Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамика вязкоупругих элементов пластины 13
1. Математическая модель 13
2. Решение аэрогидродинамической задачи 15
3. Описание численного метода решения 17
4. К вопросу корректности численного метода 27
5. Исследование динамической устойчивости 38
6. Обобщение на случай произвольного количества вязкоупругих элементов и произвольных типов их закрепления 54
7. Случай конечной и полубесконечной пластины 59
Глава 2. Динамика вязкоупругих элементов тонкого профиля 63
1. Математическая модель ; 63
2. Решение аэр о гидродинамической задачи 64
3. Описание численного метода решения и результаты его применения. 67
4. Аналитическое исследование асимптотической устойчивости 73
5. Обобщение на случай произвольного количества вязкоупругих элемен тов и произвольных типов их закрепления 78
Глава 3. Динамика вязкоупругих элементов крылового профиля 82
1. Математическая модель 82
2. Решение аэрогидродинамической задачи 83
3. Описание численного метода решения и результаты его применения . 84
4. Аналитическое исследование асимптотической устойчивости 89
5. Обтекание профиля, содержащего вязкоупругие элементы на верхней и нижней сторонах 93
6. Обобщение на случай нескольких вязкоупругих элементов на верхней и нижней сторонах 99
Глава 4. Динамика вязкоупругих элементов защитного экрана 101
1. Математическая модель 101
2. Решение аэрогидродинамической задачи 102
3. Описание численного метода решения и результаты его применения 106
4. Аналитическое исследование асимптотической устойчивости 115
5. Обобщение на случай произвольного количества вязкоупругих элемен
тов и произвольных типов их закрепления 118
Заключение 123
Библиографический список
- Решение аэрогидродинамической задачи
- Решение аэр о гидродинамической задачи
- Описание численного метода решения и результаты его применения
- Описание численного метода решения и результаты его применения
Введение к работе
Повышение надежности а увеличение сроков жсидуавадин коиструкдий, юаимодействук нп";х с потоком жадности ЇГШ газа, хвлмето.я isar-кіїоїї вародідх ХОЗХНЄГаЄННОЙ П;ХїбдЄМ"ОЙ. КеоблОДаЛХХЛЬ рЄ!.иЄОДХ ТаКО.Й ООООЛЄМВІІ ВОЗЯИКаЄТ,
ЇЇ частности, в адщфахетоетроенпи, тур6о-омпреееороо фоении, ирпборо--строении, ори проектировании антенных установок, датчиков дадяених, камер сгорания, резисторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, мостовых конструкции, трубопроводных систем к т.д.
Воздействие потока на деформируемые части конструкций может приводить к возникновению неустойчивых колебаний " и, тем самым, к кх разрушении ірис I). В связи с этим, при проекїТіроваїі ии конструкций, обтекаемых потоком жидкости или гад$, важное значение имеет исследование устойчивости и определение параметров, обеспечиваахних целостность конструкция ЇХ тем" самым, ИХ успешное ф\ЧПКШИ НИрОДаНИЄ.
ІХКІІ: ;хчх:ухругв\ КОЖОДХІ-Ш ЧІХХТІ 4 месяца лосле й»ода і хилут лопо Задача об исследовании динамической устойчивости может быть сформулирована так; при каких знанеанвх параметров, характеризующих систему «газ-тело» (к основным параметрам относятся, в частности, скорость потока о провоженные усилия, действу-оїхнє в связи с конструктивными особенностями) малым деформациям тела в начальный момент времени ;а будут соответствовать малые деформации ъ любой момент аременн / ;.,. Данный вопрос является сущеотненивім для многих зрикладнык тадз -:, опнсына.емк:з днфференни- альными уравнениями, так как часто важно знать не столько конкретные значения решения этих уравнений, сколько характер поведения решения при изменении времени, в частности, при его неограниченном возрастании. В то же время для функционирования некоторых технологических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэр о гидродинамическом воздействии, указанное выше как негативное, является необходимым.
Таким образом, проектирование различных конструкций, обтекаемых потоком газа (жидкости), приводит к решению задач, связанных с определением характеристик конструкций, позволяющих обеспечить надежность их эксплуатации и выполнение ими функциональных задач.
Под воздействием потока тонкостенные элементы могут изменять форму, что, в свою очередь, приводит к изменению поля скоростей и давлений жидкости (газа) около тела. Поэтому в теории аэрогидроупругости существенным является учет взаимного влияния деформаций тела и полей скоростей и давлений потока. В связи с этим, в задачах аэрогидроупругости используются методы механики деформируемого тела - с одной стороны, и методы аэрогидромеханики - с другой.
