Содержание к диссертации
Введение
ЧАСТЬ 1. Методы теории потенциала и задача обтекания .. 11
1.1. Интегральные операторы логарифмического потенциала 12
1 2. Системы функций, полные на контуре 20
1.3. Алгоритмы краевых задач для уравнения Лапласа в неограниченной области 30
ЧАСТЬ 2. Метод распределенных вихрей 38
2.1. Общий вид функции токазадачи обтекания 38
2.2. Метод распределенных вихрей 45
2.3. Алгоритмы метода распределенных вихрей 50
ЧАСТЬ 3. Задача обтекания двух профилей 57
3.1. Алгоритмы задачи двух профилей 59
3.2. Потенциал Робена для двух контуров 70
3.3. Задача экраноплана 77
ЧАСТЬ 4. Численные результаты и представления 84
4.1 Применение алгоритма задачи Дирихле для вычисления циркуляционной функции тока. 85
4.2 Прямой алгоритм метода распределенных вихрей. 90
4.3 Метод распределенных вихрей и потенциал Робена. 94
Заключение 98
Список использованных источников 99
Добавление 103
- Алгоритмы краевых задач для уравнения Лапласа в неограниченной области
- Алгоритмы метода распределенных вихрей
- Потенциал Робена для двух контуров
- Применение алгоритма задачи Дирихле для вычисления циркуляционной функции тока.
Введение к работе
Диссертационная работа по своей тематике относится к гидродинамике плоскопараллельных стационарных течений несжимаемой жидкости. Эта тематика продолжает быть чрезвычайно актуальной, многие современные технологии требуют исследования и решения таких гидродинамических задач. В этих исследованиях широко используются средства и возможности вычислительной математики, большую роль играют численные методы и численный эксперимент, принципиальное значение имеет создание эффективных численных алгоритмов.
К основным проблемам гидродинамики относятся задачи теории крыла. Большое значение при этом имеет изучение плоскопараллельных течений безвихревой несжимаемой жидкости[31] — [33], [37] - [39].
Одним из основных численных методов теории крыла является метод дискретных вихрей (СМ. Белоцерковский, [1], — [3]). Метод используется для построения циркуляционного обтекания профилей, а также для построения вихревых зон вблизи крыла. Обоснованию этого метода было посвящено большое количество публикаций вплоть до последнего времени ([5], [7], [15], [27] - [30], [36]). Метод дискретных вихрей состоит в представлении сопряженной комплексной скорости интегральной формулой Коши. Условие касания на границе приводит к интегральному уравнению 1-го рода для плотности распределения вихрей на границе. Ядро интегрального оператора содержит сильную особенность, численное решение таких уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности [8] - [10].
Данная диссертация посвящена изложению метода распределенных вихрей для задачи обтекания крыла, его обоснованию, численным алгоритмам, их сходимости и различным реализациям ([13], [14], [21]-[21]).
В первом параграфе приводится формулировка основной задачи. Обозначим внешность ограниченной односвязной области Q с достаточно
гладкой границей S через Q+ = R \ Q . В области Q+ требуется построить векторное поле w(x) = {и(х), v(x)}, х = (Х],х2), удовлетворяющее условиям:
divw(x) = 0, rot w(x) = 0, хеQ+;
w(oo) = {u0,v0}, и0и v0 заданы;
граница S - линия тока поля w(x) = {и(х), v(x)}.
Векторное поле w(x) - {и(х), v(jc)} можно трактовать как поле
скоростей плоскопараллельного потока идеальной жидкости, обтекающей профиль S. Данная задача имеет не единственное решение; к векторному полю w(x) можно добавить с произвольным множителем чисто
циркуляционное течение, которое определяется потенциалом Робена для контура S.
Далее в параграфе 1.1 коротко приведены используемые в последующем изложении элементы теории логарифмического потенциала, свойства интегрального оператора В2 потенциала двойного слоя и необходимые сведения о потенциале Робена ([4], [17] — [18]).
Во втором параграфе приведены основные леммы о системах функций, полных на контуре ([13], [24], [25]).
