Математическое моделирование обтекания профилей с отсосом и численное решение сингулярных интегральных уравнений в классе обобщенных функций Лебедева Нина Васильевна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Лебедева Нина Васильевна. Математическое моделирование обтекания профилей с отсосом и численное решение сингулярных интегральных уравнений в классе обобщенных функций : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 : Балашиха, 2005 77 c. РГБ ОД, 61:05-1/1112

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Математическая модель обтекания профиля с отсосом внешнего потока и сингулярное интегральное уравнение 23

1 .Моделирование профиля вихревым слоем 23

2. Сингулярное интегральное уравнение для разомкнутого контура 25

3. Сингулярное интегральное уравнение для замкнутого контура 27

4. Отсос внешнего потока и требуемый класс решений для сингулярного интегрального уравнения 29

5. Отсос внешнего потока и дельта - функция в правой части сингулярного интегрального уравнения 33

Глава 2. О некотором обобщении квадратурных формул типа метода дискретных вихрей для сингулярных интегралов 38

1. Сингулярный интеграл на окружности 38

2. Сингулярный интеграл с ядром Гильберта 41

3. Сингулярный интеграл с ядром Коши 42

Глава 3. Схемы метода дискретных вихрей для сингулярных интегральных уравнений первого рода на отрезке в классе обобщенных функций и их обоснование 47

1. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение на отрезке 47

2.Сингулярное интегральное уравнение первого рода на отрезке 57

3. Характеристическое гиперсингулярное интегральное уравнение на отрезке 59

4. Результаты численного эксперимента 61

Глава 4. Схемы метода дискретных вихрей для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта первого рода в классе обобщенных функций и их обоснование 65

1. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта 65

2 Полное сингулярное интегральное уравнение 68

3 Характеристическое гиперсингулярное интегральное уравнение 69

Заключение 72

Литература 73

Отсос внешнего потока и требуемый класс решений для сингулярного интегрального уравнения
Сингулярный интеграл с ядром Коши
Характеристическое гиперсингулярное интегральное уравнение на отрезке
Характеристическое гиперсингулярное интегральное уравнение

Введение к работе

В настоящее время при решении многих прикладных задач механики, физики все большее применение находят сингулярные интегральные уравнения. Например, к решению таких уравнений могут быть сведены некоторые задачи аэродинамики, дифракции электромагнитных или акустических волн, задачи теории упругости и т.д.

Следует отметить, что при ^ аналитических исследованиях в приложениях уже давно некоторые задачи стали сводить к сингулярным интегральным уравнениям, т.к. для них в одномерном случае получена хорошая теоретическая база, которая довольно полно изложена в монографиях [30] Гахова Ф.Д. «Краевые задачи» - Москва, изд. Наука, 1977г. и [48] Мусхвелишвили Н.И. «Сингулярные интегральные уравнения » - Москва, изд. Наука, 1968г.

Для характеристических уравнений была построена теория получения всех решений в классе абсолютно интегрируемых функций. Этот класс наиболее естественен для прикладных задач. В монографии Гахова Ф.Д. указано, что при определенных условиях на коэффициенты сингулярного интегрального уравнения можно искать решения этих уравнений в классе функций с неинтегрируемой особенностью вида 1/х при*-»0. Но отсутствие прикладных задач, приводящих к решениям такого типа, численных методов их нахождения, развитой теории обобщенных функций в применении к сингулярным интегральным уравнениям привело к тому, что такие решения не исследовались.

Если рассматривать тенденцию развития численных методов решения интегральных уравнений, то можно отметить следующее: наибольшее развитие численные методы получили для интегральных уравнений Фредгольма второго рода с "хорошими" ядрами. Для таких уравнений были построены численные методы: а) высокой точности, применимые к достаточно узким классам уравнений, когда искомое решение интерполируется специальными многочленами или частичными суммами рядов из собственных функций соответствующих операторов; б) основанные на применении к интегралу квадратурных формул типа прямоугольников или аналогичных достаточно общих квадратурных формул с использованием одной сетки точек, по которым такие квадратуры строились.

При построении численных методов для сингулярных интегральных уравнений столкнулись со следующей проблемой. Сингулярный интеграл -это интеграл, в обычном представлении расходящийся и понимается в некотором специальном смысле — в смысле главного значения по Коши. В силу этого математики посчитали, что к таким интегралам нельзя применять квадратурные формулы типа прямоугольников, и поэтому для сингулярных интегральных уравнений вначале начали развивать численные методы интерполяционного типа. Однако такие методы практически не удается распространить на двумерные сингулярные интегральные уравнения, которые естественным образом возникают в различных приложениях (в аэродинамике, электродинамике, теории упругости) при решении пространственных задач.

Но практические задачи не могут ждать пока будет, построена хорошая математическая теория их численного решения. Их надо решать тогда, когда этого требует жизнь. Поэтому в начале пятидесятых годов пошлого столетия в работах по аэродинамике, где сингулярные уравнения возникают при естественном моделировании обтекаемой поверхности вихревым слоем, с помощью эвристических соображений и численных экспериментов на ЭВМ С.МБелоцерковским был создан метод дискретных вихрей численного решения соответствующих сингулярных интегральных уравнений на отрезке (обтекание тонкого профиля) и на прямоугольнике (обтекание крыла конечного размаха прямоугольной формы в плане).

