Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Предварительные понятия и факты 19
1.1. Классическая модель упругого континуума 19
1.2. Некоторые сведения из теории краевых задач 24
1.3. Задача Штурма-Луивилля 33
1.4. Функция ограниченной вариации 37
1.5. Интеграл Римана-Стилтьеса 40
1.6. Некоторые основные свойства интеграла Стилтьеса 42
Глава II. Интегро-дифференциальная модель 46
2.1. Вариационная мотивация модели 46
2.2. Аналог теоремы Коши-Пикара для интегро-дифференциального уравнения 54
2.3. Свойства решений однородного уравнения 58
2.4. Зависимость решения интегро-дифференциального уравнения от параметра 63
Глава III. Псевдокраевая задача для интегро-дифференциального уравнения .-..70
3.1. Функция влияния 70
3.2. Свойство неосцилляции 77
3.3. Положительные решения 81
3.4. Оценки функции влияния 83
3.5. Простота ведущей частоты 90
Глава IV. Нелинейная спектральная задача 93
4.1. О монотонной ветви нелинейной спектральной задачи 93
4.2. Вычисление границ интервала (Д^Л*) 101
Заключение 103
Литература
- Некоторые сведения из теории краевых задач
- Функция ограниченной вариации
- Аналог теоремы Коши-Пикара для интегро-дифференциального уравнения
- Положительные решения
Введение к работе
Актуальность темы. В строительной механике часто приходиться рассматривать механические системы из струн и тросов, вдоль которых распределены сосредоточенные нагрузки. Примерами таких механических систем являются электропровода между опорами линий электропередач, тросы канатных мостов и некоторые другие. Все такие механические системы принято называть стилтьесовскими струнами. Расчет и анализ формы и сил реакции этих упругих струн с распределенными вдоль них внешними нагрузками представляет сложную задачу актуальную как с прикладной, так и с теоретической точек зрения.
Задачи такого типа ранее рассматривались Ю.В. Покорным и его учениками методами дифференциальных уравнений с производными типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Данная диссертационная работа посвящена развитию новых методов математического моделирования упругих континуумов типа стилтьесовских струн.
Целью работы является развитие новых методов математического моделирования для расчетов формы и сил реакции механической системы типа стилтьесов-ской струны; исследование сопутствующих математических проблем: интегро-дифференциальные уравнения с интегралом Стилтьеса и построение его решения с помощью функции влияния.
Предметом исследования данной работы являются математические модели конкретных механических систем типа стилтьесовских струн и свойства этих моделей.
Научная новизна и методы исследования. Научная новизна данной диссертационной работы состоит в разработке новых методов математического моделирования стилтьесовских струн, в частности разработаны методы функции влияния для расчета формы и сил реакции механической системы типа упругой стилтьесовской струны.
В связи с тем, что функция влияния в построенных математических моделях стилтьесовских струн играет ведущую роль, приведем краткий литературно-исторический обзор её возникновения и развития.
Функция влияния - основополагающее понятие в физике, использующей математические средства для описания физических явлений и законов. При описании разнообразных физических свойств это понятие для физиков незаменимо ничем в условиях, когда о среде изначально ничего не известно. В условиях достаточно регулярных сред, допускающих использование процедур дифференцирования и аппарата математической физики, функция влияния в канонических ситуациях совпадаете функцией Грина —важнейшим средством математического моделирования. К сожалению, вначале XX века функция влияния выпала из внимания математической физики, поскольку ее заменил другой математический объект - функция Грина.
В данной работе дается математически корректное описание функции влияния для заведомо нерегулярной среды — упругого континуума с локальными (типа дельта функций) аномалиями как во внешней нагрузке (сосредоточенные силы и массы), так и в наружной реакции (по примеру сосредоточенных упругих опор по типу пружинок). Поэтому построение и анализ функции влияния исследуемой задачи — яркий пример создания математического средства изучения моделей, когда прежние канонические методы математики оказываются не эффективными. Кроме того, изучаемая в работе физическая система не допускает в принципе описания с помощью обычных дифференциальных уравнений. В диссертации используется нетрадиционный для математической физики интеграл, а именно — интеграл Стилтьеса, и описание напряженного состояния объекта осуществляется не привычным для математиче- ской физики дифференциальным уравнением второго порядка, а интегро-дифференциальным уравнением с интегралом не Римана (или Лебега), а Стил-тьеса.
С давних времен функция влияния (функция источника, функция отклика) стала у физиков одним из наиболее эффективных средств описания взаимосвязи разных сторон сложных явлений. Определяемая как отклонение h4(x) точки х исследуемой системы под влиянием единичного возмущения в точке , эта функция позволяет задать состояние всего объекта в виде «(*)=Ы*)/(#К. 0) где интеграл берется по области, вдоль которой распростерт исследуемый объект, а /(
В начале XX века в задачах математической физики функция влияния приобрела облик функции Грина, введенной сначала для задачи Штурма-Лиувилля ~(ри') +qu = Amu, (2) и(0) = и(1)=0. (3)
Обращая, оператор
,(«) = -(/>"')' + *" (4) при краевых условиях (3) с помощью интегрального оператора (Gf)(x)=JG{x,s)f(s)ds, (5) получим функцию Грина G(x,s).
