Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Распространение волновых поверхностей в твердых телах 13
1.1. Введение 13
1.2 Основные понятия о распространении волновых поверхностей после удара 18
1.3 Современные подходы к задачам распространения волновых поверхностей . 24
1.4 Экспериментальные исследования волновых процессов в твердых телах 43
1.5 Выводы по главе 47
ГЛАВА 2. Методы математического моделирования поведения неизвестных величин на фронтах волновых поверхностей 48
2.1 Основные принципы лучевого метода 49
2.2 Использование лучевого метода для решения задачи распространения волн в ортотропной пластинке 51
2.3 Определение динамических характеристик с помощью сферических функций и полиномов Лежандра 59
2.4 Использование функции Бесселя для определения неизвестных величин 62
2.5 Выводы по второй главе 65
ГЛАВА 3. Численно-аналитические методы построения непрерывных решений для волновой и контактной задачи 67
3.1 Алгоритм численно-аналитического метода построения непрерывного решения 68
3.2 Сращивание решений волновой и контактной задачи для области вблизи зоны взаимодействия тел 69
3.3 Примеры определения динамических характеристик с учетом волновых процессов вблизи зоны контакта 76
3.4 Сращивание контактного и волнового решения для удаленной от зоны взаимодействия области 82
3.5 Численные исследования 89
3.6 Выводы по третьей главе 93
ГЛАВА 4. Программная реализация алгоритмов определения характеристик динамического воздействия с учетом волновых процессов 96
4.1 Основы алгоритмизации и построения вычислительного комплекса 96
4.2 Построение моделей вычислительных процессов 99
4.3 Численные исследования процессов распространения волн в изотропной среде для упругой модели взаимодействия тел 102
4.4 Численные исследования процессов распространения волн в анизотропной среде для упругой модели взаимодействия тел 114
4.5 Численные исследования процессов распространения волн в анизотропной среде для вязкоупругой модели взаимодействия тел 120
4.6 Выводы по четвертой главе 122
Заключение 123
Библиографический список
- Современные подходы к задачам распространения волновых поверхностей
- Использование лучевого метода для решения задачи распространения волн в ортотропной пластинке
- Сращивание решений волновой и контактной задачи для области вблизи зоны взаимодействия тел
- Численные исследования процессов распространения волн в изотропной среде для упругой модели взаимодействия тел
Введение к работе
Актуальность работы. Работа посвящена математическому моделированию процессов распространения волновых поверхностей в плоском упругом элементе, обладающем анизотропными свойствами. Волновые поверхности появляются в мишени из-за ударного воздействия на нее твердого тела, реологические свойства которого распространяются на зону контакта при непосредственном воздействии ударника. Распространение волновых поверхностей с конечными скоростями становится возможным благодаря использованию волновых уравнений мишени типа Уфлянда-Миндлина-Рейснера, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения нормалей к поперечным сечениям, благодаря чему уравнения являются гиперболическими. Определяющие динамическое поведение точек плоского элемента уравнения позволяют предположить, что его деформирование вне области взаимодействия ударника и мишени происходит, в том числе, и за счет распространение с конечными скоростями волн.
Необходимость более точного представления о поведении конструкций под действием нагрузки заставляют проектировщиков и исследователей идти по пути усложнения математических моделей процессов и объектов. Наиболее интересными и сложными в математическом моделировании в области различных инженерно-технических приложений являются задачи динамического воздействия, рассмотренные многими зарубежными и отечественными исследователями Abrate, Al-Mousawi, Inoue, Corbett, Backman, Goldsmith, Cantwell, Morton, Johnson, Jaeger, Richardson, Zhong, Айзикович, Баландин, Гольдсмит, Джонсон, Кильчев-ский, Александров, Ромалис, Локтев и др. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок, так и с точки зрения моделирования процессов, происходящих в различных телах. Учет линейно упругих, вязкоупругих, изотропных и анизотропных свойств материалов элементов конструкций, подвергающихся динамическому воздействию твердого тела, после чего в первом теле начинают распространяться волновые поверхности, обуславливает более точное представление о характере протекания процесса деформирования, влияние этих свойств не до конца изучено до сих пор. Актуальной является также проблема создания достаточно простой расчетной модели и алгоритмов расчета задач ударного взаимодействия с учетом распространяющихся с конечными скоростями волновых поверхностей, а также их реализация в виде программного приложения.