Теория аэрогидроупругости в настоящее время представляет собой хорошо развитый раздел механики сплошной среды.
Большие успехи достигнуты в исследовании динамики и статики несущих поверхностей. Результаты этих исследований нашли применение в авиастроении и турбо-компрессоростроении. Данной теме посвящены работы Белоцер-ковского СМ. [8-11], Гроссмана Е.П. [86], Кочеткова Ю.А. [8], Красовского А.А. [8], Келдыша М.В. [86], Марина Н.И. [86], Новицкого В.В. [8], Самойло-вича Г.С., Смирнова А.И. [111,112], Степанова Г.Ю. [113], Фершинга Г. [117], Фына Я.Ц.[120] и др. Существенным здесь является предположение о малой относительной толщине профиля, что позволяет применять линейную теорию течения.
При исследовании поведения упругих тел в потоке возникают более слож ные, в смысле движения и взаимодействия, модели, что обусловлено более сложной формой деформирования тел. В этих задачах предполагается малая толщина стенок, и при сопряжении решений для двух сред контактная поверхность отождествляется со срединной поверхностью. Это допущение вместе с предположением о малых возмущениях течения позволяет использовать линейную теорию движения жидкости (газа). Результаты, полученные в этом направлении, представлены в работах Алгазина С.Д., Амбарцумяна С.А., Антонова В.Н. [119], Багдасаряна Г.Е., Белубекяна М.В., Бисплингхоффа Р.Л. [12], Болотина В.В. [14, 121, 125, 135], Буйвола В.Н. [15], Вольмира А.С. [35-37], Гонтке-вича В.С.[41], Григолюка Э.И. [44-46], Губановой И.И. [104], Доуелла Е.Х. [128-131], Ильгамова М.А. [49, 77-79], Ильюшина А.А. [80, 81], Кийко И.А. [80], Лампера Э.И., Дж. Майлса [95], Мовчана А.А.[97, 98], Новичкова Ю.Н., Пановко Ю.Н. [104, 105], Фершинга Г. [117], Фролова К.В. [119], Фына ЯД. [120], Халфмана Р.Л. [12], Шандарова Л.Г., Швейко Ю.Ю., Эшли X. [12] и др.
Задачи взаимодействия деформируемых тел с жидкостью рассматривались также в работах С.В.Челомея [121], В.И.Феодосьева, В.А.Светлицкого, К.П.Андрейченко, Л.И.Могилевича [99, 100], Ю.Э.Сеницкого [110].
Поведение конструкций при набегании волн давления исследовалось в работах Бабаева А.Э. [48], Вестяка А.В. [34], Галиева Ш.У. [38, 39], Горшкова А.Г. [34, 42, 45, 46], Григогаока Э.И. [43-46], Гузя А.Н. [47, 48], Кармишина А.В. [84], Кубенко В.Д. [47, 48, 92], Мнева Е.И. [96], Перцева А.К. [96], Скурла-това Э.Д. [84], Старцева В.Г. [84], Тарлаковского Д.В. [34], Фельдштейна В.А. [84] и др.
Отметим также работы, посвященные задачам аэрогидроупругости [82, 101, 122] и вопросам расчёта, устойчивости и оптимизации деформируемых тел [2,5,6,88,121].
Существенное влияние на прочностные характеристики деформируемых тел оказывает старение материала (изменение с течением времени механических свойств). Хорошо разработана модель стареющего вязкоупругого тела, согласно которой напряжение в любой точке тела зависит от предыстории дефор мирования материала в данной точке, а связь между напряжением и деформацией подчиняется уравнению Вольтерра-Фойхта. Фундаментальные результаты в теории вяузкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел изложены в работах Александрова А.В. [1], Арутюняна Н.Х. [3, 4], Дроздова АД, [3, 19], Ильюшина АЛ, [80, 81], Качанова Л-М, [85], Клюшникова В.Д. [87], Колмаповско-го В.Б. [4, 19, 26], Колтунова МЛ. [90], Кравчука А,С, Майбороды В.П., Пальмова ВА. [103], Победри Д.Б., Постникова B.C., Потапова В.Д. [1], Работнова Ю.Н. [106-108], РжаницинаА.Р.,УржумцеваКХС. и др.
Исследования по устойчивости деформируемых тел при аэрогидродинамическом воздействии проводятся в течение двух десятилетий в Ульяновском техническом университете на кафедре "Высшая математика". Среди опубликованных членами кафедры работ отметим работы Вельмисова ПА., Решетникова Ю.А., Маценко ILK. и др. [16-33, 139, 147, 148].
