Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнение гидростатического равновесия для быстровращающейся гравитирующей сверхплотной конфигурации 13
1 1 Уравнение, описывающее математическую модель быстровращающейся гравитирующеи сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок 13
1.2 Уравнение равновесия быстровращающейся гравитирующеи сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок в первом постныотоновском приближении 18
2. Математическая модель гравитирующеи быстровращающейся сверхплотной несжимаемой конфигурации в первом постньютоновском приближении 25
2.1 Постановка задачи 25
2.2 Вычисление ньютоновского и постньютоновских гравитационных потенциалов на внутреннюю точку 28
2.3 Расчет параметров модели несжимаемой конфигурации в первом постньютоновском приближении 38
2.4 Оценка погрешности решения уравнений, описываг ющих несжимаемую гравитирующую быстровраща-ющуюся конфигурацию в первом постньютоновском приближении 50
2.5 Регуляризованный аналог метода Ньютона и оптимальный итерационный параметр 54
3 Математическая модель гравитирующеи быстровращающейся намагниченной сверхплотной конфигурации в ньютоновском приближении 59
3.1 Постановка задачи 59
3.2 СР-метод решения системы уравнений определяющих конфигурацию 70
3.3 ПНП-метод решения системы уравнений определяющих конфигурацию 84
Заключение 98
Приложения
- Уравнение, описывающее математическую модель быстровращающейся гравитирующеи сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок
- Постановка задачи
- СР-метод решения системы уравнений определяющих конфигурацию
Введение к работе
Математическое моделирование самогравитирующих систем вещества является в последнее время одним из приоритетных направлений в астрофизике. В первую очередь этому способствовали открытия наблюдательной астрономии таких космических объектов, как квазары, компактные рентгеновские источники (рентгеновские пульсары). Но наибольший интерес в настоящее время вызывают пульсары - вращающиеся намагниченные нейтронные звезды, ось симметрии которых является наклонной к их оси вращения [1,2,3,4,5].
Пульсары были открыты А. Хъюишом и другими в 1968 году [6]. Проблема фигур равновесия быстровращающейся самогравити-рующей жидкой капли долгое время рассматривалась как чисто математическая задача ньютоновской теории гравитации. Изучением данной проблемы занимались такие выдающиеся математики, как Якоби К.Г., Ляпунов A.M. и многие другие. В конце двадцатого века Чандрасекар С. и другие впервые исследовали постньютоновские поправки и реакцию гравитационного излучения на фигуру равновесия [7, 8).
Открытие пульсаров перевело эту проблему в практическую плоскость. Доминирующими факторами в динамике и эволюции пульсаров являются сильное собственное гравитационное поле, быстрое вращение с частотой, достигающей нескольких сотен оборотов в секунду, а также большое давление в центре, поэтому любая реалистическая модель таких объектов должна основываться на об- щей теории относительности (9, 10, 11, 12].
Как правило, звезды обладают магнитным полем, динамическое влияние которого относительно невелико. Но оно может быть важным для установления закона вращения, меридиональной циркуляции, химического перемещения, что сильно влияет на эволюцию звезды. Еще более важна роль магнитного поля в различных проявлениях звездной активности: образования хромосферы, короны и звездного ветра, вспышек, нетеплового нагрева, появления мощных ультрафиолетовых избытков в спектрах звезд. Кроме того, для усиления магнитного поля динамомеханизмами роль вращения является определяющей, что указывает на тесную связь магнитного поля с вращением.
Актуальность математического моделирования сверхплотных конфигураций в значительной степени обусловлена проблемой регистрации гравитационных волн, поскольку отклонения фигуры звезды от осевой симметрии, вызываемые, например, магнитным полем в сочетании с эффектами вековой неустойчивости, делают ее перспективным источником монохроматического гравитационного излучения. Интерес к этой проблеме резко возрос после открытия в 80-х и 90-х годах большого числа миллисекундных пульсаров [13, 14, 15, 16], так как интенсивность гравитационного излучения пропорциональна тестой степени частоты вращения. Важным является то, что уверенный прием гравитационных волн от пульсаров будет, пожалуй, первым шагом на пути к созданию гравитационно-волновой астрономии, открывая новый канал получения информации из космоса, наряду с нейтринным и электромагнитным каналами, которые действуют в настоящее время [17, 18].