Идея метода дискретных вихрей состоит в следующем. Непрерывный вихревой слой, моделирующий несущую поверхность и след за нею, заменяется системой дискретных вихрей. На несущей поверхности выбираются точки, называемые расчетными, в которых выполняется условие непротекания (сумма нормальных составляющих скоростей, индуцируемых вихрями, и набегающего потока равна нулю). Задача нахождения неизвестных циркуляции дискретных вихрей сводится к системе алгебраических уравнений. Решение задачи не единственно и может иметь особенности на кромках и изломах несущей поверхности. Нужный класс решения определяется физическим содержанием задачи и выделяется выбором взаимного расположения множества дискретных вихрей и расчетных точек. К тем кромкам, где решение должно быть неограниченным, ближайшими располагаются дискретные вихри, а к тем, где оно должно быть ограниченным - расчетные точки. Кроме того, суммы, которыми заменяются сингулярные интегралы в теории несущей поверхности, должны соответствовать главным значениям интегралов в смысле Коши. Для этого внутренние расчетные точки должны лежать посередине между вихрями на поверхности (или стремиться к этим положениям). Именно в таком виде впервые был сформулирован метод дискретных вихрей в 1955г. в докторской диссертации С.М.Белоцерковского, после чего началась систематическая реализация его в аэродинамике [1,2,3,6,8].

Так как по существу метод дискретных вихрей использует вычисление сингулярного интеграла с помощью специальных квадратурных сумм типа прямоугольников, а при выборе класса решения не используется явное выделение особенности на кромках, то он начал подвергаться критике [50].

Следует отметить, что уже в этих первых работах и в последующих проявилось взаимное влияние прикладных задач и математических исследований.

В последнее время в аэродинамике начали исследовать механизацию крыльев с использованием устройств отсоса внешнего потока. Было показано для тонкого профиля, что эта задача сводится к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода на отрезке в классе функций, которые в точке отсоса имеют неинтегрируемую особенность. В некоторых частных случаях было дано численное решение таких задач с помощью метода дискретных вихрей. Однако каждый частный случай требовал особого подхода. При численном решении задачи с отсосом внешнего потока методом дискретных вихрей расчетные точки выбирают так, чтобы точка отсоса являлась одной из них, и при написании системы линейных алгебраических уравнений то уравнение, что соответствует точке отсоса, пропускается. Поэтому, например, при решении методом дискретных вихрей циркуляционной задачи для тонкого профиля получается система с п неизвестными и «-1 уравнениями. Затем из тех или иных физических соображений ищется дополнительное уравнение, чтобы получить разрешаемую однозначно систему п уравнений с п неизвестными [18], [35]. Это показывает, что для каждой новой задачи с отсосом (несколько новых точек отсоса внешнего потока) надо думать, как замкнуть полученную систему линейных алгебраических уравнений. Однако, в задачах обтекания телесного профиля до сих пор для некоторых случаев непонятно было как это сделать. Взяв несколько иную физическую трактовку задачи с отсосом [16], приходим к тому же самому сингулярному интегральному уравнению первого рода, но в правой части этого уравнения появляется дельта — функция с носителем, расположенным в точке отсоса. Оказалось, что наличие дельта — функции в правой части позволяет строить более удобные методы численного решения соответствующих задач аэродинамики. Действительно, в старом подходе к решению задач аэродинамики [15,52,35,53] каждая новая точка отсоса на профиле приводила к необходимости изменения системы линейных алгебраических уравнений . При новом же подходе можно построить вычислительный алгоритм решения этой задачи, в котором с.л.а.у. остается всегда неизменной и меняется только правая часть. Более того, доказательство сходимости численного решения к точному в этом случае тоже стало ближе к классическому доказательству при хороших правых частях этого интегрального уравнения. Именно таким доказательствам и посвящена представленная работа. Таким образом, актуальность выбранной темы не вызывает сомнений.

В первой главе приводится постановка и модели некоторых задач из аэродинамики, которые затем будут исследоваться в данной диссертации.

Рассматривается плоскопараллельное обтекание изолированного непротекаемого профиля установившимся потоком идеальной невязкой несжимаемой жидкости, скорость которого U₀=u_0xi +u_Qv]. Сам профиль является неподвижным. Под профилем понимаем цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси OZ и направляющей кривой L в плоскости ОХУ (рис.1). Так как все параметры набегающего потока и возмущенного не зависят от координаты z, то в дальнейшем профиль изображается только кривой L в плоскости ОХУ. Если кривая L является простой разомкнутой (рис. 1а), то такой профиль называется тонким, а если кривая L является простой замкнутой кусочно - гладкой (рис.16), то такой профиль называется телесным. Поскольку рассматривается стационарная задача, то следа за профилем нет, и возмущенное течение будет потенциальным везде вне профиля L.

а) б)

Рис. 1 Разомкнутый (а) и замкнутый (б) (телесный) профили

При моделировании профиля вихревым слоем задача сводится к решению следующего сингулярного интегрального уравнения і гУоЛЬ-J0+*U*o-^x\_(M)dSM =ЯМ₀), M₀eL, (1) где f(M₀) = -U_Qn_Ma, у{м)- интенсивность распределенного вихревого слоя в точке М є L и /(М₀) гладкая функция, f{M₀)e н(а) на L.

Далее рассматриваются сингулярные интегральные уравнения каждого типа, к которым сводится уравнение (1).

Если L - гладкая разомкнутая кривая, заданная параметрически x = x(t), y = y(t), t є[-1,1], то уравнение (1) может быть записано в виде ^_jrp±₊j_{K(to)t)r(t)dt} ₌ _f(;Q)i ,_oG[__UL (2)

2.7Ї _j f₀ f _j где/(0єЯ(а)на[-1,і], К^₀,і)еН(а) на [-l,l]x[-l,l].

Это уравнение имеет решения трех типов: r(0 = Jr-TV(0, rO) = - где |х(Л/)Л = 0, (3) (4) ;к(/) = л/Г^7>(0 (5) где функция ^(0 ^не имеет особенностей на L_t соответствующие циркуляционному, бесциркуляционному и безударному обтеканию профиля L соответственно.