Почти сразу усилиями Тамаркина понятие функции Грина было распро- странено на более общие задачи старших порядков. Далее теория функции Грина была развита на основе аксиоматического подхода к определению самой функции Грина, который крайне затруднил анализ конкретных физических задач. Трудности, вызванные аксиоматическим подходом к изучению функции Грина, были настолько серьезными, что, например, М.Г. Крейн основывал доказательство осцилляционных свойств собственных колебаний стержней на изучении функции влияния, а не функции Грина.
Оператор (4), известный физикам как оператор Шредингера, оказался востребован в середине XX века для анализа в случае сингулярных особенностей потенциала q(x), возникающих в виде (например) производных от скачков, называемых по физической терминологии дельта-взаимодействиями (8-функциями). На чисто описательном уровне математическую постановку соответствующей задачи (2) — (3) удалось осуществить созданной для этого теорией обобщенных функций (распределений) Шварца-Соболева. Подобный обобщенный подход не позволял провести достаточно глубокий анализ, не приближая математические выкладки к физически интерпретируемым свойствам той же функции влияния. Причиной сложившейся ситуации являлось то, что для дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами отсутствовала какая-либо параллель с классическими теоремами анализа с поточечным дифференцированием.
Сравнительно недавно доступ к поточечному анализу задачи типа (2) — (3) с обобщенными коэффициентами был разработан Ю.В. Покорным и его учениками путем распространения на дифференциальные уравнения производных типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Для этого уравнение (2) представляли в виде d , Л dQ JdM\ ——(ри) +—м = Я и, (6) dcrKy } da {da) ' V J где — соответствующая производная по мере, a Q и М — функции ограни- ченной вариации. Этот новый подход потребовал развития понятия функции влияния, так как в литературе отсутствует математически точное ее определение для решения нерегулярных задач.
В этих задачах форма и(х) одномерного нерегулярного континуума определяется минималью потенциальной энергии (относительно виртуальных форм и(х)) І і /2 / ф(м) = + \—dQ~ \udF->min . (7)
В (7) интегралы берутся по Риману-Стилтьесу, Q и F имеют ограниченные вариации. Точного определения функции влияния, позволяющего аналогично (5), записать реальную форму и{х) из условия (7) в виде и{х) =\К (x,s)dF(S), (8) не было.
Родственные задачи под названием «нерегулярной стилтьесовской струны» ранее изучались М. Г. Крейном в виде <(х) = «:(0)-Я ju(s)dM(s)y где и' (х) — правая производная и и'_ (0) — фиктивное значение левой производной, причем внешним символом этого уравнения была запись dM Последняя запись ранее была введена Феллером при изучении задачи рассея- гт d<ния. При этом символ трактовался напрямую конструктивно, т.е. пределом dM соответствующего разностного отношения. Эти два уравнения были расширены Ю.В. Покорным и его учениками до более сильной формы (6). Однако построение и анализ функции влияния ими не проводились.
Центральными объектами исследования в диссертации являются функ- ция влияния и интегро-дифференциальное уравнение с интегралом Стилтьеса. Эти объекты имеют чисто физическую природу и являются новыми математическими методами моделирования.
Более конкретно в диссертации изучается математическая модель (7), (8) без применения обобщенного дифференцирования по мере, как это делается в работах Ю.В. Покорного и его учеников [31], [32], упрощая, тем самым математический аппарат и делая значительно более наглядным изучаемые свойства. Поэтому проведенное в работе исследование нестандартных для математики физических систем является совершенно новым направлением, а, по сути — разработкой новых математических методов анализа нестандартных математических моделей.
Для дальнейшего развития метода [35] функции влияния в математическом моделировании автором были выделены и решены следующие частные задачи.
1. Построена и изучена функция влияния для математической модели, опи сывающей минимизацию функционала энергии для неоднородной струны
Ф(и)~>тіп (9)
2. Для этой задачи построено интегро-дифференциальное уравнение, моделирующее напряженное состояние нерегулярного упругого континуума *. -{pu'){x)+]udQ = F(x)-F(0)-(Pu')(0). (10)
Проведено вариационное обоснование адекватности математической модели относительно натурального физического объекта.
Исследованы свойства математической модели функции влияния и ее специальные оценки, обеспечивающие сходимость разнообразных приближенных методов и их точности.
Показана усиленная положительность интегрального оператора, обращающего (10) при естественных условиях закрепления концов, что эффективно при построении математических моделей.
