Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математичесок модлирование процессов распространения загрязнения в области фильтрации воды 10
1.1. Фильтрации жидкости в пористой среде 10
1.2. Процессы распространения загрязнения в водоносных пластах 12
1.3. Процессы распространения загрязнения под гидротехническим сооружением 15
1.3.1. Виды гидротехнических сооружений 15
1.3.2. Фильтрация под гидротехническим сооружением 16
1.3.3. Массоперенос под гидротехническим сооружением 18
ГЛАВА 2. Численно-аналитическое решение краевой задачи конвективной диффузии 20
2.1. Постановка задачи 20
2.2. Численное решение 23
2.3. Численно – аналитическое решение 32
2.4. Анализ численного и численно-аналитического решения 34
2.5. Исследование влияния физических параметров грунта и величины напора на характер распространения загрязнения 37
Выводы к главе 53
ГЛАВА 3. Моделирование процесса загрязнения подземных вод под гидротехническим сооружением 55
3.1. Постановка задачи 55
3.2. Численное решение 57
3.2.1. Случай равномерной сетки 58
3.2.2. Численный анализ влияния расчетной сетки на точность решения 60
3.2.3. Случай неравномерной сетки 65
3.2.4. Результаты численных расчетов 67
3.3. Исследование влияния физических параметров грунта на характер распространения концентрации 72
3.4. Исследование влияния вида и количества источников загрязнения на характер распространения концентрации 73
Выводы к главе 78
ГЛАВА 4. Моделирование процесса загрязнения подземных вод в области сложной конфигурации 79
4.1. Постановка задачи 79
4.2. Численное решение 81
4.3. Результаты численных расчетов 84
4.3.1. Численный анализ расположения шпунта 84
4.3.2. Численный анализ размера шпунта 91
4.3.3. Численный анализ количества шпунтов 96
4.3.4. Численный анализ вида источника загрязнения 99
Выводы 104
Основные результаты и выводы 105
Список литературы 106
Приложение 118
Основные обозначения
- Процессы распространения загрязнения в водоносных пластах
- Численно – аналитическое решение
- Численный анализ влияния расчетной сетки на точность решения
- Численный анализ расположения шпунта
Процессы распространения загрязнения в водоносных пластах
Процессы фильтрации широко проявляют себя в самых различных направлениях хозяйственной деятельности человека. Фильтрация связана с движением жидкостей или газов в пористых средах [5, 8, 34, 90], которые могут быть как природного происхождения, так и искусственные очистительные фильтры, химические реакторы и т.д.
Теория фильтрации является теоретической основой подземной гидромеханики, которая изучает движение жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых средах. Подземная гидромеханика получила развитие в связи с потребностями таких областей жизнедеятельности человека как: использование грунтовых вод, разработка нефтяных и газовых месторождений, проектирование и эксплуатация гидротехнических сооружений, мелиорация и т.д.
Начало систематическому изучению особенностей фильтрации жидкости в пористой среде было положено трудами французского инженера Анри Дарси в середине ХIХ века. В 1852 - 1855 гг., производя опыты по фильтрации в песчаных грунтах, он установил линейную связь между скоростью фильтрации воды и потерями напора, называемую законом фильтрации, или законом Дарси [22].
Теоретическое обоснование опытного закона Дарси было выполнено другим французским ученым Ж. Дюпюи [126], который получил формулу для определения объемного расхода скважин. Австрийский ученый Ф. Форхгеймер рассмотрел более сложные задачи по фильтрации при наличии горизонтального напора. Существенный вклад в развитие представлений о структуре порового пространства и влияние свойств пористой среды на движение в ней природных жидкостей внес внес американский гидрогеолог Ч.Слихтер. Однако общей теории и общих дифференциальных уравнений фильтрации до 1889 г. не было. Первая работа в этом направлении была написана известным русским механиком Н. Е. Жуковским, в которой он вывел дифференциальные уравнения движения и решил ряд конкретных задач о притоке воды к скважинам [38].