Если профиль L является телесным без острой кромки, т.е. кривая L является простой замкнутой гладкой, и параметр t изменяется на отрезке [0,2 л], то уравнение (1) можно записать в виде J_ fogbzL_Yif)dt+ Jtf.CvMOA =/('Л hє [0,2*] (6)

Так как набегающий поток является потенциальным во всей плоскости, то для любого телесного профиля выполняется равенство $f(M)ds = О

Для телесного профиля решение уравнений (1) определенно с точностью до константы, т.е. в этом уравнении константа является собственным решением. Далее рассматривается задача с отсосом внешнего потока. Пусть в точке М_ч (x_q, y_q) профиля L, x_q = x(t₄), y_q = y(t_q), t_q є (о, /), происходит всасывание внешнего потока внутрь оболочки профиля (рис 2).

Устройство отсоса внешнего потока будем моделировать стоком интенсивности Q. Поле скоростей ' ^(^о)> порождённое стоком интенсивности Q , имеет особенность в точке М_ч и задаётся формулой

_ Q ^гм,м, уЛм₀) ⁶>

Рис 2. Стационарное обтекание разомкнутого гладкого профиля (а) и замкнутого профиля (б) с отсосом внешнего потока.

Традиционное условие непротекания на V даёт уравнение ?(*.)** =f^^=f »,(«.«,). (10) M_a є I, Af ₀ s* Af,

Так как из физики следует, что на L* поле скоростей должно иметь особенность типа стока, а на V - оно является гладким, то можно получить, что решение уравнения (9) имеет вид я t_q-t если L является разомкнутой кривой и 7i(0^e Я' на Z, и

И0 = ^-^-^ + ^(0.

2я- 2 если Z, является замкнутой кривой, где?7₂(0 є Н(а) на [o,l].

Если L является единичной окружностью, то решением уравнения (6), где в этом случае K(t₀,t) = О, должна быть функция, т.е. в смысле главного значения по Коши должно быть верно равенство

1 ²Т 'о"' Q ^t4~^t J Q глл\ -T*l^C'^g^2x^C'^g^T^d,=Tx- ^С11)

Если теперь взять нетрадиционное условие непротекания , то есть на V, то те же рассуждения приводят к уравнению

Ъ&*У*м.=^АщК.~а1&»М_щ)-ф_л-М,\ М_аєІ, (12)

Оно отличается от уравнения (9) тем, что оно написано для любой точки М₀ є L, в частности, и для точки M_q, но теперь в правой части появилась S- функция (обобщённая функция). Поэтому теперь интегральный оператор в равенстве (12) надо понимать в смысле теории псевдодиференциальных операторов [55,56]. В частности, если L единичная окружность, то уравнение (12) приобретает вид (U₀(M₀)= 0)

Поэтому из теории псевдодифферециальных операторов без исследования поведения касательных скоростей на V сразу следует, что решением уравнения (13) будет функция r^'^tg'sZL. (14)

2.71 2

Вторая глава посвящена квадратурным формулам, которые имеют более физический смысл относительно тех же формул, рассмотренных в [6].

Классически в работах СМ. Белоцерковского [12] метод дискретных вихрей формулируется для циркуляционного обтекания в виде

2] — = f(x₀\ y' = l,...« , где Г,- интенсивность і дискретного Xqj X вихря. Затем в работах И.К.Лифанова вместо Г, используется представление в виде y{x_t)h. Поскольку в работах Белоцерковского Г, это есть дискретный вихрь равный завихренности на отрезке [л_0!І-_,,лс₀₍], то возникает целесообразность исследования квадратурной формулы для сингулярного интеграла следующего вида: _{Ірй--!-1г<аь.} -] ^X0j ^х t-l ^X0j ^Х1 х„,_,

В 1 рассматривается сингулярный интеграл: їм-?*- си) по окружности L единичного радиуса с центром в начале координат;

На L выбирается два множества узлов (см. рис. 3) Е={^ к=1,...,п}и Eo~{tob к=1,..,,п}, таких, что /*> к=1,...,п, разбивают окружность (рис. 3) на п равных частей, а точка t_0k является серединой дуги и^,;_А+м где полагаем t_n+i=t_h Выбранные таким образом множества Е и Eq называются каноническим разбиением окружности L. (рис. 3 )

Рис 3. Каноническое разбиение окружности на части.

Теперь для сингулярного интеграла на окружности берется квадратурная формула:

П 1 "11**1 'Л)^а1:—— И')*. У = 1,...,л. *-i'*-'o> ,_at

В этом случае справедлива теорема:

Теорема 2.1. Пусть UJ)-S„(t_0J)\0j\

1п« і і 1 у=1,...»и»

В 2 рассматривается сингулярный интеграл с ядром Гильберта /(c,_g*-A. ,,(0)^, (17) где ФііЄ) - функция с периодом 2л,

Квадратурная формула, аналогичная квадратурной формуле (16), для сингулярного интеграла с ядром Гильберта имеет вид:

Доказывается теорема:

Теорема 2.2. Пусть функция #>,(#) є Я на отрезке [0,2л] и имеет период 2л. Пусть точки Е-{вь к=1,...,п} и Е₀={ воь к=1,...,п} выбраны на [0,2л] следующим образом: в_м ~ в_к = Ц- = h, к = I,..., п - \, 6>, + 2тг = 6»_и+1, в_0к=6_к+%,к = 1,...,п, т.е. точки t_k=e^w* и t_0k-e^ieot, к~1,...,«, образуют каноническое разбиение L. Тогда справедливо следующее неравенство: |/«?_0/) - S„ (0_OJ )| < о(«-« Ь л), у = 1,..., л.