Отличительной особенностью рассматриваемых в диссертации задач является учет вязкоупругих свойств (старения) тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Кроме того, в задачах аэрогидроупругости невозможно определить силовое воздействие потока на обтекаемое тело до решения задачи об определении деформации тела. Математически это выражается в том, что совместное движение тела и жидкости (газа) описывается связанной системой дифференциальных уравнений для функций деформаций и аэрогидродинамических функций. Все это увеличивает сложность решения соответствующих задач, не позволяет использовать стандартные для расчета деформаций упругих элементов методы и требует разработки специальных методов решения.
Выше сказанное позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.
Целью диссертационной работы является создание на основе математического моделирования математических методов исследования динамики и устойчивости некоторых деформируемых тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
1. Построение и усовершенствование математических моделей в задачах о динамике вязкоупругих элементов, обтекаемых дозвуковым потоком жидкости (газа), таких классов тонкостенных конструкций, как тонкие профили и защитные экраны.
2. Разработка методик решения обратных краевых задач аэрогидромеханики, позволяющих свести решение соответствующих задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций элементов.
3. Разработка аналитических и численных методов решения начально-краевых задач для этих уравнений и исследование на их основе динамики и устойчивости вязкоупругих элементов конструкции.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.
Первая глава посвящена задаче обтекания пластины, содержащей вязко-упругие элементы, дозвуковым потоком идеальной несжимаемой среды. Эта задача является базовой для рассматриваемых в диссертации задач, так как, несмотря на то, что объекты, рассматриваемые в других главах, будут иными, математические модели (уравнения и граничные условия), соответствующие этим задачам, окажутся подобными. В связи с этим, все сформулированные в первой главе принципы построения математической модели, методы численного решения и аналитического исследования являются общими для всех задач.
Во второй главе исследуется модель дозвукового бесциркуляционного обтекания тонкого профиля, содержащего вязкоупругие элементы.
В третьей главе на основе разработанных методов рассматривается задача дозвукового бесциркуляционного обтекания тонкостенной конструкции - модели крылового профиля, нижняя и верхняя части которого содержат вязкоупругие элементы
В четвертой главе исследуются колебания вязкоупругих элементов прямолинейной стенки, с одной стороны ограничивающей объём, заполненный жидкостью средой, с другой стороны обтекаемой дозвуковым бесциркуляционным потоком.
Количество и места расположения деформируемых элементов для всех задач произвольные.
Исследование задачи в каждой главе происходит по плану:
1. Построение математических моделей, отражающих расширенный спектр механических свойств исследуемых физических объектов и внешних воздействий Решение аэрогидродинамической задачи, основанное на методах теории функций комплексного переменного (ТФКП) и получение замкнутой системы уравнений для функций прогибов, не содержащей аэрогидродинамических функций,
2. Сведение задачи к интегро-дифференциальной системе методом Бубнова-Галеркина с последующим приведением её к векторному уравнению Вольтерра II рода.
3. Построение на основе численного эксперимента в плоскости (v,P) (скорость потока - сжимающее усилие) области асимптотической устойчивости решения,
4. Аналитический вывод с помощью методов обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенства Гронуолла-Беллмана оценки первого приближения решения и условий его асимптотической устойчивости. Сравнение полученных результатов с результатами численного решения.
5. Вывод (на основе методов обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенства Гронуолла-Беллмана) аналитических условий асимптотической устойчивости галеркинского приближения любого порядка,
В первой главе исследован вопрос корректности постановки задач (выведены условия на ядра релаксации, при которых решение задачи существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных и параметров задачи), и вопрос сходимости созданного численного метода (на основе численного эксперимента выявлено, что существует тенденция к сходимости галеркинских приближений). В первой главе, кроме того, проведен сравнительный анализ решений, полученных разработанным численным методом, с точными частными решениями и с численными решениями, полученными с помощью математического пакета Maple (в тех случаях, когда применение стандартных пакетов возможно). Результаты первой главы справедливы для всех рассматриваемых в диссертации задач.
В диссертационной работе используются методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, методы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, асимптотические методы и модели механики сплошных сред, численные методы, методы математического моделирования.
Для численного решения используется метод Галеркина и метод простых итераций.
В каждой главе принята своя двойная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер формулы в главе-До стоверн ость полученных в работе результатов обусловлена адекватностью построенных моделей классическим представлениям в механике сплошных сред, строгостью математической постановки задач и математических преобразований и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов, а также сравнением с работами других авторов.
