Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические методы и вспомогательные результаты 13
1.1. Потенциал Робена 16
1.2. Лемма Новикова 21
1.3. Представление функции логарифмическими потенциалами 26
1.4. Системы функций, полные на границе области 33
Глава 2. Функция тока задачи обтекания 42
2.1. Задача плоскопараллельного обтекания 42
2.2. Общее представление функции тока 49
2.3. Функция тока присоединенных вихрей Жуковского 53
2.4. Модель обтекания с минимальной кинетической энергией на границе . 62
Глава 3. Алгоритмы и численный эксперимент 69
3.1. Чисто циркуляционное обтекание (течение Робена) 69
3.2. Выбор циркуляции, условие Жуковского-Чаплыгина 71
3.3. Присоединенные вихри Жуковского 76
3.4. Функция тока точечного вихря 87
Глава 4. Вихревое обтекание дуги 92
4.1. Задача вихревого обтекания пластины 93
4.2. Вихревое обтекание угла 96
4.3. Обтекание полуэллипса 99
4.4. Обтекание полуокружности с различными вихревыми областями 100
Заключение 101
Литература
- Представление функции логарифмическими потенциалами
- Функция тока присоединенных вихрей Жуковского
- Выбор циркуляции, условие Жуковского-Чаплыгина
- Обтекание полуэллипса
Введение к работе
Работа посвящена применению методов теории логарифмического потенциала к задачам плоскопараллельного обтекания, обоснованию моделей и методов, основанных на представлениях функции тока, численным алгоритмам и их некоторым реализациям в задачах теории крыла.
К основным проблемам гидродинамики относятся задачи теории крыла. Большое значение при этом имеет изучение плоскопараллельных течений безвихревой несжимаемой жидкости [1] - [6].
Одним из основных численных методов теории крыла является метод дискретных вихрей (СМ. Белоцерковский, [7] - [9]). Метод используется для построения циркуляционного обтекания профилей, а также для построения вихревых зон вблизи крыла. Обоснованию этого метода было посвящено большое количество публикаций вплоть до последнего времени ([10] - [19]). Метод дискретных вихрей состоит в представлении сопряженной комплексной скорости интегральной формулой Коши. Условие касания на границе приводит к интегральному уравнению 1-го рода для плотности распределения вихрей на границе. Ядро интегрального оператора содержит сильную особенность, численное решение таких уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности [20] - [23].
Пусть гладкое векторное поле w(х) = {и(х),v(x)}, х = (х^х2), является гармоническим в односвязной области QcR , т.е. выполняются равенства div w(x)=0, rot w(x)=0, или ux + vx =0, -ux +vx =0.
Функция /j (z) := u(xx, x2) - /v(aT| , x2), z=xx+ ix2, удовлетворяет уравнениям Коши-Римана и является аналитической в Q.
Обратно, любая однозначная аналитическая в Q функция f2(z)=а(хх,х2) + ib(xl, х2) определяет гладкое векторное поле
2(х) = {а(х)>~Ь(х)}> соленоидальное и потенциальное в Q, так как divw2(x) = О, rotw2(x) = 0 в Q.
Для вектора w(x) существуют такие функция тока ц/(х) и потенциальная функция (р(х), что w(x) = урх , <рх ]= \^ц/х , + Ух } со свойствами a) grad (р J_ gradу/ и б) линии тока у/(х) = С ортогональны эквипотенциальным линиям <р(х) = С\. Здесь и далее будем обозначать через fx - производную функции / по переменному х. Условия их + vx =0 и -их +vx =0 гармоничности векторного поля vv(x) в терминах функции тока у/{х) и потенциальной функции #>(х) означают равенства лапласианов этих функций нулю, Ац/(х) = 0 и Ар(х) = 0.
Аналитическая функция /(z) = (р{хх, x2)-i у{х\, х2 ) называется комплексным потенциалом течения w(x), где (р(х) и у/{х) - потенциал и функция тока.
Следовательно, если f(z) - комплексный потенциал течения w(x), \f/{x)ds = r + iN, s где Г = J(w(x) dz) - циркуляция векторного поля w по кривой S, \w(x) dr) - скалярное произведение вектора скорости w(x) и касательной dt к кривой 5, N= \{w(x)-dn) - поток через эту кривую, \w(x)-dnj - скалярное произведение вектора скорости и нормали dn к кривой S.