Показана возможность прогнозировать разрешимость нелинейной задачи - (ри'Хх) + \udQ = X \
Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается корректным применением апробированного математического аппарата — математического и функционального анализа, вариационного исчисления, теории однородных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений. Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, изложены в виде теорем, снабжёнными точными подробными доказательствами. Обоснование математической модели проведено реализацией классических вариационных идей на нестандартном для математики объекте. Построение и изучение функции влияния осуществлено корректным применением апробированных методов анализа, существенно модифицированных для преодоления трудностей, порождаемых особенностями объекта. Разработанные для решения поставленной научной задачи новые средства, внешне аналогичные классическому дифференциальному исчислению с использованием интеграла Стилтьеса, имеют прототипы и аналоги в классической теории упругости и механике деформируемых твёрдых тел.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес при изучении любого нового класса краевых задач физической природы, поскольку они интересны и значимы с физической и инженерной позиций, а также могут быть использованы при чтении курсов «Инженерные сооружения в транспортном строительстве» и «Строительная механика». Полученные в работе результаты представляют научный, эвристический и методологический интерес.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Ставропольского института экономики и управления (филиал ПГТУ), на VII, VIII региональных научно-технических конференциях «Вузовская наука — Северо-Кавказскому региону» (2003, 2004г.), на V, VI Международных конференциях «Циклы» (2003, 2004г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы в теории функций и смежные проблемы» (2005), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVI» (2005), на расширенном заседании кафедры прикладной математики Северо-Кавказского государственного технического университета.
Результаты исследования нашли отражение в семи публикациях автора [46-52], из которых три в центральной научной печати, а также в научно-методических рекомендациях, которые внедрены в образовательный процесс Ставропольского института экономики и управления.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, списка цитируемой литературы из 52 наименований и содержит 111 страниц.
На защиту выносятся следующие положения:
1) методы построения математической модели нерегулярных упругих континуумов типа стилтьесовских струн в виде интегро-дифференциального уравнения -(pu')(x)+ludQ = F(x)-F(0)-(pur)(0), моделирующего напряженное состояние объекта; вариационное обоснование адекватности математической модели относительно натурального (физического) объекта типа стилтьесовской струны; точное определение функции влияния, как математической модели изучаемого объекта на основе его вариационной природы и доказательства, открытых автором свойств этой модели; методы расчета главной собственной частоты и отсутствие внутренних узлов у соответствующей амплитудной функции (стоячей волны) для спектральной задачи -(ри')(х)+ \udQ = A.[udM, и(0)-«(1) = 0, соответствующей проблеме о собственных колебаниях для рассмат риваемого физического объекта;
5) условия монотонной зависимости от частоты (Л = ю2) соответствую щей собственной функции ия (х) и сходимость при фиксированном Л к этой собственной функции итерационного процесса для нелинейной спектральной задачи.
Основное содержание работы.
Во введении обоснована актуальность диссертационных исследований, делается краткий литературный обзор, сформулирована цель работы, изложены основные результаты проведенных исследований, показана их научная новизна, теоретическая и практическая значимость, указаны основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе приводятся примеры механических систем типа стилтье-совских струн и необходимые понятия, и факты из современного анализа и теории краевых задач.
Во второй главе строится и исследуется интегро-дифференциальное уравнение ри'(х)= ju(s)dQ(s)~F(x) +const (12) в предположении, чтор, Q и F— функции ограниченной вариации, а штрих означает обычную производную. Решения будем искать в классе абсолютно непрерывных функций, производные которых имеют ограниченную на [0,1] вариацию.
Генезис такого уравнения объясняется в 1 для случая, когда уравнение (12) имеет физическую природу и возникает из задачи минимизации функционала энергии для упругого нерегулярного континуума. В работах М. Г. Крейна и других авторов, где впервые для анализа физических задач был привлечен интеграл Стилтьеса, подобный объект (при Q = 0) был назван стилтьесовской струной под влиянием знаменитой работы Стилтьеса об упругой нити с бусинками.
Во втором параграфе дается точное описание уравнения (12) и устанавливаются условия его разрешимости в виде аналога теоремы Коши-Пеано.
Теорема 2.2.1. При любых ий, v0 и любой точке х0 е[0,1]^ уравнение (12) имеет решение, определенное на всем [0,1] и удовлетворяющее условиям "(*о) = и0, u'(xQ) = v0, (13) причем это решение единственно.
В третьем параграфе изучаются свойства определителя Вронского, и доказывается, что размерность пространства решений однородного уравнения /?и'(дг)- \u{s)dQ{s) +const равна двум.
В четвертом параграфе второй главы изучена непрерывная зависимость решения интегро-дифференциального уравнения от параметра X, если начальные условия зависят от этого параметра.
Теорема 2.4.2. Пусть и% - решение уравнения {pu%x)^)u(s)dQl(s) + ^l(Z)ju(s)dQ2(s)-(Fl(x) + ^2(l)F2{x)) + const при начальных условиях \\ (И) при некотором х0є[0,і]5. Тогда их непрерывна по X вместе с У$х,\у2 и непрерывно дифференцируема поX вместе с yv\\f2.
В третьей главе изучается аналог стандартной краевой задачи ри'(х)= ju(s)dQ(s)-F(x) + const, о 05) w(0) = w(l) = 0.
В первом параграфе вводится (на базе вариационной природы задачи) и изучается функция влияния задачи (15).