Научная новизна работы заключается в том, что: 1, Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели в задачах о динамике вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций (тонких профилей различной конфигурации и защитных экранов), отражающие расширенный спектр механических свойств исследуемых объектов и внешних воздействий. В разработанных моделях проводится одновременный учет взаимодействия конструкций с дозвуковым потоком жидкости или газа, старения материала деформируемых элементов, а также влияния сжимающих (растягивающих) усилий и вязкоупругих оснований.
2. Разработана методика решения класса плоских задач аэрогидромеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции деформаций элементов, позволяющая исключить аэрогидродинамические функции и свести решение задач аэрогидроупругости к исследованию систем интегро-дифференциальных уравнений для деформаций.
3. Создай численный метод и соответствующие компьютерные программы, позволяющие проводить исследование динамики вязкоупругих элементов тонких профилей и защитных экранов. Исследован вопрос корректности постановки задач и сходимости численного метода,
4. Разработан аналитический способ исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов указанных конструкций, на основе которого получены условия асимптотической устойчивости.
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаимодействующих с потоком жидкости или газа упругих тонкостенных конструкций и соответствующих технических устройств, и тем самым сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях позволяют заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследований.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных, республиканских и межвузовских конференциях и школах: Международной конференции «Dynamical systems modelling and stability investigation» (Киев, 2001); 11, 12, 13 международных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2001, 2002, 2003); Международной конференции «Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроин-форматика в науке, технике и экономике» (Ульяновск, 2001 - 2005); 4? 5 научных конференциях «Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001» 2003); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - VIII (Воронеж, 2002); Международной конференции «Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации» (Ульяновск, 1999); XXXIII-XXXIX научно-технических конференциях УлГТУ (Ульяновск, 1999-2005);the XXVII Summer School "Application of Matematics in Engeneering" (Bulgaria, Sozopol, 2001); Conference of Applied and Industrial Materaathics (Romai, Pitesti, 2002),
Реализация результатов работы. Исследования, представленные в диссертации, внедрены в рамках проекта «Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии» (грант РФФИ № 98-01-03286, 1999-2000 гг.), в рамках НИР «Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии» (заказ-наряд Федерального агентства по образованию, 2004-2005 гг.), а также в рамках госбюджетной НИР «Исследования по дифференциальным уравнениям, математической физике и приложения в механике, технике, естествознании».
Решение аэрогидродинамической задачи
Сведем решение поставленной задачи к решению интегро-диффсренциального уравнения относительно функции w(x,t). Для плоского движения несжимаемой жидкости (газа) можно применить методы комплексного переменного [89, 111]. Введем в верхней и нижней полуплоскостях два комплексных потенциала IV =/ &!) = (х О + іф х Л, где р ( , у) - потенциалы возмущенного потока, ф±{х9ууі) - функции тока, z = x-n . Функции (x yj) и ф±(х у7і) связаны соотношениями
Тогда, обозначая й)±(х9і) = -ф±(х,0,f), принимая во внимание (1.3), (1,4) и то, а что j(wt + v±wlc)dx-0 (условие, связанное с предположением о несжимаемости о среды), получим:
Найдем действительную часть функций F±(z?t) = i-f±(z,t) на множестве {г = х+j ,_y = 0} (границе верхней и нижней полуплоскостей)
Согласно интегралу Шварца для полуплоскости [93], по известной действительной части функции F±(zti) на границе можно восстановить функцию F±{z7t) во всей верхней (нижней) полуплоскости. Такое представление функции wfoO заведомо отвечает граничным условиям,
В общем случае, при другом способе закрепления вставки (жесткое-жесткое, жесткое-шарнирное и т.п.) [28], решение w(x,t) ищется в виде gk[x)= Ак созЛАх+ 5ІпЛАлг+ CkchZkx + DkshAkx9k = lt..N. (1.14)
При этом коэффициенты Ak,Bk,Ck9DkfAk выбираются так, чтобы выполнялись краевые условия, а уравнения для функций yk{t), согласно методу Галеркина, определяются из условия ортогональности невязки уравнения (1.11) ко всем базисным функциям. Выбор в качестве базисных функций вида (1Л4) обусловлен тем, что, во первых, система функций {gk{x)} полна на [о,я], во вторых, функции gk(x) являются собственными функциями краевых задач для уравнения gi ]{x)-A4gk(x) = Q, возникающего при решении уравнения о свободных колебаниях DwJ,xxx(x,t)+mwll(x,t)=Q (а рассматриваемая задача при определенных значениях коэффициентов сводится к решению этого уравнения).