Отметим еще одно важнейшее направление в исследовании пульсаров, имеющее конкретные перспективы технического применения. Речь идет о создании уникального стандарта частоты и шкалы вре- мени между импульсами радиоизлучения пульсаров [19, 20, 21). Подобные "часы"лишены основного недостатка квантовых часов любого типа, который заключается в непредсказуемом накоплении ошибки при измерении больших промежутков времени, что имеет принципиальное значение для повышения астрономических наблюдений и космической навигации даже в пределах солнечной системы; проект создания пульсарной шкалы времени, предусматривающий, в частности, вывод на орбиту Земли радиолокационной антенны для приема импульсов, начал прорабатываться в нашей стране и ряде других стран в 1989 году, но был отложен по соображениям ненаучного характера на неопределенный срок. Совершенно очевидно, что в научном обосновании этого проекта проблема конфигурации пульсаров играет очень важную роль.
Для расчета и построения математической модели вращающихся конфигураций разработано много методов. Главная трудность заключается в том, что истинная стратификация центрально конденсированной звезды никогда не известна заранее. Ясно, что если отклонение от сферической симметрии невелико, то можно применить метод возмущений и считать, что влияние вращения сводится к небольшому отклонению от известной сферической модели.
Примерами таких методов являются разложение Клеро-Лежандра, разложение Чандрасекара-Милна и метод квазисферической аппроксимации. Последний еще называют методом двойной аппроксимации: 1) во внутреннем ядре, где центробежная сила всегда мала, применяется разложение первого порядка по параметру v 2) пренебрегается влиянием массы внешних слоев, считая, что сила тяготения порождается только веществом слегка сплюснутого ядра. Главное преимущество этого метода состоит в том, что вращение без особых затруднений удается включить в обычные программы расчета эволюции звезд.
Однако если уравнение поверхности сильно отличается от сферы, то понадобятся другие методы. Одним из самых эффективных методов расчета является метод согласованного поля, предложенный Острайкером и его сотрудниками. Кроме того, этот метод позволяет без дополнительных усилий рассматривать дифференциально вращающиеся модели.
Метод заключается в том, что при помощи уравнения: ф-ф(р;Л, (і) где j-заданная функция от w, a w- доля массы заключенного в цилиндре, задав подходящее пробное распределение плотности Po(lo,z), найдем функцию Ф0(й,г).
Исходя из этой функции и учитывая уравнение:
Р = Р(Ф), (2) можно в свою очередь получить уточненное распределение плотности pi(u>, z). Подставляя эту плотность в уравнение (1), получим уточненный потенциал Фі(а>,г) и т.д. Таким образом, попеременно решая уравнения (2) и (1), мы придем к согласованному решению.
Следует отметить, что для уравнения поверхности, сильно отличающейся от сферы, есть и другие подходы - чисто разностная схема, вариационные методы и.д. [22, 23, 24].
В работе [25] была сделана попытка исследовать структуру газовых масс на примере политроп и случая белых карликов численными методами с использованием компьютерных методов в основном (ньютоновском) приближении.
Политропному случаю соответствует уравнение состояния:
Р = Кр1+«, где п - политропный индекс, К - константа пропорциональности зависит от величины энтропии, приходящей на нуклон, и от химического состава, но не зависит от г и ро(центральная плотность).
В самом общем случае электронное давление ре в белом карлике зависит от плотности р, температуры Т и химического состава. Однако электронный газ в основном объеме белого карлика столь сильно вырожден, что даже при довольно высоких температурах (скажем, Т я» 107 К) в большинстве случаев прекрасным приближением является полное вырождение (Т — О К) по крайней мере в том, что касается глобального внутреннего строения звезды. Другими словами, в первом приближении белый карлик можно рассматривать как баротропу, следовательно: P = af(x), х=(^) где f(x) = х{2х3 - 3){х2 + 1)5 + 3sinh^x, b = 9 106/ге, a /v молекулярный вес электрона. Необходимо отметить, что холодный полностью вырожденный белый карлик можно рассматривать как политропную конфигурацию в предельных случаях низкой плотности (п = 1.5) и высокой (п = 3) [22, 23, 24, 25, 26].
Структура конфигурации в [25] определяется теоремой Гаусса: !„ ..2w92* (і-л т1 дг \ дг J г2 dfx e,i+7^-^ ^ = -4^ вместе с уравнениями гидростатического равновесия: = ,+^,.(1-,,) здесь Ф-гравитационный потенциал, ^-расстояние от центра масс конфигурации. То есть, чтобы найти строение звезды около центра, плотность р и гравитационный потенциал Ф разлагаются в степенные ряды по радиальной переменной. Коэффициенты в этих разложениях в свою очередь разлагаются по многочленам Лежандра Pi(cosd). Аналитическое продолжение, а затем пошаговое интегрирование описывают строение внешних областей. Физические параметры твердотельно вращающихся политроп найдены в диапазоне О < п < 3. При п > 3 метод Джеймса принципиально не применим [22, 23, 24, 25], т.к. при п > 3 становится все труднее хоть с какой-нибудь разумной степенью точности определить внешнюю границу.