Комплексные потенциалы fx (z) = —In 2 и f2(z) lnz,
2тг 2кі z = xi+ix2, определяют соответственно поля скоростей точечного источника и точечного вихря единичной интенсивности. Функция f(z) = является предельной при /г->0 для разделенной разности комплексных потенциалов fx(z + h) и fx(z-h) и трактуется как комплексный потенциал вихревого диполя, расположенного в точке z = 0.
Предположим дополнительно к условию гармоничности, что векторное поле w{x) касается границы S области Q, т.е. граница S является линией тока.
Если область Q - ограниченная, то в этом случае w(x) = О.
Действительно, так как потенциальная функция (р течения гармонична в Q, А<р(х) = 0, а условие касания означает, что ——
w(x) = 0). Таким образом, плоские гармонические векторные поля, удовлетворяющие условию касания границы S, имеет смысл рассматривать только для неограниченных областей.
Модели плоскопараллельного обтекания.
Рассмотрим некоторые модели задач плоского обтекания профилей идеальной несжимаемой жидкости. Здесь мы будем в основном цитировать книги Прандтля [24] и Лаврентьева М.А. и Шабата Б.В. [25].
При бесциркуляционном обтекании плоского произвольного замкнутого контура у потоком идеальной несжимаемой жидкости приходим к парадоксальному результату: и подъемная сила, и лобовое сопротивление равны нулю. Более того, для профилей с острой кромкой появляется парадокс бесконечной скорости в ней, если она не является точкой схода. «Проблема устранения парадоксов нулевой подъемной силы (лобового сопротивления) и бесконечной скорости решается значительно труднее в задачах обтекания контуров, которые имеют острые углы, обращенные острием внутрь контура. Здесь схема идеальной жидкости часто дает большое отклонение от действительности».
Для устранения этих парадоксов предпринимаются многочисленные попытки построения различных моделей обтекания. Одной из первых из них была модель Кирхгофа в задаче обтекания пластины конечной ширины, расположенной перпендикулярно направлению скорости потока на бесконечности (рисЛ). В соответствии с общей теорией скорость течения обращается в бесконечность на краях пластины, а воздействие потока на пластину равно нулю.
Рис. 1.
Рис. 2.
Чтобы избавиться от этих противоречий, Кирхгоф предложил схему течения, при которой с краев пластинки происходит срыв струй, т.е. течение заполняет не все дополнение к отрезку, а лишь его часть, ограниченную кривыми у и у' (рис.2), выходящих из концов отрезка; между этими кривыми образуется застойная зона [24]. Кривые у и у' заранее не задаются, а находятся из того условия, что на них давление (и скорость, по интегралу Бернулли) сохраняет постоянное значение.
Эта схема помогает избежать обоих отмеченных парадокса, но имеет несколько существенных дефектов даже в простом случае обтекания плоской пластины. Например, застойная зона, которая в действительности имеет конечные размеры, в модели Кирхгофа бесконечна и для ее создания требуется бесконечно большая энергия. Описанный метод был распространен на случай контура, состоящего из конечного числа отрезков (Седов Л.И.). Также вариационный метод и метод интегральных уравнений позволили решить эту задачу для широкого круга гладких дуг (Лаврентьев М.А., Биркгоф Г. и Сарантонелло Э.) [26].
Другая модель, предложена Рябушинским в начале XX столетия, наряду с основной обтекаемой пластиной I содержит равную ей по ширине другую фиктивную пластину II, расположенную за первой на расстоянии Н (рис.3).
Линии тока у и у' (струи) должны быть определены так, чтобы давление на них (а, значит, и скорость) были постоянными. В этой схеме
задача решается и тогда, когда обтекаемый контур представляет собой ломаную с прямолинейными звеньями. Теорему существования и единственности и приближенное решение задачи можно
Рис. 3. получить вариационным методом, а также методом интегральных уравнений.
В сороковые годы XX столетия Эфрос новую модель, в которой срывающаяся с пластинки струя у возвращается обратно пластинке и, проходя через нее, уходит в -со вдоль оси симметрии (рис.4). Предполагается, что вдоль этой струи скорость постоянна и, что скорости всюду в потоке меняются непрерывно. Эта модель дает хорошо согласующееся с опытом распределение давления на пластинке; наличие обратной струйки также наблюдается экспериментально. Дефектом является физически невозможное предположение о том, что обратная струя «отсасывается» пластинкой и после прохождения пластинки течет уже по занятому течением пространству, не смешиваясь со старым течением.
