Введение к работе
Актуальность темы исследования. Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки эффективных и высокопроизводительных инструментов и средств мониторинга и прогнозирования устойчивости плавающего ледяного покрытия (покрова) на поверхности морей и океанов.
Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию численных моделей и программных средств решения задач теории упругости и гидродинамики для анализа причин деформации ледяных пластин, решение которых требует развития эффективных методов математического моделирования гидродинамических процессов и их воздействий, которые могут стать причиной деформации ледяных пластин.
На протяжении последних двадцатилетии, проблема воздействии поверхностных волн на ледовое покрытия водоема интенсивно развивалась, интересовала многих отечественных и иностранных ученных. Наиболее ярко себя проявили Хейсин Д.Е., Смирнов Г.Н., Черкесов Л.В., Стурова И. В., Коробкин А.А., Ткачева Л.А., Букатов А., Е., Литвер М.Е., Michael Meylan, C. Hazard, M. Lenoir, V. A. Squire, Tim Williams, Malte Peter, Colin Fox, и другие.
Задачей диссертационной работы является в построении математических моделей и численных методов, позволяющих моделировать воздействие волновых гидродинамических процессов на ледовое покрытие водоема, с использованием разработанных алгоритмов и комплекса программ.
Целью диссертационной работы Цель диссертационного исследования состоит в построении комплекса дискретных и непрерывных моделей, численных алгоритмов и программ для их реализации для прогноза возможных сценариев поведения ледового покрытия под воздействием внешних нагрузок и волновых процессов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Построение трехмерной дискретной модели для задачи гидродинамики, учитывающей наличие надводного объекта, а также аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели и заполненность ячеек.
Разработка алгоритмов, численно реализующих на основе полученной модели задачу гидродинамики, а также визуализацию результатов численных расчетов.
Построение дискретной модели для задачи деформации ледовой пластины, а также аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели.
Построение конечно-объемной модели задачи деформации пластины.
Разработка на основе данных моделей программного комплекса.
Сравнение полученных результатов с натурными данными и результатами аналитических расчетов.
Материалы и методы исследования. Для решения поставленной задачи диссертационного исследования использованы: основы теории упругости, теория гидродинамики, методы математической физики. Для проведения численных экспериментов по разработанным моделям специализированные программные среды (MathCAD). Использованные численные методы реализованы на языке «С++». Для визуализации использована библиотека компьютерной графики «OpenGL».
Новые научные результаты. В диссертации представлены новые следующие результаты в соответствие с паспортом специальности 05.13.18, в том числе:
-
Для трехмерной математической модели движения среды водоема при наличии ледового покрытия и таких физических факторов, как турбулентный обмен, ветровое трение, трение о дно и о лед, проведено аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и впервые доказана консервативность построенной дискретной модели (с. 27-93).
-
Для объединенной модели, включающей модель гидродинамики волновых процессов и модель деформации ледового покрытия, впервые использована методика дискретизации, базирующаяся на применении функции заполненности ячеек, которая позволяет улучшать точность численного решения поставленной задачи по сравнению с другими известными методами, не использующими функцию заполненности ячеек (с. 40-70 – с. 100-104).
-
Разработан новый программный комплекс, имеющий удобный пользовательский интерфейс и средство визуализации, позволяющие осуществлять моделирование волновых процессов и их силовое воздействие на ледовое покрытие в рамках единого программного комплекса (с. 105-111).
Достоверность научных положений и выводов. Достоверность и обоснованность полученных теоретических результатов и формулируемых на их основе практических выводов диссертации обусловлена корректностью производимых математических преобразований, базирующихся на апробированном математическом аппарате (методах математической физики, интегрального и дифференциального исчислений, методах вычислительной математики) и корректным применением специализированных программных сред. Результаты численных расчетов согласуются с реальными процессами.
Научная и практическая значимость работы. Разработанные модели, численные алгоритмы и программы могут быть использованы для прогнозирования силового воздействия, в том числе, поверхностных волн на ледовое покрытие водоема с целью определения безопасного его использования в хозяйственных целях.
Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
1. Конференция для аспирантов в честь недели науки ФВТ ЮФУ(25-ого апреля 2008 г. Ростов на Дону, Россия).
2. Конференция для аспирантов в честь недели науки ФВТ ЮФУ(25-ого апреля 2009 г. Ростов на Дону, Россия).
3. XXII Международная научная конференция “ Математические методы в технике и технологиях ” (ММТТ-22), (СГТУ, г. Саратов, 2009г.).
4. XXIII Международная научная конференция “Математические методы в технике и технологиях” (ММТТ-23), («БГТУ» им. В.Г. Шухова, г. Белгород, 2010г.).
