап 1. Определение стационарных аэродинамических коэффициентов профиля.
Для профиля, имеющего форму ромба с отношением длин диагоналей 1 : 0,75 на первом этапе с помощью метода вихревых элементов моделировалось обтекание профиля и определялись значения стационарных аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления и подъемной силы. Параметры расчетной схемы представлены в таблице 5.