Рис. 4. Рис. 5.
Дефект устраняется в схеме Лаврентьева М.А. (1958 г.), которая дает то же распределение давления на пластинке, что и схема Эфроса. В ней делается допущение, что за обтекаемой пластинкой возникают два жидких кольца 8 и 8', которые ограничены пластинкой, отрезком оси симметрии, сходящими с краев пластинки струями у и у' и замкнутыми линиями тока у0 и у'0, ограничивающими кольца изнутри (рис.5). Неизвестные линии у, у' и у0, у'0 определяются из следующих условий: 1) ш у и у' скорость движения в кольцах совпадает со скоростью основного потока, обтекающего пластинку, дополненную линиями у и у', 2) на у0 и y'Q скорость имеет заданную постоянную величину. Расчет по этой схеме делается методами, о которых говорилось выше.
Следующие модели основаны на склеивании потенциальных (гармонических) течений с вихревыми.
В одной из таких моделей обтекания пластинки движение жидкости распадается на три независимых течения: 1) в области >,, ограниченной верхней половиной пластинки, отрезком симметрии (оси Ох) и струей /, срывающейся с верхнего края пластины, 2) в области D[, симметричной Dj относительно оси Ох, 3) в области D0, дополняющей D[ u Dx до всей плоскости (рис.6). Течение в D0 предполагается потенциальным, ав D, и в D[ - вихревым с постоянными завихренностями -со И О) соответственно. Кривые у и у' не задаются, их надо подобрать так, чтобы они были линиями тока, и поле скоростей оставалось непрерывным всюду вне пластинки. \ 4 1 —*~~~~ л -J-*-*
Рис. 6.
Рис. 7.
Однако полное математическое решение и исследование задачи натолкнулось на ряд трудностей и еще не завершено [25]. В частности, доказательство существования и единственности и устойчивости решения получить пока не удалось, как и в случае задач обтекания выпуклых тел (рис.7), для которых строятся модели, также основанные на склейке областей с потенциальным и вихревым обтеканием. «Более того, имеются варианты задачи, для которых при машинном счете обнаружено несколько решений» [25, с. 191] (течение в траншее).
Метод дискретных вихрей.
Рассмотрим метод дискретных вихрей, который в настоящее время является одним из основных методов теории крыла [21].
В плоскости Оххх2 рассматривается задача обтекания контура S. В неограниченной области Q+ требуется определить векторное поле скоростей w(x) = {и(х), v(x)}, х = (х1,х2), стационарного течения, удовлетворяющего условиям: div w(x) = 0, rot w(x) = 0, задана скорость на бесконечности, w(oo) = {u0,v0}, с) граница S является линией тока.
Этот метод опирается на аналитичность комплексной скорости F{z) = u-iv (условие I), условие на бесконечности (условие II) и то, что на S скорость является касательной к границе (условие III). Функция F(z) может быть представлена в области Q+ интегралом Коши F(z) = -Lj^fr + (f#o-iVo), z*Q+. 0) lm s s — z
Переходя на границу при z^-z'eS по формулам Сохоцкого получаем -F(z') = -±-J^ds + (u0-iv0), z'eS, 2%i ss - z где интеграл понимается в смысле главного значения Коши (предполагается, что интегрирование по S производится в положительном направлении обхода - против часовой стрелки).
Отметим, что основное интегральное уравнение с сингулярным ядром (1) для комплекснозначной функции F = u-iv может быть сведено с помощью условия III к сингулярному интегральному уравнению 2-го рода для одной вещественной функции.
В методе дискретных вихрей контурный интеграл в (1) приводится к криволинейному интегралу 1-го рода, имеющему физическую трактовку.