Джеймс показал, при п < 0.808 на каждой последовательности осесимметричных твердотельно вращающихся политроп имеется точка бифуркации, в которой ответвляется неосесимметрич-ные фигуры равновесия. Если п > 0.808, то на последовательности твердотельно вращающихся политроп бифуркации нет. Реальные конфигурации имеют реалистические уравнения состояния: Бете-Джонсона, Рейда.
Уравнения состояния ядерной материи называются реалистическими, если они учитывают сильные межнуклонные взаимодействия частиц ядерной материи. Реалистические уравнения состояния удобно рассматривать для двух областей.
Первая область р^ггр < р < рПис ~ 2.8 - 1014^д- сравнительно хорошо изучена. Равновесная материя состоит из обогащенных нейтронами ядер, образующих кулоновскую решетку, электронов и свободных нейтронов. При возрастании плотности свободные нейтроны обеспечивают все большую долю полного давления. При р начинается деформация и разрушение ядер, т.е. ядра начинают распадаться и сливаться.
При более высоких плотностях, р > рпис, давление определяется, главным образом, нуклонами (преимущественно нейтронами), вступающими в сильные взаимодействия. Помимо нейтронов и небольшого числа протонов и электронов возможно появление других элементарных частиц.
При сверхвысоких плотностях, р > Ю12см^ в матеРии появляется заметное количество гиперонов, и взаимодействие между нуклонами должно рассматриваться с учетом релятивистских эффектов. Надо отметить, что уравнения состояния, полученные до настоящего времени, содержат множество неопределенностей.
В данной работе будут использованы следующие реалистические уравнения состояния:
1.Уравнение состояния Бете-Джонсона(ВЛ) описывает состояния конденсированного вещества при 1.7-1014/) < 3.2-Ю16, т.е. при сверхвысоких плотностях. Предполагается, что материя содержит нейтроны, протоны и гипероны с массами, не превышающими массу Д-резонанса, взаимодействие между которыми описывается модифицированным потенциалом Рейда.
2.Уравнение состояния Рейда(Ы) описывает состояния конденсированного вещества при р > 7 1014, Причем основной компонент вещества - нейтроны, взаимодействие между которыми описывается потенциалом Рейда с мягким кором, приспособленным к ядерной материи.
Для сравнения будет рассмотрено уравнение состояния Оппенге-ймер-Волкова (OV), описывающее состояния конденсированного вещества при 0 < р < со, причем основной компонент вещества - нейтроны в этом случае не взаимодействуют между собой, т.е. представляют идеальный невырожденный ферми газ. Кроме того, будут рассмотрены политропные конфигурации для различных значений показателя п.
Как известно, уравнение состояния ядерного вещества связывает давление Р, плотность, температуру Т и химический состав звезды. Символически это можно записать следующим образом:
Р = Р(р,Т,\ь\2,...).
Однако в случае холодных белых карликов или нейтронных звезд температура фактически всюду равна нулю и, следовательно, всюду 5 = 0. В силу этого уравнение состояния можно взять в виде р=Р(р).
Необходимо отметить, что реалистические уравнения состояния представлены в литературе в виде численных данных или графиков зависимости давления от плотности.
Точные решения уравнения Эйнштейна в настоящее время получены лишь для малого количества частных случаев. Для реальных систем, какими являются релятивистские гравитирующие быстро-вращающиеся звезды, получить точные решения, по-видимому, не представляется возможным. Поэтому на данный момент лишь математическое моделирование этих систем с тонким анализом допускаемых упрощений и приближений является основой для связи между наблюдательной астрономией и теорией.
Для пульсаров (пока единственных наблюдаемых нейтронных звезд) естественным приближением является постньютоновское приближение, общая схема которого хорошо изучена [27,28,29,30].
В этой работе метод постньютоновских разложений применяется к нейтронным звездам: сделан конкретный выбор параметров разложения и постньютоновских потенциалов, учтено магнитное поле, постньютоновские уравнения для рассматриваемой системы выписаны явно [31, 32], составлен комплекс программ символьно-численных вычислений для решения этих уравнений, и проведено их решение для несжимаемой конфигурации при различных значениях отношения центрального давления к плотности энергии в центре этой конфигурации. Альтернативная схема постньютоновских разложений для релятивистских самогравитирующих звезд развита Чандрасекаром [33], однако без учета магнитного поля.