Пусть граница S удовлетворяет условию Ляпунова,
последовательность точек zm, т = 1,2,..., (базисные точки) принадлежит Q+ или Q~, отделена от S и удовлетворяет условию единственности гармонических функций в R .
* *
Пусть (р (л;) - собственная функция сопряженного оператора В2,
соответствующая простому собственному числу Л = —, соответствующей
собственной функцией оператора В2 является <р(х) = 1; по определению
B2dE(x-y)dSy, xeS,
s дп(у)
7 Р
где Е(х) = — In! х I — фундаментальное решение оператора Лапласа,
2л д п(у)
- операция дифференцирования по внешней для области Q нормали к S в точке у є S.
Обозначим через L2 (S) и L^ (S) подпространства в L2 (S), ортогональные соответственно одномерным подпространствам {1} и
L2{S)= ^) L(p2{S) = {l}LC2{S). Рассмотрим на S функции
a+(x) = E(zm-x), xsS, zmeQ+.
Лемма 1.1. Система функций а*(х), т = 1,2,.., полна и линейно независима в L2 (S). Обозначим
a~(x) = E(zm -х), 8т{х) = а-+1(х)-ат(х), xeS, zmeQ~.
j3^(x) = -^-E(zm-x), xeS, zmGQ±. дп(у)
Лемма 1.2. Система функций От\Х), т = 1, 2,.., полна и линейно независима в Z,? (S).
Лемма 1.3. Функции J3m(x), т = 1,2,..., принадлежат подпростран-
С с '
ству L2 , линейно независимы и образуют замкнутую систему в L2 .
Лемма 1.4. Система функций fim(y), т = 1,2,..., линейно независима и замкнута в пространстве L2 (S), если последовательность
точек zm удовлетворяет условию единственности и принадлежит Q~. Рассмотрим теперь систему функций
^«00= J««O0ln|*~ ^И^» xeS.
Будем обозначать через Rq значение в области Q~ потенциала Робена, определенного для контура S.
Лемма 1.5. Если Rq^O, то система функций ат(х), т = \,2.., линейно независима и замкнута в LjiS); если Rq = 0, эта система функций
принадлежит I%(S) и замкнута в I%(S).
Как следствие мы получаем полноту этих систем функций на соответствующих совокупностях дуг или контуров, например, для двух профилей.
В параграфе 1.3 части 1 приводятся простые и эффективные алгоритмы решения внешних краевых задач для уравнения
*
Лапласа, а также для вычисления собственной функции (р (х)
интегрального оператора В2, т.е. плотности потенциала Робена для S
[26].
В параграфе 2.1 части 2 дается общее представление функции тока задачи обтекания ограниченной односвязной области Q.
Далее используется потенциал Робена, будем его обозначать
271s s
с функцией ср {) единичной нормы.
Теорема 2.1. Функция тока рассматриваемой задачи обтекания контура S имеет в области течения Q+ представление
у/{х) = (и0х2 - v0xj )+y/0{x) + R \f/r (х), xgQ+,
где y/r{x) — потенциал Робена для S, R - постоянная, определяющая циркуляцию на S, щ{х) -регулярное решение в Q+ задачи Дирихле:
Лщ{х) = 0 в Q+, 0 (х) = {и0х2 - v0xj) на S.
В параграфе 2.2 излагается метод распределенных вихрей решения задачи обтекания [13].
Функцию тока задачи обтекания будем определять в виде
4'(x) = (-u0x2+v0xl)+ \g{y)\n\x-y\dsy, (1)
где искомая функция g(y) является плотностью распределения вихрей на S, и выполняются условия а) и Ь).
Теорема 2.2. Представление (1) функции тока задачи плоского обтекания, которая определяется условиями а) - с) существует и единственно, если заданы скорость w(co)={m0,v0} и циркуляция Г на контуре S.
Аппроксимация g (х) искомой плотности g (у) вихрей на S может определяться в виде
gN(y)= Zcka+k(y). к=1
Коэффициенты сд- вычисляются при решении задачи минимизации функции F{c),
F(c) =
b - ( u0x2 - v0x{) - J X ckak (у)е(х - y)ds
s k=i
где норма берется в пространстве L2 (S). Необходимое условие экстремума функции приводит к линейной алгебраической системе с определителем Грама не равным нулю.
