Содержание к диссертации
Введение
1 Процессы распространения многофазных веществ в водоемах 10
1.1 Постановка задачи 12
1.1.1 Перенос многофазного вещества 19
1.1.2 Распространение однофазных веществ в водоеме . 25
1.2 Обзор процессов распространения веществ 28
2 Разностные схемы для уравнения конвекции-диффузии с граничными условиями Ш-го рода 48
2.1 Основные понятия теории разностных схем 48
2.1.1 Свойства некоторых линейных операторов 50
2.1.2 Построение конечно-разностных аналогов краевых задач математической физики 62
2.1.3 Аппроксимация 65
2.1.4 Устойчивость 70
2.1.5 Сходимость 74
2.2 Обзор разностных схем решения уравнений диффузии, переноса и конвекции-диффузии 75
2.3 Разностная аппроксимация трехмерной задачи конвекции-диффузии 84
2.4 Центрально-разностная аппроксимация пространственного оператора конвекции-диффузии с оператором конвекции, записанном в симметричной форме 88
2.4.1 Аппроксимация диффузионных членов 89
2.4.2 Аппроксимация конвективных членов 90
2.4.3 Аппроксимация свободного члена 90
2.4.4 Аппроксимация краевых условий Ш-го рода 90
2.4.5 Достаточные условия диссипативности оператора конвекции-диффузии с граничными условиями II 1-го рода 95
2.4.6 Устойчивость 100
2.5 Противопотоковая аппроксимация пространственного оператора конвекции-диффузии с оператором конвекции, записанном в недивергентной форме 102
2.5.1 Противопотоковая аппроксимация уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями 111-го рода 103
2.5.2 Достаточные условия М-матричности стационарного оператора конвекции-диффузии 107
2.5.3 Исследование устойчивости на основе принципа максимума 110
2.6 Аппроксимация пространственного оператора конвекции-диффузии-реакции для многофазных веществ 123
2.6.1 Исследования случая диссипативности оператора конвекции-диффузии-реакции 124
2.6.2 Исследование случая М-матричности оператора конвекции-диффузии-реакции 127
2.6.3 Условия диссипативности оператора конвекции-диффузии-реакции для радионуклидов 129
2.6.4 Условия М-матричности оператора конвекции-диффузии-реакции для радионуклидов 132
2.7 Тестирование разностных схем на модельных задачах 135
2.8 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 137
2.9 Параллельные вычисления 151
2.10 Библиотека параллельных методов Aztec 153
2.10.1 Выбор эффективного итерационного метода 154
2.10.2 Выбор вычислительной платформы 154
3 Программный комплекс 158
3.1 Web-интерфейс 158
3.2 Ввод данных 165
3.3 Счетные модули 170
3.4 Визуализация результатов расчета 171
4 Вычислительный эксперимент 172
4.1 Реализация построенной математической модели на примере Азовского моря 172
4.1.1 Гидрофизические характеристики Азовского моря . 173
4.1.2 Предварительная обработка натурных данных . 175
4.2 Вычислительный эксперимент для Азовского моря 177
4.2.1 Результаты моделирования распределения солености 177
4.2.2 Результаты моделирования распространения примесей 186
4.2.3 Результаты моделирования распространения радионуклидов в Азовском море 191
Заключение 199
Литература 200
- Распространение однофазных веществ в водоеме
- Обзор разностных схем решения уравнений диффузии, переноса и конвекции-диффузии
- Исследования случая диссипативности оператора конвекции-диффузии-реакции
- Результаты моделирования распределения солености
Введение к работе
В настоящее время биосфера Земли подвергается нарастающему антропогенному воздействию. При этом можно выделить несколько наиболее существенных процессов, любой из которых не улучшает экологическую ситуацию на планете.
Наиболее масштабным и значительным является химическое загрязнение окружающей среды несвойственными ей веществами химической природы. Химическое заражение почв, засорение воздуха и увеличивающееся загрязнение вод Мирового океана - все эти факторы оказывают заметное воздействие на процессы, происходящие в биосфере.
Многие химические вещества, попадающие в водоемы в результате техногенных аварий, а также в процессе функционирования промышленных предприятий, представляют собой не однородные, а многофазные вещества или многокомпонентные смеси. К таким веществам, например, относятся нефтяные загрязнения, тяжелые металлы и радионуклиды.
