Введение к работе
Актуальность темы. Методы для отыскания оптимального размещения некоторого множества объектов в заданной области или же получения некоторой оптимизированной области в результате оптимального распределения некоторого множества объектов относятся к так называемым труднорешаемым задачам, изучению которых в последние 15-20 лет уделяется большое внимание исследователей многих математических школ. Подобными и близкими задачами занимались в разное время В.Л. Рвачев, И.В. Кузьмин, Л.И. Нефедов, В.В. Евсеев, В.Н. Паймушин, М. Гери, Ц. Джонсон, X. Пападимитриу, К. Стайглиц, Р. Тамассиа, Ф. Препарата, Дж. Лиотта и другие. Решение таких задач в некоторых случаях осложняется тем, что a priori оптимальное решение может быть получено лишь в результате полного перебора всех возможных размещений (распределений), что само по себе невозможно из-за ограниченности машинных ресурсов. Не менее актуальными являются также и исследования по нахождению методов математического моделирования для решения задач о процессах приближения заданной поверхности определенными классами других поверхностей, что, в частности, является необходимым при поиске новых подходов и создании технологий обработки деталей машин, механизмов летательных аппаратов и т.д- Способы решения как первого класса задач, представляющих интерес в виду многочисленных и разнообразных приложений в самых различных областях проектирования, так и задач второго класса, необходимость решения которых является очевидной также в связи с большим числом приложений, затребованы развитием современных технологических процессов, процессов организации управления и контроля и т.д. Методы математического моделирования для таких задач во многих случаях не были разработаны до сих пор. В то же время развитие
вычислительной техники позволяет решать все более сложные задачи, математическая постановка и методы решения которых ранее не представлялись возможными из-за ограниченности машинных ресурсов.
Цель диссертации состоит как в анализе известных методов решения указанных задач, так и в построении новых адекватных методов. При этом для задач об оптимальном размещении геометрических объектов на некоторой плоской области при условии минимизации определенной целевой взвешенной функции от геометрических характеристик такого размещения (длин путей прохождения объектов) одной из целей явилось как построение конструктивных методов решения задач, в которых область оптимального размещения строится в процессе выполнения определенных алгоритмов, так и создание комбинированных методов для решения таких задач в том случае, когда имеются ограничения на форму области. Для задач второго класса цель работы состояла в получении математического аппарата, который бы позволил как разработать новый подход к решению проблем приближений поверхностей, так и затем решать такие задачи при помощи новых методик.
Научная новизна работы. Созданые методы решения задач об оптимальном распределении (для случаев как с ограничениями на результирующую область, так и без них) и задач о приближении поверхностей являются новыми. Также новыми являются и предлагаемые в работе подходы к созданию нового технологического инструментария для решения задач второго класса и методы решения задачи приближения поверхности при помощи вычислительного моделирования процессов обработки. С помощью разработанных методов удается как построить новые конечные более эффективные решения машинного и смешанного (машинно-экспертного типа) задач о размещениях, так и разработать эффективные подходы для решения задач о приближении поверхностей.
Практическая значимость диссертации. Результаты, полученные в диссертации, а также разработанные здесь методы и подходы позволяют решать довольно большой круг практических задач, возникающих, например, при проектировании панелей управления сложными системами, проектировании и создании как больших интегральных схем, так и сложных плат печатного монтажа.
Методами, разработанными для решения задач о размещениях, можно воспользоваться также для конфигурирования геометрически оптимального размещения ресурсов.
Результаты исследований по приближению поверхностей позволяют ставить и решать задачи разработки новых станков с компьютерным управлением для обработки сложных деталей, например, подвергающихся аэрогидродинамическим воздействиям, а также деталей оптических установок.
Самостоятельный интерес для приложений представляют также новые схемы построения слайн-функций на базе кривых второго порядка для приближения гладких функций с оптимизацией по усредненному отклонению.
Достоверность результатов диссертации обеспечена строгостью постановок задач, применением математических построений и моделей, адекватность которых либо строго доказуема, либо очевидна. Достоверность результатов также подтверждается численными экспериментами на ЭВМ.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на городском семинаре по конструктивной теории функций (рук. проф. Б.Г.Габдулхаев, 1991г., 1993 гг.), Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992 г.), Итоговых конференциях Казанского государственного университета (1994г.), Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию Б.М.Гагаева (Казань, 1997 г.), семинаре кафедры вычис-
лительной математики Казанского государственного университета (1997 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата. В работе [1], выполненной совместно с ИА-Литвиновым и Н.М.Бухараевым, автору принадлежит постановка задачи, разработка основного конструктивного метода и алгоритма решения задач, соавторам - создание программы алгоритма, создание программы метода случайных испытаний, использованного для сравнения, и проведение численного эксперимента для ряда задач.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 65 названий w имеет общий объем ПО страниц машинописи.