Благодаря работе советского ученого Н. Н. Павловского [93], в 1922 г. теория фильтрации получила новый толчок в своём развитии. Данная работа послужила основой для развития гидротехнического направления школы фильтрации. Павловский Н.Н. рассматривал задачи подземной гидромеханики как краевые задачи математической физики и указал общие приемы их решения.
Теория фильтрации развивается трудами учёных, среди которых следует отметить работы М. Т. Абасова [1], М. Г. Алишаева [3], Г. И. Баранблатта [9], Ю. П. Борисова [16, 17], С. Н. Бузинова [20], В. Я. Булыгина [21], Г. Г. Вахитова [23], А. Т. Горбунова [27], М. А. Гусейн-Заде [30, 31], В.Л.Данилова [32], Ю. В. Желтова [35], Ю. П. Желтова [36, 37], С.Н. Закирова [39], Г. А. Зотова [56], В. М. Ентова [34], Ю. П. Коротаева [62], Ю. М. Молоковича [86], А. X. Мирзаджанзаде [81, 82], Н. Н. Непримерова [87], В. Н. Николаевского [88, 89], М. Д. Розенберга [97], Е. С. Ромма [98], Э. Б. Чекалюка [112], М. И. Швидлера [114], М. М. Хасанова [110], Д. А. Эфроса [121] и др.
Большое значение, для развития теории фильтрации за рубежом, имеют фундаментальные работы М. Маскета [79, 80], А. Э. Шейдеггера [115], Н. Кристеа [63], Р. Коллинза [65], X. Азиза и Э. Сеттари [2, 122].
Новый этап в развитии теории фильтрации начинается в 60-е годы с появлением мощных ЭВМ, когда в решении практических задач все большее место занимает численное моделирование. В работах [6, 10, 26, 28, 33, 59, 64, 78, 83, 101 – 103, 106, 111, 113, 123 - 124, 127-130] изложены основные понятия и принципы математического моделирования. Для решения задач вычислительной гидродинамики компания ANSYS, Inc. предлагает два CFD-пакета: ANSYS CFX и ANSYS FLUENT [130, 131]. Это основные продукты для задач гидрогазодинамики общего назначения, предлагаемые компанией ANSYS, Inc. Они доступны по отдельности. Эти два решателя разрабатывались в течение десятилетий независимо друг от друга и обладают несколькими существенными отличиями, несмотря на некоторые схожие черты. Оба модуля основаны на методе контрольных объемов, дающем высокую точность, и используют решатель по давлению, что способствует широте применяемости этих продуктов. Основные отличия состоят в способе интегрирования уравнений течения жидкостей и в стратегиях решения уравнений. ANSYS CFX использует сетку конечных элементов (числовые значения в узлах сетки), схожую с теми, что используется в анализе прочности, для дискретизации области. В отличие от ANSYS CFX, решатель ANSYS FLUENT использует сетку конечных объемов (числовые значения в центрах ячеек). В итоге оба подхода формируют уравнения для конечных объемов, которые обеспечивают сохранение значений потока, что является необходимым условием для точных решений задач гидрогазодинамики. Оба решателя содержат в себе самые ценные возможности физического моделирования для получения максимально точных результатов.
Процессы распространения загрязнения в водоносных пластах В связи с интенсивным развитием промышленности и сельского хозяйства, увеличением различных антропогенных факторов на окружающую среду возникает важная задача охраны водных ресурсов от загрязнения и засоления вредными веществами, а также задача предупреждения и прогнозирования поступлении вредных веществ в природные водоемы. Решение этих задач в значительной мере зависит от результатов математического исследования процессов массопереноса мигрирующих веществ при фильтрации подземных вод. Общим для всех этих процессов является механизм переноса вещества в пористой среде фильтрационным потоком, связанный с конвективной диффузией [22, 84].