Особого внимания заслуживает радионуклидное заражение от работающих атомных электростанций и предприятий ядерного топливного цикла, когда возможные аварии несут глобальные негативные последствия.
Потребность предсказания возможных последствий строительства тех или иных гидросооружений для экологии региона, а также расчета последствий уже произошедших катастроф, диктует необходимость создания специализированных математических моделей.
Математическое моделирование оказывается незаменимым средством прогнозирования, в случае, когда натурный эксперимент либо невозможен, либо громоздок и слишком дорог.
Создание модели, максимально учитывающей особенности природных
водоемов, приводит к задачам, описываемым системами дифференциальных уравнений в частных производных со смешанными граничными условиями. Наличие этих разнообразных граничных условий вносит определенные сложности при построении устойчивых алгоритмов решения рассматриваемой задачи.
Теоретическое и численное исследование выбранной модели распространения многофазного вещества на примере радионуклидного загрязнения и получение условий, обеспечивающих устойчивость применяемых схем расчета, являются актуальными задачами, представляющими научный и практический интерес.
Целью диссертации является разработка, численная и программная реализация математической модели, описывающей процессы распространения и оседания многофазного вещества во внутреннем водоеме (на примере Азовского моря).
Объектом исследования являются процессы распространения многофазных веществ в водоемах, включающих конвективно-диффузионный перенос и процессы сорбции-десорбции.
Методы исследования основаны на основных положениях теории операторно-разностных схем, в частности, на методах исследования устойчивости - принципе максимума и следствий из него для сеточных уравнений, а также опираются на результаты вычислительного эксперимента.
Научная новизна.
1. Для случая линейного уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями Ш-го рода получены
достаточные условия диссипативности при центрально-разностной аппроксимации и М-матричности при про-тивопотоковой аппроксимации конвективных членов для стационарного уравнения;
на основании этих результатов исследованы вопросы устойчиво
сти этих схем для нестационарного уравнения.
2. Для нестационарного нелинейного уравнения конвекции-диффузии-реакции с краевыми условиями 111-го рода в случае неявной схемы
при центрально-разностной аппроксимации конвективных членов доказана ограниченность решения этой задачи;
при противопотоковой аппроксимации конвективных членов получены оценки решения задачи распространения радионуклидов в случае М-матричности разностного оператора конвекции-диффузии-реакции.
Достоверность. Представленные в диссертации теоремы имеют строгое математическое обоснование. Проведенные численные эксперименты хорошо согласуются с натурными данными.
Практическая значимость. Созданный программный комплекс, реализующий математическую модель распространения многофазного вещества в водоеме, может быть использован Гидрометеоцентром и МЧС для численного моделирования и прогноза изменений полей многофазных загрязняющих веществ во внутренних водоемах, для исследования процессов оседания веществ, а также для прогнозирования изменения полей солености. Разработанный Web-интерфейс данного комплекса позволяет пользователям с различным опытом работы с компьютером производить необходимые расчеты независимо от конфигурации рабочего места.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Математическое моделирование в экологии и численные методы" (EMMNA'99) (г.Ростов-на-Дону, 1999г.); на VIII, IX и X Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п.Абрау-Дюрсо, 1999г., 2001г., 2003г.); на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и
проблемы экологической безопасности" (п.Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VIII и IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти А.Ф.Сидорова (Пушино, 2000г.; п.Абрау-Дюрсо, 2002г.); на Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г.Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции ІММС-2002 "Итерационные методы и матричные вычисления" (г.Ростов-на-Дону, 2002г.); на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г.Санкт-Петербург, 2002г.); на Координационном совещании по теме "Комплексные исследования процессов, характеристик и ресурсов российских морей Североевропейского бассейна" и международном научном семинаре "Современные информационные технологии в океанологии и биологии" (г.Ростов-на-Дону, 2003г.); на Международной конференции "III Всероссийская конференция по теории упругости" (г.Азов, 2003г.)
В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 7 в соавторстве. Из них 3 статьи в российских реферируемых журналах, 8 статей в сборниках трудов и 5 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.
Содержание работы
Во введении изложены основные цели и задачи диссертации, показаны их актуальность и практическая значимость, дано краткое содержание работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена математическому описанию процессов распространения многофазных веществ в водоемах. Приведены различные существующие модели распространения многофазных и однофазных веществ.