В 3 рассматривается сингулярный интеграл с ядром Коши: і * 'о где L = [д,й] на действительной оси, а функция 3(/) є Я* на Z, т. е.

Р(0 = 7 w? v. ' Г'/¹"⁴¹' іК0є^(а)ча[я,*]. (ґ-а)^г(б-0

Пусть точки а = /(),/,,...,/„,г_и+1 =Ь разбивают отрезок [a,b] на п + 1 равных частей длины А = , а точка /„^является серединой отрезка [/,-,/,-+, J, 7 = 0,1,...,«.

Точки множеств E={t_k k=J,...,n} и E₀={t₀j, j=0,.„,n} образуют каноническое разбиение отрезка [a,b] с шагом А (см. рис 4). t,j₀ *6l to2 *0п .+ tQ-a і- —» --— " «——* *—і D=t„₊] t] І2 Xn

Рис А Каноническое разбиение отрезка [a,b]. Квадратурная сумма для интеграла /(*₀) в точке t_0J следующая: / \ и t 'о» _'-W-Zt-v- _И'⁵_*- ⁽²⁰⁾

Доказывается теорема [32]: Теорема 2.4. Пусть 0 образуют каноническое разбиение этого отрезка . Тогда для любой точки t_0J є Е₀ справедливо неравенство: где величина e(t_0/) удовлетворяет неравенствам : e(t_0J }< O_s{h* Jo^^^l, для всех точек t_0j є [a + S, b - s], где S > 0; S^froj)¹ ^ 0(^ %0 -< Aj < 1, для всех точек t_0J e [a,b]. Далее рассматривается характеристическое уравнение |^М = /(0, н(4 (2D

Известно, что решение индекса к =0,1,-1 этого уравнения задается формулой <РІ()=-^^А)К^)^^-У_клс\ где _Vl =l,v₀ = v__t =0,

Теорема 2.5. Пусть p(t)eH* на [а,й] и множества и Е₀ образуют каноническое разбиение этого отрезка. Тогда между решениями систем линейных алгебраических уравнений

2:—Г Ы'>* = ЛЧ). > = і,- «,

А-1 ^r0j - h ,_мч " 1 *Ч / \ j = \,...n-l, и 1 ⁽Ч , _ч j = 0,1,...«, и решениями

9(t_k)-- J^„№

5 0,(0. * = !,..„«, в котором величина $_я (t_k) удовлетворяет неравенствам: l)e„(t_k)<: оД/И¹), Л,>-0, для всех точек /_t є [a + , *-#], где !- 0;

2)S^"('* 5^й - ^(^ 1 Яд >- 0, для всех точек f_t є [а,й].

В главе 3 рассматриваются вычислительные схемы для сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода на отрезке в классе обобщенных функций в тех случаях, которые потребовались в аэродинамике.

Вначале рассматривается сингулярное интегральное уравнение /Г ! Лл X -1 ^Ао где /(д:₀)может быть гельдеровской функцией степени а т.е. /(і₀)єЯ(а) на [-1,1] или быть дельта- функцией.

Случай, когда /(х₀)єЯ(а) был подробно рассмотрен [6], поэтому в данной работе рассматривается случай, когда в правой части стоит функция следующего вида /(*о)-/*,<*») = G"(*o-?). *₀,_?e(-U), (23)

ГДЄ S(x_a -q)~ Hm S_h (x₀ - q\ #Л^хо-я) = -, x_o6

0, X₀ g a ,q + — ^У 2 ^V 2 о ,9 + - x_Q є (-1,1).

Далее рассматривается метод численного решения уравнения (22) для различных индексов к =0,1,-1. На отрезке [-1,1] задаются два множества точек = {х_А, = 0,1,.-.,«} и Е₀ ={х_0у,у = 0Л,...,и} удовлетворяющих условиям: -xJ = A, А = 1,...,и-1, h = и + 2 ^l0j+l = А, У = 0Д,...,«-1, *„ + 1»Л-$_1іЛ, 1-х_0п=А-?_2А, 0^/7, $_1рА, 0„ S ^j -<+0О, где р] yl р₂ - заданные числа и точка q при любом п лежит в множестве (>> Я - ^xoj (^см- [6; 1.3], там же указано, как эти множества построить).

Вначале рассмотрим решения индекса к =1. При моделировании тонкого разомкнутого профиля вихревым слоем в случае бесциркуляционного обтекания с отсосом внешнего потока, используя нетрадиционное условие непротекания, приходим к сингулярному интегральному уравнению (22), которое рассматриваем для решений класса индекса к =/, т.е. обращающиеся на обоих концах отрезка [-1,1] ^в бесконечность, а правая часть представляет собой дельта - функцию (см.(23)). Справедлива следующая

Лемма 3.1. Пусть в правой части уравнения (22) стоит функция fs.q(^xo), x_Q,qe(-l,l). Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений -14- _^^—* = Q-S_h(x_UJ-q\ 7 = 1 л-1, *_ч=ї, >„(*,).Л = 0, (25) и значения функции _r(x) = === (26) *V1-*² *~Я связаны соотношением \r(x_k) ~rJL*t І * в* (**)» A = 1,.., я, (27) в котором величина #„(хр удовлетворяет неравенствам:

1) для всех точек х_к e[-l + 6,q-S]v[q + S,l-S\ где 5>0 сколь угодно мало, „(**) <С,-А\ Д^О, (28)

2) для всех точек JC_t Є [-1,1] *.(**)* *С-й\ ^)-0, (29) где С& С- некоторые константы, не зависящие от и.

Чтобы показать, что функция у{х) в (26) является решением уравнения (22), сингулярный интеграл в нем рассмотрим как оператор в пространствах Я* (типа Соболевских с весом).