В параграфе 2.3 представлены другие алгоритмы метода распределенных вихрей [23], [26].
Функцию тока *F(x) удобнее и эффективнее для численного
эксперимента представить в виде
у/{х) = {и0х2- v0x1)+ jg (у)Е(х - y)dS+R \grE{x - y)dS,
S S
Часть 3 посвящена некоторым приложениям.
Пусть Qj и Q2 - ограниченные односвязные области с границами Sj и
S2, удовлетворяющими условию Ляпунова, Ql r^Q2=0> обозначим
Q+=R2\(Qj^Q2)-
В параграфе 3.1 рассматривается задача обтекания двух профилей Sj
и S2 идеальной жидкостью, удовлетворяющей условиям а) - с) [14], [22],
[41]. Далее мы получаем, что функция тока может быть представлена в виде
y^x)=(-u0x2+v0x1)+
У
g(y)E(x -y)dsv, xeQ+,
где требуется выполнение условий y\Si=bh
y/\s =Ь2фЬ].
Аппроксимация gN (у) плотности вихрей g(y) на Sj и S2 определяется следующим образом:
gN(y)= Tck4(y), к=1
коэффициенты С вычисляются в результате решения аналогичной
вариационной задачи минимизации функционала
\
.N
(
S (y)E(x-y)dsy
f + J
к=1
S,
bk-(-u0x2+v0xl)~
>2 J
L2{Sk)
В параграфе 3.2 исследуется задача Робена для двух контуров. Доказано следующее утверждение.'
Теорема 3.1. Решение задачи Робена для двух контуров - плотности (Р]{х) и д>2(х) потенциала на S} и S2 — определяется единственным образом с точностью до постоянного множителя и аддитивной константы.
Для определения приближенной плотности g (у) потенциала Робена на S = Sj US2 решается задача минимизации для вариационного функционала при и0 = v0 =0 и Ъ1 фЬ2.
Параграф 3.3 - посвящен задаче экраноплана [41]. В случае прямолинейного экрана решение этой традиционно строится как решение задачи симметричного обтекания двух профилей, симметричных относительно экрана [9], [11]. Такая методика может быть реализована полученными выше алгоритмами.
Построение обтекания с необходимой циркуляцией реализуется добавлением к функции тока соответствующего потенциала Робена для S = S] и 5*2, т.е., по теореме 3.1, варьируется один параметр для получения нужной циркуляции и необходимого решения. В численных расчетах
*
использовался крыловидный профиль, для разных высот h получаются в аналитическом виде приближенные решения, позволяющие вычислять аэродинамические характеристики.
»
Алгоритмы краевых задач для уравнения Лапласа в неограниченной области
В этом параграфе будет рассмотрена задача о движении профиля над твердым экраном, которая имеет не только теоретический, но и практический интерес. Решение этой задачи требуется для проектирования экраноплана - летательного аппарата, использующего отталкивающее действие экрана для создания дополнительной подъемной силы.
В этом пункте следуя монографии [9] будем предполагать, что среда, в которой движется телесный профиль (контур L ), представляет собой идеальную несжимаемую жидкость, а сам профиль движется вдоль твердого экрана с постоянной скоростью. Рассматривается задача определения комплексной скорости.