В первом разделе главы приводится постановка задачи. В области Q х Т, Q = fi U Г рассматривается система трехмерных уравнений, описывающая процессы переноса в многофазной среде, которая замыкается начальными и смешанными краевыми условиями. Примером многофазной жидкости может служить водоем, в который попало некоторое количество радионуклидов. Фазами называются различные состояния рассматриваемого радионуклида. Часть радионуклидов находится в растворенной фазе, часть вступает во взаимодействие с частицами взвеси и составляет взвешенную фазу. Третий компонент смеси - осевшие на дно радионуклиды -образуют донную фазу. Наличие в водоеме взвесей обеспечивает переход растворенной фазы во взвешенную.
При описании процесса распространения радионуклидов в Азовском море взята за основу модель, предложенная киевскими учеными под руководством М.И.Железняка [123].
В обзоре литературы приведены существующие модели процессов, описываемых уравнениями конвекции-диффузии и конвекции-диффузии-реакции. К таким процессам можно отнести распространение примесей, динамику многофазных веществ, оседание взвесей и распределение полей солености в водоемах. Анализ этих моделей позволил сформулировать модель переноса радионуклида, как многофазного вещества. Приведены способы задания коэффициентов диффузии.
Во второй главе изложены основные теоретические результаты диссертации.
В первом разделе главы приводятся основные понятия, определения и свойства из теории линейных операторов, необходимые для дальнейшего изложения работы.
Используя условие несжимемости среды, система уравнений записывается в недивергентном виде и в эквивалентной симметричной форме. При пространственной аппроксимации уравнений системы, конвективная часть которых записана в симметричной форме, выбирается центрально-разностная аппроксимация, а при недивергентной записи - противопотоко-вая.
При аппроксимации граничных условий Ш-го рода правыми или левыми разностями используется идеология противопотоковых схем.
В случае граничных условий 1-го рода центрально-разностная пространственная аппроксимация приводит к диссипативному разностному оператору, а противопотоковая аппроксимация обеспечивает ему свойства М-матричности. Наличие граничных условий 1Н-го рода может нарушать эти свойства операторов.
В работе получены достаточные условия диссипативности и М-матричности разностных операторов, получаемых в результате пространственной аппроксимации уравнений системы при наличии граничных условий Ш-го рода и постоянного коэффициента консервативности рассматриваемого вещества. Данные результаты отражены в двух теоремах.
Для неявной схемы с диссипативным разностным пространственным оператором доказана устойчивость в энергетической норме. М-матричность разностного пространственного оператора позволяет с помощью принципа максимума получить оценки решения через правую часть уравнений системы и их начальные и граничные условия для задачи конвекции-диффузии распространения консервативного и неконсервативного вещества в непрерывной норме. Для этого случая доказаны три теоремы.
Для задачи переноса многофазного вещества с краевыми условиями 111-го рода, в которой взаимодействие веществ в среде описывается матрицей общего вида, доказаны теоремы о сохранении свойства М-матричности разностного оператора и об ограниченности решения по времени в случае дис-
сипативного оператора.
Получены достаточные условия полудиссипативности и М-матричности разностного оператора задачи конвекции-диффузии-реакции для радионуклидов, показана ограниченность решения по времени для диссипатив-ного оператора и получены условия, обеспечивающие ограниченность решения в случае М-матричного оператора.
Далее по результатам тестовых расчетов обоснован выбор применяемой разностной схемы. Приведен обзор методов решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных при неявной конечно-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии. Описаны высокопроизводительные системы, на которых происходит решение задачи и пакет распараллеленных методов Aztec, который используется при решении рассматриваемых задач. Проведено тестирование по выявлению наиболее эффективного метода из пакета Aztec и проведено сравнение времени счета лучшего из рассмотренных методов - BiCGStab - на различных вычислительных платформах: SUN, ЫШХ(500Мщ), ЫШХ(2,4Ггц), ALPHA.
В третьей главе описывается программный комплекс, реализующий предложенную трехмерную математическую модель переноса многофазного вещества в водоеме. Обосновывается выбор Web-интерфейса, как платформо- и машиннонезависимого, дается его описание, а также описание тех данных, которые необходимо ввести.