Напомним вначале понятие пространства ^действительных функций, квадрат модуля которых интегрируем на [-1,1] ^с весом р = р(х), і т.е. таких функций /(*), х е [-1, l] , что J/?(x)j/(jc]j лйсч+да, где р(х)>-0 почти -і всюду на [-1,1]. Естественным образом вводится скалярное произведение функций в этом пространстве -t После этого пространство Д?„ становится гильбертовым, и поэтому можно взять полную систему ортонормальных функций (Р„(х), п-0,1,...}, являющихся базисом в г,_р т.е. lp(x)P„ix)P_m(x)dx = s;, где S"=0,n*m, и S" =\,т,п = 0,\,—, - символ Кронекера. Любая функция f{x)eL_2p представляется рядом Фурье по системе этих функций, сходящимся по норме L2,_p: /to = Ё /to',, to, /to = jVto/to^ (x)dx

IM1L = I,/**)/² (*><&=!; /4*h+».

Теперь можно дать следующее определение пространства н (типа Соболевского) с весом р, связанного с пространством L_2iP.

Определение [16; 4]. Пусть Л є R - произвольное действительное число. Весовым пространством Н* = Н*({Р_я{х)}) на [-1,1] называется множество таких функций (или обобщенных функций дляЛчО) и(х), что функция й{п) = \р{х)и{х)Р_п {x)dx = (и(4 Р„ to), принадлежит пространству L2_iPt где п-тах{1,п}. Нормой функции и(х) в пространстве 7/j назовем число ||и| = ^"^и |«(«)| .Скалярным произведением функций н(3г) и vfjf) из пространства Н^х_р назовем число (u,v) = ^]_on u(n)v(n) .Относительно этого скалярного произведения пространство н становится гильбертовым.

Рассматривая интеграл в (22) как оператор в пространствах Я* и я, где р_х - ,. .-_ш и р₂ = Vl-x², показывается, что функция (26) является Vl-Je² единственным решением (22).

Отметим, что справедливо следующее замечание:

Замечание 3.1. Если рассмотреть гладкий слабоизогнутый тонкий профиль, то нетрадиционное выполнение условия непротекания приводит к тому, что правая часть в уравнении (22) будет представлять сумму гёльдеровской и дельта- функции: f{x₀)+f_Sq(x₀), где /(х₀)е_2л. В этом случае все решения у{х) индекса к= 1 в паре пространств (Я^;ЯД)Д 4-1/2, даются формулой (ср. [36; (2.3.30)]) м₌ * 'р/¹-*? -/toК _| с ₍ і VnV g я-Vl-Jc² -і *-*tt Wl-Jc^z ^" Vl-дг² fl"** * (-1,1), где функция y(x) удовлетворяет равенству

Г y(x)dx = С.

При моделировании тонкого, разомкнутого профиля вихревым слоем в случае безударного обтекания с отсосом внешнего потока, используя нетрадиционное условие непротекания, приходим вновь к уравнению (22), которое рассматривается для решений индекса к =-1, при наличии в правой части функции fs.qfxo) в паре пространств Я* и#^ и показывается, что при этом должно выполняться условие разрешимости для индекса к =-1.

УЛ*)+лЛ*)_Ав0 (зо) -і VI-х² где fix) - гельдеровская функция. Тогда из (30) следует» что

Далее рассматривается уравнение

1|И^ ₌ _/(Хо) ₊ _/ _ixh _Хйе(-1Л (31)

Я ^м х₀ - X

Для численного решения уравнения (31) на основе идеи метода дискретных вихрей воспользуемся множествами Е = {х_к, к = Д. ..,п} и Eq ~ {xohj = 0,1,..., п}, построенными выше. Справедлива следующая

Лемма 3.3. Пусть функция/fx) принадлежит классу Н(а) на [-1,1] (см. [6; 1Л]), а функция fs,_q(x) имеет вид (23). Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений -r_0fl+-Z^2::!1^^ = /Uo_i) + Q^(^-?)_> / = 0,1,...,11, (32)

Л Я *,| x_0J — x_k где уо„ - регуляризирующая переменная [6; 5.1], и значения функции _KJ0B_jEg{ /^^0—q^E*Ljl- _xeHJ) (зз) связаны соотношением (27), в котором величина в_п(хі) удовлетворяет неравенствам (28) и (29).

Наконец, моделируя тонкий, разомкнутый профиль вихревым слоем в случае циркуляционного обтекания с отсосом внешнего потока, и используя нетрадиционное условие непротекания, рассмотрим уравнение (22) для решений индекса к =0 в паре пространств я и Я* , где

1-x /l + x Pi ⁼i7~ » P* = l + x Vl-jc

Используя идеи метода дискретных вихрей и множества

Е = {х_к, к = 7,. ..,п}, Е₀ = {x₀,,j = 0,7,..., п), построенные выше, аналогично леммам 3.1 и 3.3 с использованием теоремы 5.1.1 из [6; 5.1] доказывается

Лемма 3.5. Пусть в правой части уравнения (22) стоит функция/$_іЯ(хо), х₀ е (-1,1). Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений

1*і2* = е*_й(*_0/-«г), 7 = 1,...,«, (34) и значение функции

,(*) = -І.рІїН-Є-, *_o6(-U), (35) ft \\ + x \\-q x-q связаны соотношением (27), в котором величина 6_п(х$ удовлетворяет неравенствам (28) и (29).

Если интеграл в уравнении (22) рассматривать как оператор в паре пространств (Я^;ЯД), то доказывается, что уравнение

IfyOOdc^ _Хо ₍₃₆₎

71 ** Х₀-Х имеет единственное решение у(х), даваемое формулой (35).