Ввиду чрезвычайной сложности как аналитических, так и численных расчетов возникает необходимость использования компьютерных методов [34, 35, 36, 37, 38, 39]. Мы воспользовались пакетом символьной и численной математики MAPLE.
Система компьютерной математики MAPLE была выбрана не случайно. В рамках этой системы можно быстро и эффективно выполнять не только символьные, но и численные расчеты, причем это сочетается с превосходным средством графической визуализации и подготовки электронных документов. MAPLE является одним из лидеров среди подобных себе систем. Ядро MAPLE используется в ряде других математических систем, например, MATLAB и Mathcard, для реализации в них символьных вычислений [40,41,42,43]. MAPLE - типичная интегрированная система. Она объединяет в себе: -мощный язык программирования -редактор для подготовки и редактирования программ -ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений -численный и символьный процессор -систему диагностики -библиотеки встроенных и дополнительных функций -пакеты функций сторонних производителей и поддержку неко- торых других языков программирования и программ.
Необходимо отметить, что последние реализации MAPLE являются одними из самых надежных систем компьютерной математики. Надежных прежде всего в смысле высокой достоверности получения правильных результатов при сложных символьных вычислениях. Это первая система компьютерной математики, успешно прошедшая тестирование на задачах повышенной сложности, предлагаемых для оценки качества подобных систем.
Целью исследования данной диссертации является построение с использованием символьно-численных методов математической модели гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации в несжимаемом случае с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении, а также использование полиномов наилучшего приближения в пространстве квадратично интегрируемых функций для математического моделирования гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния Бете-Джонсона (BJ) и Рейда (R), уравнением состояния Оппенгеймер-Волкова (OV), уравнениями состояния в виде политроп с наиболее интересующими нас значениями их показателя п [22, 44].
Уравнение, описывающее математическую модель быстровращающейся гравитирующеи сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок
В изложении этой главы будем следовать работе (45]. Классическая теория ньютоновских вращающихся гравитирую тих конфигураций [23, 25, 46] может давать только достаточно грубое приближение в описании пульсаров [47, 48], вращающихся намагниченных нейтронных звезд. Для массивных и быстровра-щающихся нейтронных звезд релятивистские эффекты становятся не только заметными, но и в некоторых случаях определяющими характер конфигурации. Релятивистские эффекты определяются тремя независимыми параметрами -у = " ТїК к" (- о и Ро -давление и плотность в центре конфигурации, с - скорость света, = 2TYG\2 є = мз 3 " гравитационная постоянная, w - угловая скорость вращения конфигурации, ai,a3 - полуоси сфероида, аппроксимирующего поверхность конфигурации) [49]. Для милли-секундных пульсаров 7 0-07, -- 0.3, -у—- 0.08, что, несомненно, указывает на существенную роль релятивистских эффектов в данном случае.
Целью данной главы является получение уравнения, описывающего вращающиеся гравитирующие конфигурации с учетом релятивистских поправок порядка 7 Для последовательного учета поправок ОТО в постньютоновском приближении при описании гравитирующих систем нужно найти поправки не только в уравнениях, определяющих распределение вещества и его движение, возмущения метрики внутри и вблизи этих систем, но и одновременно в формулах для интенсивности гравитационного излучения с требуемой степенью точности [31].
Для решения поставленной задачи будем следовать работе [31], в которой построена более эффективная по сравнению со стандартной схема постпьютоновских приближений.
Постановка задачи
В этой работе подробно рассмотрим несжимаемый случай конфигурации. В случае стационарного вращения гравитирующая быстровращагощаяся намагниченная сверхплотная конфигурация в несжимаемом случае р = const будет определяться уравнениями (1.14) и (1.15).
Решение уравнений (1.14) и (1.5) зависит от неизвестной нам границы конфигурации р(х, у, z) = 0. Как правило, эта граница имеет сложный вид, затрудняющий аналитические вычисления. Ее легко учесть, если эта граница представляет собой эллипсоид и в частном случае сферу в отсутствии вращения конфигурации, когда решение можно искать зависящим от одной сферической координаты г. Эллипсоидальная граница может иметь место для случая несжимаемой конфигурации в ньютоновском приближении, что в нашем случае не выполняется.