В процессе работы с программным комплексом пользователь вводит данные в HTML-формы, правильность заполнения которых проверяет JavaScript на компьютере пользователя. Создание скриптов для постановки задания на счет осуществляют CGI-сценарии, написанные на языке PERL и расположенные на Web-сервере, они же формируют входные данные для счетных модулей комплекса и HTML-страницу для вывода результатов счета. Во время счета эта страница обновляется и позволяет видеть степень прохождения задания. Итоговые данные в виде графического и текстового
файла помещаются на этой же странице по окончании расчета. Счетные модули комплекса написаны на языке FORTRAN-77.
В четвертой главе приводятся и анализируются результаты численных расчетов, проведенных с использованием предлагаемого программного комплекса.
Калибровка модели проводилась по данным наблюдений береговых станций и рейдов, содержащих поля хлорности и солености Азовского моря. Была проведена первичная статистическая обработка натурных данных, а также статистическая обработка результатов расчетов, получаемых в процессе калибровки.
На откалиброванной модели было рассчитано изменение солености в целом для Азовского моря в зависимости от ветровой ситуации для различных времен года, проведены расчеты, позволяющие изучить поведение загрязняющего вещества в случае его залпового выброса. Проведено исследование изменения концентрации вещества на поверхности и на дне.
С помощью трехмерной модели переноса радионуклидного загрязнения, представленного различными фазовыми состояниями, были смоделированы возможные аварийные ситуации. В предположении аварийного выброса радионуклида в растворенной форме в районе города Ейск проводились расчеты с целью изучения процесса сорбции радионуклида частицами взвеси, находящейся в водах Азовского моря. Исследовалась скорость образования взвешенной фазы радионуклида в зависимости от массы сорбирующего вещества.
К защите представлены следующие
результаты:
1. Для стационарного уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями Ш-го рода получены условия сохранения свойства диссипатив-ности (при центрально-разностной аппроксимации конвективных чле-
нов) и М-матричности (при противопотоковой аппроксимации конвективных членов) пространственного разностного оператора.
Доказана ограниченность по времени разностного решения для квазилинейного уравнения конвекции-диффузии-реакции с краевыми условиями Ш-го рода, описывающего процессы распространения многофазного вещества.
Разработан и реализован на высокопроизводительных вычислительных системах программный комплекс решения трехмерных задач распространения многофазных веществ и распределения солености в водоемах.
Откалибрована трехмерная математическая модель распределения солености в акватории Азовского моря. Проведен вычислительный эксперимент, описывающий поведение многофазных примесей в водоеме в случае их аварийного выброса.
Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Крукиеру Л.А. и научным консультантам к.т.н., с.н.с. Чикину А.Л. и к.ф.-м.н. доценту Чикиной Л.Г. за оказанную помощь и ценные советы. Автор благодарит коллектив ЛВЭ ЮГИНФО РГУ за внимание и поддержку.
Распространение однофазных веществ в водоеме
Первая глава посвящена математическому описанию процессов распространения многофазных веществ в водоемах. Приведены различные существующие модели распространения многофазных и однофазных веществ.
В первом разделе главы приводится постановка задачи. В области Q х Т, Q = fi U Г рассматривается система трехмерных уравнений, описывающая процессы переноса в многофазной среде, которая замыкается начальными и смешанными краевыми условиями. Примером многофазной жидкости может служить водоем, в который попало некоторое количество радионуклидов. Фазами называются различные состояния рассматриваемого радионуклида. Часть радионуклидов находится в растворенной фазе, часть вступает во взаимодействие с частицами взвеси и составляет взвешенную фазу. Третий компонент смеси - осевшие на дно радионуклиды -образуют донную фазу. Наличие в водоеме взвесей обеспечивает переход растворенной фазы во взвешенную.
При описании процесса распространения радионуклидов в Азовском море взята за основу модель, предложенная киевскими учеными под руководством М.И.Железняка [123].
В обзоре литературы приведены существующие модели процессов, описываемых уравнениями конвекции-диффузии и конвекции-диффузии-реакции. К таким процессам можно отнести распространение примесей, динамику многофазных веществ, оседание взвесей и распределение полей солености в водоемах. Анализ этих моделей позволил сформулировать модель переноса радионуклида, как многофазного вещества. Приведены способы задания коэффициентов диффузии. Во второй главе изложены основные теоретические результаты диссертации.
В первом разделе главы приводятся основные понятия, определения и свойства из теории линейных операторов, необходимые для дальнейшего изложения работы. Используя условие несжимемости среды, система уравнений записывается в недивергентном виде и в эквивалентной симметричной форме. При пространственной аппроксимации уравнений системы, конвективная часть которых записана в симметричной форме, выбирается центрально-разностная аппроксимация, а при недивергентной записи - противопотоко-вая.