Работа выполнена в рамках научного направления «Моделирование физических процессов в твердых телах и разработка программных приложений для расчета их параметров» ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)».
Цель исследования: разработка комплекса математических моделей, численных методов, алгоритмов и проблемно-ориентированных программ для построения математических моделей распространения волновых поверхностей в плоских телах, реологические свойства которых описываются различными моделями и физическими параметрами, после ударного воздействия.
Задачи исследования. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
-
исследование динамического взаимодействия ударника с пластинками с учетом волновых явлений и возможностей современных методов и алгоритмов.
-
разработка математической модели поведения плоских элементов после динамического воздействия при наличии распространяющихся упругих волн.
-
разработка численного метода определения волновых характеристик динамического воздействия.
-
изучение влияния изотропных и анизотропных свойств материала пластинки, упругих и вязкоупругих свойств области воздействия на конечные динамические характеристики.
-
реализация предлагаемой модели и алгоритмов в виде вычислительного комплекса, пригодного для использования проектными и научно-исследовательскими организациями, определение в ходе численного эксперимента точек встречи прямых и отраженных волновых поверхностей.
Методы исследования. В работе использованы методы асимптотических разложений неизвестных величин в ряды по пространственной координате и времени, а также по специальным функциям, методы сращивания решений контактной и волновой задачи, а также методы математического моделирования физических процессов в твердых телах, численные методы линеаризации искомых функций, методы объектно-ориентированного и визуального программирования. Для исследования процесса распространения волн в упругих средах проводилось имитационное моделирование на ЭВМ.
Тематика работы соответствует п.3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», п.8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования» паспорта специальности 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».
Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
-
математическая модель поведения волновых поверхностей в плоских телах, основанная на использовании неклассических уравнений и граничных условий и расширенная на определение конечных характеристик вблизи области динамического взаимодействия и на некотором удалении от нее.
-
численный метод определения характеристик динамического воздействия, учитывающий распространяющиеся волновые поверхности и различные свойства взаимодействующих тел, основанный на непрерывном объединении решений волновой и контактной задачи и использовании итерационной процедуры для линеаризованных функций и обеспечивающий возможность вычисления широкого спектра величин.
-
численный метод определения точек встречи прямых и отраженных упругих волн, учитывающий многократное отражение волн от границ тела и позволяющий определить точки возникновения экстремальных значений динамических характеристик.
-
структура программного комплекса моделирования и вычисления конечных характеристик динамического взаимодействия с учётом распространения волновых фронтов, отличающаяся гибкой системой взаимодействия программных модулей и реализуемых моделей, позволяющая формировать индивидуальную вычислительную среду для пользователя.
Практическая ценность. Разработанные алгоритмы оценки динамических величин могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования конструкций, в которых могут распространяться волновые поверхности (плиты перекрытия, оболочечные элементы и т.д.) с целью определения критических точек, нуждающихся в усилении.
Реализация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертационного исследования вошли в курс «Прикладная теория колебаний» кафедры «Строительная механика, машины и оборудование» Московского государственного университета путей сообщения.
Апробация. Основные положения и результаты докладывались и обсуждались на Всероссийских научно-практических конференциях «Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе» (Москва, 2009 г.,2010 г., 2012 г.), на Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва 2010, 2012 г.), а также на семинарах Московского государственного университета путей сообщения и Московского финансово-юридического университета.
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 4 статьи опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получено свидетельство на программу для электронных вычислительных машин. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены: в [1] – многоуровневая структура расположения и взаимосвязи элементов в составе сложной системы, послужившая прообразом предложенной в диссертации модели распространения волновых поверхностей, [2] – получена система определяющих процесс распространения волн уравнений, определены коэффициенты степенных разложений неизвестных функций, [3] – разработан и реализован алгоритм определения точек пересечения прямых и отраженных волн, [4] – предложен вычислительный алгоритм расчета динамической осадки верхнего строения железнодорожного пути и он же реализован в виде программного приложения, [6] - реализована модель использования фрактального представления в процессе распространения упругих волн при учете их отражения от границы раздела сред, [7] – подобраны и обоснованы граничные и начальные условия для решения системы уравнений, реализован алгоритм ее решения в программном виде, [8] – реализован метод определения напряжений в виде программного приложения и оценено влияние анизотропных свойств на конечные величины.