Функцию двух переменных, заданную на квадрате [0,l]x[0,l], назовем функцией влияния задачи (15), если ее решение можно представить в интегральном виде и(х)= JG(x,s)dF(s) для любой функции F(x), имеющей конечную на [0,1] вариацию.
Теорема 3.1.2. Функция влияния задачи (15) существует, непрерывна и имеет вид G(xts) = zJx)z.(s) pW(s) zl(x)z1(s) pW(s)
, 0 , 0<* Во втором параграфе вводится и изучается аналогичное классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений свойство неосцилляции «однородного» уравнения ри'(х)= ju(s)dQ(s) + pur(0). Уравнение (16) назовем неосциллирующим на [0,1], если всякое его решение имеет на [0,1] не более одного нуля. Теорема 3.2.3. Если однородное уравнение (16) не осциллирует на [ОД], то существует такое положительное решение ф(х) уравнения (16), что справедливо равенство pu'{x)-\u{s)dQ{s)+F{x)=p В третьем параграфе главы III изучаются положительные решения уравнения ри'(х)= \u(s)dQ(s)~F(x) + const (17) при неубывающей F(x). Теорема 3.3.1. Пусть уравнение pu'(x)= \u{s)dQ(s) + const (18) не осциллирует на [0,1]. Тогда любое нетривиальное и неотрицательное на (0,1)решение и(х) уравнения (17) не имеет нулей в (0,1), т.е. и(х)>0 на (0,1). Приэтом и'(0)*0(«'(1)*0), если и(0) = 0(и(1) = 0). В четвертом параграфе главы III получены некоторые оценки функции влияния задачи (15). Лемма 3.4.1. Найдутся такие суммируемые функции a(s) и P(s), что при почти всех 5є(0,і) ипривсех *є(0,і) справедливо неравенство и0(х) В силу этого утверждения интегральный оператор і (Az)(x)= JG(x,s)z(x)dM(s) оказывается сильно положительным и вполне непрерывным при действии из пространства BF[0,1] функций ограниченной на [0,1] вариации в банахово пространство Ещ функций н(дг)єС[0,і] с конечной ы0-нормой: = sup «(0.1) и0(х) ' Основополагающая роль оператора А определяется тем, что уравнение z(x) = X(Az)(x) адекватно спектральной задаче - (pu')(x) + \u(s)dQ(s) = Л \u(s)dM(s) + const, и(0) = и(\) = 0 при X — га2, возникающей в проблеме о собственных гармонических колебаниях нерегулярного континуума с произвольным распределением масс М(х). В силу приведенных выше оценок функции влияния к оператору А применима общая теория конусов М.Л. Красносельского [21] — [24], что приводит к следующему свойству Теорема 3.5.1. Пусть М{х) возрастающая на [0,1] функция. Ведущее собственное значение спектральной задачи - {ри'){х) + ju(s)dQ(s) = X ju(s)dM(s) + const, и(0) = н(1) = 0 является простым и положительным значением, которому отвечает положительная собственная функция. В четвертой главе обсуждается вопрос существования и единственности нетривиального решения (при X > 0) у нелинейного интегро-дифференциального уравнения -(pu')(x) + )u(s)dQ(s) = x)f(u(s))da(s)-~(pu')(0)i (20) где ct(s) - строго возрастающая функция, f(u) - вогнутая, р(х) - строго положительная на [0,1] функция ограниченной вариации, a Q(x) не убывает на [0,1]. Теорема 4.1.1. Пусть однородное уравнение (16) не осциллирует на [0,1] и функция /(и) не убывает при и > 0. Пусть при и > 0 функция у (и) строго убывает. Пусть /(0)-0. Пусть, наконец, определяемый функцией /(h) оператор суперпозиции [Fu](x)=)f(u(s))d Тогда множество Л значений Х>0, при которых задача -(pu%x) + )u(s)dQ(s) = x)f{u(s))da(s)-(pu%0)y 0 0 Vі'J н(0) = м(1) = 0 имеет хотя бы одно нетривиальное решение в конусе К, обладает следующими свойствами: а) Л непусто и совпадает с некоторым интервалом (Х^Х^) при б) каждому X є Л отвечает лишь одно решение их (х) є К краевой зада чи (21), причем lim 11//,11 = 0, lim ||и,[І = оо; в) функция uk(x) монотонна по X: (V^)[\W"«J#0 (0<* Под струной будем понимать непрерывную нить, упруго реагирующую на растяжение и не реагирующую на изгиб. Считая струну натянутой вдоль отрезка [0,/], обозначим через u(s) деформацию (смещение) точки s. На участке приращение длины струны равно sjl + u 2(s)ds-ds = Ul + u 2(s)-l\ds, и по закону Гука упругая реакция элемента [J,J + &] пропорциональна растяжению, и поэтому равна p(s) jl + uf2(s)-l}ds, где p(s) - коэффициент упругости струны. Заметим, что с физической точки зрения естественно считать, что p(s) О при л є (О,/). Если прогиб струны вызван лишь внешней силой интенсивности f(s), то на элемент [s,.s + ufc] действует также сила f[s}ds. Затраченная этой силой работа равна Г/(.У) &1И(.