Введение к работе
Актуальность темы. С интенсивным внедрением в современные исследования методов математического моделирования, описывающих различные процессы и явления, связано появление систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в различных областях науки. Известно1, что конечным этапом решения задач математического моделирования становится необходимость решить СЛАУ, как правило, большой размерности, достаточно точно и быстро. В настоящее время, по оценке аналитиков, около 80% задач, решаемых на ЭВМ, являются задачами линейной алгебры, т.е. решение СЛАУ. По этой причине теория итерационных методов решения СЛАУ является быстро развивающейся областью современной математики.
Изучаемая в данной работе математическая модель процесса заиления подходных судоходных каналов также свелась к необходимости решения СЛАУ, матрица которой обладала некоторыми важными свойствами, что позволило развить специальный класс итерационных методов, которые эффективно решают поставленную задачу. Таким образом, удалось разработать устойчивые вычислительные алгоритмы, описывающие процессы движения жидкости в судоходном канале и перенос взвешенного грунта.
В качестве исследуемого объекта был выбран Таганрогский залив Азовского моря. Мелководность Таганрогского залива сильно усложняет подход судов к портам городов Таганрог и Ейск, а также к устью реки Дон. Для решения этой проблемы в мелководных районах сооружаются подходные судоходные каналы. В процессе эксплуатации данные каналы заиливаются и требуют регулярного очищения. Наиболее распространенным способом борьбы с заилением являются периодические дноуглубительные работы, которые обеспечивают заданную проходную глубину. Извлеченный из каналов грунт транспортируют на одну из свалок, расположенных на акватории Таганрогского залива. Данные мероприятия являются достаточно трудоемкими и требуют больших материальных затрат, поэтому изучение процессов размывания дна, переноса размытого грунта и его оседания имеют особую актуальность.
К настоящему времени уже накоплен достаточно большой опыт в решении гидрофизических задач для водоемов различной морфологии методами математического моделирования. Этот опыт отражен во многих работах отечественных научных коллективов, в частности, таких как ИММ РАН, ИВМ РАН, ИПМ РАН, ГОИН, ИВМ и МГ СО РАН. Очень важное значение для моделирования гидрофизических процессов в Азовском море представляют результаты натурных исследований гидрологии моря, полученные учеными ЮНЦ РАН (рук. академик Г.Г. Матишов) и ТТИ ЮФУ (рук. профессор А.И. Сухинов). Поэтому в настоящее время актуальным становится соз-
А.А.Самарский, Е.С.Николаев Методы решения сеточных уравнений. М. Наука, 1978
дание комплексной математической модели, учитывающей современные натурные данные и различные факторы, влияющие на процесс изменения донной поверхности водоемов, а также эффективных методов ее реализации.
Важной особенностью предлагаемой модели является то, что гидродинамическая составляющая содержит не только модель ветрового течения, но также и модель струи, образованной вращением гребного винта корабля и перемещающейся вместе с кораблем вдоль канала.
При рассмотрении модели транспорта вещества в канале учитывается изменение формы дна судоходного канала, происходящего за счет размывания и оседания взвешенного донного грунта, и, как следствие, изменение расчетной области для гидродинамической составляющей.
Учет затопленной струи от гребного винта корабля сильно увеличивает конвективные процессы в канале, что приводит к преобладанию в задаче конвективных процессов и вызывает необходимость решения, в конечном счете, больших сильно несимметричных СЛАУ.
Целью диссертации является развитие специальных итерационных методов, их теоретическое исследование, численная и программная реализация для комплексной математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов. Это связано с разработкой устойчивых вычислительных алгоритмов, описывающих процессы движения жидкости в судоходном канале и перенос взвешенного грунта. Учет в модели струи от гребного винта, движущегося по каналу корабля, существенно усложняет численное решение задачи, так как в этом случае процессы конвективного переноса становятся преобладающими. Это накладывает существенное ограничение на использование стандартных разностных схем и приводит к необходимости разработки новых итерационных методов их решения.
Таким образом, одной из основных целей работы стала разработка численных методов, эффективно решающих задачи с преобладающей конвекцией.
В соответствии с поставленными целями необходимо решить следующие задачи:
построить модель течений в подходных судоходных каналах;
построить модель переноса донного материала;
предложить способы аппроксимации построенных моделей, которые сводят исходную задачу к СЛАУ с известными свойствами;
разработать специальные итерационные методы решения полученных в результате аппроксимации задач СЛАУ;
программно реализовать алгоритмы, используемые для решения построенных моделей.
Объектами исследования в представляемой работе являются подходные судоходные каналы, прорытые по дну Таганрогского залива к портам Таганрог, Ейск, а также к основному руслу реки Дон.
Научная новизна. Данная работа посвящена развитию специальных итерационных методов для комплексной математической модели процесса заиления подходных судоходных каналов, включающей в себя гидродинамику ветрового течения совместно с перемещающейся струей от гребного винта корабля, а также процессы взмучивания, оседания и переноса взвешенного донного осадка. Представляемая комплексная модель процесса заиления подходных судоходных каналов ранее никем не рассматривалась.
Разработана специальная методика исследования сходимости двухпа-раметрических итерационных методов, которая была использована, в частности, для исследования кососимметрических итерационных методов.
Получены условия сходимости специальных итерационных методов решения сильно несимметричных СЛАУ, найдены оптимальные итерационные параметры.