Структура и объём диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение и изложена на 128 страницах машинописного текста, в
том числе 4 таблицы, 26 рисунков. Список использованных источников насчитывает 125 наименований
Современные подходы к задачам распространения волновых поверхностей
Механические характеристики большинства материалов могут изменяться под воздействием внешней нагрузки, особенно это касается динамических воздействий, которые приводят к волновым процессам и колебаниям, представляющим собой отдельные явления, распространяющиеся на большие расстояния от области приложения нагрузки. Для описания таких процессов наилучшим образом подходят функции перемещений и напряжений, определяемых вблизи геометрически заданных точек тела или элемента конструкции.
Воздействие на элементы конструкций вибрационных, ударных и иных динамических воздействий приводит к появлению инерционных составляющих, величины которых могут быть сопоставимы с полными значениями перемещений, напряжений, усилий и деформаций возникающих в отдельных точках конструкций или их элементов.
Современные отечественные и зарубежные исследователи при изучении нестационарных процессов в твердых телах используют уравнения линейно упругой, вязкоупругой или упругопластической среды. Динамические уравнения в дифференциальном виде, определяющие поведение точек таких элементов под воздействием нагрузки различных типов, можно получить из стандартных уравнений равновесия параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, построенного вокруг заданной точки элемента конструкции из материала плотностью р.
Удобнее всего записывать такие уравнения равновесия в перемещениях [10,12] относительно декартовых осей координат, связанных с самим элементом, для получения динамических уравнений достаточно приравнять нулю слагаемые с усилиями и добавить инерционные члены. В этом случае можно придти к дифференциальным уравнениям распространения упругих волн в среде:
При исследовании упругой среды не содержащей неоднородности из анализа уравнений (1.1) следует, что процессы распространения продольных и поперечных волн являются обособленными и не зависят между собой. Волновая картина распространения возмущений в среде зависит он характера приложения первоначальной нагрузки и ее изменений во времени, при этом может появляться как один из видов волн, так и их различные комбинации.
Возвращаясь к примеру о землетрясении, можно сказать, что при этом явлении наибольшую опасность представляют поверхностные волны, которые существуют в приграничном слое толщиной соизмеримой с длиной волны. К таким волнам, например, относятся классические волны Релея. Скорость их распространения С3 зависит от скорости распространения продольных волн и может быть представлена в виде выражения:
Приведенное бикубическое уравнение решается в численном виде после подстановки в него значения коэффициента поперечной деформации. Уравнение имеет три пары корней, из которых выбирается наименьшее.
В силу изложенного выше, можно сделать заключение, что упругие характеристики материала позволяют определить параметры распространения волновых поверхностей, и наоборот, можно утверждать, что известный набор значений скоростей волн однозначно задает свойства материала элемента, в котором они распространяются.
Само явление распространения волн может приводить к появлению у перемещающихся точек среды достаточно больших значений ускорений, что, в свою очередь, может привести к появлению инерционных сил, которые приведут к возрастанию динамических напряжений до значений сопоставимых с напряжениями от собственного веса и от другой статической нагрузки. При ударном приложении нагрузки динамические напряжения могут многократно превосходить значения статических, в силу этого помимо записи уравнения движения в перемещениях, необходимо записать соотношения для усилий и напряжений.
Использование лучевого метода для решения задачи распространения волн в ортотропной пластинке
Для более детального изучения процесса распространения деформаций и динамического взаимодействия ударника и мишени необходимо принимать во внимание волновые процессы [31,33,34,68], исследовать характер распределения напряжений и усилий по контактной области соприкосновения двух тел и моделировать взаимосвязь силы взаимодействия от деформаций смятия [25-28]. В настоящей диссертации предлагается несколько подходов и методов, которые по своей постановке и используемым процедурам близки к разрабатываемому в последующих главах численно-аналитическому методу. Для классификации методов предлагается использовать два критерия, причину появления волновых поверхностей, т.е. фактически это модель внешнего динамического воздействия, а также характер развития деформирования мишени вне области взаимодействия тел.
При классификации процесса деформирования тела при совершении его точками различных движений принято разделять два типа явлений: стационарные и нестационарные.
Согласно классической традиции стационарные процессы делятся на вынужденные гармонические колебания, собственные колебания [61,62], автомодельные движения и прогрессивные волны [52,119]. Нестационарные движения точек в телах, согласно стандартной классификации [14-15], можно представить в виде 3-х групп: распространение объемных, граничных и начальных возмущений, распространение начальных возмущений чаще всего описываются как свободные колебания элемента, деформирование которого изучается.