Пусть при положительном направлении обхода точкой z контура S имеем dz = dx + idy = exp(z #(z))cfr, dt = \dz\, zeS, 9{z) - угол между направлением положительной касательной и осью Ох{. Вследствие условия III вектор скорости {и, v) и касательный вектор {dx, dy) на части (вообще говоря, неизвестной) границы S направлены одинаково, на остальной части - противоположно, т.е. F(g) = u + iv = ±\F(g)(exp(i0(g))\, или F(g) = y(s)e-i(Ks\ seS, где y{s) - неизвестная вещественная функция, 6{s) - известная функция для заданного контура. Итак, F(s)ds = y(s)e-imeie(s)dt = y{t)dt, и мы из (1) получаем (ср. (4.1.14), [21])
3 1 f y(s)dt -F(z) = — \ — + (u0-iv0), zeS;
2 2m sz-s(t) параметр t e [0, |»SJ] осуществляет естественную параметризацию s = s(t) кривой S длины \S\, dt- длина элемента дуги.
По условию III вектор {-v, и} и касательный вектор {cos #(), sin 6{s)} ортогональны на S, т.е.
Im[ems)(u-iv)\=0, и мы получаем интегральное уравнение метода дискретных - вихрей (уравнение (4.3.8), с. 88, [21])
1 cy(t)dt . . ч = 0, zgS, (2) 0- /-^^ +(«о-*v0) 2т s z - s(t) т.е. сингулярное интегральное уравнение 1-го рода с неизвестной функцией y{s) на S.
Интегральный элемент
1 y(t)dt 2т z - s{t) является комплексным потенциалом вихря с центром в точке z = s{t) є S и интенсивностью -y(t)dt, т.е. искомая функция y(t) - плотность распределения вихрей на границе.
Основные вычислительные формулы метода получаются из (2) заменой интеграла следующей квадратурной суммой, іШі„ г,. sz-s(t) i=iz-s(ti) При определенном выборе z = zk eS получаем систему линейных алгебраических уравнений для Г{; выбор этих точек может качественно влиять на решение системы и на решение задачи обтекания ([21], с. 117).
Представление функции логарифмическими потенциалами
Предполагается, что S - ограниченная замкнутая кривая (граница односвязной ограниченной области), удовлетворяющая условию Ляпунова, S є С +а, а О. Оператор Кх рассматривается на функциях из пространства L2 (S).
Пусть (р (х) - плотность потенциала Робена на S (т.е. собственная функция оператора, сопряженного интегральному оператору потенциала двойного слоя [27]). Рассмотрим разложение пространства в прямую сумму L2(S) = { p }I?2(S) = {\}Lc2(Q). Обозначим v(x) = Klf. Справедливы следующие свойства 1)-3) оператора Кх.
1). Если f{x) є L2(S), то V(JC) є C(S). є. Разобьем контур на две Действительно, пусть X , X є S. части, S = Sure, где S = Sn{y:\y-x\ Js\, r=S\S, тогда v(x)-v(x) - j\f(y)\\n\x-y\-\n + :рЛ/О0іп -;И-іп in „ x -у x-y ds + CIS — i/j + J 2 Для интеграла Jx имеют место оценки: х -у , In- - = In х-У х -у - + х — х х -у -У In V х -у + х-х л х -у Х-У ) Ґ 1п + Га. 4є, Jx ±-rs\\f{y)\ds \S\\\f\ Для J2 имеем ds, Л:0 -у J2 — \f2{y)ds J 1плг — / - In 2тг г с здесь интегралы по S равномерно по х є S ограничены, а интеграл по г стремится к нулю при є — О вследствие абсолютной интегрируемости f{y) на S. Свойство 1) доказано. 2). Если f{x) zI%{S),to KxfeI (S)nC{S). Действительно, { p\x\Kxf)= \f{y) \ p\x)E{x-y)dsx dsy=R0 \f{y)dsy =0. s s 3). Если потенциал Робена R0 на S равен нулю, то плотность р (х) потенциала Робена не может быть представлена потенциалом простого слоя. Действительно, предположим противное, что р (х) представляется интегралом jp(y)E(x-y)dsy. Умножим обе эти функции скалярно на (р (х), Р О), \Р(У)Е{Х - y)dsy = V s ) = jp(y) j p\x)E(x-y)dsx dsy=R0 \p{y)dsy = 0, s s s и это не может равняться \д ,ср J. Утверждение доказано. Докажем следующую лемму. Лемма 1.3. Линейная функция 1{х) может быть представлена на границе S потенциалом простого слоя, (x)=jg0(y)E(x-y)dsy, xeS, (1.11) s и это представление единственно, если потенциал Робена RQ на S не равен нулю. Доказательство. Функция (х) является гармонической в Q. Возьмем ее производную по внешней нормали к границе S, Лх)=.ад xeSi дп(х) и рассмотрим краевую задачу Аи(х) = 0, xeQ, ди дп s Очевидно, что и(х) =(х) + С, xeQ. Решение этой краевой задачи может быть представлено потенциалом простого слоя [27], Ф) = \g0 (у)Е(х - y)dsy , xeQ, s где g0 (х) - решение интегрального уравнения (\ Л -- 2 ]о =/( ) XES " которое разрешимо по теореме Фредгольма, так как f{x) _L 1.