Подставив разложение (1ЛЗ) в (1.11), получим невязку уравнения. Это означает, что чем меньше будут МиГ(Г- наибольшее значение времени t\ тем раньше начнется процесс сходимости. Но параметр М трудно изменить, поэтому при больших М для быстрой сходимости метода нужно брать Т как можно меньше, или разбивать отрезок [о,г] на несколько частей. Описание алгоритма численного решения в этом случае содержится в приложении L
Отметим следующие достоинства разработанного численного метода:
1) в интегральных уравнениях переход от скалярного уравнения к векторному (от одномерного случая к многомерному) не является принципиальным усложнением [83];
2) разработанный метод является итерационным, а значит, при его использовании не накапливается ошибка вычислений (ошибка вычислений эквивалентна некоторому ухудшению очередного приближения, но это отразится только на числе итераций, а не на точности окончательного результата) [83];
3) не нужно отдельно рассматривать вопрос о существовании и единственности решения (корректности задачи), так как для уравнения Вольтерра второго рода этот вопрос является решённым (решение такого уравнения всегда существует и единственно) [89].
Однако следует заметить, что деление отрезка [о,г] на несколько частей и замена начального значения на очередном интервале конечным значением на предыдущем приводит к накапливанию погрешности с ростом /. Но такое накопление погрешности не отражается на качественном поведении решения, так как устойчивость или неустойчивость решения определяется уже при малых /.
4.Переход к безразмерным переменным
В уравнении (1.11), описывающем рассматриваемую задачу, все коэффициенты имеют определенный физический смысл и определенные единицы измерения. Это значит, каждому набору значений коэффициентов, входящих в уравнение (при заданных начальных и граничных условиях) соответствует единственный процесс. Следовательно, при решении такого уравнения с фиксированными коэффициентами мы получаем решение только одной конкретной задачи. Если перейти к безразмерным переменным _ х - v+ а а то каждому набору коэффициентов будет соответствовать уже целый класс задач. Новые переменные х у 1 не будут измеряться в метрах и секундах, а будут безразмерными.
Решение аэр о гидродинамической задачи
Введем в области G = 2\[0;/], считая / параметром, комплексный потенциал W = f{ztt) = (p + i\i/, где z = x + iy, yr = y/(x,ytt) - функция тока. Функция f(z,t) -аналитическая, и для неё выполняются условия Коши-Римана ух = - ру, у/у = рх. Обозначим у ( А0= limy/±(x,y,t) = -o}±{x,t). у- ±0
Тогда из условий (3.1), (3.2) следует, что v.rW+J( + v.W ,e 3C ( ш-М=УвГ(4 0 х /, (3.4) у„Г(4 "b x l ь при этом учитывалось, что \{w, +viawx)dx = 0 (следствие несжимаемости среды).
С помощью функции s=-J конформно отобразим область G на верх нюю полуплоскость так, чтобы левый луч действительной оси переходил в верхний берег разреза, а правый - в нижний (А—- 0 на верхнем берегу разреза [О,/]). Подобное отображение уже применялось при нахождении силового воздействия потока во второй главе. И если принять в обозначениях 2, главы 2 d = l, е = 0, то получим рассматриваемую задачу. Тогда по формулам (2.8) и (2.9) будем иметь
1)функции t (x)=\v{xto)9 h2(x) = wl(xfi) ограничены на [a,b];
2) ядра релаксации в случае с=0 удовлетворяют условиям д,(г,/)й Л (г \ і = 1,2, а в случае с Ф 0 условиям {яДмУг-С, 4е f = U, где С,, Л(, Л,,- не которые положительные константы;
3) коэффициенты задачи таковы, что выполняется условие С7 -у Q, то iV-e приближение п СМ) = ул(г)sinЯ„(д:-а)асимптотически устойчиво. При этом константы Cl9 С2, С3, С6„ С7, yls р, л задаются формулами (1.49)-(1.53),(1.55).
Математическая модель
Рассмотрим случай, когда не только верхняя, но и нижняя части крылового профиля содержат вязкоупругий элемент.
Пусть на плоскости хОу9 в которой происходят совместные колебания вяз-коупругих вставок и газа, профилю соответствует на оси Ох отрезок [О,/], а вяз-коупругим вставкам: снизу - отрезок [alta2]9 сверху - отрезок [b}tb2]. Скорость газа в бесконечно удаленной точке равна v и имеет направление, совпадающее с направлением оси Ох (рис, 49).