Свойства нестационарных волновых процессов в основном определяются характером динамических уравнений, определяющих движения точек элемента конструкции [50,114,115]. Данные уравнения могут быть гиперболического и эллиптического вида, в первом случае волновая поверхность, моделирующая упругую волну распространяется с конечной постоянной скоростью направленной по нормали к расширяющемуся фронту, причем на фронте волновой поверхности происходит изменение кинематических и динамических величин, т.е. до прихода волны среда представляется не возмущенной.
Для общего понимания взаимосвязи рассматриваемых методов, подходов и алгоритмов расчета приведем их основные группы в виде Таблицы 1.1. Эти подходы будут обозначаться буквой и цифрой, отвечающими за контактную и волновую задачу соответственно Схема подходов к проблеме деформирования тел с учетом распространения волн Таблица 1.1. № А Б В Г Д №12 Область контактаВнеобластиконтакта Динамическоевоздействиетвердого тела,упругая модель Динамическоевоздействиетвердого тела,вязкоупругая модель Динамическоевоздействиетвердого тела,упругопластичнаямодель Воздействие на теловнешнего волновогопроцесса Резкое изменениесостояниявнутреннихпараметров тела в этом случае можно предположить, что местные деформации смятия нарастают квазистатически, а волновые поверхности в мишени распространяются бесконечно быстро, тогда имеет место подход А1 [6,7], или с ограниченной конечной скоростью – подход А2 [67,102,103]. В случае А2 решение на фронте волновой поверхности чаще всего строится в виде представления неизвестных функций перемещений, деформаций, напряжений и усилий в виде разложений в ряды по времени и пространственным координатам. Часто в инженерных задачах, поскольку процесс ударного взаимодействия скоротечен, можно в степенном разложении ограничиться только первым слагаемым, тогда задача сводится к рассмотрению одного нелинейного дифференциального уравнения, записанного для местного смятия или силы взаимодействия между ударником и мишенью. Полное решение данного уравнения возможно с помощью численных методов линеаризации функций, реализованных программными средствами на ЭВМ. Однако, для фундаментальных исследований по математическому моделированию процессов и явлений в твердых телах, такого подхода явно не достаточно. Для уточнения решения, получаемого описанным способом, необходимо учесть последующие слагаемые асимптотического разложения неизвестных величин. Особенностью, существенно усложняющей решение. Получаемой системы уравнений, является тот факт, что в ней присутствуют помимо самих неизвестных функций еще и их производные по времени и пространственной координате. В классических подходах предлагается уйти от дифференциальных уравнений к характеристическим алгебраическим уравнениям для этого пользуются преобразованием Лапласа. В современных подходах предлагается переходить от производных по пространственной координате к производным по времени других порядков путем использования условий совместности деформаций на фронте волновой поверхности [64].
Ограничением такого подхода могут являться вычислительные трудности, возникающие при определении производных старших порядков, данная проблема не позволяет учесть существенно много слагаемых в асимптотических разложениях. Методы группы Б могут быть эффективными для тех задач, где динамическое воздействие сопровождается появлением вязкоупругой контактной силы [88]. В этих случаях достаточно удобным представляется моделирование вязкоупругой силы взаимодействия двух тел вязкоупругим элементом Максвелла [10,42,43,48] или иными комбинациями упругих и вязких элементов. Методы Б1,2 во многом схожи с методами групп А1,2, при простой замене упругой силы взаимодействия на ее вязкоупругий аналог.
Как показывают данные теоретических и экспериментальных исследований методы группы В можно при низкоскоростном и среднескоростном ударном воздействии. Когда начальная скорость ударника превышает 10 м/с. Методы группы В1,2 сопоставимы с соответствующими методами группы А1,2, при замене в последних упругой силы взаимодействия ее упругопластическим аналогом, такой подход справедлив при начальных скоростях удара выше 30 м/с.
Методы группы Г могут эффективно применяться при воздействии на конструкции и ее элементы сейсмических, акустических или иных волн, которые появляются не из-за непосредственного контактна двух тел.
