Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Состояние вопроса 13
ГЛАВА 2 Рост трещины гидроразрыва в плоско-деформированном пласте 29
2.1 Постановка задачи 29
2.1.1 Динамика ньютоновской жидкости в трещине 30
2.1.2 Рост трещины в плоско-деформированном упругом массиве 32
2.1.3 Простейшая самосогласованная модель 36
2.1.4 Модель с учетом трещиностойкости 40
2.1.5 Модель с учетом трещиностойкости и лага 43
2.2 Автомодельные решения и предельные автомодельные режимы 47
2.2.1 Простейшая самосогласованная модельч 47
2.2.2 Модель с учетом трещиностойкости 53
2.2.3 Модель с учетом трещиностойкости и лага 56
2.3 Численное решение 61
2.3.1 Простейшая самосогласованная модель 61
2.3.2 Модель с учетом трещиностойкости 64
2.3.3 Модель с учетом трещиностойкости и лага 68
2.4 Анализ результатов моделирования 74
2.4.1 Простейшая самосогласованная модель 74
2.4.2 Модель с учетом трещиностойкости 78
2.4.3 Модель с учетом трещиностойкости и лага 80
ГЛАВА 3 Образование складчатых структур в упругопластическом пласте 84
3.1 Кинематика деформаций. Двумерная однородная деформация простого сдвига 84
3.2 Первичная неустойчивость и неустойчивость в малом по Друккеру .87
3.3 Пример модели упругопластического тела 91
3.4 Алгоритм отыскания первичных форм потери устойчивости 93
3.5 Результаты расчетов 96
Заключение 99
Рисунки 102
Литература
- Рост трещины в плоско-деформированном упругом массиве
- Автомодельные решения и предельные автомодельные режимы
- Простейшая самосогласованная модель
- Пример модели упругопластического тела
Введение к работе
Актуальность
Образование и рост трещин являются важными составляющими многих природных и техногенных геологических процессов, происходящих в земной коре. В последнее время активные исследования данных явлений связаны в первую очередь с широким распространением технологии гидравлического разрыва пластов (ГРП) на месторождениях углеводородов, применяемой для повышения продуктивности. ГРП представляет собой создание искусственной трещины в геологическом пласте под действием расклинивающего давления жидкости, нагнетаемой через скважину.
Серьезные последствия некачественного проведения ГРП с одной стороны и большая стоимость самой операции с другой обуславливают необходимость моделирования роста трещины. Однако задача определения всех характеристик трещины ГРП в реальном времени на месторождении до сих пор остается нерешенной, что связано с большим количеством взаимосвязанных процессов, которые должны быть учтены: течение жидкости разрыва в трещине и в пласте, деформация и разрушение породы, распространение примесей, предназначенных для закрепления трещины и т.п.
Первая часть настоящей диссертационной работы посвящена разработке эффективных методов численного моделирования ГРП на основе моделей с упрощенной геометрией трещины, которые позволяют вычислить основные характеристики трещины и хорошо работают для широкого круга ситуаций.
Одним из важнейших вопросов, которые не могут быть учтены в рамках моделей с упрощенной геометрией, является определение направления роста трещины. В подавляющем большинстве случаев трещина ГРП развивается в плоскости перпендикулярной минимальному главному напряжению во вмещающей среде. Если данный факт не учитывать при подготовке ГРП, то итоговая трещина будет изогнута, что существенно уменьшит ее эффективность. Одним из способов получения информации о внутренних напряжениях на месторождении является анализ распределения трещин естественного происхождения различных масштабов. В частности, при исследованиях строения горных пород зачастую обнаруживают системы крупных параллельных трещин, носящих название складчатых структур. Моделирование возникновения складчатых структур в изначально однородном пласте осадочной горной породы, которому и посвящена вторая часть настоящей диссертации, позволяет в частности получить информацию о напряжениях, возникающих в породе в процессе формирования трещин.
Цель работы
Целью настоящей работы является разработка и исследование методов моделирования возникновения и распространения трещин в горных породах, позволяющих повысить эффективность применения ГРП.