Представление доказано. Для доказательства единственности предположим противное существование двух представлений с плотностями go Су) и g\(y). Вычитая, получим О = Ifeo(У)-S\ІУ))Е{х-y)dsy , xeS. s Это равенство обозначает, что go(y)- g\(y) — плотность потенциала Робена, и R0 = О, т.е. предположение о противном приводит к противоречию условию леммы. Лемма доказана. Лемма 1.4. Если потенциал Робена R0 на S не равен нулю, то функция р может быть представлена потенциалом простого слоя, и это представление единственно.
Единственность доказывается непосредственно, аналогично тому, как это доказывалось в лемме 1.3.
Рассмотрим теперь задачу представления функции f{x) є L2(S) логарифмическим потенциалом по области Q. Лемма 1.5. Линейная функция (х) на границе S может быть представлена логарифмическим потенциалом по области Q в виде t{x)=\g{y)E(x-y)dy, xeS, (1.12) Q и это представление единственно для g(x) из подпространства гармонических функций, g(x) е G(Q). Доказательство. Рассмотрим краевую задачу A2v(x) = 0, XEQ, = go(x)> S v\s = » Т 16 дп где g0 (х) - плотность потенциала простого слоя в (1.11). Используя интегральное представление для v(x), ее граничные условия и переход на границу, получим О = \Аи(у)Е(х - y)dy - \g0 (у)Е(х - y)dsy , х є S. Q s Интеграл no S равен (x) по (1.11), и представление (1.12) доказано. Для доказательства единственности предположим, что существует другое представление вида (1.12) с гармонической плотностью g\(y). Вычитая, получим
Функция тока присоединенных вихрей Жуковского
При определении величины воздействия потока идеальной жидкости на помещенное в него тело, Н.Е. Жуковский предложил заменить это тело некоторым воображаемым вихрем, линии тока которого совпадают с границей тела ([1], с. 194). Вихрь, замещающий обтекаемое тело, называется присоединенным вихрем.
«Интенсивность присоединенного вихря можно вычислить только при помощи некоторого дополнительного допущения. Таким допущением является постулат Жуковского-Чаплыгина о конечности скорости на задней острой кромке крылового профиля. Пользуясь этим постулатом, возможно теоретически определить величину наложенной циркуляции, или, что то же, интенсивность присоединенного вихря.
В данном разделе будет построена функция тока присоединенного вихря, порождающая обтекающее профиль течение, и указаны алгоритмы ее вычисления.
Идея присоединенного вихря и постулат конечности скорости на задней кромке крылового профиля представляют собой основу всей теории крыла в плоскопараллельном потоке» [1].
Векторное поле скоростей обтекающего потока должно непрерывно продолжаться через границу, переходя в поле скоростей присоединенного вихря. Возможны различные непрерывные продолжения внутрь внешнего векторного поля Wi(x). Определенное далее продолжение удовлетворяет тому естественному условию, чтобы продолженное поле имело бы минимальную завихренность по области Q при заданных граничных условиях.
Присоединенным вихрем в смысле Жуковского для задачи обтекания профиля S называется соленоидальное течение в области Q, совпадающее на границе S с внешним обтекающим полем.
Векторное поле w(x) в ограниченной области Q будем называть регулярным вихрем, если w(x) - соленоидальное векторное поле, дифференцируемое в и касательное к границе S.