Как и в наших работах [49, 60, 62], мы будем искать границу конфигурации в виде фигуры близкой к эллипсоиду, т.е. аппроксимируем реальную границу конфигурации возмущенной эллипсоидальной поверхностью 8D вида где х\ = --, Х2 = -, #з = f-, 0-1,0,3 - полуоси эллипсоида вращения, которые наряду с 2ф параметризуют 5D. Для достаточно гладких поверхностей выбором полуосей а\ и аз можно коэффициенты Zl3k сделать достаточно малыми, чтобы в дальнейшем использовать метод разложения функций, зависящих от формы поверхности конфигурации, в ряд Бурмана-Лагранжа [63] по степеням малых коэффициентов Ъф.
Эти ряды использованы нами непосредственно при составлении программы символьных вычислений ньютоновского гравитационного потенциала Ф, а также постиьютоновских гравитационных потенциалов Фз, L входящих в уравнения (1.14), (1.15) [64]. Условие малости Zl3k необходимо для сходимости соответствующих рядов.
Использования разложений интересующих нас аналитических функций в ряд Бурмана-Лагранжа по степеням аналитической функции, представляющей возмущение эллипсоидальной поверхно сти 2 Zl3kX\x32x позволяет нам учесть с нужной степенью точности, сохраняя нужное число членов разложения до определенного номера члена ряда Бурмана-Лагранжа s, влияние границы конфигурации на решение уравнений, определяющих эту конфигурацию. Полуоси эллипсоида и коэффициенты Zt3k, возмущающие эллипсоидальную конфигурацию, выбираются из условия минимума квадрата плотности на этой поверхности.
СР-метод решения системы уравнений определяющих конфигурацию
Суть метода заключается в том, что в ситеме уравнений (3.13) мы отбрасываем все члены разложения степени больше Р, тогда (3.13) примет вид с учетом (3.14а):
В этом случае погрешность решения (19) будет определяться Лі = \\Н(р+2,Рт\хі}Х2,%з)\\ в 2 при подстановке решений (3.17).
Поскольку в (3.13) отброшенные члены степени больше Р пренебрежимо малы в центре конфигурации, то этот метод дает асимптотически точное в центральной области конфигурации решение. Построив это решение, мы продолжаем его аналитически до границы конфигурации. При этом погрешность решения системы (3.13) будет связана с уклонением построенного решения от точного в приграничной области конфигурации. Симметризуя и антисимметризуя по первым двум индексам систему (3.17), получаем систему уравнений для определения р{аь)с.
В (3.18а) мы отбросили малый член П{т)(аь)с, который дает лить несущественную поправку порядка кт.
С физической точки зрения є свободный параметр, а е вычисляемый. Однако из удобства вычислений проще считать е свободным параметром, а є вычисляемым. В результате все параметры конфигурации будут зависеть от е, х, рт.
В дайной работе, как и в [49, 60, 62], все вычисления будут проводиться при х = 1.
Подставляя (3.15) в (3.17), получаем систему уравнений, представляющую многочлены по степеням малого параметра X. Поэтому возможно использовать метод разложения по малому параметру X. В первом приближении положим X = 0 и найдем значения рас и Zifc, соответствующие фигуре вращения. В этом приближении положим Ко = KQQ, Є = SQ. Двумерные массивы неизвестных в системе (3.18а) Zrk, рас, Ко = -К(хь є = єо обозначим, как ут(т = 1,2...Ni)t где Ni = (Р + 2)(Р + 4) + (L + 2)(IF + 4). При Р = 6, I = 2 получаем ЛГХ = 13. Связь между переменными выглядит следующим образом:
В этом случае уравнения (3.18а) представляют собой систему из 13 нелинейных алгебраических уравнений:
Вследствие плохой обусловленности матрицы Якоби этой системы для ее численного решения мы использовали регуляризованныи аналог метода Ньютона [79] с параметром регуляризации а — 10 6, итерационная схема которого (2.28) была рассмотрена и реализована в наших работах [49, 60, 62] и главе 2 диссертационной работы.
Как уже говорилось, программа расчета по этой схеме реализована в одном и том же комплексе программ в рамках пакета MAPLE, что и ранее приведенные символьные вычисления Фаьс и Фц&. Сочетание в себе возможности реализации как символьных, так и численных алгоритмов не только в комплексе, но и в одной программе символьно-численных вычислений выгодно отличают MAPLE от других математических пакетов для решения задач, подобных задачам, которые мы решаем в этой диссертационной работе.