Обозначим через w+(x t)9 w (x9t) функции прогиба вставок на верхней и нижней сторонах профиля. Как и ранее, w (x,t) = e w ( ,/), tpfay -v x + s p(xfy,t)i є«\, ip(x9ytt) - потенциал скорости возмущенного по тока газа (жидкости), Пусть на профиле длины І 4? форма которого определена функциями / (#}= 0,0l(x -4х), / (х)--«Оfi\\x" 4х), закреплены две алюминиевые нстшки Массы вяжоупругих вставок равны т -21, т -$49 а положение определяется гонками а, 1, щ 2, 6, -2Э 6:, -3. Учитывая материал и массы вставок", понукаем, что их изгибные жесткости равны 1У" «6701,9 н IX «536112- Другие параметры» характеризующие вставки, примем рапными jff/ =- ДГ = К Г=-0Д5, Д -=0,07,
Р -10000, л;{т,/Цд;(г )-«Д5 "f а Л/(д-} 0: А, (х)-0, !ц(л) 2ш2л(л--]), А,(я)-йл2.т{л--2). Пусть, поток воздуха (р из% обтекающий профиль, в бесконечно удаленной шчке имеет скорость і-;,-Ш: Тогда, при фиксированных х -1,6, л- -2.6 получим функции w (vV) и у иф у)-. графики которых изображены на рисунке 50 (верхний график соответствует первой функции, вижямй второй).
Дальнейшее решение задачи также происходит по схеме, описанной в преды-дущем параграфе. В приложении 6 приводятся необходимые для этого форму лы. 100 ке [123]. При этом а и еледуштілі совместные малые шдшаїшя пде пруї нх элементов, расположенных Е ПроИХОІСИ1 В ДВу. лушкнжоети, И СНИЗУ ПС [57, 60]. деформируемых элементов плавучего моста yap {рнс, 52), или как задачу о джішш& ледя ошаетях; с tea ь iwm -Ш/. іж экрана ТО 1ЇОКООВ&. %? и иесмотрйм сначала случаи, когда заишаныи экран еодержш ОДНІЇ вяза т. гги хОу., в жидкости, на оси сткам стенки соатеетст вечно удаленной точке скорость жид к падающее е направлением О (рис. 53). входят есшмеетиві ,ау [# #) встав. авна v„v имеет тшкоун ным уча ие. 53. значим чеосз w(x ЧОГО ПОТОКа ЖИДКОСТИ В ВерХНеЙ ПОЛVПЛОСКОСТИ, ipl{x,yj) нциал шзмущап-потепциал возму щенного течения в прямоугольной области. Будем считать изменения этих величин малыми, то есть w(x,t) = Ew(xj)y pl{x,y9t) = vux + e pl(xty9t)9 p2(x y,t) = ap2{x9y9t), є«\. Тогда математическая постановка задачи имеет вид АЙяйд+ 50. хе(-ы, с\у 0, А р2 = р2хх + «%=0, xe(0,I)9ye(-c,0)t fty(x9Qft) = Q9xe[-nta]v[bf x )s pl xfi9f)=wl+v0wxtxe(a9b)7 (4.1) 92ЖФ У 0 = 0,ye[-cfl], p2x(t,y,t) = Q, у є [-c,0], v2y(xAt) = wt9xB{a,b)9 (4.2) А-с 0=0 б[0,/], иДО = 0 е[0,д]и[б,/]э (4.3) w) = /7J(pll+v0 u)- 2f+P1- +-plv02f хє(яДу = 0, (4-5) где ppp2- плотности потоков, Pl9P2 - давления в этих потоках в состоянии покоя, а оператор i(w) задаётся формулой (1-7)
Описание численного метода решения и результаты его применения
Пусть на профиле длины І 4? форма которого определена функциями / (#}= 0,0l(x -4х), / (х)--«Оfi\\x" 4х), закреплены две алюминиевые нстшки Массы вяжоупругих вставок равны т -21, т -$49 а положение определяется гонками а, 1, щ 2, 6, -2Э 6:, -3. Учитывая материал и массы вставок", понукаем, что их изгибные жесткости равны 1У" «6701,9 н IX «536112- Другие параметры» характеризующие вставки, примем рапными jff/ =- ДГ = К Г=-0Д5, Д -=0,07,