Следовательно, поток через границу области Q регулярного вихря равен нулю. Ротор поля w(x) имеет вид rot w(x) = = {о,о,-ди )}. 0,0,--—и(х) + —v( ) дх2 охх
Средней завихренностью гладкого векторного поля w(x) в области Q (среднюю квадратичную завихренность) будем называть интеграл Q= j]rctf w(;t) dx = J(A (x))2 dx. Q Q
Например, векторное поле w{x) = {-x2,xx] является регулярным вихрем в круге Qr = { х: \х\ г) и представляет собой вращение против часовой стрелки жидкости «как твердого тела»; его завихренность постоянна в Qr, со = 2, угловая скорость равна по модулю единице и направлена вертикально вверх. Существует бесконечно много регулярных в Q вихрей, совпадающих на границе с заданным касательным векторным полем, так как существует бесконечно много регулярных в Q вихрей, удовлетворяющих условию прилипания на границе (это вихри с плотностями и подпространства Новикова N(Q)). Векторное поле на границе S в терминах функции тока может быть задано в виде = V ц/(х) п(х) := b(x), xeS. (2.12) s Естественным с физической точки зрения является регулярный вихрь с минимальной средней завихренностью (минимальный вихрь). Рассмотрим задачу минимизации функционала 0.{у/) на множестве функций у/{х), удовлетворяющих условию (2.12).
Выбор циркуляции, условие Жуковского-Чаплыгина
Для численного решения задачи а) - с) функция тока может быть определена в виде у/{х) = (и0х2 - v0X!) + jg(y)E(x - y)dsy . (3.2) s Для получения картин обтекания с различными значениями циркуляции достаточно менять лишь значения Ь = ш\ . Действительно, из леммы 1.3 следует существование и единственность функции g(y) такой, что b-(и0х2 -VQXJ) = \g(y)E{x-y)dsy, xeS, s если значение Я0 потенциала Робена для S не равно нулю (мы будем предполагать выполнение этого условия для крыловидных профилей).
При фиксированной скорости w(co) = {и0, v0} функция g(y), а вместе с ней циркуляция Г, вычисляется по формуле (2.6), определяется выбором постоянной Ъ. Аппроксимации g (у) и y/N (х) плотности g(y) и функции тока у/(х) можно представить в виде gN(y)=hna+n(y), N N у/ (х) = (u0x2 -v0x,) + 2Хо-и( ), и=1 где стп (х) = \аJ (х)Е(х -y)dsy. s Для определения коэффициентов с = (cl, ...,cN) имеем задачу минимизации следующего функционала N Ъ - (и0х2 - v0x,) - 2 с„ т„ (х) и=1 k(S)
Необходимое условие экстремума функции приводит к к системе уравнений с матрицей Грама Ас = d, где элементы а ,7 матрицы А имеют вид aji = \aj (x) ?i{x)dsx х элементы dj правой части d — X dj = j(b-(u0x2 -v0xl)) jj(x)ds s функция 7t{x) = \a[(y)E(x-y)ds . s Правая часть d может быть разложена в сумму вида dj =u0d" +v0dj +bdj, где d" = j(-x2)(Jj(x)dsx , dVj = \xx j (x)dsx и s s dj = \ Tj(x)dsx . Тогда функцию тока y/{x) (3.2) может быть представлена s и в виде суммы трех слагаемых y/(x) = uQy/ (х) + vQy/v(x) + [f/R(x), где U( ) = 2 + \eU ІУ)Е{х-y)ds , y/v (х) = х} - \gv (у)Е(х-y)ds y/R(x)= \gR{y)E{x-y)dsy. Решение вариационной задачи s -б - min в этом случае будет иметь вид с = и0си +v0cv + bcR, где коэффициенты си, cv и cR являются решениями задач и 2(S) -»min, L2(S) - min и R-b — mm, что соответствует для первой из них обтеканию со скоростью на бесконечности w(oo) = {1,0}, во втором - со скоростью vv(oo) = { 0,1} ив третьем - чисто циркуляционному обтеканию (см. п. 3.1).
В представлении (3.2) имеет смысл добавить чисто циркуляционное слагаемое (потенциал Робена), т.е. представление функции тока задачи гармонического обтекания тела целесообразно искать в виде y/(x) = iyw(x) + yR( x), (3.3) где Wwix) = uo (x) + voV(x) потенциал Робена R(x) имеет представление (3.1). В силу произвольности управляющего циркуляцией множителя у перед R(x) в (3.3) будем полагать Ь = у/\„ =1 (для случая одного профиля), тогда ц/ (х) есть потенциал Робена R(x).