Численно – аналитическое решение
Для предотвращения загрязнения и засоления окружающей среды вредными веществами определяют широкое строительство гидротехнических сооружений [1]. Они бывают различного назначения и строятся в разнообразных природных условиях, в частности, выполненные из грунтовых материалов водоподпорные сооружения (плотины, дамбы), которые перегораживают водоток и воспринимают напор воды.
В данной главе численно моделируется процесс распространения загрязнения под гидросооружением. Разработан вычислительный алгоритм для получения результатов в зависимости от геометрических, фильтрационных и диффузионных параметров, определяющих данный физический процесс.
Рассматривается водохранилище, перегороженное плотиной, для устойчивости которой строят противофильтрационные завесы. Из-за разностей уровней воды перед плотиной и за плотиной происходит фильтрация в обход гидросооружения. Откосы берегов считаются вертикальными, а угол наклона свободной поверхности очень малым, поэтому вводиться допущение, что пьезометрический напор постоянен по высоте.
Уравнение конвективной диффузии (2.5) решается при следующих граничных условиях: - на входе фильтрационного потока (верхний бьеф АВ), являющимся водопроницаемым участком границы области фильтрации, принимается граничное условие первого рода где концентрация растворимых веществ в источнике загрязнения A(r,t) является, в общем случае, кусочно - непрерывной функцией; на выходе фильтрационного потока (нижний бьеф CD), являющемся водопроницаемым участком области фильтрации, принимаются граничные условия второго рода
Схема гидротехнического сооружения Для построения вычислительного алгоритма при моделировании процесса распространения загрязнения под гидросооружением используется два подхода. Первый подход заключается в том, что система уравнений (2.1) - (2.9) решается численно с помощью конечных разностей (численное решение). При втором подходе задача фильтрации решается аналитически, используя теорию функции комплексного переменного, а уравнение конвективной диффузии численно (численно - аналитическое решение).
Матрицы коэффициентов систем (2.20) и (2.21) имеют ленточный характер с пятью ненулевыми столбцами. Для решения этих систем был использован модифицированный метод Гаусса.
При решении итерационным методом приходится учитывать вопросы сходимости вычислительного алгоритма, влияние коэффициентов уравнения массопереноса на сходимость. Применение прямого метода оказалось целесообразнее при решении конечно - разностных уравнений.
Следует отметить, что решение сеточных уравнений двумя разными методами и совпадение полученных решений позволило удостоверится в правильной работе вычислительного алгоритма.
Рассмотренный метод решения был применен к модельному примеру, когда значение радиуса окружности R (рисунок 2.1), ограничивающей расчетную область снизу, выбирается таким образом, чтобы его значение не вносило погрешность в решение задачи [46, 48, 49]. В начальный момент времени (t=0) на границе верхнего бьефа АВ концентрация загрязнения X(r,t)=1, а в остальных точках физической плоскости с=0.
После численной реализации данной краевой задачи были получены поле напоров (рисунок 2.2) и поле концентрации при коэффициентах Я1=10м, И1 = 5 м, Dr = 0,1 м2/сут, De = 0,1 м2/сут, кг = 1,0 м/сут, ке = 1,0 м/сут, а = 0,4, г0 = 2 м, R = 20 м на момент времени Т=5 сут, 7=10 сут, Т=20 сут и Т=40 сут (рисунок 2.3 - 2.6). В таблице 2.1 приведены значения концентрации на момент времени 7=10 сут, взятых из действительной расчетной сетки с определенным интервалом по г и в.
На рисунке 2.7 изображены кривые распространения загрязнения на различные моменты времени при фиксированном радиусе (г = 10м), где на оси абсцисс отложены значения, которые принимает угол в, а на оси ординат -значения концентрации с. В связи с тем, что каждая кривая, соответствующая определенному моменту времени, имеет своим началом верхний бьеф, то на графике все они показаны исходящими из точки со значением с=1. Характер поведения линии 1, соответствующей распространению концентрации на момент времени Т=5 сут, указывает на быстрое уменьшение загрязнения (до с=0) при движении вдоль линии тока. Это объясняется тем, что загрязнение еще не успело распространиться за такой небольшой промежуток времени. Но, по истечению определенного количества суток, распространение концентрации увеличивается и, в результате, каждая из линий 2 - 5 оказывается расположенной выше относительно предыдущей.
