Введение к работе
Актуальность темы исследований
Диссертационная работа посвящена развитию комбинированного метода математического моделирования линейных параметрических систем с сосредоточенными параметрами, эволюционирующих во времени под действием экзогенных (внешних) возмущений непрерывно -метода интегральных эволюционных уравнений. Процесс эволюции таких систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями или их системами вида
Ы*))=Ш, (!)
где L - в общем случае матричный дифференциальный оператор с обыкновенными производными, коэффициенты которого являются сложными функциями времени t, \y(tj) - п -мерный
вектор-столбец переменных, /"(/)) - п -мерный вектор-столбец входных воздействий.
Как известно, полный цикл построения математической модели предметной системы завершается представлением системы операторным соотношением вида
\y(t)) = S\f(t)}, (2)
где S - модельный оператор системы, имеющий "интегральный" вид, причём построение оператора системы производится на основе решения (векторного) эволюционного уравнения (1). В данной диссертационной работе рассматриваются полный цикл математического моделирования системы, а именно: конструируются определяющие уравнения, конструируются эволюционные уравнения, строится оператор системы.
Основное внимание уделяется решению так называемых первой и второй основных задач: 1) получение решения системы эволюционных уравнений при заданных начальных и (или) краевых условиях - прямая, или первая основная задача; 2) восстановление параметров системы - обратная задача восстановления коэффициентов системы эволюционных уравнений модели, или вторая основная задача.
Изучаются исключительно экзогенные линейные параметрические системы с сосредоточенными параметрами, эволюционирующие во времени под воздействием экзогенных факторов, не носящих катастрофического характера (возмущения) и являющихся причиной возникновения композиционных функциональных зависимостей структурных параметров системы от времени. Экспериментально установлено, что в нормальных условиях "не слишком сильные" экзогенные возмущения приводят к "не слишком сильным" случайным или детерминированным отклонениям параметров системы от некоторого фонового значения. В работе исследуется случай детерминированных отклонений (вариаций) параметров от фоновых значений. Случай сильных экзогенных воздействий на систему не рассматривается.
Из проведённого во введении анализа физических причин возникновения параметрической зависимости структурных коэффициентов системы следует, что линейные параметрические системы широко распространены в окружающей действительности, а параметрическая зависимость коэффициентов модельной системы уравнений есть следствие экзогенных возмущений. Неполнота сведений о динамике параметрических систем во многом обусловлена отсутствием адекватного математического описания их динамики. Из проведённого анализа следует, что в силу недостаточной изученности таких систем тема данной работы актуальна.
Степень разработанности проблемы
Во введении проанализирована возможность применения классических методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений для математического моделирования параметрических систем с сосредоточенными параметрами. Отмечено, что метод Лагранжа, метод Хевисайда и метод, основанный на принципе наложения Дюамеля в его классической формулировке, изначально предназначены для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем с постоянными коэффициентами и, следовательно, непригодны для математического моделирования параметрических систем. Метод плавно меняющихся амплитуд, будучи предназначен для исследования параметрических систем специального вида, не является универсальным. Следовательно, ни один из классических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений не может привести к построению эффективного алгоритма решения основной задачи математического моделирования линейных параметрических систем.
Цели и задачи исследований
Проведённые в работе исследования преследовали три основные цели:
-
разработать метод описания экзогенных параметрических систем, адекватный смыслу исследуемой задачи, и предложить на его основе алгоритм численного решения прямой динамической задачи для одномерной и для многомерной линейной экзогенной параметрической системы, описываемых соответственно одним обыкновенным дифференциальным уравнением, или системой обыкновенных дифференциальных уравнений;
-
реализовать в виде вычислительной программы алгоритм решения первой основной задачи математического моделирования как одномерных, так и многомерных экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами;
-
разработать теоретическую основу алгоритмизации численного решения второй основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами.
Из всего многообразия предметных областей для иллюстрации разработанного метода математического моделирования выбраны две области:
теория электротехнических систем (математическая модель индуктивного измерительного преобразователя в геофизической разведке);
теория динамических экономических систем с непрерывным временем.
Для достижения указанных целей в работе поставлены и решены следующие задачи:
1) анализ физико-математических основ математического моделирования экзогенных
параметрических систем с сосредоточенными параметрами;
-
разработка и физико-математическое обоснование экзогенных параметрических моделей некоторых предметных систем (индуктивного измерительного преобразователя и линейных динамических систем экономики);
-
разработка унифицированного метода решения первой основной (прямой) задачи математического моделирования динамики экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами на основе интегральных эволюционных уравнений и их систем;
-
разработка теоретической основы алгоритмизации численного решения второй основной (обратной) задачи математического моделирования параметрических систем;
-
реализация алгоритма численного решения первой основной задачи математического моделирования параметрических систем в виде программного вычислительного комплекса, позволяющего проводить численное моделирование динамики экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами.
Методология и методы исследований
Теоретической основой для решения первой основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, являются основные понятия общей теории систем.
Теоретической основой для решения второй основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, являются:
-
общефизические основы функционирования линейных систем, находящихся под воздействием внешних возмущений;
-
общие понятия из теории аналитических функций.