Структура диссертации. Структура и объем работы. Рукопись диссертационной работы состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Объем работы составляет 150 страниц, включая 21 иллюстрацию.
В работе приведены результаты экспериментально-теоретических исследований математической модели волновой гидродинамики водоема с учетом наличия на поверхности ледового покрытия и также деформированного состояния ледяного покрова под воздействием на него волновых процессов и внешних нагрузок.
Во введении обоснована актуальность темы, определены цель и задачи диссертационного исследовании, объект и предмет исследования, указаны методы исследования, научная новизна, основные положения, выносимые на защиту, приведены сведения о практической значимости, об использовании результатов работы, апробации диссертационной работы, дано краткое содержание основных разделов диссертации.
В первой главе построена трехмерная математическая модель гидродинамических процессов водоема с учетом наличия на поверхности ледового покрытия.
Рис.1. Расположение системы координат относительно водоема
Рассмотрена задача гидродинамики жидкости водоема, исходные уравнения которой представляют собой следующее:
– уравнения Навье-Стокса:
; (1)
; (2)
; (3)
– уравнение неразрывности:
; (4)
уравнение (4) для несжимаемой жидкости имеет вид:
(5)
Уравнения (1) – (5) рассматриваются с учетом отдельных граничных условий для разных границ области водоема:
– на дне водоема:
(6)
– на свободной поверхности жидкости:
(7)
– на поверхности жидкости, покрытой льдиной:
– задается на входе поток от источника:
,
– на выходе:
,
– на передних и задних границах:
, (8)
– начальные условия:
для выполняются следующие условия:
; ;,
где – вектор скорости движения водной среды, – ускорение свободного падения, – давление, – коэффициент турбулентного обмена по горизонтальным направлениям, – коэффициент турбулентного обмена по вертикальному направлению, – плотность жидкости, – составляющие тангенциального напряжения (закон Ван-Дорна), – плотность ледяной пластины. Система координат выбрана таким образом, что оси и совмещены с поверхностью невозмущенной жидкости и направлены в сторону ледовой пластины, ось – вертикально вниз.
Тангенциальное напряжение, вызванное донным трением, согласно закону Ван-Дорна, рассчитывается по формуле:
,, (9)
где – безразмерный коэффициент.
Строим сетку по временной перемене:
Применяя к задаче (1) - (5) расщепление по физическим процессам, согласно методу поправки к давлению, получим:
– Уравнения диффузии-конвекции, где полученная система уравнений не учитывает давление:
; (10)
; (11)
. (12)
– Следующие уравнения уточняют скорости по давлению:
; (13)
; (14)
. (15)
– Из (13), (14) и (15) и с учетом уравнения неразрывности (4):
. (16)
Рис 2. Расположение ячеек расчетной области
Для построения дискретной математической модели задачи гидродинамики использован интегро-интерполяционный метод. На рисунке 2 показано расположение ячеек сеточной области.
,, ,
где – индексы по направлениям – шаги по пространственным направлениям, – количество узлов по координатным направлениям, – пространственные размеры области.
Используя коэффициенты заполненности сеточных ячеек строим конечно-объемную модель гидродинамики для уравнений (10) - (16).
Через давление столба жидкости внутри ячейки находим заполненность самой ячейки. Если среднее давление в узлах, которые относятся к вершинам рассматриваемой ячейки, больше давления столба жидкости внутри ячейки, то ячейка считается заполненной полностью . В общем случае заполненность ячейки можно вычислить по следующей формуле:
(17)
где – функция Хевисайда.
В окрестности узла лежат ячейки , , ,,, , , как изображено на (рис. 3.).
Рис. 3. Расположение ячеек относительно центрального узла
Введем коэффициенты , , , , , , , описывающие заполненность областей и находящиеся в окрестности ячейки. Значение , характеризует заполненность области – :, , ; – :, , ; – :, , ; – :, , ; – :, , ; – :, , ; – :, , .
Заполненные части объема будем называть , где . В соответствии с этим коэффициенты заполненности можно вычислить по следующим формулам изображено расположение узлов относительно ячеек на рис 4.:
Рис 4. Расположение узлов относительно ячеек
;
;
;
;
;
;
. (18)
Исследованы консервативность дискретной модели и погрешность ее аппроксимации. Модель имеет первый порядок погрешности аппроксимации относительно шага по времени и второй - относительно нормы шагов по пространственным переменным.
Получены представления для всех сеточных уравнений в канонической форме и доказана устойчивость дискретной модели.
Рис. 5. Поле вектора скоростей жидкости.
На рисунке 5.представлены начальные результаты вычислительных экспериментов, где изображено распределение скоростей набегающего потока воды для ледовой пластины.