Исследование моделей развития трещины ГРП в плоско- деформированной среде и выбор модели, позволяющей наиболее полно описать процесс ГРП, но при этом допускающей построение эффективных вычислительных алгоритмов для расчетов прямо на месторождении.
Выявление качественных особенностей поведения трещины ГРП в рамках выбранных моделей в зависимости от значений управляющих параметров задачи.
Разработка и реализация в виде комплекса программ эффективных численных методов для моделирования ГРП в плоско- деформированной среде.
Исследование принципиальной возможности моделирования зарождения систем параллельных трещин в горной породе как результата локализации пластических деформаций при потере устойчивости в процессе закритического деформирования.
Научная новизна
Методами подобия и размерности исследованы автомодельные решения, допускаемые уравнениями, описывающими рост трещины ГРП в плоско-деформированной упругой изотропной среде, в том числе для всех физически содержательных асимпто-
тических случаев вырождения задачи по управляющим параметрам. Получены условия симметрии системы уравнений относительно групп преобразований подобия и сдвига по времени, что позволило найти автомодельные переменные и характер зависимости от времени величин, входящих в задачу.
Показано, что решение задачи о росте трещины ГРП в плоско- деформированной упругой изотропной среде имеет автомодельную асимптотику, что позволяет достаточно произвольно выбирать начальные данные при численном моделировании, поскольку их особенности забываются с ростом трещины.
Установлено, что автомодельный режим решения задачи о росте трещины ГРП с учетом лага и трещиностойкости в практически наиболее важном случае ненулевого горного давления и постоянной скорости закачки совпадает с автомодельным решением задачи без учета лага, а в случае возрастающей скорости закачки с автомодельным решением задачи без учета трещиностой- кости и лага. Выход на автомодельность происходит неравномерно по пространству и времени.
Численными методами получены формы неустойчивости для мизесова упругопластического тела, подвергающегося сдвиговым деформациям. Первичная неустойчивость проявляется в виде периодической системы параллельных полос малой ширины с пластическими деформациями, разделяющих области с упругими деформациями. Качественно похожая картина деформаций наблюдается в складчатых структурах, что показывает принципиальную возможность моделирования их возникновения на основе выбранного в работе подхода.
Практическая и научная значимость
Разработаны алгоритмы, реализованные в виде комплекса программ, для численного решения задачи о формировании трещины ГРП в плоско-деформированной упругой среде с учетом начальных данных, что позволяет рассмотреть процесс развития трещины до момента выхода на автомодельную асимптотику. Созданный комплекс программ представляет интерес для исследования режимов развития и управления ростом трещины в реальном времени при проведении ГРП.
Разработан алгоритм численного решения задачи о нахождении первичных форм потери устойчивости разупрочняющегося упругопластического тела, который может быть применен для численных исследований при произвольных упругопластических определяющих соотношениях. Показана принципиальная возможность моделирования возникновения складчатых структур как формы проявления внутренней неустойчивости упругопла- стического пласта.
Обоснованность и достоверность
Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается физической обоснованностью постановок задач, строгим аналитическим характером их рассмотрения с применением современного математического аппарата механики деформируемого твердого тела, применением теоретически обоснованных вычислительных методов, согласованностью результатов численного моделирования с аналитическими выводами автора и ряда классических опубликованных результатов ведущих исследователей в этой области, а также с данными эксперимента.
Апробация результатов
По результатам работы на разных стадиях ее выполнения в период с 2007г. по настоящее время был сделан ряд докладов на семинарах и конференциях. Среди них:
-
-
Научная конференция «Ломоносовские чтения», Москва, апрель 2007 и 2009.
-
Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», Москва, июнь 2009.
-
7-я всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России», Москва, январь 2007.
4. Семинары кафедры механики композитов и кафедры вычислительной механики Механико-математического факультета
МГУ.