Методы группы Д могут быть полезны при рассмотрении воздействий на твердое тела в виде изменения параметров внешней среды. Например, температуры, электромагнитных полей и т.д. В отдельную группу методов можно отнести методы экспериментальных исследований, к которым относятся и методы компьютерного моделирования, и методы визуальной имитации, и методы статистической обработки [3,11], а также методы получения непосредственных результатов с датчиков определяющих деформацию (чаще всего), для этого используются высокоточные пьезо- и фотоэлементов, а также волоконно-оптические датчики на основе использования брегговских волокон.
Сращивание решений волновой и контактной задачи для области вблизи зоны взаимодействия тел
Принимая во внимание, чтоЕв/Ег=1, из вышеприведённых выражений можно вывести зависимости для трансверсально-изотропной упругой пластины, в котором параметр G определяет модуль сдвига в направлении, ортогональном плоскости изотропии, совпадающей со срединной плоскостью пластины. Также из выражений приведенных выше можно вывести другие частные состояния анизотропии материала плоской мишени.
Теперь, используя отношения (3.29) и (3.30) для безразмерных силы контактного взаимодействия и динамического прогиба, можно построить графики отношений этих динамических параметров от времени t. На рисунке 3.1 изображены зависимости динамического прогиба от времени для вариации значений отношения Ев/Ег, которые обозначены у линий графиков, остальные параметры в подсчётах принимают следующие значения: F=8.5-10 3, w=25, =1.Ы0 6, h=\. На графиках показано, что при уменьшении отношения Ев/Ег увеличивается прогиб до некоторого значения (Ев/Ег»1у; при увеличении Ев/Ег наблюдается уменьшение динамического прогиба, в результате того, что последний член отрезка ряда (3.29) уменьшается при возрастании отношения Ев/Ег 1.
Рисунок 3.2 показывает динамические прогибы трансверсально-изотропной пластины для разных значений модуля сдвига в направлении, ортогональном плоскости пластины, т.е. для разных отношений скоростей поперечного и продольного волновых фронтов: график 1 - G(2VG(1)=O.OI, график 2 - G(2)/G(1) =0.2, график 3 - G(2)/G(1) =0.4, график 4 - G(2)/G(1) =0.5 (изотропная пластинка). Из рисунка 3.2 видно, что при увеличении значения отношения скоростей G У происходит уменьшение динамического прогиба.
На рисунке 3.3 показаны зависимости максимального динамического прогиба от отношения Ев/Ег для разных значений линейной жесткости буфера Ё: график 1 - Ё=ЗЛ-Ш\ график 2 - Ё=2.3-Ш\ график 3 -Ё=\Л-Ш6. Из рисунка 3.3 можно наблюдать, что значение максимального прогиба уменьшается при увеличении отношения Ев/Ег и, напротив, увеличивается при увеличении линейной жесткости буфера Ё. Данный график показывает влияние на динамические характеристики результатов решения и волновой и контактной задачи.
Зависимость прогиба от времени для разных значений отношения G /G. На рисунке 3.4 изображены зависимости максимальных значений прогиба от отношения скоростей скачков сильного разрыва для разных отношений Ев/Ег: график 1 относится к значениюЕ0/Ег =0.2, график 2 - Ев/Ег =0.5, график 3 - Ев/Ег =1, график 4 - Ев/Ег =4. Из графиков видно, что значение максимального динамического прогиба уменьшается при увеличении отношения скоростей волн G 7 G , другими словами максимальный прогиб уменьшается с увеличение значения модуля сдвига в направлении, ортогональном плоскости пластинки. Графики показывают одновременное влияние модулей упругости и сдвига в разных направлениях анизотропии на конечных параметры удара (прогиб).
Зависимость значения максимального динамического прогиба от отношения Ев/Ег для некоторых значений Е. Рис. 3.4 Зависимость значения максимального динамического прогиба от Q{ fjQy) для некоторых значений отношения Ев/Ег Рисунок 3.5 показывает взаимосвязь силы контактного взаимодействия от времени для разных значений EejEr: график 1 соответствует Ев/Ег =0.2, график 2 - Е0/Ег =0.5, график 3 - Ев/Ег=1 (трансверсально-изотропная пластинка), график 4 - Ев/Ег=4, график 5 - Ев/Ег=8, другие параметры в подсчётах принимают значения: т=25, h=1, =1.110-6, Г=8.5-10-3. Из графика видно, что с увеличением Ев/Ег сила контактного взаимодействия уменьшается. Рисунке 3.6 показывает сила контактного взаимодействия как функция времени для трансверсально-изотропной пластины для разных модулей сдвига в направлении, ортогональном плоскости пластинки, т.е. для вариаций отношений скоростей продольного и поперечного волнового фронта: график 1 отвечает G(2)/G(1)=0.01, график 2 - G(2)/G(1) =0.2, график 3 - G(2)/G(1) =0.4, график 4 - G(2)/G(1) =0.5 (изотропная пластинка). Из рисунка 3.6 следует, что с увеличением значения соотношения скоростей G У сила контактного взаимодействия уменьшается. Рис.3.5 Зависимость силы контактного взаимодействия от времени для некоторых значений отношения Ев/Ег.