Результаты численного эксперимента в виде линий тока для эллипса (с полуосями а = 1, J3 = 2) приведены на рисунках 3.3-3.7. На рисунках 3.3 и 3.4 приведены линии уровня функций тока у/ь (х) и y/v(х) (бесциркуляционное обтекание со скоростями на бесконечности Цоо) = {1,0}и оо) = {0,1}),
Для угла атаки в 10 множитель у перед потенциалом Робена подобран так, чтоб выполнялось условие Жуковского-Чаплыгина схода потока с острой задней кромки (рисунок ЗЛО), и значение у по (3.18), при котором минимальна кинетическая энергия потока на профиле S (рисунок 3.11). Картины обтекания с минимальной кинетической энергией на профиле Жуковского при углах атаки в 60 и 90 (при w = 1) приведены на рисунках 3.12 и 3.13 соответственно [37].
Обтекание полуэллипса
Здесь рассмотрим обтекание полуокружности (R=l, 0 ср л) с w(oo) = {0,1 }, =ld-6. Сначала в качестве вихревой области D бралось полукольцо (1 R 2, 0 (р тг). На рисунках 4.28, 4.29 приведены картины вихревого обтекания при разных значениях N (количества базисных точек), N=50, 80 при одинаковых количествах линий тока. 1 Рис.4.28. w={0,1}, г=Ы-6, N=50. Рис!429.""w= {0,1}, e=ld-6, N=80. На рисунках 4.30, 4.31 в качестве вихревой области D взят полукруг (R 2, 0 р я). Для той же скорости w(oo) = {0,і} нарисованы линии Рис.4.30. w={0,1}, s=ld-6, N=80. Рис.4.31. w={0,1}, e=ld-6, N=80. уровня функции тока (разное их количество). Рассмотрим следующую функцию i//0(x)= \h{y)E{x-y)dy, xeR2, (3.6) Q где h(x)eN(Q), L2(Q) = G(Q)N(Q). Так как V/0(x)eCl(R2) и у/0 (х)= О, xeQ+, то граница S является линией уровня функции у/0 (х) и V y/Q {х) = О при xeS. Вместе с функцией тока у/{х) задачи обтекания в (3.4) рассмотрим следующую функцию (х), ЧЧ ) = \ё(у)Е{ - y)dy + \h(y)E{x -y)dy, xeR2. Q Q Обозначим W(x) = Vcy(x). В области Q+ функции y/(x) и Р(х) щ векторные поля w(x) и W(x) совпадают. В области Q ко внутреннему вихрю w(x), xeQ, может быть добавлен любой вихрь с прилипанием wo(x) = Vci//0(x).
На рисунках 3.26-3.30 приведены картины линий тока внутреннего вихря с условием прилипания на границе для функций Рассмотрим функцию тока у/(х) соленоидального течения в ограниченной области Q, х = (xlf х2) є Q. Если ее граница S- линия тока, то у/{х) = С = const на S. Скорость w(x) и завихренность со{х) определяются через у/{х) равенствами w(x) = {д/дх],-д/дх2}ц/:=Усу/(х), б)(х) = Ац/. «Г Для функции у/(х) воспользуемся общим представлением , .дЕ(х-у) ду/(у) ds. дп{у) дп(у) у/{х)= \(o(y)E(x-y)dy+ \ Q s xeQ, где Е(х) — фундаментальное решение уравнение Лапласа, Ау/ = й). Можно полагать С = 0. Если выполняется условие прилипания w(x) = 0 на 5, то — (х) = 0 на S, и интегралы по S в представлении дп функции тока исчезают. Любая a)(x)eL2(Q) единственным образом представляется в виде 0) = g + h, где g(x) - гармоническая в Q, gd-h, h(x) принадлежит подпространству Новикова N(Q); h(x) є N(Q), тогда и только тогда, когда [31] у/0(х) =: \h{y)E{x - y)dy = 0, х є R2 \ Q. Q Функция y/Q (x) непрерывно дифференцируема в R , т.е. как и для у/(х) имеют место равенства V/o(x) = —y/0(x) = 0, XES. on Для функции V(x)=: \g{y)E{x-y)dy Q также имеют место аналогичные равенства на S, у/ = у/ + у/0. Так как у/(х) -бигармоническая в Q, то у/0(х) = 0 и g(y) = Ау/0(х) = 0 при х е Q. Справедливо следующее утверждение. Л е м м а 3.1. Функция Уо(х) является функцией тока в ограниченной области Q течения несжимаемой жидкости с условием прилипания на границе тогда и только тогда, когда y/0(x) = \h{y)E(x-y)dy, xeQ, Q rzQh(y)eN(Q). Для построения h(y) достаточно взять лапласиан от функции, равной нулю на границе S = dQ вместе со своей нормальной производной.