Публикации
Результаты диссертации с достаточной полнотой отражены в 7 научных работах, среди которых две публикации в журналах из перечня ВАК, один препринт, а также четыре доклада в сборниках материалов и тезисов научных конференций:
Структура и объем диссертации
Рост трещины в плоско-деформированном упругом массиве
С механической точки зрения гидроразрыв пласта представляет собой развитие трещины в неоднородной упругой среде под действием давления, создаваемого вязкой несжимаемой жидкостью, закачиваемой через скважину. Задача нахождения зависимости параметров трещины гидроразрыва от времени по известным свойствам пласта, жидкости разрыва и расписанию закачки, называется задачей дизайна трещины гидроразрыва, или просто задачей гидроразрыва. В общем случае для решения задачи гидроразрыва необходимо привлечение аппарата механики жидкости и газа, для описания многофазного течения жидкости разрыва внутри трещины, механики деформируемого твердого тела, для описания напряженно-деформированного состояния породы и раскрытия трещины под действием давления жидкости, механики разрушения, для описания процессов разрушения породы и роста трещины, а также термодинамики, для описания, обмена теплом между жидкостью разрыва и окружающей породой, а также выделение тепла вфезуль-тате разрушения породы.
Все механические процессы, происходящие при гидроразрыве пласта: течение жидкости разрыва, перераспределение деформаций в пласте, разрушение породы и рост трещины - взаимосвязаны и должны рассматриваться вместе, что является одной из главных проблем при построении механических моделей. Другой проблемой при моделировании гидроразрыва является сложность получения точных данных о породе, ее механических свойствах, внешних условиях, расположении имеющихся в ней трещин и разломов. Зачастую анализ распространения трещины гидроразрыва на основе механической модели, построенной при минимальных предположениях и позволяющей учитывать большое количество специальных случаев, сопряжен со сложными вычислениями и требует наличия специалиста для получения и интерпретации результатов. Такие модели давно используются в некоторых симуляторах дизайна трещин (Fan Y., Economides M.J., 1995, [48], Lam K.Y. и др., 1986, [59]), но их область применения — исследование сложных процессов, возникающих, например, в начале роста трещины гидроразрыва. Математическое моделирование с использованием таких моделей может привести не к повышению точности предсказания результатов операции, а лишь к неоправданной трате времени, если получение качественных данных и их интерпретация невозможны. Кроме того, из-за большой вычислительной сложности, решение задачи гидроразрыва в полной трехмерной постановке для оценки эффективности предстоящей операции гидроразрыва невозможно проводить прямо на месторождении.
На сегодняшний день, хорошо зарекомендовавшие себя комплексы программ по расчету гидроразрыва, такие как GOHFER (Barree R.D., Gilbert J.V., 2007, [40], 2009, [53]) и Mfrac (Meyer B.R., 1989, [61], 1990, [62], 2005, [63]) не стремятся к использованию максимально общих моделей, а предоставляют на выбор несколько» наиболее распространенных, от самых простых до более сложных. Пользователь должен сам выбрать, какая из моделей лучше всего подходит в данном конкретном случае.
К наиболее сложным моделям, распространенным в коммерческих симуляторах, относятся так называемые плоские трехмерные модели. Основное допущение, используемое всеми такими моделями, — развитие трещины в плоскости, перпендикулярной оси минимальных напряжений в пласте без учета эффектов связанных с возможным отклонением трещины от указанной плоскости. Для исследования плоских трехмерных моделей необходимо построение наиболее эффективных вычислительных алгоритмов. Необходимость в эффективных алгоритмах объясняется тем, что, даже при предположении плоского развития трещины, на каждом шаге по времени необходимо решать до нескольких раз трехмерную задачу теории упругости или пороупругости, если необходимо учитывать утечки жидкости разрыва в пласт, что сопряжено с большими вычислительными затратами. При решении полной согласованной трехмерной задачи упругости раскрытие плоской трещины Н(х,у) можно представить в виде интеграла по всей области трещины от разности давления жидкости Р(х,у) и внутренних напряжений в породе сг(х,у) где ядро / в удобной форме может быть записано только для весьма ограниченного круга задач. Данная проблема в основном решается путем введения упрощений, снимающих требование согласованности раскрытия трещины и давления жидкости на ее берегах (Adachi J. L, 2001, [30], Savitski A. , 2000; [70], Detournay E., Cheng A. H.-D:, 1990, [44]) или заменяющих решение полной трехмерной задачи теории1 упругости на задачу с упрощенным локальным видом ядра / (Destorches J., Thiercelin М. , 1993, [41], Siebrits Е., Pierce
