Введение к работе
Общая характеристика исследования. Работа посвящена исследованию и обоснованию нового метода математического моделирования для физических систем, основанному на применении функции влияния.
Функция влияния как удобное средство описания реальных физических систем вошло в физическую науку еще во времена Фарадея и Кулона, позволяя описать состояние изучаемого объекта интегральным представлением
и{х)= \H(x,s)f(s)ds Q4
через распределенное по области Q возмущение/(). Функция влияния H(x,s) (по другому- функция отклика, функция источника) определялась внешне очень легко, как реакция всего объекта на единичное в точке х = , возмущение. С физической точки зрения формула (1) представлялась очевидной как результат суммирования локальных откликов H(x,s)f(s)ds.
Появление на рубеже XIX-XX веков понятия функции Грина в силу адекватной ее роли в виде формулы (1) смешало, по крайней мере в математической литературе, оба понятия. И ныне во многих руководствах по уравнениям математической физик термин "функция влияния" используется вместо термина "функция Грина". Хотя строгие определения этих понятий совершенно различные.
Точное определение функции Грина может быть дано только для заданной краевой задачи. Пока изучаемый объект не описан с помощью некоего дифференциального уравнения в сочетании с какими-либо краевыми условиями, об определении функции Грина говорить нельзя. Даже если для исследуемой системы удается поставить краевую задачу, построение функции Грина бывает возможным только в априорном предположении, что состояние системы и ее параметры достаточно регулярны, что
не всегда имеет место.
Строгое описание функции влияния для физических систем дает возможность расширить класс объектов, допускающих построение корректных математических моделей, и исследовать их качественные свойства. Основным математическим аппаратом в таком исследовании является современная теория интегральных операторов. Применение теории подразумевает, в свою очередь, проверку у функции влияния как ядра интегрального оператора математических свойств, определяемых физической спецификой объекта.
Актуальность темы. При анализе реальных процессов и систем первым шагом в описании состояния объекта является изучение реакции объекта на внешнее воздействие. Если связь состояния и(х) объекта с внешним воздействием/fo) является детерминированной и линейной
Lu=f, (2)
то характер зависимости и(х) отffx) определяется, как решение и(х) уравнения (2).
Однако обычно в явном виде оператор L в (2) бывает неизвестен, и его построение означает фактически создание (2) как модели. Если даже известен L, весьма непросто проанал изиро-вать основные свойства решений уравнения (2).
Одним из первых и очевидных свойств реальных моделей является их податливость, т.е. отклонения от состояния равновесия в ту же "сторону", что и внешнее воздействие. Математическое описание это свойство получило вначале в экономических моделях и в четкой формулировке для конечномерного случая формулируется следующим образом (принцип Хикса).
Если в (2) Lu = и - Аи и А - строго положительная матрица (здесь „ є r"), то для любого вектора /є #",/> 0 с единственной ненулевой координатой соответствующее решение уравнения (2) имеет все строго положительные координаты, причем
максимальная из них имеет тот же номер, что и ненулевая компонента правой части.
Принцип Хикса оказался востребован в самых разнообразных вариантах экономических моделей типа Леонтьева. Его анализу и обобщению посвящена обширная литература, из отечественных ученых здесь следует отметить в первую очередь В.Я. Стеценко, П.П. Забрейко и их учеников. Обобщения шли в направлении расширения класса матриц в представлении L = 1-А и до переноса вопроса из R" на случай функциональных, т.е. бесконечномерных пространств. Однако для переноса на важные физические задачи эти обобщения были непригодны по двум причинам: 1) во всех обобщениях Л была если не матрицей, то ограниченным оператором типа интегрального, а в реальных задачах в качестве L обычно выступают дифференциальные операторы; 2) точным анализом "од-нокоординатного" возмущения / в функциональном пространстве является 5-функция. Но для таких / решение уравнения (2) не может быть непрерывной функцией.
Необходимость введения в описание детерминированной связи состояния и(х) с внешним воздействием f(x) побудило физиков еще в XIX веке ввести важнейшее понятие функции влияния. Ее определили как реакцию и^{х) объекта (т.е. ее состояние) при единичном воздействии в точке х = %. Если внешнее воздействие не локализовано, а распределено в пространстве и f(x) - плотность этого распределения, то состояние объекта описывается формулой
и(х)= \H(x,s)f(s)ds /Зч
где интеграл берется по области, где расположен объект.
К концу XIX века, когда важность формулы (3) стала очевидной и в математической физике, Д. Гильбертом было дано объяснение формулы (3), с помощью понятия функции Грина. Сделано это было вначале для случая, когда Lu = -(pu')',
соответствующего деформациям упругой нити, затем -для случая Lu s (EJu"Y - для упругих балок (стержней).