При аппроксимации граничных условий Ш-го рода правыми или левыми разностями используется идеология противопотоковых схем.
В случае граничных условий 1-го рода центрально-разностная пространственная аппроксимация приводит к диссипативному разностному оператору, а противопотоковая аппроксимация обеспечивает ему свойства М-матричности. Наличие граничных условий 1Н-го рода может нарушать эти свойства операторов.
В работе получены достаточные условия диссипативности и М-матричности разностных операторов, получаемых в результате пространственной аппроксимации уравнений системы при наличии граничных условий Ш-го рода и постоянного коэффициента консервативности рассматриваемого вещества. Данные результаты отражены в двух теоремах.
Для неявной схемы с диссипативным разностным пространственным оператором доказана устойчивость в энергетической норме. М-матричность разностного пространственного оператора позволяет с помощью принципа максимума получить оценки решения через правую часть уравнений системы и их начальные и граничные условия для задачи конвекции-диффузии распространения консервативного и неконсервативного вещества в непрерывной норме. Для этого случая доказаны три теоремы.
Для задачи переноса многофазного вещества с краевыми условиями 111-го рода, в которой взаимодействие веществ в среде описывается матрицей общего вида, доказаны теоремы о сохранении свойства М-матричности разностного оператора и об ограниченности решения по времени в случае дис сипативного оператора.
Получены достаточные условия полудиссипативности и М-матричности разностного оператора задачи конвекции-диффузии-реакции для радионуклидов, показана ограниченность решения по времени для диссипатив-ного оператора и получены условия, обеспечивающие ограниченность решения в случае М-матричного оператора.
Далее по результатам тестовых расчетов обоснован выбор применяемой разностной схемы. Приведен обзор методов решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных при неявной конечно-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии. Описаны высокопроизводительные системы, на которых происходит решение задачи и пакет распараллеленных методов Aztec, который используется при решении рассматриваемых задач. Проведено тестирование по выявлению наиболее эффективного метода из пакета Aztec и проведено сравнение времени счета лучшего из рассмотренных методов - BiCGStab - на различных вычислительных платформах: SUN, ЫШХ(500Мщ), ЫШХ(2,4Ггц), ALPHA.
В третьей главе описывается программный комплекс, реализующий предложенную трехмерную математическую модель переноса многофазного вещества в водоеме. Обосновывается выбор Web-интерфейса, как платформо- и машиннонезависимого, дается его описание, а также описание тех данных, которые необходимо ввести.
Обзор разностных схем решения уравнений диффузии, переноса и конвекции-диффузии
В настоящее время широкое распространение в изучении многих явлений и процессов получил метод построения математической модели с целью проведения на ней вычислительного эксперимента [64]. В рамках этого способа решения задачи можно выделить несколько этапов, которые необходимо пройти исследователю для успешного достижения поставленной перед ним цели. До начала решения необходимо выделить те факторы, которые оказывают существенное влияние на рассматриваемый процесс. Факторами, которые незначительно влияют на происходящее, можно пренебречь. На этом этапе формулируется физическая модель процесса. Используя различные математические уравнения (алгебраические, дифференциальные, интегральные и т.д.), ставят в соответствие физической модели математическую модель.
К построению математических моделей существуют несколько подходов [64]. Наиболее распространенный метод построения математических моделей состоит в применении фундаментальных законов, описывающих рассматриваемые процессы. К таким законам относятся закон сохранения энергии, закон сохранения материи, закон сохранения импульса.
Другим подходом к построению моделей является применение вариа ционных принципов. Этот подход заключается в выборе из набора весьма общих утверждений об объекте тех вариантов поведения, которые удовлетворяют определенному условию.
Часто исследователю очень сложно сформулировать фундаментальные законы, которые описывают рассматриваемый процесс, а также сформулировать те вариационные принципы, которым он подчиняется. Тогда приходится находить аналогии с известными и уже изученными явлениями и процессами.