Тем не менее;-, задача моделирования- плоского развития трехмерной трещины гидроразрыва остается вычислительно сложной иі ее применение при непосредственном определении параметров.проведения операции гидроразрыва на месторождении практически невозможно. В основном эта модель применяется при моделировании ситуаций, в которых только она может дать удовлетворительные результаты, когда большая часть итоговой трещины располагается вне пласта, в котором находилась начальная трещина, или когда поток жидкости в трещине преимущественно вертикальный, а не горизонтальный, как это обычно бывает. Такие ситуации можно предвидеть заранее. Обычно трещина предварительного разрыва имеет небольшие размеры и полностью располагается в пределах продуктивного пласта. Если прочность и внутренние напряжения в продуктивном пласте сопоставимы или даже больше чем в пластах, находящихся непосредственно над и под ним, то есть серьезные основания предполагать сценарий роста трещины с преимущественным вертикальным развитием (Advani S. , 1990, [29]). Отметим дополнительно, что такой сценарий роста трещины при проведении гидроразрыва является нежелательным, поскольку трещина вскрывает дополнительные пласты, не содержащие углеводородов, но при этом для ее закрепления необходимо закачивать много дорогостоящего пропанта.
Наиболее широкое применение на текущий момент при моделировании гидроразрыва в реальном времени находят так называемые псевдотрехмерные модели. Основными отличиями псевдотрехмерных моделей от плоских являются дополнительные предположения об одномерном характере течения жидкости, только вдоль направления развития трещины, и специальной геометрии трещины, более простой, чем плоская. Впервые модель распространения трещины гидроразрыва была предложена именно в таком виде в основополагающей работе (Христиановича С.А. и Желтова Ю.П., 1955, [9]). Одномерный характер течения означает, что в сечении- трещины, перпендикулярном направлению ее роста гидродинамическое давление постоянно. По способу построения геометрии трещины основные псевдотрехмерные модели гидроразрыва можно разделить на три группы: PKN (по фамилиям авторов Perkins, Kern, Nordgren), радиальные и KGD (по фамилиям авторов Khristianovic, Geertsma, De Klerk). Рассмотрим более подробно эти модели и основные работы по их исследованию.
Автомодельные решения и предельные автомодельные режимы
Рассмотрим модель симметричной двумерной трещины гидроразрыва. Трещина длины 2-L(t) развивается в бесконечной линейно-упругой изотропной среде. Среда задается модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона v (рис. 4). Через скважину, расположенную в начале координат, в трещину закачивается несжимаемая ньютоновская жидкость с вязкостью л. Жидкость разрыва в трещине занимает область [-R(t),R(t)], причем 0 R(t) L(t), т.е.
жидкость не обязательно занимает всю трещину, возле носиков (подвижных концов) трещины может располагаться лаг — область свободная от жидкости разрыва. Утечки жидкости разрыва в окружающую среду считаются незначительными. На упругую среду действуют давление- жидкости разрыва Pf, заданное на границе трещины, и сжимающее давление Т0 О, заданное на бесконечности.
При математическом описании задачи о росте трещины гидроразрыва удобно формально различать внутреннюю и внешнюю задачи.
Внешняя задача о напряженно-деформированном состоянии однородного изотропного бесконечного линейно-упругого массива, ослабленного разрезом, расположенным на участке действительной оси [ L{t)yL(t)]. На границе разреза задаются граничные условия, на бесконечности асимптотическое условие. Вмещающая среда линейно упругая, поэтому данную задачу можно рассматривать как суперпозицию двух задач. Первая — задача об однородном напряженно-деформированном состоянии вмещающей среды без трещины под действием асимптотических напряжений Т0, вторая - задача гидроразрыва с нулевыми напряжениями на бесконечности, в которой на границу трещины дополнительно действует сжимающее горное давление Г0. В дальнейшем мы будем всюду рассматривать постановку второй задачи. При этом вместо давления жидкости разрыва на границу трещины Pf, в задаче будет рассматриваться давление P = Pf + T0.