Определенное специальной системой аксиом, понятие функции Грина стало одним из основополагающих понятий теории краевых задач. Главное свойство функции Грина - это представление решения уравнения (2) в форме (3) - позволяет свести многие проблемы качественного анализа математических моделей к исследованию интегральных уравнений, теория которых развита достаточно полно. Однако в рамках теории краевых задач функция Грина - один их наиболее трудно исследуемых объектов.
Около 10 лет назад в работах воронежских математиков появился новый подход к объяснению представления (2). Связан он с корректным описанием интуитивно определяемого понятия "реакция системы на единичное воздействие". Это понятие можно определить, если опереться на классические вариационные принципы физики. Этот подход позволил построить и исследовать функции влияния ряда конкретных физических систем. В настоящей работе выполнено построение и исследование функции влияния для физического объекта, который может быть представлен в виде сетки (графа) из упругих одномерных континуумов (струн).
Заметим, что в рамках математической теории краевых задач подобный объект поддается описанию в виде краевой задачи Штурма-Лиувилля на геометрическом графе. Подобные задачи чрезвычайно актуальны в самых разнообразных приложениях (системы волноводов, акустических труб, строительные конструкции типа перекрытий и т.д.) и им посвящены сотни публикаций, в основном с использованием функции Грина. Подход, основанный на использовании функции влияния, позволяет устранить многие трудности, связанные, например, с сингулярным характером нагрузки в таких системах, закреплений и связей. В силу сказанного тема диссертационного исследования
является актуальной.
Целью работы является разработка и исследование математической модели физических систем типа "упругой сети" с использованием принципа Хикса, наиболее правильно характеризующего поведение упругих (податливых) систем.
Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
1) Корректное математическое описание функции влияния
на основе вариационных принципов. Исходной посылкой опи
сания является задание потенциальной энергии системы в виде
Ф{и($)= \2=—dx- \udF
г 2 г
Анализ основных свойств функции влияния как функции H(x,s) двух переменных на г х Г
Математически корректное обоснование условий сопряжения ("склеивания") упругих элементов в узлах сетки.
Выяснение свойств типа регулярности (непрерывность по каждой переменной и непрерывность по совокупности аргументов, гладкость по каждой переменной и т.д).
Построение эффективного представления функции влияния с помощью простых вспомогательных функций.
Установление свойства Хикса.
Проверка применимости к изучаемой модели традиционных для классических задач с регулярными параметрами численных методов.
Методы исследования. В работе использованы методы анализа дифференциальных и интегральных уравнений, теории интеграла Стильтьеса, методы абстрактной теории полуупорядоченных пространств М. Крейна - М. Красносельского, методы теории краевых задач на геометрических графах.
Научная новизна. В работе предложены следующие новые научные результаты:
1) Для общей упругой сети дано точное математическое опи-
сание функции влияния, делающее корректной математическое описание физической модели.
Установлен набор свойств свойств, однозначно определяющий функцию влияния.
Показана совокупная непрерывность функции влияния и гладкость ее по каждой переменной на г х Г вне диагонали.
Доказано свойство Хикса.
Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты работы показывают, что полученные ранее многими авторами результаты для краевых задач на графах справедливы для значительно более общих задач.
Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике и теории дифференциальных уравнений. В работе показана эффективность разработанных методов для теоретического доказательства важнейших физических свойств
Личный вклад автора в получении научных результатов, изложенных в диссертации. Задача диссертационного исследования была поставлена и выполнена совместно с научным руководителем, принимавшим участие, как в обосновании, так и в обсуждении конкретных моделей. Все аналитические выводы и компьютерные расчеты выполнены автором самостоятельно.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Ставропольского Института Экономики и Управления имени О.В Казначеева, высшей математики Северо-Кавказского государственного технического университета, на V, VIII региональных научно-технических конференциях "Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону" (2001,2004 г.), на VI Международной конференции "Циклы" (2004 г.), на первой и второй международной научно-технической конференции "Ин-фотелекоммуникационные технологии в науке и технике" (г. Ставрополь 2004 г., г. Кисловодск 2006 г.), на международной
научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (г. Воронеж 2005г), на Воронежской весенней математической школе «Пон-трягинские чтения - XVII» (г. Воронеж 2006 г), на семинаре в Ставропольском государственном университете.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ из них 5 статей, в том числе одна в журнале из перечня ВАК, тезисы 5 докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, а также списка литературы и занимает 117 страниц
Похожие диссертации на Математическое моделирование функции влияния упругой сети на основе принципа Хикса