Построенную математическую модель необходимо исследовать на корректность, после чего необходимо выбрать вычислительный алгоритм нахождения приближенного решения задачи, а также те или иные численные методы, которые будут использованы на этом этапе решения поставленной проблемы. Далее следует этап непосредственных расчетов на ЭВМ. На этапе анализа полученных численных расчетов оценивается насколько хорошо построена математическая модель или, другими словами, ее адекватность, а также насколько верно были выбраны алгоритмы решения. Если модель слишком груба или слишком сложна, необходимо провести ее уточнение и опять пройти все этапы с новой уточненной моделью.
Широкое применение математическое моделирование получило в экологии [29, 39, 45, 72, 73, 91, 108]. Наличие современной высокопроизводительной вычислительной техники дает возможность определить последствия строительства тех или иных промышленных и технических сооружений. Подобные прогнозы, а точнее математические расчеты, можно получить, используя современные математические модели различных процессов [13, 49, 84, 120, 123]. Реализации любых проектов, связанных с существенным воздействием на природную среду, должно предшествовать создание математической модели и проведение серии вычислительных экспериментов - основы математического моделирования, позволяющих оценить все аспекты этого воздействия как в перспективе, так и при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуации.
Среди проблем экологии особое место занимают проблемы сохранности качества природных вод. На всякий водоем оказывают влияние условия формирования поверхностного или подземного водного стока, разнообразные природные явления, индустрия, промышленное и коммунальное строительство, транспорт, хозяйственная и бытовая деятельность человека. Последствием этих влияний является привнесение в водную среду новых, несвойственных ей веществ - загрязнителей, ухудшающих качество воды. Наиболее масштабным и значительным является химическое загрязнение.
Поэтому широкое распространение получило моделирование происходящих в водоемах процессов: распространение и оседание загрязнений [16, 87, 96, 105, 106, 114, 115], изменение солености вод [1, 4, 28, 74, 85] и температурного режима [2, 41, 82], развитие кормового планктона, миграция мальков [47, 48] и т.п. Задачи, которые описывают эти процессы, включают в себя уравнения в частных производных, отражающие основные физические законы движения жидкостей в водоемах и переноса в них веществ. Поскольку, как правило, рассматриваемая примесь не оказывает существенного влияния на движение самой жидкости, то оказывается возможным разбиение рассматриваемого цельного процесса на две " составляющие "--гидродинамику и собственно распространение вещества.
Объектом исследования являются протекающие в водоемах следующие гидрофизические процессы: распространение многофазных и однофазных веществ, распределение солености, оседание примесей и эрозия дна.
В качестве изучаемого объекта рассматривается водоем, описываемый трехмерной областью О. — {х = (х, у, z)} - акваторией водоема - с течением несжимаемой вязкой жидкости. Для внутренних водоемов можно предположить, что поверхность является горизонтальной плоскостью и поэтому уравнения рассматриваются в декартовой системе координат.
Если рассматриваемое вещество не оказывает существенного влияния на движение жидкости, в котором оно распространяется, то вектор скорости v = {u,v,w — ws} является входным для решения задачи распространения вещества в водоеме и является решением системы, которая состоит из уравнений количества движения (уравнения Навье-Стокса) и уравнения неразрывности среды [35, 60]:
Исследования случая диссипативности оператора конвекции-диффузии-реакции
Здесь приняты следующие обозначения: С - осредненная по глубине концентрация растворенной фазы радионуклидов; Cs - осредненная по глубине концентрация "связанной" (взвешенной) фазы радионуклидов; Сь - средняя радионуклидная концентрация на дне; h(x.) - средняя глубина воды; ц(х.) - коэффициент диффузии; ф(х) -фракция загрязнения на дне; Р - осредненная по губине концентрация взвешенного осадка; a - скорость (норма) десорбции; Ко - коэффициент разбиения (разделения); А -длина дна; ws - скорость оседания частиц; р -плотность воды; ps - плотность взвеси; 5 - постоянная радионуклидного распада; о - источниковый член. Остальные переменные описаны ранее.
Первые два уравнения являются осредненными по глубине уравнениями конвекции-диффузии, в которых присутствуют источниковые и стоковые члены. Эти члены описывают процессы перехода радионуклидов из одной фазы в другую. Третье уравнение не имеет конвективных и диффузионых компонентов, так как предполагается, что нет прямого переноса на дне. Обмен радионуклидов на дне обусловлен процессами оседания и эррозии осадка.