Внутренняя задача о динамике ньютоновской несжимаемой жидкости в трещине. Течение в заполненной части трещины описывается уравнениями теории смазки [34]. Трещина во внутренней задаче не является бесконечно тонким разрезом, а обладает малой, но конечной шириной. В области заполненной жидкостью на границу трещины действует гидродинамическое давление.
В диссертации исследуется случай полной согласованности внешней и внутренней задач, т.е. раскрытие трещины совпадает для обеих задач, а давление жидкости во внутренней задаче равно нормальной составляющей напряжения на границе трещины во внешней задаче (тангенциальная составляющая-предполагается нулевой). где и и v - компоненты вектора скорости жидкости вдоль осей х и у соответственно, a QQf(t)S(x) — точечный источник, задающий скорость закачки жидкости разрыва через скважину, расположенную в начале координат. На границе трещины выполняются условия прилипания и непротекания где H(x,t) —раскрытие трещины в сечении х, см. (рис. 4). Задача о течении жидкости в трещине содержит малый параметр = Н IL, где Н — характерное раскрытие трещины гидроразрыва, например максимальное раскрытие возле скважины, a L — длина трещины гидроразрыва. Произведем растяжение переменных х = , у = єС, переменные f, и х в трещине меняются в конечных пределах, а изменение у имеет порядок є. В дальнейшем предполагается, что компоненты скорости и их частные производные конечны в области трещины. Получим оценки для величин членов, входящих в уравнения (1), (2), (3). Из соотношений д2и _ 1 д2и д2и _ д2и
Уравнение (9) является основным в теории смазки [34]. В данной диссертации (9) используется для описания течения в области трещины, заполненной жидкостью разрыва 0 х \ R.
Рассматриваются квазистационарные (т.е. безынерционные) процессы, происходящие в бесконечном однородном изотропном плоско-деформированном массиве, ослабленном трещиной — математическим разрезом [—L(t); L(t)] на оси х. Граничные условия на берегах трещины задаются в
напряжениях. Дополнительно необходимо учитывать, что на бесконечности все возмущения должны затухать.
Условие согласованности внутренней и внешней задачи означает, что нормальная, по отношению к границе трещины, составляющая вектора усилий р — -Р, а касательная р = 0, поскольку для течения в трещине используется приближение смазки. В области заполненной жидкостью [ R(t);R(t)] на границу трещины действует сумма горного давления и давления жидкости, в области лага — только горное давление. Горным давлением обычно принято называть величину усилий, действующих на границу трещины в направлении перпендикулярном ее росту и обусловленных внутренними напряжениями пласта. В данном случае наличие горного давления объясняется ненулевым вектором сжимающих усилий, заданным на бесконечности.
Для плоских задач теории упругости разработана эффективная методика исследования на основе теории функций комплексного переменного [15]. В общем случае решение задачи выражается через два комплексных потенциала Мусхелишвили ф(г) и y/(z), но для данной задачи Вестергардом найдено решение с одной функцией [13]
Таким образом, для развивающейся в плоско-деформированном массиве трещины решение внешней задачи сводится к вычислению интегрального преобразования Гильберта или обратного преобразования Гильберта (11). Отметим, что (11) является интегралом в смысле Коши, поскольку содержит неинтегрируемую особенность при s = х. Именно аналитическое решение внешней задачи по формуле (11), в тех случаях, когда оно достаточно хорошо описывает раскрытие трещины гидроразрыва, позволяет строить эффективные вычислительные алгоритмы пригодные для моделирования гидроразрыва в реальном времени, поскольку в общем случае необходимо многократно численно решать полную трехмерную задачу теории упругости, что связано с большими затратами времени.
Задача об упругом состоянии среды, вмещающей трещину, рассматривается как квазистатическая, это соответствует ситуации, когда характерные времена протекания динамических процессов в упругом массиве значительно меньше аналогичных значений для течения жидкости в трещине. Таким образом, в каждый момент времени трещина находится в состоянии равновесия и ее длина может быть вычислена из какого либо критерия разрушения пригодного для статических задач;
Простейшая самосогласованная модель
Таким образом, все случаи! вырождения задачи по параметрам» К и Т, для которых имеются автомодельные решения, описывают предельное поведение задачи в общем случае, когда К и Т отличны от нуля и бесконечности. Однако не все из этих случаев физически содержательны.