Введем декартову систему координат Оху, связанную с профилем, направляя ось вдоль экрана. Пусть Уж - скорость обращенного движения жидкости в бесконечном удалении от профиля, Н — отстояние задней кромки профиля от экрана (рис. 8.1.1, [9]). При сделанных предположениях движение жидкости вне профиля и экрана потенциально и может быть описано комплексной скоростью. Краевая задача для комплексной скорости v(z) формулируется следующим образом. В области течения жидкости v(z) является аналитической функцией, удовлетворяющей граничным условиям непротекания жидкости через контур профиля L и экран (у = 0) и условию затухания возмущенной скорости жидкости в бесконечно удаленной точке Кроме того, для определения циркуляции скорости вокруг профиля ставится дополнительное условие - условие ЖуковскогоЧаплыгина об ограниченности скорости в задней кромке (в точке zB): Решению сформулированной краевой задачи посвящено большое число работ. В общей постановке, без каких-либо упрощений, задача решалась методом конформных отображений в работах [39]. Однако результаты расчетов по этому методу опубликованы только для случая пластинки. Среди других методов решения задачи о движении телесного профиля над экраном отметим метод потенциала ускорений [35] и итерационный метод расчета, с помощью которых получены некоторые данные о влиянии формы профиля на его аэродинамические характеристики . Известные результаты исследования аэродинамического взаимодействия профиля с экраном показывают, что с приближением к экрану может существенно меняться характер зависимости аэродинамических характеристик от угла атаки и формы профиля. При этом наблюдается сильная нелинейная зависимость от параметров задачи, что ограничивает результаты ее решения методами теории тонкого крыла (см., например, [35]) и методом сращиваемых асимптотических разложений [38]. Метод решения. Краевая задача (3.14) - (3.16) о движении профиля (контура L) в верхней полуплоскости может быть сведена к задаче обтекания двух профилей (контуров L и L ) безграничным потоком жидкости. Действительно, выберем в качестве контура Z, зеркально отображенный относительно экрана (оси Ох) профиль L, оставляя скорость набегающего потока без изменения ([9], рис. 8.1.1). Тогда в силу симметрии течения жидкости относительно оси Ох эта ось является линией тока, на которой нормальная составляющая скорости равна нулю. Иначе говоря, выполняется граничное условие v (х, 0) = 0. К тому же выводу можно придти иначе, если распределить вдоль контура L вихревой слой с интенсивностью y(z0), где точка z0eL. Тогда взаимодействие каждого элемента контура L с экраном может быть смоделировано введением зеркально отображенного элемента, интенсивность вихрей на котором равна -y{z0) ([9], рис. 1.4.2).
Алгоритмы метода распределенных вихрей
Для первой краевой задачи уравнения Лапласа (задачи Дирихле) в неограниченной области рассматривается нетрадиционный класс единственности решений, приводится алгоритм приближенного решения, и приложение к задаче плоскопараллельного обтекания.
Решение и{х) задачи где S - достаточно гладкая граница ограниченной односвязной области Q, называется регулярным решением, если функция и(х) ограничена при х - оо [4]. Решение методами теории потенциала (в классе регулярных гармонических функций) состоит в сведении к решению интегрального уравнения, что требует знания собственной функции р (х) оператора В2, сопряженного интегральному оператору потенциала двойного слоя на S, соответствующей собственному числу Я = 112 [4]. К задаче (1.9) может быть сведена задача определения скорости w(x) идеальной жидкости; обтекающей профиль S с нулевой циркуляцией, если задается скорость на бесконечности vv(co) = {и0,v0}; функция и{х) является функцией тока бесциркуляционного течения w(x), w(x)=Vcw(x), Vc ={д2,-д}}, дк-операция дифференцирования по переменной xk, к = 1,2 . Рассмотрим более широкий класс единственности для решений задачи (1.9), содержащий решения задачи обтекания с отличной от нуля циркуляцией (и включающий в себя класс регулярных решений); обозначим его Е. Будем говорить, что и(х)е, если: 1) и(х) является решением задачи (1.9) (граничные условия выполняются почти всюду), 2) при х —»со имеет место асимптотика Например, при f(x) = const 0 и СдфО решением задачи (1.9) из класса Е является потенциал Робена . При С0 =0 получаем регулярные на бесконечности решения. Решение в классе Е задачи (1.9 ) существует. Для получения такого решения достаточно к регулярному решению прибавить потенциал Робена vr(x) для S с соответствующим множителем и постоянную b такую, что разность vr{x) Ъ равна нулю на S. Решение в классе Е единственно, если задана постоянная С0 в разложении (1.10 ). Действительно, предполагая существование двух таких решений возьмем их разность, она будет ограничена на бесконечности и равна нулю на границе, т.