Теоретической основой для решения третьей основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, являются:
1) теория обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем;
2) теория интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Вольтерра.
Теоретической основой для решения четвёртой основной задачи исследований, постав
ленной в диссертационной работе, являются:
-
понятие нелинейных интегральных уравнений типа Ляпунова-Шмидта;
-
концепция линеаризации нелинейных интегральных уравнений.
4 Теоретической основой для решения пятой основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, являются:
-
концепция структурного программирования;
-
концепция языка программирования высокого уровня.
Материалом для решения пятой основной задачи исследований, поставленной в диссертационной работе, явились:
-
разработанная в соответствии с концепцией экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами математическая модель индуктивного измерительного преобразователя (методы индукционных зондирований и переходных процессов в геофизике);
-
разработанные в соответствии с концепцией экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами математические модели динамических экономических систем.
Научная новизна работы Научная новизна работы заключается в разработке единого математического аппарата математического моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами на основе концепции вторичных источников воздействия на систему во временной области и принципа наложения Дюамеля, и в получении следующих основных результатов:
-
разработан метод вторичных источников силового воздействия на систему во временной области, включающий алгоритм определения параметров фоновой системы;
-
получены интегральные эволюционные уравнения для одномерных и системы интегральных эволюционных уравнений для многомерных параметрических систем;
-
реализованы программы численного моделирования одномерных и многомерных экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами;
-
предложены постановка и разработан метод решения обратной динамической задачи в теории экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами.
Теоретическая и практическая значимость работы Теоретическая значимость работы состоит в том, что в результате проведённых исследований разработан унифицированный метод решения первой основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем (прямой динамической задачи) и развит метод решения второй основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем (обратной задачи определения коэффициентов эволюционного уравнения).
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный метод решения первой основной задачи математического моделирования экзогенных параметрических систем с сосредоточенными параметрами реализован в виде программно-вычислительного комплекса, доставляющего широкие возможности численного моделирования таких систем в различных предметных областях.
5 Положения, выносимые на защиту
-
Разработан метод интегральных эволюционных уравнений, основанный на концепции вторичных источников во временной области и принципе Дюамеля, позволивший сформулировать первую основную задачу математического моделирования динамики одномерных и многомерных линейных детерминированных параметрических систем с сосредоточенными параметрами - возмущённую задачу Коши, как задачу решения эквивалентного интегрального уравнения (системы интегральных уравнений) типа Вольтерра.
-
Разработана и обоснована линейная параметрическая модель подсистемы экзогенной индукционной измерительной системы - индуктивного измерительного преобразователя. Получена система интегральных эволюционных уравнений, описывающих динамику индуктивного измерительного преобразователя, находящегося под воздействием внешних возмущений.
-
Разработаны и обоснованы линейные параметрические модели одномерных и многомерных экзогенных параметрических экономических систем с непрерывным временем. Получены интегральные эволюционные уравнения одномерных и системы интегральных эволюционных уравнений многомерных параметрических моделей экономических систем, описывающих динамику экономических систем, находящихся под воздействием внешних возмущений.
-
Разработана теоретическая основа метода решения обратной динамической задачи определения функциональных зависимостей коэффициентов дифференциального эволюционного уравнения (системы уравнений) изучаемой параметрической системы. Получены линеаризованные интегральные уравнения для определения вариаций параметров изучаемой системы.
Степень достоверности и апробация результатов
Достоверность полученных в работе результатов подтверждается общефизическими выводами, адекватностью и логикой применения математических методов решения основных задач, а также сопоставлением с известными из литературы экспериментальными данными результатов численного исследования разработанных моделей предметных систем.
Основные результаты диссертационной работы докладывались или были представлены на следующих научных конференциях и семинарах:
на четвёртой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (май 2007 года, ГОУ ВПО Самарский технический университет, г.Самара);
на Девятой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (май 2013 года, ГОУ ВПО Самарский технический университет, г.Самара);
на Всероссийской научно-технической конференции "Математическое моделирование механических явлений" (май 2007 года, май 2011 года, май 2013 года, ГОУ ВПО УГГУ, г.Екатеринбург).
Результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре факультета геологии и геофизики Уральского государственного горного университета, на семинаре «Отдела некорректных задач анализа и приложений» ИММ УрО РАН, на научном семинаре механико-математического факультета Южно-Уральского государственного университета.
Основные научные результаты автора по теме диссертации опубликованы в рецензируемых научных журналах. Три публикации осуществлены в изданиях, включённых в список журналов, рекомендованных ВАК РФ. Всего по теме диссертации опубликовано 11 печатных работ.
Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, изложенных на 191 странице машинописного текста; содержит 33 рисунка, 2 таблицы и библиографический список из 70 наименований.
Диссертационная работа выполнена на кафедре математики ФГБОУ ВПО "Уральский государственный горный университет" в процессе совместных исследований с научным руководителем, заведующим кафедрой математики, доктором физ.-мат. наук, профессором В.Б.Сурневым (при равном вкладе авторов).