Ї) (произведение силы на путь). Поэтому энергия, накапливаемая элементом струны длины dst равна Если бы струна приняла форму, определяемую функцией и (s), то в целом на [О,/] се потенциальная энергия равнялась бы U(и) = / ( )( Vі + и 2 М -1) - и W/W] . (1.2.1) Предположим, что струна закреплена на концах. Математически условия закрепления концов струны означают, что и(0) = и(/) = 0 (т.е. точки х = 0 и х = 1 не смещаются). В силу принципа Лагранжа реальная деформация струны и0(-) решает задачу о минимизации функционала U{u) с условиями . 2 _.»4 м(0) = и(/) = 0. Так как Vl + « 2-l , то с точностью до членов 2 о четвертого порядка малости вместо (1.2.1) имеем /(„)= J О p{s)(A L_u{s)f{s) ds. (1.2.2) При малых деформациях струны обычно принимается именно эта формула. Итак, пусть и0-»тіп/(и), где через К мы обозначим множество гладких функций и (гипотетических деформаций струны), удовлетворяющих условиям и (О) - и (/) = 0. Заметим, что щ є К. Тогда для всех иєК справедливо неравенство и(щ) и(и). (1.2.3) Пусть h - произвольная функция из К. Следуя вариационной технике, введем скалярную функцию iph(X) = V(uQ + Xh). Заметим, что м0 + Х.йєК. Тогда из (1.2.3) следует, что значение Х = 0 дает минимум Ц Н(Х). Если при этом функция фА {X) окажется дифференцируемой в нуле, то должно быть d ФАМ dX = 0. А.=0 Проведенное рассуждение справедливо при каждом h. В нашем случае Фй (X) = Xі )p ds + X ){ри[И - hf)ds + ( f- - uj ds. (1.2.4) Очевидно, что функция (1.2.4) дифференцируема по X. Приравняв производную функции ФЙ(Х) в точке А, = 0 к нулю, получаем \(pu[h -hf)ds = $. (1.2.5) о Преобразуем второе слагаемое в (1.2.5) интегрированием по частям. s Полагая \f{t)dt = M(s), имеем о \hfds = jhdM(s) = [hM] Q - \Mh ds. 0 0 о Так как AGG,TO [/ZA/]0 = 0. Подставив полученное выражение в (1.2.5), имеем Д/?и0 + МрЛ& = 0 (1.2.6) о при всех Л є К. В силу произвольности Л є К из леммы Дю-Буа-Реймонда (см. [33]) следует, что ри 0 +М = const. (1.2.7) Продифференцировав (1.2.7) (что возможно в силу дифференцируе мости функций Ми константы), получим Пусть , и Е2 — линейные пространства и пусть L — линейный (аддитивный и однородный) оператор, действующий из , «на» Е2 (т.е. LEjZ E2). Назовем оператор L обыкновенным оператором, а уравнение вида Lu = f (/є2) (1.2.9) обыкновенным уравнением, если корневое пространство N(L\ = iu:Lu = 0\ конечномерно и имеет размер п (dim Лґ() = nj. Определение. Базис пространства N(L) называют фундаментальной системой решений уравнения Lu=0. Пусть уравнение (1.2.9) дополнено условием /(М) = /І(/ІЄЛ"), где / конечномерный линейный оператор, 1:Е1 Д", т.е. / определяется набором функционалов {ixJ2 — L} из Щ- Пару Lu = f, /(м) = А (1.2.10) будем называть краевой задачей. Отметим, что все рассмотренные в предыдущем пункте задачи могут быть представлены в виде (1.2.10). При описании физических систем в большинстве случаев не приходится рассчитывать на предварительную гладкость связей и, более того, довольно часто рассматриваемые связи не являются непрерывными. Достаточно типичным примером таких ситуаций являются импульсные и другие внешние воздействия, при которых у производных могут быть скачки и другие аномалии. В таких случаях удается провести анализ системы, если вместо непрерывности предполагать ограниченность их вариации, другими словами, ограниченность их полного изменения. Важнейшим примером таких зависимостей являются монотонные функции. Функция f{x), определенная на отрезке [а,Ь], называется функцией ограниченной вариации (или конечной вариации), если существует такая постоянная С, что каково бы ни было разбиение отрезка [а,Ь] точками a = xQ Ху ,.. хп =Ь выполнено неравенство ї}/(хш)-/М\їС. (1.4.1) В этом случае точная верхняя грань сумм (1.4.1) по всевозможным конечным разбиениям отрезка [а,Ь] называется полной вариацией функции/на отрезке [а, Ь] и обозначается через Кай (/): (/НирЁ/( .)