При моделировании обтекания произвольного тонкого, разомкнутого профиля задача нахождения интенсивности вихревого слоя сводится к решению полного сингулярного интегрального уравнения первого рода вида: і f К*)₊ | _К(_Х _x)r{x)dx ₌ _f(x) ₊ _f _{Хо1 _х _є ₍_щ (37) где функции f(x) и К(хо, х) принадлежат классу Н(а) на соответствующих множествах. Предполагается, что уравнение (37) имеет единственное решение в паре пространств (Я*, ЯД ). Пусть теперь оператор (37) есть оператор из Я* в ЯД для решений индекса к =1.

Решение у(х) ищется в виде rfr)«-!3pL-6- ₊ -JM ,_оЄ(-Ц), _x+_q. (38) я л1\-х² x-q Wl-**

Тогда для функции у/(х) получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода -18-у/(х)-[_ік(х,т)і//(т)<іт = Л(х,с) + У_(і(х)_> х₀ є (-1,1),

Л(х,с) = -\ ^ + С, "' х-х₀

7,м-^ЕЄі^Н*.*_л.г)-* , (39) л'^'л/і-т² *-*о которое, в силу сделанного предположения, имеет единственное решение.

Аналогичные рассуждения сведения сингулярного интегрального уравнения к уравнению Фредгольма можно провести и для решений индексов к=-1, к=0. Только теперь при К—-1 условие разрешимости несколько усложняется для поиска числа Q.

Для численного решения уравнения (37) можно опять применить идеи метода дискретных вихрей и рассмотреть для нахождения решений индексов к = 1,-1,0 системы линейных алгебраических уравнений вида (25), (32) и (34) соответственно. Справедлива следующая

Теорема 3.1. Пусть в уравнении (37) функция /(*„) и ядро

К(х₀,х)принадлежат классу Н(а) на [-1,1] и [-1,1 I^х [-1,1] соответственно, а функция fs,_q(xo) имеет вид (23) и пусть уравнение (23) имеет единственное решение в паре пространств Я*, Я* для соответствующих/?,,^. Тогда решения систем линейных алгебраических уравнений ±^^уЛх*^)шк₊к(х₀^х_к)-у_п(х_к)И=Кх^+/_ЗА(х₀₁), y = W,n, (40)

Л" i-l ^X0J ~ ^Xt *-l l^/_B(^)ft₊^^_(xB^_t)._n(jCt),_ft=/(yoj) ₊ _/^_(jCo)) y_eUiBf

Я" k=\ ^xoj ~ ^Xi *-l

I>.(*_t).* = C, (41) -Го_я+~Т,^ГЛХк)'^И+1,Пх_й^х_кУгЛх_куИ=/(х_щ) + /_ал(х_0/Х j = l,...,n, (42)

Я Я і_і Jf₀y — X_k ь₌₁ и соответствующие решения индекса к =0,1,-1 уравнения (37) связаны соотношением (27), в котором величина в_п(х$ удовлетворяет неравенствам (28) и (29).

Если в задаче обтекания профиля моделировать профиль слоем диполей, то задача нахождения интенсивности слоя диполей сводится к следующему гиперсингулярному интегральному уравнению if *<*>* _Лхд *_ов(-Щ (43) тг-^Чхо-*) которое эквивалентно уравнению ^і«*а*₌^__л ^, ₍^__мх ₍₄₄₎ я -^1-1 х₀ — X при условии ]У(*)^ = 0. (45)

Если в уравнении (43) справа стоит функция fs.qfao) (см(37)), тогда уравнение (44) имеет своим решением функцию g\x) = l^^L-Я-, _Хо е (-1,1), (46) я-vi-x² *-я а, следовательно, в силу равенства (45) уравнение (43) имеет своим решением функцию g(*) = iln 7 , / , > *о 6(-1,1)- (47) я^- l-xg + Vl-A:²Vl-?

Для численного нахождения решения (47) уравнения (43) в случае, когда в правой части стоит функция fg_iq(xo), опять воспользуемся идеей метода дискретных вихрей с использованием множества Е = {х_к, к = 1,. ..,п} и

Ео ~ {xoj, j — 0,1,..., п}, построенных в 1,гл. 3. Справедлива

Теорема 3.2. Пусть в правой части уравнения (43) стоит функция fs.qfeo), x_u,qe(~\,\). Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений ^X0j ^Xk+l ^X0j ^Xk = QS_n(^xoj-M)]sCfe\ *э ^0> (49) где С не зависит от п.

В главе 4 рассматриваются схемы метода дискретных вихрей для сингулярных интегральных уравнений р ядром Гильберта первого рода в классе обобщенных функций и их обоснование.

В 1 рассматривается сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта, которое мы получаем, моделируя телесный профиль вихревым слоем с отсосом внешнего потока, используя нетрадиционное условие непротекания ±)_ctg^y(e)de=f_s,_g(e₀hf(e₀), (50) где в правой части есть дельта - функция f_Sq (0_a)=Q- 3{в₀ -д), Є₀,дє [0;2;г]. Q- произвольное действительное число, а дельта - функция Sfa-q) с носителем в точке q определяется условиями: [+ оо, в₀ - q ]б(в_о-д)сІЄ₀=\

В главе 1 показано, что уравнение (50), рассмотренное в обобщенных пространствах Н^х, имеет решение только при выполнении условия:

При выполнении условия (53) решение уравнения (50) даётся формулой

ГДЄ ~ \y{e)d9 = C, 0є[О;2л].

Используя идеи метода дискретных вихрей, построим метод численного решения уравнения (50). Пусть отрезок [0;2я-] разбит двумя множествами точек Е = {&_к,к = \,2,...,п} и ₀ ⁼ & >j =1,2,...,я) таким образом, чтобы 9_k^-6_k=h = ,

А = 1,2,...,«; в_в^=9_{\ 0_О,=61,+-и ? є ₀, при этом д=в^.