е. тождественно равна нулю в Q+. Для получения решения задачи (1.9) в классе ограниченных функций рассмотрим последовательность базисных точек {х"] принадлежащую Q, отделенную от ее границы, удовлетворяющую условию единственности гармонических функций, п = 1,2,..., и последовательность функций Sn(x) = E(xn+1 -х)-Е{хп -х), где Е(х) — фундаментальное решение уравнение Лапласа. Воспользуемся разложением пространства L2 (S) на прямую сумму L2 (S) = {ср } Ф Щ. Далее будет использоваться лемма 1.2 : последовательность функций Sn(x), п = 1,2,..., полна и линейно независима в L . Пусть h и h0 - проекции некоторой функции h{x) на подпространства {ф } и L , обозначим h0 ее проекцию на подпространство {Sn(x)}, , предполагается, что к„Ф0. Тогда h0 — h0 при ./V — со, и для собственной функции (р (х) выполняется приближенное равенство: h0 -h0 к, Сер , С — некоторая постоянная. Функция h0 ,
Потенциал Робена для двух контуров
Если N достаточно велико, то функция р іх,у) в равенстве (1.13) является приближенным решением задачи (1.12), так как. (р {х,у) гармоническая, стремится к нулю при х +у — оо, вследствие (1.14) второе слагаемое мало, и нормальная производная на границе S от ер іх,у) аппроксимирует граничные функции по построению. 1.3.4. Рассмотрим в качестве приложения задачу безциркуляционного плоскопараллельного обтекания ограниченной области Q czR , такая задача может быть сведена к краевой задаче для уравнения Лапласа в неограниченной области. Введем обычные обозначения: Q+ = R \Q — область течения, dQ =S — граница Q . Для векторного поля скоростей w(x) = { и(х), v(x)}, х = (xj, х2) є Q+, обтекающего течения предполагается выполнение естественных условий: а) задана скорость на бесконечности w(co) = { и0, v0}; b) div w(x) = 0 в Q+, rot w(x) = 0 в Q+ ; с) граница S есть линия тока. Течение w(x) имеет функцию тока у/(х), w = {i//x , -ц/х }, и эта функция может быть представлена в виде (1.11) и определена алгоритмами, указанными в пункте 1.3.1, так что будут выполняться условия а) - с) . Т.е. у (Л:) является решением задачи (1.9) из класса Е с постоянной С, С О, если циркуляция Г на S не равна нулю; при этом f{x) - и0х2 - v0xl - Ъ, r = -2R(l, p ), C = R(I, P ), Ц/(Х)=Ъ naS. Выбирая R можно получать течения с разной циркуляцией на S, например, течения, удовлетворяющие условию Жуковского. На рис. 1, 2 для симметричного профиля Жуковского представлены линии уровня полученных решений задачи Дирихле, т.е. линии тока течения w(x) при w(co) = {l, 0.15} (угол атаки а «70 ) с различными циркуляциями; на первом рисунке выполняется условие Жуковского. Алгоритм реализован на языке программирования Fortran, графика - на языке Pascal. Пусть искомое поле скоростей w(x,y) задачи обтекания ограниченного тела Q с кусочно-гладкой границей 5", удовлетворяет условиям а) — с) в области течения Q+. Из условия а) следует существование потенциальной функции Ф(х,у) и функции тока (х, ) этот знак будем называть коградиентом. Из последних уравнений ( уравнений Коши-Римана) и непрерывности векторного поля w(x,y) следует аналитичность в Q+ функции f{z) = Ф(х,у) +г,хР(л:,_у). Функция также аналитична в Q+ и при этом однозначна (вследствие однозначности поля скоростей) и / () = "о - ivo Следствие 2.1.В окрестности бесконечно удаленной точки функ-ция f {z) имеет степенное разложение с некоторыми коэффициентами ах, а2,... . Следовательно, Следствие 2.2. Число ах — мнимое. Действительно, для потока Nr и циркуляции на окружности большого радиуса Sr имеем Так как поток iV,. должен быть равен нулю, то X \ 2тг Следствие 2.3. В окрестности бесконечно удаленной точки для функции тока имеет место разложение ЧЧх, у) = (u0y-vQx) + C \п(х2 + у2 ) + щ (х, у), \z\»1, где у/\(х,у) ограниченная в Q+ гармоническая функция; при этом коэффициенты w0,v0 и С определяют функцию тока единственным образом с точностью до постоянного слагаемого. Действительно, пусть имеются две функции тока F и Ч с одинаковыми коэффициентами и0, v0 и С в разложении на бесконечности. Их разность будет ограниченной гармонической в Q+ функцией, постоянной на границе S, т.е. Ч7 - 4 = const в Q +.