-/Ы Простейший пример функции ограниченной вариации - это монотонная на [а,Ь] функция. Каждая функция с конечным на [а,Ь] изменением ограничена на этом отрезке. Отметим, что функции ограниченной вариации образуют линейное пространство, которое обычно обозначают BV\a,b\ (или просто BV, если ясно о каком отрезке идет речь) (см., например, [13]). Между монотонными функциями и функциями ограниченной вариации существует тесная связь, а именно справедлива Теорема Жордана. Всякая функция ограниченной вариации может быть представлена как разность двух неубывающих функций. Множество S(f) точек разрыва функции /ограниченной вариации не более чем счетно. Всякая функция ограниченной вариации имеет почти всюду конечную производную. Всякая непрерывная функция ограниченной вариации представима в виде разности двух непрерывных неубывающих функций. Теорема (см. [17, 31]). Всякую функцию ограниченной вариации можно представить в виде суммы функции скачков и непрерывной функции ограниченной вариации. Множество A a [a,b] назовем множеством меры нуль, если для произвольного s 0 найдется система интервалов {(at,6t)l такая, что Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду на [а,Ь], если оно справедливо для всех точек кроме некоторого множества меры нуль. Теорема Лебега. Монотонная функция/, определенная па [а,Ь], имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную. Определение. Функг ия f заданная на некотором отрезке [а,Ь], называется абсолютно непрерывной на нем, если для любого є 0 существует такое 5 О, что, какова бы ни была конечная система попарно непересекающихся интервалов l(ak,bkj\ такая, что jt=i выполнено неравенство І\АКУ/М\ г. k=0 Всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. В качестве примера приведем функцию, называемую «канторовой лестницей». Для этого рассмотрим на отрезке [0,1] канторово множество F, которое строится следующим образом. Обозначим , а оставшееся (\ г\ через F0 отрезок [0,1]. Исключим из него интервал — ,— \3 Ъ ; —,— и І9 9) замкнутое множество обозначим F{. Затем исключим из Fy интервалы —,— , а оставшееся замкнутое множество (состоящее из четырех отрезков) \9 9) ҐіЛ2 длины и т.д. Продолжая этот процесс, получим убывающую обозначим F2. В каждом из этих четырех отрезков исключим средний интервал 3; последовательность замкнутых множеств Fn. Положим F = П Fn. Множество F называется канторовым множеством. Множеству F принадлежат, очевидно, точки J_ 2 J_ 2 7 8 3 3 9 9 9 9 называемые точками первого рода (эти точки являются концами выбрасываемых интервалов). Остальные точки множества F называются точками второго рода. Определим «канторову лестницу»/сначала на смежных интервалах канторова множества, положив Л ) = = 1,2,3,...,2 , на к-м смежном интервале «-го ранга (включая и его концы) /W = -при- -, j{x)=— при — —, W 4 9 9 /( ) = -при- и т.д. Таким образом,/определена на отрезке [0,1] всюду, кроме точек второго рода «канторова множества». Доопределим теперь /в этих оставшихся точках следующим образом. Пусть ґ — одна из таких точек, и пусть {tn] - сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода. Тогда существует предел limf(0; аналогично, существует и предел lim/(), если [t n] убывающая последовательность точек первого рода, сходящаяся к t , причем эти пределы равны между собой (строгое обоснование можно найти в [31, 45]). Приняв это общее значение за /( ), получим монотонную функцию, непрерывную на всем отрезке [0,1]. Построенная функция не является абсолютно непрерывной функцией. Отметим, что всякая абсолютно непрерывная функция является функцией ограниченной вариации, следовательно, почти всюду имеет производную. Кроме того, справедлива Теорема. Если производная абсолютно непрерывной функции f(x) почти всюду равна нулю, mof(x) тождественно равна константе. Множество абсолютно непрерывных функций в пространстве функций ограниченной вариации образуют линейное подпространство в BV. Обозначим через S(y) множество точек разрыва функции у{х). Для каждой функции ограниченной вариации S(y) не более чем счетно. Положим S = S(P)KJS(Q)VS{F). Обозначим через [Q,\]s множество, полученное из отрезка [0,1] заменой каждой точки і;є парой {-0, + 0}, при этом положим по определению х -0 +0 у для любых х, у, удовлетворяющих неравенствам х , у. Формальная замена точки , напару {і;- 0, + 0} может быть обоснована строго математически. Обозначим через Js отрезок [0,1], из которого исключено множество 5", т.е. У5 = [0,1]\5". Рассмотрим случай счетного S = {x1,x1,...}. Каждой точке и Х припишем число пп =— и положим +1 « + ХА« ПРИ ;( )= хп х х„ .