Зависимость силы контактного взаимодействия от времени для некоторых значений отношения G(2)/G(1) . По результатам анализа рисунков 3.1 - 3.6 можно сделать вывод, что такие параметры удара как динамический прогиб и контактная сила
уменьшаются при увеличении отношений Ев/Ег, G / G и, таким образом, при увеличении модуля сдвига в направлении оси z.
Сращивание контактного и волнового решения для удаленной от зоны взаимодействия области Процесс распределения волновых фронтов после удара теоритически можно поделить на четыре этапа:
1) После ударного воздействия от точки динамического контакта отрываются и начинают распределяться по всем направлениям продольные и поперечные волновые фронты (рис. 3.7). Количество фронтов зависит от динамических уравнений объекта, по которому наносится удар; отражаясь от нижней поверхности пластины, они взаимодействуют сами с собой. Наибольший интерес вызывает определение напряжений в области ударного воздействия, у противоположной удару поверхности пластины, в точках пересечения прямых и отраженных волновых фронтов, особенно в тех местах, в которых встречается большое количество фронтов отраженных волн.
2) После нескольких отражений к волновые фронты отдаляются от области контакта и из сферических преобразовываются в цилиндрические (рис. 3.7), это происходит на определённом расстоянии hjk hjk + l от точки ударного воздействия, т.е. цилиндрические волны-полоски появляются при соблюдении условия
Для этапа свойственно, что напряжения на цилиндрических волновых фронтах обратно пропорциональны расстоянию от области контакта.
3) Упругие волны отражаются от границ пластины и взаимодействуют с прямыми волновыми фронтами, при этом вероятно появление существенных напряжений вблизи точек крепления.
4) Отраженные от границ пластины цилиндрические волновые фронты перемещаются к области контакта и взаимодействуют с существующими там сферическими волновыми фронтами. В этом случае вероятно образование существенных напряжений непосредственно под областью контакта.
Численные исследования процессов распространения волн в изотропной среде для упругой модели взаимодействия тел
На рисунке 4.11 показан график зависимости координаты волны от времени с начальными значениями: Ег = 250 ГПа, Ев = 150 ГПа, ог = 0.3, ов = 0.3, = 6000 кг/м3, h = 0.1 м, t = 50 с, 1 = 0.5. На рисунке 4.12 изображены точки пересечения волн. Рисунок 4.13 показывает точки пересечения волн, распространяющихся в одном направлении.
По результатам последующего анализа собранных во время эксперимента данных видно, что наибольшее число точек, в которых происходит усиление волновых характеристик, находиться посередине пластинки. Наибольшая суммарная интенсивность волновых характеристик наблюдается в момент времени 0,4368 секунды (рис. 4.14) с начала эксперимента и равняется примерно 107 238 единицам при начальных скоростях 6766 м/с и 5241 м/с перовой и второй волны соответственно. Также зафиксированы суммарные интенсивности 97 877 ед. по истечении 0,45864 на расстоянии 0,05 м; 31 622 ед. на 0,48048 на расстоянии 0,05 м; 80 932 ед, на 0,41496 секунде на расстоянии 0,05 м; -65 199 ед. на 0,48048 секунде на расстоянии 0,025 м; 67 453 ед. на 0,4368 секунде на расстоянии 0,075 м; 66 257 ед. на 0,4368 секунде на расстоянии 0,025 м; 66 783 ед. на 0,3276 секунде на расстоянии 0,05 м.
По результатам последующего анализа собранных во время эксперимента данных видно, что наибольшее число точек, в которых происходит усиление волновых характеристик, находиться посередине пластинки (рис. 4.16). Наибольшая суммарная интенсивность волновых характеристик наблюдается в момент времени 0,182 секунды с начала эксперимента и равняется примерно 24 494 ед. при начальных скоростях 6766 м/с и 5241 м/с первой и второй волны.