Р -10000, л;{т,/Цд;(г )-«Д5 "f а Л/(д-} 0: А, (х)-0, !ц(л) 2ш2л(л--]), А,(я)-йл2.т{л--2). Пусть, поток воздуха (р из% обтекающий профиль, в бесконечно удаленной шчке имеет скорость і-;,-Ш: Тогда, при фиксированных х -1,6, л- -2.6 получим функции w (vV) и у иф у)-. графики которых изображены на рисунке 50 (верхний график соответствует первой функции, вижямй второй). , расшотршнуто в пр іна профиле содержат 51), При этом верхним тершшы (% Ї-ІКХ І -К гзкоупругих элементов, а нижняя нциал шзмущап-потепциал возму щенного течения в прямоугольной области. Будем считать изменения этих величин малыми, то есть w(x,t) = Ew(xj)y pl{x,y9t) = vux + e pl(xty9t)9 p2(x y,t) = ap2{x9y9t), є«\. Тогда математическая постановка задачи имеет вид АЙяйд+ 50. хе(-ы, с\у 0, А р2 = р2хх + «%=0, xe(0,I)9ye(-c,0)t fty(x9Qft) = Q9xe[-nta]v[bf x )s pl xfi9f)=wl+v0wxtxe(a9b)7 (4.1) 92ЖФ У 0 = 0,ye[-cfl], p2x(t,y,t) = Q, у є [-c,0], v2y(xAt) = wt9xB{a,b)9 (4.2) А-с 0=0 б[0,/], иДО = 0 е[0,д]и[б,/]э (4.3) w) = /7J(pll+v0 u)- 2f+P1- +-plv02f хє(яДу = 0, (4-5) где ppp2- плотности потоков, Pl9P2 - давления в этих потоках в состоянии покоя, а оператор i(w) задаётся формулой (1-7) 2. Решение аэрогидродинамической задачи
Сведем решение поставленной задачи к решению интегро-дифферен-циального уравнения относительно функции w(x,t). Для этого, считая / параметром, введем два комплексных потенциала: 1) fx{z9t)= р(х,7,0+ Й( У 0 в верхней полуплоскости i ={z=x+iy,lmz iQ} 2) /2(?іі) = ф1{хіу,і)+іф2{х9уіі) внутри прямоугольника Z = {z = x+iy9 xe[oj]7yt=[-c9ti\}. Ввиду аналитичности функции fx(z9t) получаем Тогда из условий (4.1) следует 0, хе(-сс9а] и[Ь, х ) й(хД0 = ( і0і "і( »0 при этом учитывалось, что f(w, +v0w,)f& = 0 (следствие несжимаемости). а Рассмотрим функцию F{z,t)=i-fx{zit), она задана в верхней полуплоскости 102 и ее ДСЇ-ЇСГВИТЄЛЬ ш.(.тл). Согласно и часть на границе полуплоскости га О шин п )- , к(г.о г-г /,(2,0- h(r,0—+С(/ родиффсрспцируем фушщиш /J(25j) по z и по г. 1 й г ! 1 V 1 Г J л: Чг гл /XV)- исм) --- ,.(rj) +СД;),
Заметим-» тга їв условна (4,4) следует, что ReC(i) С щого, найдем lim Jx.(zJ) lim /Ід гл) :Л Жі} - Ши{х,ї} \o)firtO i-ImC t/L f.J-z.OtO -m-i -- Ь.Дг.А л J Т X Тогда, приравнивая действительные части f, {rfij) и j\ (тД xXU} r-.v L. НОГ f\(z4t) (/у-Лл-yj) -гіф.іх. у.і), заданного в 3, r».-функции Z (J(C) конформно fiocib прямоугольника З (рис -нкл "11 о у оте н циала о (НС) с ;а (93} : то отображение зздаетс! . / ( где С и к определяются т ус/к Vk Г, і t — С С і -іЮ-ь С) іІС этом выполняется соответствие точек: А А\ В .-- В\ Р(.л) - f\AMi"V)- р.(ХС)./)- ,.(-(0. .ач дам деііетіштельнуїо чл аченіш этой фуі d на гршшде -т, — т, ш ЇЗУЯ навои fcmi с. f (С 0;) х ге, где „Ї& (U / Если 1---}м\\.. УзД ra z(-()1) -х-Оі где jce0 ]uj)?j] - р, -О Вели е( Д), то г( Оі) = 0/3 где хь(а.Ь) рг wf. Велч f є KJ :{-{&) 0 і iy мли z(;-&i) / + / %где уъ\-сЩ / ( Знач мі -0/, (lec.mc с
Таким образом, для функции P{9t) имеем смешанную краевую задачу в нижней полуплоскости. Согласно формуле Келдыша-Седова [40], решение задачи, ограниченное вблизи точек = ±17 = ±—, имеет вид к ПМ B.7Q-f 0- O \ ». & ) # (4Л2) При этом должны выполняться два условия разрешимости Первое из них совпадает с условием несжимаемости жидкости: 1р2 (хД/)& = 0, а второе служит для отыскания неизвестной величины рА -,-с,/1,
Чтобы найти p2l(xfitt), восстановим функцию /2(г(0,О Для этого найдем Лс( (OiO- Учитывая что P(f,/) = /3і( (0,О» а также (4Л2)5 будем иметь:
Описание численного метода решения и результаты его применения
1. Построены новые и усовершенствованы некоторые известные матема тические модели в задачах дозвукового обтекания вязкоупругих элементов тонких профилей (в том числе крыловых), защитных экранов, подвесных и плавучих мостов. Во всех моделях количество вязкоупругих элементов и места их расположения произвольные.