Теорема 4.1. Пусть в правой части уравнения (50) стоит сумма функций /(^)еЯ(а) и f_Stq(0₀), в₀,де[0у2тг]. Тогда между решением системы линейных алгебраических уравнений

У^±сЩ?^гЖ)- = ХЮ+О^К-я\ J = 1,2,..,»,

0, 9 _Ф-ч)=<

, 2п п = —, и решением уравнения (50), задаваемым формулой (54) при условии (55), выполняется соотношение и В 2 исследуется полное сингулярное интегральное уравнение, которое получается при моделировании обтекания произвольного телесного профиля вихревым слоем с отсосом внешнего потока с использованием нетрадиционного условия непротекания-. Задача нахождения интенсивности вихревого слоя сводится к решению сингулярного интегрального уравнения ± ]ctg!^y(0)de + ²]Kfa_t0)r(e)de = f(e_o)+f^(0^ *_в.*є[0,2т]. (58)

Его решение ищется в виде

Тогда для функции у/(в) уравнение (58) перейдет в уравнение ¹ Jcfg^-^№0+ lK(e₀,6}f,(e)d9 =

In I 2 в_й є [0,2лг].

2л 2л -/(е)ДД№.Ф^^

При этом условие разрешимости уравнения (58) в классе функций вида (59) получит вид lf{e)₊^^^\{9^e)ctg^de-]K{e,,e^{e)de d% = 0.

Для уравнения (58) предлагается следующий численный метод решения ^2>&> = С, 7=1,-.«. Доказывается, что /„(^)сходится в точках в_к к точному решению.

Далее в 3 рассматривается" уравнение с гиперсингулярным периодическим ядром. Если в задаче обтекания профиля моделировать профиль слоем диполей, то задача нахождения слоя диполей сводится к следующему гиперсингулярному интегральному уравнению J-) *%\_в*=№+/,№)> в.^М- ⁴*'sin²^ в_а~в

Уравнение (62) эквивалентно (в силу определения гиперсингулярного интеграла) уравнению

2л ₀^J 2 где#₀ е [о, 2л]. Решение уравнения (62 )получаем в виде sin((g-0,)/2) info/2) /fo^+^ln sin((fl-g)/2) info/2) + C, q±Q.

Для численного решения уравнения (62) вновь рассматриваем два множества точек Е и Е_д, полагая q = 6_aj є Е₀. Используя идеи метода дискретных вихрей, построим метод численного решения уравнения (62). Заменим (62) следующей системой линейных алгебраических уравнений

2.7Т ^_] 2, 2.

Систему (65) можно записать в виде системы (56) относительно функции ..fa 4_g„(Q-g,,(fl»-i) in _іш1 г

Для однозначного нахождения g'„(&_uk)служат равенства

Разрешая систему (66) и используя квадратурные формулы для интеграла с ядром Гильберта, имеем: \g{e_k)-g_n{e_k\

Выводы: Итак, в работе получены следующие основные результаты:

Для сингулярного интеграла рассмотрены квадратурные формулы более отвечающие физической сущности метода дискретных вихрей и исследованы вопросы их сходимости.

Для сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения на отрезке, являющихся математической моделью стационарного обтекания идеальной жидкостью тонкого профиля с отсосом внешнего потока, доказана сходимость приближённых решений к точным для всех индексов решения, получаемых по методу дискретных вихрей, когда в правой части стоит дельта — функция.

Для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта и соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения в классе периодических функций, являющихся математической моделью стационарного обтекания идеальной жидкостью телесного профиля с отсосом внешнего потока, доказана сходимость приближённых решений к точным, получаемых по методу дискретных вихрей, когда в правой части стоит дельта — функция.

Отсос внешнего потока и требуемый класс решений для сингулярного интегрального уравнения

Следует отметить, что при аналитических исследованиях в приложениях уже давно некоторые задачи стали сводить к сингулярным интегральным уравнениям, т.к. для них в одномерном случае получена хорошая теоретическая база, которая довольно полно изложена в монографиях [30] Гахова Ф.Д. «Краевые задачи» - Москва, изд. Наука, 1977г. и [48] Мусхвелишвили Н.И. «Сингулярные интегральные уравнения » - Москва, изд. Наука, 1968г.

Для характеристических уравнений была построена теория получения всех решений в классе абсолютно интегрируемых функций. Этот класс наиболее естественен для прикладных задач. В монографии Гахова Ф.Д. указано, что при определенных условиях на коэффициенты сингулярного интегрального уравнения можно искать решения этих уравнений в классе функций с неинтегрируемой особенностью вида 1/х при -»0. Но отсутствие прикладных задач, приводящих к решениям такого типа, численных методов их нахождения, развитой теории обобщенных функций в применении к сингулярным интегральным уравнениям привело к тому, что такие решения не исследовались.

Сингулярный интеграл с ядром Коши

Строгое математическое обоснование метода дискретных вихрей было выполнено И.К. Лифановым в ряде работ [36-46], завершившихся защитой в 1981г. докторской диссертации. После этого удалось перенести идеи метода дискретных вихрей в теорию упругости и электродинамику [4, 5, 7, 19-29], Эти первые результаты были изложены в [6, 52]. Следует отметить, что уже в этих первых работах и в последующих проявилось взаимное влияние прикладных задач и математических исследований.