По результатам последующего анализа собранных во время эксперимента данных видно, что наибольшее число точек, в которых происходит усиление волновых характеристик, находиться посередине пластинки (рис. 4.18). Наибольшая суммарная интенсивность волновых характеристик наблюдается в момент времени 0,24024 секунды с начала эксперимента и равнялась 23 874 ед. при начальных скоростях 6766 м/с и 5241 м/с перовой и второй волны соответственно. На рисунке 4.19 показан график зависимости координаты волны от времени с начальными значениями: Ег = 250 ГПа, Ев = 150 ГПа, ог = 0.3, ов = 0.3, = 6000 кг/м3, h = 0.2 м, t = 25 с, 1 = 0.5.
По результатам последующего анализа собранных во время эксперимента данных видно, что наибольшее число точек, в которых происходит усиление волновых характеристик, находиться на противоположной ударному воздействию стороне пластинки (0,2м). Наибольшая суммарная интенсивность волновых характеристик наблюдается в момент времени 0,2184 секунды с начала эксперимента и равнялась 11 832 ед. при начальных скоростях 6766 м/с и 5241 м/с перовой и второй волны соответственно (рис. 4.20).
На рисунке 4.21 показан график зависимости координаты волны от времени с начальными значениями: Ег = 250 ГПа, Ев = 150 ГПа, ог = 0.3, ов = 0.3, = 6000 кг/м3, h = 0.1 м, t = 25 с, 1 = 0.25.
По результатам последующего анализа собранных во время эксперимента данных видно, что наибольшее число точек, в которых происходит усиление волновых характеристик, находиться на расстоянии 0,048 м (рис. 4.22). Наибольшая суммарная интенсивность волновых характеристик наблюдается в момент времени 0,2118 секунды с начала эксперимента и равнялась 10 488 ед. при начальных 6766 м/с и 5241 м/с перовой и второй волны соответственно.
По результатам последующего анализа собранных во время эксперимента данных видно, что наибольшее число точек, в которых происходит усиление волновых характеристик, находиться посередине пластинки (рис. 4.24). Наибольшая суммарная интенсивность волновых характеристик наблюдается в момент времени 0,204 секунды с начала эксперимента и равнялась 25 099 ед. при начальных скоростях 7001 м/с и 5423 м/с перовой и второй волны.
На рисунке 4.25 показан график зависимости координаты волны от времени с начальными значениями: Ег = 250 ГПа, ЕQ= 150 ГПа, стг = 0.3, сів =
По результатам последующего анализа собранных во время эксперимента данных видно, что наибольшее число точек, в которых происходит усиление волновых характеристик, находиться посередине пластинки (рис. 4.35, 4.36). Наибольшая суммарная интенсивность волновых характеристик наблюдается в момент времени 54,6 секунды с начала эксперимента и равнялась 10 488 м/с при начальных скоростях 6766 м/с и 5241 м/с перовой и второй волны соответственно.
Из девяти проведённых экспериментов с различными показателями в 77% случаев наибольшую нагрузку испытывала средняя часть объекта, по которому наносился удар. Можно сделать вывод о необходимости принятия превентивных мер по защите объектов от разрушительных воздействий волновых процессов. При этом нужно учитывать характер воздействия. Рассмотрим пример распространения волн в твёрдых средах на предмет физического разрушения. В ситуациях, когда после удара по истечении определённого отрезка времени наблюдаются точки, в которых встречаются разнонаправленные волны, то, в этом случае, необходимо укреплять объект от расслаивания материала и, напротив, если наблюдаются точки, в которых волны двигаются сонаправлено, т.е. усиливают напряжение, то необходимо укреплять объект от деформации сжатия. В обоих случаях средством защиты объекта может служить дополнительное армирование.
Эксперименты показывают, что шаг армирования должен быть не меньше 25% от высоты объекта. Дело в том, что помимо существенного усиления напряжения в середине объекта, наблюдались локальные максимумы на расстоянии и высоты объекта.
Аналогичным образом можно интерпретировать результаты
экспериментов на объекты защиты информации. Если необходимо защитить помещение от «грубого» прослушивания непосредственно через стены, пол и потолок, то во всех перекрытиях можно проложить «волнопоглащающий» материал. Таким образом снизить риск подслушивания извне.