Рассмотрим последовательно все возможные режимы роста трещины прю полиномиальной скорости закачки жидкости. Если поток на входе в трещину поддерживается на постоянном уровне, то выполняются условия а = 1 и КФО" (53). Тогда, в практически наиболее важном случае ненулевого горного давления, с течением времени параметр Т будет стремиться к бесконечности (53) и решение задачи будет асимптотически приближаться к одному из решений (44), при а = 1, в зависимости от величины управляющего параметра К. Формально условие Т — 0 также дает дополнительное семейство автомодельных решений, впервые полученное в работе [49]. В отличие от автомодельных решений, полученных при условии Т = 00, в данном решении присутствует лаг, величина которого определяется параметром К. Данное решение также будет являться асимптотическим при условии нулевого гор 59
ного давления. Режим с нулевым горным давлением автор [49] ошибочно интерпретирует как вырождение задачи с ненулевым горным давлением, при котором обращается в нуль, введенный им безразмерный параметр, имеющий смысл времени, что приводит к неверным заключениям. В! частности, автор [49] утверждает, что трещина.начинает развиваться из состояния, описываемого автомодельным решением: для случая Т = 0 с ненулевой величиной лага. При этом; предполагается что с течением времени лаг в трещине будет уменьшаться, и трещина перейдет в состояние, описываемое автомодельным решением;[75]. Однако автомодельное решение при Т - О само по себе является асимптотическим, поэтому дальнейшее развитие с уменьшением лага.из этого режима невозможно.
Покажем, что при; определенных, достаточно:; искусственных условиях автомодельное: решение для; случая Т. - 0 является промежуточной асимптотикой решения задачи при Г0 Ф 0. Действительно, согласно. (51) характерная величина давления в заполненной части; трещины имеет порядок Р = (г}г/Е 3Е ( ю .Тогда, с одной стороны; безразмерный; параметр, характеризующий распределение: давлениям в; начальных- данных,. PQ/P »1 и, следовательно,.несущественен при: f » ((77 / Е!.)ЁЪ) I PQ "= Тх,,а с другой сто-роньь Т«1 при t. Значит, если значения; параметров задачи таковы, что Тх и Т2 далеко разнесены друг от друга, то автомодельное
решение, полученное при условии Т = 0, хорошо описывает решение полной задачи при временах достаточно больших, чтобы. исчезло влияние особенностей начального условия, m вместе: с тем: достаточно малых, чтобы можно было пренебречь отличием параметра; Г от нуля, далее, при t »T2 параметр Т стремится к бесконечности и решение приобретает вид (44), при а = 1. В подобных случаях говорят, что автомодельное решение при Г = 0 представляет собой промежуточную асимптотику. Если поток на входе в трещину полиномиально возрастает, т.е. а 1, то в пределе выполняется условие К = 0. Тогда, в случае ненулевого горного давления параметр Т будет стремиться к бесконечности и асимптотически будет реализовываться одно из решений семейства (44). В работе [49] указывается, что в случае Т = оо имеет место автомодельное решение, полученное Spence D. A., Sharp P. W. [75], однако, в их постановке длина трещины определяется на основании материального баланса, а не критерия разрушения вида (33). Добавление условия (33) уменьшает количество автомодельных решений системы, кроме случая К = 0. У Spence D. A., Sharp P. W. используется параметр К, которому они придают значение-коэффициента интенсивности, однако, этот параметр вводится не при исследовании общего решения, а при анализе связи между уже обезразмеренными давлением и раскрытием трещины в автомодельных переменных. Таким образом, параметр, введенный у Spence D. A., Sharp P. W., соответствует в исходной задаче коэффици-енту интенсивности напряжений К, зависящему от времени, что физически не может реализовываться и приводит к появлению паразитных автомодельных решений.