х О при д:=0. Введем на Js метрику равенством а(х,у) = а(у х) = ;(у + 0)-с,(х-0) для х у. По этой метрике Js оказывается неполным. В самом деле, пусть Tt = хп при каком то фиксированном п. Так как К то {чЛ — фундаментальна по метрике а(х,у), причем r\k предела в Js не имеет. Пополнение Js по метрике с(х,у) обозначим через [0,1]у. Рассмотрим формальное объединение [0,l]s с 5, при котором окрестность І; — 0 2; i; + О для каждой Е,єS, обозначим через Rs. В этом множестве точки из S как бы вставлены на прежние места, но теперь они обрамлены с боков уже собственными в Rs элементами — 0, + 0, а не символами предельных переходов в этих точках, как было ранее. Всюду далее, мы предполагаем выполнимость следующих условий: 1) р(х), Q(x) и F(x) являются функциями ограниченной вариации; 2) minp(x) 0. [од], Обозначим через Es множество абсолютно непрерывных функций, производная каждой из которых имеет конечное изменение. Будем рассматривать введенное выше дифференциальное уравнение ри (х)= ju(s)dQ(s)-F(x) + const. (2.2.1) Уравнение (2.2.1) задано на [0,l]s, причем в каждой точке є5 уравнение принимает вид -Л(рИЖ) + и(4)ДЄ(3 = AF( ), (2.2.2) где Ау{ц) = у(і\ + 0)-у{х\ — 0) -скачок функцииу(х) в точке т\. Реіііением уравнения (2.2.1) будем называть любую функцию из Es, которая удовлетворят (2.2.1) на [0,l]s. Теорема 2.2.1. При любых и0, v0 и любой точке 0є[0,і]5 уравнение (2.2.1) имеет решение, определенное па всем [0,1] и удовлетворяющее условиям и(х0) = щ, u (xQ) = v0, (2.2.3) причем это решение единственно. Доказательство. Уравнение (2.2.1) с учетом условий (2.2.3) эквивалентно следующему уравнению х , / u(x) = z(x)+ Г \udQdt p(t) (2.2.4) при z(x)=Uo+ tPibK-m+FM (2.2.5) Таким образом, задача (2.2.1), (2.2.3) эквивалентна вопросу о разрешимости уравнения вида и- АиЛ-z с оператором (Аи){х)=)-±- (u(s)dQ(s) J P(t) J ґ, \ dt. (2.2.6) Для доказательства разрешимости уравнения и — Au+z покажем, что для любого натурального п справедливо неравенство ГДЄ А"и\\ \\и\\, п\ C = - S1 с0 = щіп/ ( )], и(д:)єС[0Д] и - нормав C[0,l]. Доказательство проведем по индукции. При п = 1 имеем \(Аи)(х)\ (2.2.7) и j\Q(t)-Q(x0)\dt СН-х-х0. » Откуда и следует (2.2.7) при п = 1. Предположим, что утверждение верно при п = к. справедливость при и = к +1. Последовательно имеем Покажем его \(Ак+1и)(х)\ )-ут /( aX SW / ) ls — x, «I I J -Лщм dt i+l № ck c0 k\ K(Q) j\t-x0\kdt o С + !)! u\\-\x xn l +l что и доказывает (2.2.7) при п = к +1. Из определения оператора А (равенство (2.2.6)) следует, что функция (Лср)(х) непрерывна для любой непрерывной р(х). Поэтому определена последовательность непрерывных функций n(x) = z{x) + {A n_l)(x), где ф0(х) — произвольная непрерывная функция. Рассмотрим формальный ряд ФО( ) + ( РІ( )-ФО( )) + - + (ФП+І( )-ФП( )) + -"- (2.2.8) При любом натуральном п в силу неравенства (2.2.7) имеем фп+1 - Ф„ = [ЛЧф - Фо)[к—ГІФі - Фо Откуда следует, что ряд (2.2.8) сходится равномерно. Обозначим его сумму через и (х). В равенстве (pnA(x) = z(x) + (Ayn)(x), переходя к пределу при п— со, будем иметь u(x) = z(x) + (Au)(x). Покажем единственность решения. Пусть существуют два решения и(х) С" 1 и и" (х). Выберем и так, чтобы выполнялось неравенство — —. Тогда и! 2 Но последнее возможно лишь в случае, когда и (х) = и"(х). Принадлежность неподвижной точки и (х) пространству Es непосредственно следует из вида правой части уравнения (2.2.4). Свойства решений однородного уравнения В этом параграфе рассматривается однородное уравнение ри (х)= $u(s)dQ(s) + const, (2.3.1) о когда в уравнении (2.2.1) F(x) = const. Теорема 23.1. Прилюбом ,х0є[0,і] двум начальным задачам u(xQ) = 0, u (xj=\ (2.3.2) и и(х0) = \, u (x0) = Q (2.3.3) отвечают линейно независимые решения уравнения (2.3.1). Все пространство решений (2.3.1) исчерпывается ихлинейной оболочкой. Доказательство. Обозначим через ф,(х) и ф2(х) решения уравнения (2.3.1), удовлетворяющие начальным условиям (2.3.2) и (2.3.3) соответственно. Рассмотрим линейную комбинацию аФі(х) + рФ2(л:) = 0. (2.3.4) При х = х0 равенство (2.3.4) примет вид афі( о) + Рф2( о) = -Откуда следует, что р = 0, и (2.3.4) можно переписать в следующем виде Поэтому и вследствие (4.1.7) функция z{t) = f(u(x))-\x0f(v(x)) положительна на множестве полной меры из [0,1]. Отсюда и из сильной положительности линейного интегрального оператора А с ядром G(x,s) вытекает, что (Az)(x) 0 на [0,1], т.