В разработанных моделях учитывается широкий спектр механических свойств объектов и характер их взаимодействия. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) материала деформируемых элементов, воздействия потока жидкости (газа) и вязкоупругого основания, а также влияния сжимающих (растягивающих) продольных усилий.
2. Разработана методика для решения класса плоских задач аэрогидромеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых элементов, позволяющая исключить аэрогидродинамические функции и свести решение связанных задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций.
3. Создан новый численный метод, на основе которого в каждой из задач проведено численное моделирование на ЭВМ динамики деформируемых элементов и в плоскости (v,P) построены области устойчивости. Выведены условия непрерывной зависимости решения от начальных условий и параметров задач. Численно исследована сходимость галёркинских приближений. Проведён сравнительный анализ полученных численных решений с точными частными решениями и с численными решениями, полученными с помощью математического пакета Maple.
4. Разработан новый аналитический способ исследования асимптотической устойчивости вязкоупругих элементов конструкций, на основе которого в каждой задаче в плоскости (v,P) построены области динамической устойчивости и получены оценки первых приближений. Проведено сравнение полученных аналитических результатов с результатами численного эксперимента.
Для численного решения векторного уравнения Вольтерра II рода о v2(/)=Jv3(OA- + ca (1.17) D ( M0=j[(GM 0 O2R2(T,t))vl(T) Pv3(T)-Zv2(T)]ciT-Zc1-Pc2+ci о используем метод итераций, и для быстрой сходимости метода разбиваем отрезок [о,г] на несколько частей. Опишем алгоритм численного решения в этом случае.
Пусть временной отрезок [о, г] разбит на к равных частей , каждая из которых для возможности проведения итераций, в свою очередь, разделена на г равных отрезков (рис 65). Таким т образом, весь отрезок [о,г] разбит на кг интервалов длины h = —. кг t = 0 t = hr t = 2hr t = (k- l)hr t = T I _ "» = 0 _ I m=\ I I m=k—\ I 1=0 123 r Рис. 65.
Сначала задача решается на отрезке te[0;hr], затем на отрезке te[hr;2hr], при этом конечные условия на первом отрезке берутся в качестве начальных на втором, и так далее. Таким образом, на ш-том отрезке t e[hrm;hr(m + i)] задача сводится к решению системы
?i (0= Jv3(r)rfr + Vj(Am) hrn I Vj(/)= jv3(r)dT + v2(hrm) ,m = 0,..../:-1, (5.1) hrm % CO = [(ад(г,0 + Є2 2(г, )М (r)-?v3 (T)-ZV2 (r)}/r +v,(ftrm) hrat 138 (v,(0)=c„ v2(0)-c2, vJ(0) = ci-Zcl-Pc2). Пусть (?(!% = функция ґ (— \ \ V, У2 I 1(). - решение системы (5.1) на m-том отрезке, тогда (v{t)l ea4ute[0,hr] V(t)= Hv(t))m,ewute[hrm,hr(m + \)] [hr(k-\\hrk] будет решением системы (1.17) на отрезке ге[о,г].
Остановимся подробнее на организации итерационного процесса для нахождения \P(t))0,B качестве первого приближения возьмем
Для нахождения приближенных значений интегралов воспользуемся формулой трапеции. Пусть
В результате получаем формулу для второго приближения (5,(/,1 (/-1))+5(/) wa(A/) = w2(A(/-l))+A3(/) Л(Ао=л(Ч -і))+И0) w3 (A/) = 2 С,Л(А/)- Zw,(A/)- ЯР2 (Ai)+ с3
Затем присваиваем первому приближению значения второго, а третье приближение находим по формуле (5.2), и так далее.
Подобным образом организуется итерационный процесс на остальных отрезках [hrm,hr(m + l)].
Заметим, что нами исследуется задача о колебаниях вязкоупругой вставки, то есть искомая функция y{t) может быть быстро осциллирующей. Численное интегрирование и дифференцирование таких функций часто дает большие погрешности. Рассмотрим на конкретном примере, насколько отличается численное решение, полученное описанным методом, от точного решения. Если N = \, Z = 2500, P = Q, Rx(T,t) = R2(r,t) = 0, c,=0, c2=50, c3=0 то система (1.17) принимает вид