В настоящей работе предложен вариант метода дискретных вихрей численного решения сингулярного и гиперсингулярного интегральных уравнений первого рода на отрезке с ядром Коши и для уравнений с ядром Гильберта в случае, когда в правой части уравнения имеется дельта - функция. Далее предлагается краткий обзор данной работы по главам. В первой главе приводится постановка и модели некоторых задач из аэродинамики, которые затем будут исследоваться в данной диссертации. Рассматривается плоскопараллельное обтекание изолированного непротекаемого профиля установившимся потоком идеальной невязкой несжимаемой жидкости, скорость которого U0=u0xi +uQv]. Сам профиль является неподвижным. Под профилем понимаем цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси OZ и направляющей кривой L в плоскости ОХУ (рис.1). Так как все параметры набегающего потока и возмущенного не зависят от координаты z, то в дальнейшем профиль изображается только кривой L в плоскости ОХУ. Если кривая L является простой разомкнутой (рис. 1а), то такой профиль называется тонким, а если кривая L является простой замкнутой кусочно - гладкой (рис.16), то такой профиль называется телесным. Поскольку рассматривается стационарная задача, то следа за профилем нет, и возмущенное течение будет потенциальным везде вне профиля L.

Характеристическое гиперсингулярное интегральное уравнение на отрезке

Нетрадиционный подход. Из физической постановки задачи с отсосом внешнего потока видно, что со стороны L кривой L должно быть плавное обтекание в любой точке M0eL. Поэтому равенство должно выполняться для любой точки кривой L . Но здесь функция Уу{мйУїМа и Uo{MQ)nMQ та же, что и в равенстве (1.4.2) . Поэтому надо внимательно посмотреть функцию У {М0)пм в точках кривой L. Из физики движения жидкости ясно, что эта функция описывает распределённую плотность количества жидкости, протекающей через точки кривой L. Из этого видно, что для точек MaeL \\МаФ Mq имеем Если кривая L имеет в точке касательную, то из сущности источника следует, что через точку Мя со стороны L протекает Q/2 жидкости (направление движения точек жидкости в точку Л/ со стороны I" имеет острый угол с вектором пм ). Поэтому для точек кривой L можно написать где М0- произвольная точка кривой L и функция д{м0 -Мч), говоря языком физики, определяется равенствами Функция ,(A/0,A/ ) доопределяется в точке Мд по непрерывности. Теперь ясно, что если кривая L замкнутая и гладкая, то выполняется равенство Действительно, вся жидкость справа от касательной в точке Mq (вектор пм направлен влево) проходит через точки М0 L, Мп Ыч, а потом уходит в точку Mq. Таким образом, уравнение (1.5.1) теперь приобретает вид Vf(M0)nMo = и0(иа)пщ-Л.&1(мо1Мя) б(ма-Мч1 M0eL (1.5.8) Оно отличается от уравнения (1.4.3) тем, что оно написано для любой точки М0 є L, в частности, и для точки Mq, но теперь в правой части появилась 5 -функция (обобщённая функция). Поэтому теперь интегральный оператор в равенстве (1.5.8) надо понимать в смысле теории псевдодиференциальных операторов [55,56]. В частности, если L единичная окружность, то уравнение (1.5.8) приобретает вид {U0{M0) 0)

Поэтому из теории псевдодифферециальных операторов без исследования Замечание 1.4 Из сравнения уравнений (1.4.5) и (1.5.9), при учете равенства (1.4.13), видно различие понимания ядра Гильберта как интегрального оператора в смысле главного значения по Коши и в смысле теории псевдодифференциальных операторов. Эти понятия дают одно и тоже на множестве функций из i2, но обладают разными свойствами уже на множестве функций, интегрируемых в смысле главного значения по Коши. Действительно, если взять на единичной окружности m попарно различных точек tqt / = 1,... ,ш, и в каждую поместить источник мощности Q , то все различные функции отобразятся оператором Гильберта, понимаемым в смысле главного значения по Коши, в одну точку. Эти же функции отобразятся оператором Гильберта, понимаемым в смысле теории псевдодифференциальных операторов, взаимнооднозначно в различные функции в сумму S- функций. Более того, понимание оператора Гильберта в последнем смысле приводит к тому, что в уравнении (1.5,9) будет стоять функция f(t0) такая, что Это происходит в силу следующего обстоятельства. Псевдодифференциальный оператор для интеграла с ядром Гильберта строится из следующих соображений [55,56]. Любая периодическая обобщённая функция представляется рядом Фурье. Этот ряд Фурье сходится в соответствующем Соболевском пространстве, связанном с пространством L2 периодических функций. Подставляя полученный ряд Фурье в интеграл с ядром Гильберта, интегрируя его почленно, и, зная, как этот интеграл преобразует экспоненты, получаем ряд Фурье в том же Соболевском пространстве.

Поскольку этот интеграл переводит все константы в нуль, то в получаемом ряду Фурье всегда будет нулевая константа и поэтому интеграл по периоду от этого ряда Фурье будет равен нулю. Классически в работах СМ. Белоцерковского метод дискретных вихрей формулируется для циркуляционного обтекания в виде !— = /(х0) j = \,...n , где Г интенсивность і дискретного вихря. Затем в работах И.К.Лифанова вместо Г; используется представление в виде y{x,) h. Поскольку в работах Белоцерковского Г, это есть дискретный вихрь равный завихренности на отрезке [x0i_,,x0iJ, то возникает целесообразность исследования квадратурной формулы для сингулярного интеграла следующего вида:

Характеристическое гиперсингулярное интегральное уравнение

Для характеристических уравнений была построена теория получения всех решений в классе абсолютно интегрируемых функций. Этот класс наиболее естественен для прикладных задач. В монографии Гахова Ф.Д. указано, что при определенных условиях на коэффициенты сингулярного интегрального уравнения можно искать решения этих уравнений в классе функций с неинтегрируемой особенностью вида 1/х при -»0. Но отсутствие прикладных задач, приводящих к решениям такого типа, численных методов их нахождения, развитой теории обобщенных функций в применении к сингулярным интегральным уравнениям привело к тому, что такие решения не исследовались.