На рисунке 3.26 для единичного круга приведены линии тока функции y/l{x)-\hl{y)E{x-y)dy, где плотность внутреннего вихря Q hx = A[(1- 2)2J, А - оператор Лапласа, Е(х) - фундаментальное решение 2 2 2 уравнения Лапласа, R = У\ +У2 на рисунке 3.27 - линии тока с плотностью вихрей h2=A p-R2)(l-R2)2\, где р=0.235 (один из экстремумов функции hjiR) достигается при R=0.7). На рисунке 3.27 «вложенные» вихри вращаются в разные стороны [40]. Рис. 3.26. Рис. 3.27. На рисунке 3.28 изображены линии функций тока с плотностью h3 =A[yi(l-R2)2\ на рисунке 3.29 приведены линии тока с плотностями 9 9 9 I соответственно h4 = Am (1-і? ) J, при этом на рисунке 3.28 внутренние вихри разносторонние, на рисунке 3.29 - односторонние [40]. V r И lit////- - "X Чїч\\ I ll1,! ///-- "_ %.. I t! /"Z s\ \ \ \ I l1 "л"// іпчіні/////, v ; и м\ І /! « llll/l/ — .11 f, /- -—- 11- Wfr" ,, , !! V,Kv-- . "I I U ll " I I I I III Jj I II Iі \V//»I, "" ..,,4 7,// »." Ц \ Z SJ/I i lit» »i r- / /, , / Рис. 3.28. Рис. 3.29. На рисунке 3.30 приведены линии тока с плотностью 2 2 I /ь=Д Л 2(1""- ) J ПРИ этом ниже оси X] вихри имеют один знак, выше оси ! - другой знак. На рисунке 3.31 приведены линии тока с =л[оъ2-л)(1-л2)2][40]. Рис. 3.30. Рис. 3.31. Заметим, что скорость w(x) внутреннего вихря там больше, где больше плотность линий тока. dh дп 4,- Заметим также, что для функции h{y), у є S, с условием = 0 в силу общего представления выполняется JAh(y)E(x-y)dy = 0, xeR2\Q, h, xeQ. В [38] приведены линии тока обтекания присоединенного вихря в круге с различными значениями циркуляции и различными значениями интенсивности внутреннего вихря с условием прилипания на границе с I 1 О I 0 1 2 плотностью hl=A l-R ) J, R = ух + у2 . На рисунках 3.32, 3.33 приведены картины обтекания круга со значением циркуляции у= -0.0002 с множителями R при внутреннем вихре R=l и R=2 соответственно. Рис. 3.32. а=30, г= -0.0002. R=l. Рис. 3.33. а=30, у= -0.0002. R=2. Ha рисунках 3.32, 3.33 приведены картины обтекания круга со значением циркуляции у= -0.0008 с множителями R при внутреннем вихре R=2HR=3. 3.4. Функция тока точечного вихря. 3.4.1. Рассмотрим представление в Q+ функции тока точечного вихря, порождающего обтекающее профиль Q течение, в виде у/ю (х) = R \n\z -х\+ \g{y)E{x - y)dsy , х є Q+, s где zeQ+ - центр точечного вихря, R - его интенсивность. Можно полагать, что у (х) на S. Векторное поле скоростей, определяемое приближенной функцией тока N ( ) - + спап(х) есть поле скоростей, задаваемое точечным п=\ вихрем, расположенным в точке zeQ+. Тогда вариационная задача у/" - min приводит к системе линейных алгебраических уравнений 2(5) с" с матрицей Грама для определения коэффициентов с03. На рисунках 3.36 - 3.39 приведены линии тока при обтекании профиля Жуковского со значением коэффициента ju = 0.2: на рисунке 3.36 - с двумя противоположными точечными вихрями в точках z={-2.5, -1} и z={-2.5, 0} с равными по абсолютному значению интенсивностями, на рисунке 3.37 - с четырьмя вихрями в точках {-2.5, 1}, {2, 0.5}, {-2.5, -1} и {2, -0.5} с интенсивностями 1,-1,1, и -1 соответственно [38