Во второй главе исследована деформация ледового покрытия водоема с использованием аналитических и численных подходов.
Пусть на поверхности водоема находится в непрерывном контакте с водой ледяная пластина. Вычисление максимальной допустимой распределенной нагрузки пластины решается в линейной постановке. Движение пластины длиной описывается уравнением:
(19)
Краевые и начальные условия имеют вид:
(20)
(21)
где - смещение поверхности пластины от равновесного положения; - масса пластины на единицу площади; - изгибная жесткость; - плотность материала; - толщина пластины; - модуль Юнга; - давление на пластину со стороны жидкости. Длина пластины
Для решения задачи использовался метод разложения в ряд Фурье.
Представлены графики зависимости изгиба от пространственной переменной; полученные при входных данных: м, м, м представлены на рисунке 6. Функция распределения давления задается формулой .
Рис. 6. Зависимость изгиба пластины от и .
Аналитическое решение получено только в случае стационарного по времени давления.
Расчетная область представляет собой прямоугольник. Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи деформации пластины введем равномерную сетку:
, (22)
где – шаг по времени, , – шаги по пространству, – верхняя граница по времени, , – границы по пространству.
Предлагается применять непосредственную аппроксимацию. Аппроксимируем уравнение (19) по временной переменной при этом система (19) примет вид:
(23)
Граничные условия в общем случае примут вид:
, , (24)
, . (25)
Расчетные ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на и по координатам и соответственно. Обозначим через заполненность ячейки .
Рис.7. Функция распределения давления.
Рис. 8. Динамика изменения изгиба пластины
Результаты численных экспериментов. Графики зависимости изгиба от пространственной переменной, полученные при входных данных: м, м, м представлены на рисунках 7 и 8 Функция давления имеет вид:
.
Аналитическое решение задачи получено только в случае стационарного по времени давления, что обуславливает актуальность использования численных методов. Построена двумерная дискретная конечно-объемная модель, описывающая изгиб пластины. Для решения задачи деформации пластины использован попеременно-треугольный итерационный метод, который позволяет минимизировать время решения сеточных уравнений по сравнению с другими итерационными методами. Построен программный комплекс расчета деформаций ледяной пластины. При сравнении полученных результатов решения задачи упругости выявлено количественное совпадение результатов численных и аналитических расчетов.
В третей главе приведено описание программного комплекса «Water-Ice» и результатам численных экспериментов, описаны среда разработки и технические требования программного обеспечения, цель разработки и функциональное назначение, описана логическая структура программного комплекса «Water-Ice» механизм работы и последовательность действий программы. Также описаны входные параметры, константы и переменные, использованные в программе, изложены фрагменты программного кода, содержащие основные функции и алгоритмы. Описаны инструкции по использованию интерактивного интерфейса программного комплекса «Water-Ice». Представлены основные результаты трехмерной визуализации математической модели.
Сравнительная характеристика комплекса программ. Основными техническими преимуществами разработанного программного комплекса «Water-Ice» по сравнению с существующими аналогами являются:
высокая производительность - за счет эффективности численного метода решения сеточных уравнений - попеременно-треугольного метода, где для выбора параметров метода был проведен ряд экспериментов в результате которых метод продемонстрировал себя как самый быстрый из известных методов;
удобная для пользователя интерактивная панель управления, позволяющая легко и просто контролировать профиль изображенного на экране графика, реализующего результаты численных эксперимента;
точность решения, улучшенная по сравнению с традиционными, конечно-разностными и конечно-объемными методами на основе конечно-объемной модели с использованием коэффициентов заполненности. Это дает возможность получать плавные изменения геометрий, в каждой поверхностной точке, в зависимости от процентных отношений заполненной части от общего объема каждой из ячеек;
учет различных граничных условий и возможность адаптации программного комплекса для расчетных областей и других изменяющихся параметров.
Панель управления на рисунке 9. в пользовательском интерфейсе состоит из ряда инструментов:
Swich Spin (s) – включает/выключает вращение профиля объекта по часовой стрелке.
Drow Box (B) – контролирует изображение границ расчетной области
Points Mode – контролирует изображение колеблющихся частиц жидкости, показывает их в виде отдельных точек или в виде непрерывных сеток, расположенных слоями.
View Up – вращение профиля объекта на верх.
View Down (D) – вращение профиля объекта вниз.
Exit (X) – выход из программы.
Рис. 9. Вид пользовательского интерфейса с панелью управления
Рис. 10. Положение льдины относительно поверхности уровня, временной интервал T = 1,2,3,4,5,6 сек.
В заключении представлены основные результаты и выводы по диссертационной работе.
В приложении приведено, свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.