Предыдущие рассуждения охватывают все возможности физически содержательных автомодельных решений. Оставшиеся возможности соответствуют вырожденным или неустойчивым ситуациям. Условие К = оо означает очень большое сопротивление породы или очень малый поток, что фактически соответствует отсутствию, роста трещины. Условия К = 0 и Т = 0 соответствуют очень малому сопротивлению породы или очень большому потоку при незначительной величине горного давления, в таких условиях рост трещины становится неустойчивым.
При экспоненциальном возрастании скорости закачки жидкости разрыва в трещину К быстро уменьшается и решение приближается к автомодельному режиму (49) в независимости от величины управляющего параметра Т. Однако, если Т = 0, то, как и в случае полиномиальной закачки, рост трещины становится неустойчивым. В случае К = со уравнения задачи формально допускают преобразование сдвига по времени, однако - автомодельное решение, вытекающее из симметрии уравнений задачи относительно указанного преобразования, в данном случае является- физически бессодержательным, поскольку при К = оо трещина не может развиваться из-за большого сопротивления или малости скорости закачки. Характерной особенностью, решения задачи гидроразрыва при экспоненциальной скорости закачки, является быстрый выход давления в жидкости возле скважины P =P(0,t) на константу, т.е. Т = Т01Р = const.
Будем решать задачу в половине области- 0 1, пользуясь симметрией трещины относительно скважины, через которую нагнетается жидкость разрыва..
В;трещине 0 1 выбираем N точек ,. (О / N - 1), причем 0 О», a %N_X =L Давление Р будем задавать в серединах-ячеек [/}/+1] и дополнительно в точке = 0, а раскрытие Н в точках ,..
Решение ищется при помощи неявной схемы, на каждом шаге по времени решается система из N нелинейных уравнений, в которой в качестве переменных входят N — 1 величин раскрытия трещины с нового слоя по времени, заданных в точках , (0 / N - 2), а также R — длина трещины. Раскрытие трещины в точке %N_X = 1 равно нулю, поскольку в точке = 1 трещина смыкается.
Пример модели упругопластического тела
Отыскание автомодельные решений представляет большой интерес при исследовании сложных нелинейных задач математической физики, поскольку во многих случаях является единственным способом упростить задачу или даже получить точное решение для частных, случаев задания граничных условий и определяющих параметров. Кроме того автомодельные решения во многих случаях используются для тестирования приближенных методов решения. Однако значимость автомодельных решений не исчерпывается только тем, что они являются точными решениями в частных случаях, известно [3], что автомодельные решения зачастую дают представление об асимптотическом или промежуточно-асимптотическом поведении задачи в целом. Данное свойство является следствием природы автомодельных решений, которые возникают при вырождении задачи по одному или нескольким определяющим параметрам.
Задача-гидроразрыва-(9), (11), (14) позволяет наглядно наблюдать ука-занное свойство автомодельных решений. Была проведена серия расчетов для различных начальных данных, чтобы, исследовать, зависимость решения задачи от их выбора, а также при различных режимах закачки.
Наибольшую практическую значимость представляет режим закачки, при котором жидкость разрыва подается в трещину с постоянной объемной скоростью /(г) = const. На рисунках (рис. 5, 6, 7) в логарифмических координатах представлены графики зависимости длины трещины R(T) , максимума давления в жидкости Р(0,т) и максимума раскрытия трещины Н(0,т) от времени соответственно, для постоянной скорости закачки жидкости разрыва. Для всех величин наблюдается быстрый выход на степенной режим, причем показатели степеней в точности совпадают с предсказанными автомо 75 дельным решением (44) для случая постоянной скорости закачки а = 1.