Численный анализ влияния расчетной сетки на точность решения
Процесс распространения загрязняющего вещества под гидротехническим сооружением будет происходить медленнее, чем длиннее фильтрационный путь, т.е. подземный контур гидросооружения. Удлинение путей фильтрации создаются с помощью вертикальных преград в виде шпунтовых стенок в мягких грунтах, либо в виде цементных, битумных и других завес в скальных основаниях [29, 96].
В данной главе численно моделируется процесс распространения загрязнения под гидросооружением со шпунтом. Разработан вычислительный алгоритм для получения результатов в зависимости от количества, положения и глубины шпунтов при различных видах источников загрязнения. Проведен анализ влияния параметров и положения шпунтов на процесс распространения загрязнения.
Перенос загрязнения под гидротехническим сооружением со шпунтом, подземный контур которого задан в виде многоугольника (рисунок 4.1), описывается дифференциальным уравнением: коэффициенты конвективной диффузии, а - активная пористость, Z- область фильтрации, АВ и CD - граница верхнего и нижнего бьефа соответственно, /х и 1у - длина и глубина подземного контура плотины, Lx и ьу- длина и глубина области фильтрации (значение глубины области фильтрации выбирается так, чтобы его значение не вносило погрешность в решение задачи), 11 и /2 - глубина и ширина шпунта, A,(x,t) и v(x,t)-концентрации растворимых веществ в источнике загрязнения и в бассейне сточных вод соответственно, которые, в общем случае, являются кусочно -непрерывными функциями.
Для численного решения системы уравнений (4.1) - (4.9) используется метод конечных разностей. В области вводятся следующие сетки узлов: неравномерная по пространству
Для численной реализации данной модели миграции загрязненных подземных вод под плотиной со шпунтом был построен вычислительный алгоритм, который позволил найти поле концентрации на определенный момент времени, учитывая физические параметры грунта, геометрические параметры подземного контура плотины и виды источников загрязнения.
Численно исследуется влияние количества расчетных узлов на точность решения задачи. Были проведены расчеты напора и концентрации, используя неравномерные сетки с различным количеством узлов. Эти сетки позволили измельчение шага в районах больших градиентов напора, т.е. под подземным контуром плотины и в окрестности шпунта. В результате была выбрана оптимальная сетка (61х41) и в дальнейшем все расчеты производились на ней.
Были получены расчеты при различных положениях шпунта под подземным контуром плотины [52, 53]. На рисунках 4.2 - 4.4 показаны поле напоров и поле концентрации при трех вариантах положения шпунта глубиной 2 м на момент времени Г=10 сут и Т=20 сут. Оптимальным положением является положение шпунта, изображенного на рисунке 4.2, так как в этом случае загрязнение доходит до границы нижнего бьефа медленнее со временем, чем в остальных случаях, Этот факт доказывает вычисление потока через границу нижнего бьефа за определенные промежутки времени.
Массовый поток загрязняющего вещества через площадку единичной ширины нижнего бьефа за время At вычисляется по формуле: AQ = c-(pf-n)-AS.
Так как плотность потока вещества p-c-V в разных точках поверхности нижнего бьефа разная, следует разбить поверхность на большое число маленьких участков. Каждый из малых участков считается плоским, а плотность потока вещества — постоянной в пределах участка. После этого следует просуммировать потоки через малые участки. Поскольку сумма большого числа слагаемых является интегралом, выражение для общего потока Q можно обозначить как При вычислении интеграла использовались численные методы вычисления определенных интегралов.