е. при некотором у0 0 имеет место (Az)(t) у0 0 на [0,1]. Последнее означает, вследствие (4.1.6), что [u(x) Qv(x)] = (Az)(x) Xy0 0 (0 х 1). Значит, и(х) Хуп v(x) \\v\\ что противоречит определению (4.1.5) числа р0. Таким образом, при каждом Х 0 задача (4.1.3) имеет не более одного решения в К, что доказывает первую часть свойства (б). Покажем теперь, что множество Л непусто. Для этого достаточно показать, что хотя бы при одном А, 0 существует нетривиальное решение уравнения и = XGu, где G — оператор, определяемый равенством (Gu)(x) = ([AF]u)(x)= lG(x,s)f(u(s))d j(s). (4.1.8) о Рассмотрим оператор С "=РЩ Со( ИД = ОЛ,2,...). Здесь норма понимается в смысле пространства С[0,1]. Оператор G в условиях теоремы действует и вполне непрерывен в С[0,1], причем G оставляет инвариантным множество К неотрицательных непрерывных функций. Так как К?и + /0 /0=1 при и(х) О, то оператор Gk также вполне непрерывен на АГ. Кроме того, Gk преобразует все множество К в единичную сферу С[0,1]. Поэтому Gk оставляет инвариантным множество S+ функций и(х)єК для которых « 1. Это множество очевидным образом замкнуто, выпукло и ограничено. Вследствие принципа Шаудера у Gk существует в S+ неподвижная точка uk : Gkuk = ик. Переписывая это равенство с помощью оператора G: (Guk)(x) + = vkuk(x) (4.1.9) Gut+ при \хк , вследствие \\и\\ = 1 и компактности оператора G имеем, что последовательности {ц. } и {р,4} компактны. Если последовательность {цЛ окажется ограниченной снизу положительной константой, то последовательность [ик] так же окажется компактной. Переходя в этих последовательностях к сходящимся подпоследовательностям и производя их перенумерацию, будем иметь вместо (4.1.9) Guk+akl0=\ikuk (4.1.10) при н «0, ак -І0 и - ц0 0. Теперь, переходя в (4.1.10) к пределу, получим GM0 = I0W0. Таким образом, нам остается показать, что последовательность {[ik] ограничена снизу положительным числом. Пусть inf{//t} = 0. Тогда можно считать, что / 0 и что справедливо (4.1.10) при ак І0. Из (4.1.10) вытекает, что ик(х) 0 на [0,1]. Поэтому П=тіп«Дх) 0. (4.1.11) А так как \\ик = 1, то ук 1, причем если бы ук = 1 при некотором к, то ик (х) = 1 и Guk = (p.fe оік)ик, т.е. доказательство непустоты Л на этом бы кончалось (предположение ук = I не связано со сделанным предположением от противного о том, что inf{//A}=0). Значит, можно считать ук \. Так как функция — - - убывает, то и їк А из неубывания f{u) и неравенства ик{х) ук вытекает Перейдем теперь к доказательству свойства (а). Непустота Л нами доказана. Покажем связность Л. Пусть / єЛ и Л1 Л2. Покажем, что Л содержит весь отрезок [ ,Я ]. Действительно, если Aef/ ,/ ] и H,(,X:),W2(.X) — решения задачи (4.1.3), отвечающие \ и / соответственно, то монотонный оператор Gxu = XGu з удовлетворяет неравенствам Gkux= — и, н, и Али2 и2, т.е. Gx оставляет А? инвариантным множество функций {и(х):и1(х) и(х) и2(х)} являющееся ограниченным выпуклым замкнутым подмножеством в пространстве С[0,1]. Из полной непрерывности G следует, что для Gx в этом множестве существует неподвижная точка ил, что, в свою очередь, означает их = ZGuA. Значит, Л —связное подмножество из R . Положим Л0 = тїА и w = supA. Имеем Лс[ , ,]. Для завершения доказательства (а) необходимо показать, что Л Л Я ]. Покажем, что - ёЛ. В предположении противного для Ло существует решение и (дг) задачи (4.1.3). Вследствие доказанного выше свойства в) для любого другого решения ил (х) задачи (4.1.3) должно быть я 1, т.е. Цн, и 0 и функция ия не МЛ \х) может принимать как угодно малых значений. Аналогично показывается, что Ям Л. Свойство (а) полностью доказано. Так как функция ]ид своими значениями заполняет (0,оо), то из (а), (в) и монотонности нормы в С[0,1] следует, что «я—»0 при Я — 0 и ид— оо при Я - со. Тем самым полностью доказано и свойство (б). Перейдем к доказательству (г). Пусть Я є Л и и (х) — соответствующее решение (4.1.3). Пусть v0( ) — произвольная неотрицательная функция. Покажем, что последовательные итерации vn+l=Z Gvn, начатые с V0(JT), равномерно сходятся к и .Некоторые сведения из теории краевых задач
Функция ограниченной вариации
Аналог теоремы Коши-Пикара для интегро-дифференциального уравнения
Положительные решения
Похожие диссертации на Развитие метода функции влияния в задачах математического моделирования стилтьесовской струны