Предложены и исследованы способы аппроксимации уравнений, описывающих составляющие части модели переноса взвешенного донного материала.
Получены условия устойчивости для уравнения переноса с краевыми условиями 3 рода.
Применение разработанных автором итерационных методов решения задач с преобладающей конвекцией сильно несимметричных СЛАУ, эффективность которых установлена численным сравнением с существующими подобными методами, представляет основной элемент новизны.
Методы исследования. За основу теоретического исследования взята методология математического моделирования и вычислительного эксперимента, предложенная академиком А.А. Самарским и развитая в работах ученых его научной школы, а также других российских и зарубежных исследователей. Эта методология включает в себя фундаментальные положения и общие принципы теории операторно-разностных схем, а так же теории итерационных методов и матричных вычислений.
Достоверность. Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование, полученные данные вычислительных экспериментов хорошо согласуются с теоретическими результатами, а также с результатами других авторов.
Практическая значимость. Разработанные в диссертации итерационные методы могут быть использованы при решении задач, сводящихся к решению сильно несимметричных СЛАУ. Результаты работы были представлены в следующих грантах:
РФФИ, грант №03-01-00005 "Решение стационарного уравнения конвекции-диффузии в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией итерационными методами с переобуславливателями". Руководитель КрукиерЛ.А. 2003-2005.
Университеты России, грант №УР.03.01.273 "Численное решение задач математического моделирования конвективно-диффузионных про-
цессов в средах с преобладающей конвекцией". Руководитель Круки-ерЛ.А. 2003-2005.
Фундаментальная НИР (по НТП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы») "Разработка и обоснование математических моделей гидрофизических процессов во внутренних водоемах и их реализация на многопроцессорных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2006 10871, 2006- 2008.
В рамках программы № 14 фундаментальных исследований Президиума РАН раздел II: «Высокопроизводительные вычисления и многопроцессорные системы» "Создание математической модели процесса миграции радионуклидов в районе Ростовской АЭС и ее численная реализация на многопроцессорных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л.А. 2006-2008.
РФФИ, грант №06-01-00038-а "Разработка эффективных методов решения задачи конвективно-диффузионного переноса вещества в несжимаемых средах с доминирующей конвекцией". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2006 10873, 2007-2008.
Фундаментальная НИР (по НТП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы») "Разработка и реализация комплексной математической модели распространения радионуклидного загрязнения в водной и воздушной среде на высокопроизводительных вычислительных системах". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2009 56227, с 2009.
РФФИ, грант №09-01-00023-а "Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса на многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью". Руководитель Крукиер Л.А. гос регистрация 01 2009 56226, с 2009.
Рассмотренная в работе модель позволяет анализировать гидродинамические и транспортирующие процессы в судоходном канале для оценки состояния донной поверхности.
Полученные теоретические результаты исследований могут быть использованы в образовательных целях для студентов и аспирантов в виде специальных курсов по математическому моделированию и вычислительной математике.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:
Advanced Mathematics, Computations and Applications (AMCA-95). (Novosibirsk, June 20-24, 1995).
Международная конференция «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике», ИММ, ИПМ УРО РАН, г. Ижевск, 1996.
IMPC'97.Czech-U.S. Workshop on Iterative Methods and Parallel Computing. Milovy, Czech Republic, June 16 - 21, 1997.
International Conference on Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis (EMMNA' 99), г.Ростов-на-Дону, 1999.
16th IMACS WORLD CONGRESS 2000. On Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Lausanne-Switzeland. August 21-25, 2000.
IV Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNG-2002) / XIX Международный семинар по струйным отрывным и нестационарным течениям. 24-28 июня, 2002, Санкт-Петербург.
The First International Conference "Computational Methods in Applied Mathematics" (CMAM-1), Minsk, Belarus, June 20-24, 2003.
The First International Conference on Numerical Algebra and Scientific Computing (NASC06), 2006.
International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics», MSU, Moscow, 2006.
European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH). 10.-14.09.07. Graz, Austria.
Международная научная конференция «Актуальные проблемы математики и механики» (к 75- летию НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского университета). РФ, Казань, 7-14 октября 2009 г.
На Всероссийских и региональных конференциях и Школах-семинарах:
Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 1997 г.
Конференция «Математика в индустрии», Таганрог, 1998.
VIII Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти академика А.Ф. Сидорова, Пущино 2000 г.
Всероссийская конференция «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», п. Абрау-Дюрсо, 2000 г.
I, II, III Всероссийские конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященные памяти академика А.Ф.Сидорова, п. Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006 гг.
Молодежные школы «Комплексные гидробиологические базы данных: ресурсы, технологии и использование» и «Адаптация гидробионтов», Ростов-на-Дону, 2005.
I-XV Всероссийские Школы-семинары«Современные проблемы математического моделирования », п. Абрау-Дюрсо, 1990 -2009 годы.
XIV, XV, XVI Всероссийские конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященные памяти К.И. Бабенко, п. Абрау-Дюрсо, 2004, 2006, 2008 гг. Публикации. По теме диссертации опубликованы 57 работ, из них 1 монография, 9 статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК. Имеется 2 свидетельства об официальной регистрации созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской федерации.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 293 наименования. Работа содержит 42 рисунка, 19 таблиц. Полный объем диссертации составляет 317 страниц.