Применяется конечно-разностный метод. Поле скоростей считается известным. Часть коэффициентов была взята из литературы, некоторые коэффициенты, для которых был известен диапазон значений, определялись в процессе калибровки модели. Если коэффициент оказывался нулевым в одном из уравнений, то этот же коэффициент, участвующий в другом уравнении, также приравнивался нулю. Иначе было бы нарушено равновесие процесса.
В [122] предложена двухмерная статистическая модель поведения радиоактивных элементов, которая позволяет исследовать процессы их взаимодействия с водой и оценить результаты этого взаимодействия. В работе приведены различные виды радиоактивных загрязнений, которые образовались после аварии на Чернобыльской АЭС. Среди ядерных реакций, происходящих внутри саркофага, построенного вокруг аварийного 4-го блока АЭС, выделяются взаимодействия радиоактивных веществ с водой, приводящие при определенных условиях к существенному увеличению концентрации радионуклидов. В модели используются обобщенные уравнения диффузии для двухфазной системы. Диффузионные процессы в системе "вода - радиоактивные вещества" включает обычный диффузионный перенос и водный радиолиз с химическими реакциями. В работе исследованы коэффициенты диффузии и вязкости для различных радиоактивных элементов и приводятся их значения.
Воздействие на окружающую среду Чернобыльской аварии исследовано в [103]. Моделируется перенос радионуклидов в водном бассейне реки Припять после возможной утечки радиоактивных веществ из саркофага. Модель описывает распространение загрязненных грунтовых вод в почве. Радиоактивное загрязнение в речных водах представлено в трех фазах, каждая из которых описана соответствующим уравнением с постановкой где с - полная (включающая все фазы) радиоактивность, ф - пористость среды, S - объемная насыщенность, cs - радиоактивность в твердой фазе, с/ - радиоактивность в минеральной решетке, ср - радиоактивность в топливных частицах, Л - коэффициент полураспада, v - скорость, М -коэффициенты диффузии, фт - полная пористость среды, ар - константа выщелачивания (десорбции) радионуклида от топливных частиц, a/s, asf -коэффициенты передачи (сорбции) радионуклида от или к рассматриваемой фазы.
Параболические дифференциальные уравнения рассматриваются для описания распределения радионуклидов в грунтовых водах, распространяющихся по скальным трещинам [109]: где N(x,t) - концентрация радионуклида, Rj - коэффициент запаздывания на поверхности раздела трещины, Ъ - полуширина трещины, М/ -продольный дисперсионный коэффициент, Л - коэффициент распада, х -расстояние вдоль трещины от ее начала, t - время распространения радионуклида. В работе представлен аналитический метод решения. Сделаны соответствующие задаче предположения: рассматриваются только продольные адвекция и диффузия, поперечная диффузия в скальные породы не рассматривается, поток считается ламинарным с постоянной скоростью.
В [93] изучена дисперсия радиоактивных элементов в Суэцком канале. Гидродинамика задавалась с помощью одно- и двухмерной модели, откалиброванных на имеющихся данных. Рассматриваемое загрязняющее вещество предполагалось консервативным и его распространение исследовалось при различных сценариях сброса вещества и в различные сезоны.
Соленость. Соленость вод оказывает существенное влияние на биохимические процессы водоемов. Основными факторами, влияющими на соленость вод внутренних водоемов, являются сток впадающих рек и поступление вод из солесодержащих водоемов, а также ветровые условия. Пространственное распределение солености вод в условиях маловетрия или штиля, сгона или нагона существенно различна так же, как различна циркуляция вод.
Уравнение солевого баланса водоема имеет вид [20, 54]: где Vp - сток рек, VOK приток соленой воды, Vc - сток воды рассматриваемого водоема, VQC - осадки, выпадающие на поверхность водоема, УцС - испарение с поверхности водоема, 5р - соленость речных вод, 5ос соленость выпадающих осадков, SOK соленость поступающих вод, -9Ис -соленость, испаряющихся вод, Sc - соленость рассматриваемого водоема, а Рок и рс _ соответственно плотности впадающих соленых вод и вод рассматриваемого водоема. Здесь не учтены подземная составляющая и выпадение сухих солей из атмосферы. Как правило, величина испаряющихся вод и количество осадков компенсируют друг друга. Вследствии этого, а так же из-за малости их объемов в сравнении с общим количеством морской воды, слагаемыми, отвечающими в (1.2.3) за испарение и осадки можно пренебречь.