Групповые соображения, а именно, симметрия уравнений задачи гидроразрыва относительно преобразований подобия и сдвига по времени, позволяют определить автомодельные переменные, однако для построения полного решения задачи все еще необходимо решать краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение указанной системы для задачи (9), (11), (14) ищется в работе [75] в виде разложения по полиномам Чебышева, что сопряжено с определенными трудностями, особенно в точности решения возле носика трещины, где давление обращается в бесконечность, и в нуле, где в функции давления присутствует особенность второго рода из-за наличия-источника в виде дельта функции. В данной работе ищется численное решение полной задачи с учетом начальных данных, поэтому для определения вида профилей- давления в жидкости и раскрытия трещины в автомодельном режиме необходимо дождаться выхода на автомо-дельность. На рисунках (рис. 8, 9) изображены профили давлениям жидкости и раскрытия трещины, нормированные на свое максимальное значение. Нумерация профилей соответствует порядку моментов времени; в которые" эти профили реализуются. Bf моменты времени, следующие за последним, отме-ченным на рисунках, профили заметно не отличаются, т.е. решение выходит на автомодельный-режим.
Заметим еще раз, что в постановке задачи гидроразрыва (9), (11), (14) отсутствуют управляющие параметры, поэтому построенные в работе [75] различные профили давления и раскрытия для различных значений некоторого параметра характеризующего жесткость среды являются артефактом примененного способа решения пространственной составляющей задачи. В более общих постановках задачи гидроразрыва, рассматриваемых далее, жесткость или трещиностойкость среды учитывается при помощи критерия разрушения, при этом считается, что трещина развивается, если коэффициент интенсивности напряжений для трещины отрыва К} превышает свое критическое значение К/с. Интересно рассмотреть поведение коэффициента интенсивности напряжений в данной постановке задачи гидроразрыва, где на него не накладывается ограничений. Для случая плоской деформации коэффициент интенсивности напряжений Кг имеет вид [15]
Из приведенной формулы ясно, что в данной постановке задачи гидроразрыва коэффициент интенсивности напряжений является функцией времени Кj U yjRP. Из вида автомодельных переменных (44) для случая степенной скорости закачки следует, что Kt П г(а_1)М. Т.е., при уменьшающейся скорости закачки жидкости разрыва а 1, К{ уменьшается, а, при возрастающей скорости закачки а 1, К{ неограниченно увеличивается, что не может реали зовываться физически и является существенным недостатком данной постановки. Вшрактически наиболее важном случае1 постоянной скорости закачки а = 1 w К j = const.
Поскольку выход графика функции на постоянное значение является наиболее наглядным, то на примерах графиков Kt для- случая постоянной скорости закачки а = О удобно рассмотреть зависимость решения задачи от выбора начальных данных. На рисунке (рис. 10) показаны два графика зави-симостей KJ(J) для случаев различного задания начальных данных, для удобства изображения время прологарифмировано. На рисунке видно, что начальные участки графиков сильно отличаются, однако через небольшой промежуток времени графики совпадают. Данный пример иллюстрирует свойство автомодельных решений забывать начальные данные, обусловленное их предельным характером, решение выходит на автомодельный режим с вырождением задачи по параметрам, определяющим начальные данные. Все, сказанное выше относительно решения для случая постоянной закачки, имеет место и для остальных случаев степенной и экспоненциальной скорости закачки, а именно, решение довольно быстро выходит на автомодельный режим развития, автомодельные переменные соответствуют полученным аналитически (44) и не зависят от выбора начальных данных.
В постановке задачи гидроразрыва (9), (11), (14) закачка жидкости включена при помощи дельта функции источника в нуле, однако это не единственно возможный подход. В силу симметрии задачи относительно середины трещины, уравнения задачи можно записать в области [0;R(t)], тогда режим закачки жидкости войдет в задачу в виде граничного условия в нуле. В ряде работ [58,12,23] для различных постановок задачи гидроразрыва используется именно такой подход, при этом, наряду с заданием потока жидкости на входе в трещину, зачастую рассматривается 1 режим развития трещины с заданным давлением. Из вида автомодельных решений (44),(49), а также того факта, что изначально неавтомодельные решения быстро выходят на автомодельный режим, ясно, что развитие трещины при постоянном давлении на входе в данной постановке задачи гидроразрыва возможно только при экспоненциальном режиме закачки. Впервые данный факт был отмечен в работе [58], авторы которой установили его для постановки, в которой граничные условия давления в жидкости и напряжения на границе трещины не были согласованы.
Похожие диссертации на Методы моделирования образования и развития трещин в горных породах
-