Таким образом, на рисунке 4.5. показаны кривые зависимости потока загрязнения, проходящего через границу нижнего бьефа, от времени при различных положениях шпунта. При наличии левого шпунта поток загрязняющего вещества меньше, чем в остальных случаях.
Численный анализ расположения шпунта
Был проведен анализ влияния размера шпунта, ширина которого l2 = 0,3 м, на характер распространения концентрации. Некоторые из них представлены на рисунках 4.6 - 4.8 на момент времени Т=30 суток. Поле напоров, скоростей и концентрации при глубине шпунта l 1 = 2 м приведены на рисунке 4.6, при глубине шпунта l 1 = 4 м - на рисунке 4.7, при глубине шпунта l 1 = 6 м - на рисунке 4.8. Как и ожидалось, увеличение глубины шпунта приводит к замедлению процесса распространения концентрации до нижнего бьефа. На рисунке 4.9 показаны кривые потока, проходящего через границу нижнего бьефа, при разной глубине шпунта на момент времени Т=50 сут.
Данный вычислительный алгоритм позволяет также получить результат в случае конечного числа шпунтов различной глубины. Были рассмотрены и рассчитаны модели гидротехнических сооружений с двумя шпунтами одинаковой глубины. На рисунке 4.10 представлено поле напоров и поле концентрации в случае двух шпунтов одинаковой глубины (2 м) на момент времени Т=30 суток. Как видим, процесс распространения загрязнения зависит от положения и длины шпунтов.
Поле напоров и б) поле концентрации при Т=30 сут Рассмотрим случай плотины без шпунта с параметрами lx =3м и ly=4м. представлены поле напоров и поле концентрации на момент времени Т=30 сут для данной плотины. а) Поле напоров и б) поле концентрации при Т=30 сут На рисунке 4.12. показаны кривые зависимости потока загрязнения, проходящего через границу нижнего бьефа, в случае гидросооружения с двумя шпунтами, без шпунтов и с одним шпунтом, расположенном слева. Как видим, наличие двух шпунтов замедляет процесс распространения загрязнения лучше, чем в других двух случаях.
Численный анализ вида источника загрязнения Далее моделируется источник загрязнения постоянного действия на отдельном участке границы верхнего бьефа. В данном случае, на границе верхнего бьефа АВ задается условие A(x,t)=1 лишь в одной или нескольких точках, а в остальных выполняется условие A(x,t)=0. Результат распространения загрязнения в случае одного источника постоянного действия при глубине шпунта 4 м на момент времени Г=30 сут представлен на рисунке 4.13, на момент времени 7=100 сут - на рисунке 4.14. При наличии двух источников на границе верхнего бьефа поле концентрации на момент времени Т=60 сут представлено на рисунке 4.15. Наличие шпунта и в этом случае замедляет процесс распространения загрязнения до границы нижнего бьефа. Расположение источника загрязнения на границе верхнего бьефа по отношению к гидротехническому сооружению также влияет на скорость распространения концентрации. Чем ближе источник расположен к гидросооружению, тем быстрее происходит процесс распространения загрязнения в силу наибольшей скорости фильтрации под подземным контуром плотины.
На практике существуют проблемы, когда источник загрязнения постоянного действия имеется не только на границе верхнего бьефа, но и внутри расчетной области. На рисунке 4.16 представлены некоторые результаты расчетов на момент времени Т=30 сут в случае расположения точечного источника на расстоянии 10,9 м, 6,2 м, 1,7 м от подземного контура плотины. На рисунке 4.17 представлено поле концентрации в случае двух шпунтов глубиной 2м и двух источников, расположенных внутри расчетной области z на момент времени Т=60 сут. Расположение источника загрязнения ближе к подземному контуру приводит к росту интенсивности распространения загрязнения. Дальнейшее увеличение количества шпунтов и (или) источников постоянного действия сохраняет характер распространения загрязнения.