Моделирование процессов распределения полей солености по акватории водоемов может быть реализовано на основе наблюдённых эмпирических зависимостей, с использованием полуэмпирических уравнений, а также методами математического моделирования.
Результаты моделирования распределения солености
Популярность и активное использование классических итерационных методов обусловлены необходимостью решать различные сложные задачи математической физики, экономики, экологии, которые приводят к СЛАУ больших размерностей.
К классу широко используемых методов построения дискретных аналогов исходных задач конвекции-диффузии можно отнести метод конечных элементов. Использование этого метода обеспечивает хорошую точность описания границы сложной области расчета. Использование для аппроксимации решения непрерывных функций делает удобным его анализ. Однако получающаяся разреженная матрица не имеет строгой упорядоченной структуры, которую можно получить, аппроксимируя исходное уравнение при помощи методов конечных разностей (МКР). Эти методы [9, 22, 59, 56, 55] получили широкую известность и популярность и на данном этапе являются доминирующими среди методов вычислительной математики. Возможность построения разностных схем повышенной точности, наследующих основные свойства аппроксимируемого уравнения, выделяющих его особенности, а также возможность построения адаптируемых сеток - вот только некоторые из причин, которые завоевали такую популярность МКР. При использовании МКР для решения задач обычно сочетают различные методы построения разностных аналогов задач и методов нахождения решений полученных СЛАУ.
Метод сведения многомерных задач к последовательности одномерных требует конечного числа операций в каждой точке сетки и поэтому представляется достаточно выгодным.
Для ускорения сходимости методов иногда используют последовательное укрупнение сеток в процессе решения. Эта технология лежит в основе многосеточных методов [77, 92]. Характерной особенностью метода является его быстрая сходимость. Сделав несколько итераций на исходной сетке, находят поправку к полученному приближению и переходят к более грубой сетке. Процесс повторяется. На самой крупной сетке решение для ошибки рассчитывается прямым методом и затем производят последовательный переход к более мелким сеткам, используя интерполяцию решения в новых точках.
Одной из основных трудностей, с которыми приходится сталкиваться при решении задач водной экологии и гидродинамики является достаточно сложная геометрия исследуемых областей расчета. Поэтому одним из путей решения может быть замена поставленной задачи на задачу, близкую к исходной, но заданную в более простой области, например, в прямоугольнике в случае двумерной области или в параллелепипеде, если рассматривается трехмерная задача. Применение такого подхода приводит к методу фиктивных областей [40]. Такой подход оправдан, т.к. для сред с достаточно большими коэффициентами диффузии изменение плотности диффундирующего вещества относительно мало. Если исходную область дополнить до параллелепипеда, в добавленной области коэффициенты диффузии доопределить достаточно большими значениями и граничные условия на границе параллелепипеда задать равными нулю, то есть основания надеяться, что полученное решение будет мало отличаться от нуля в добавленной области и будет близко к решению исходной задачи в начальной области расчета.
В случае, когда положительно полуопределенный оператор задачи можно представить в виде суммы положительно полуопределенных простейших операторов, сложную задачу математической физики можно свести к более простым для более эффективного решения. Методы, в которых производят такое представление операторов, называются методами расщепления [40, 11]. Эти методы являются мощным аппаратом решения задач различной сложности. К таким методам относятся метод стабилизации, метод предиктор-корректор, метод покомпонентного расщепления. Предполагается, что оператор задачи А 0 может быть представлен в виде А = А\ -+- Лг, при условии, что А\ 0,А2 0. Если для метода покомпонентного расщепления произвести разбиение оператора А на две матрицы А\ и А2, такие, что А\ = А\, А\ + А2 = А, то получим попеременно-треугольный метод [11, 40]. Такое разбиение позволит экономично реализовать решение на каждом шаге и сохранить преимущества метода переменных направлений.
В работе [7] оператор метода представляет собой произведение конечного числа экономичных операторов, то есть имеет попеременно-треугольную простую структуру, что позволяет его эффективно обращать. В этой же работе приведены результаты выбора оптимального итерационного параметра г, и дана оценка скорости сходимости метода.
Для несимметричных матриц были разработаны методы, использовавшие нули полиномов Чебышева [40, 59] в качестве последовательности итерационных параметров для обеспечения наилучшей сходимости. Эти методы имеют высокую эффективность, но их использование бывает затруднительно, так как необходимо иметь информацию о спектральных свойствах матрицы.