Применение алгоритма задачи Дирихле для вычисления циркуляционной функции тока.
Традиционный метод дискретных вихрей опирается на представление сопряженной комплексной скорости f (z) = u-iv посредством интегральной формулы Коши. Условие касания на границе приводит к интегральному уравнению первого рода для плотности вихрей на S, ядро интегрального оператора имеет сильную особенность, что порождает математические и вычислительные трудности. В данном параграфе рассматривается метод, который опирается на предыдущие результаты и приводит к более простым алгоритмам.
Для определения соленоидального векторного поля w(x) = {и(х), v(x)) достаточно найти его функцию тока (х). В данном разделе функция (х) определяется как логарифмический потенциал простого слоя на профиле S, доказывается существование и единственность такого представления и сходимость соответствующих приближенных решений. Будем представлять функцию тока в виде Эта функция удовлетворяет условиям а), Ь) задачи обтекания при любой g(y). Требуется определить функцию g(y) так, что будет выполняться условие с): Ч/(х) = Ь0 на S с некоторой постоянной Ь0. Такое представление существует. Действительно, так как функция bQ - (и0х2 - v0x,) является гармонической в Q, то она может быть представлена потенциалом простого слоя как решение внутренней задачи Неймана. Потенциал простого слоя непрерывен в R , если g(y)eL2(S), полученный в задаче Неймана потенциал будем рассматривать в Q+. Обозначим через g0(y) плотность потенциала в этом решении задачи Неймана, следовательно, в представлении (2.4) нужно полагать. Циркуляция Г полученного векторного поля w(x) = Wcy/(x), Vc = {91,-52} (дк - операция дифференцирования по переменной хк, к = 1,2), вычисляется по формуле (лемма и определяется значением постоянной bQ, как следует из общего вида функции тока задачи обтекания а)с) . Для доказательства единственности этого представления функции тока предположим противное - существует другая функция тока (х) удовлетворяющая условиям а) - с) , имеющая представление (2.4) с плотностью gl(y) и ту же скорость w(oo) и циркуляцию, тогда Гармоническая функция %(х) тождественно постоянна на S и стремится к нулю при х— со вследствие (2.5). Следовательно, Ч Дх) тождественно равна нулю в Q+, Ч 0(х) = 0, т.е. \.У) ё\У)) ортогональна функциям ат(у) E(zm -у), где zm - любая точка в Q+. Система функций а т{у) замкнута в L2(S) (если последовательность zm удовлетворяет условию единственности гармонических функций). По лемме 1.1 функция vs v; s к } равна нулю. Доказана следующая основная теорема. Теорема 2.2. Представление (2.4) функции тока задачи плоского обтекания, которая определяется условиями а) - с) существует, и оно единственно, если заданы скорость w(co) = {и0, v0} и циркуляция Г на Функция g(y) в (2.4) может трактоваться как плотность вихрей, распределенных на границе S. Действительно, комплексный потенциал /(z) точечного вихря с центром в точке ак имеет вид f(z) = i\n\z-ak\, для функции тока у/{х) этого вихря получаем y/(x) = lmf(z) = \n\z-ak\. Заменим интеграл по S в (2.2) интегральной суммой Эта сумма является функцией тока совокупности точечных вихрей с центрами в точках ук GS и интенсивностями g(yk)ASk, т. е. g{y) в (2.2) является плотностью распределенных вихрей. Замечание 2.1. Из теоремы 2.1 непосредственно следует, что выбор значения Ъ0 определяет величину циркуляции вокруг бесконечно удаленной точки и на контуре S. Изменяя Ь0 можно получить в численных решениях выполнение, например, условия Жуковского для крыловидного профиля.
